1、椭圆的离心率专题训练椭圆的离心率专题训练 一选择题（共一选择题（共 2929 小题）小题） 1椭圆的左右焦点分别为 F1，F2，若椭圆 C 上恰好有 6 个不同的点 P，使得F1F2P 为等腰三角形，则椭圆 C 的离心率的取值范围是（ ） A B C D 2在区间1，5和2，4分别取一个数，记为 a，b，则方程表示焦点在 x 轴上且 离心率小于的椭圆的概率为（ ） A B C D 3 已知椭圆（ab0） 上一点 A 关于原点的对称点为点 B， F 为其右焦点， 若 AFBF， 设ABF=，且，则该椭圆离心率 e 的取值范围为（ ） A B C D 4斜率为的直线 l 与椭圆交于不同的两点，且这
2、两个交点在 x 轴上 的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（ ） A B C D 5设椭圆 C：=1（ab0）的左、右焦点分别为 F1、F2，P 是 C 上的点，PF2F1F2， PF1F2=30，则 C 的离心率为（ ） A B C D 6已知椭圆，F1，F2为其左、右焦点，P 为椭圆 C 上除长轴端点外 的任一点，F1PF2的重心为 G，内心 I，且有（其中 为实数） ，椭圆 C 的离心 率 e=（ ） A B C D 7 已知 F1（c， 0） ， F2（c， 0） 为椭圆的两个焦点， P 为椭圆上一点且， 则此椭圆离心率的取值范围是（ ） A B C D 8椭圆+=1（ab0
3、）的左、右焦点分别是 F1，F2，过 F2作倾斜角为 120的直线与 椭圆的一个交点为 M，若 MF1垂直于 x 轴，则椭圆的离心率为（ ） A B2 C2（2） D 9椭圆 C 的两个焦点分别是 F1，F2，若 C 上的点 P 满足，则椭圆 C 的离心 率 e 的取值范围是（ ） A B C D或 10设 F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点 P 满足F1PF2=120，则椭圆的离心率 的取值范围是（ ） A B C D 11设 A1，A2分别为椭圆=1（ab0）的左、右顶点，若在椭圆上存在点 P，使得 ，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ） A （0， ） B （0，） C D 12设
4、椭圆 C 的两个焦点为 F1、F2，过点 F1的直线与椭圆 C 交于点 M，N，若|MF2|=|F1F2|， 且|MF1|=4，|NF1|=3，则椭圆 的离心率为（ ） A B C D 13（2015高安市校级模拟） 椭圆 C： +=1 （ab0） 的左焦点为 F， 若 F 关于直线x+y=0 的对称点 A 是椭圆 C 上的点，则椭圆 C 的离心率为（ ） A B C D一 l 14已知 F1，F2分别为椭圆+=1（ab0）的左、右焦点，P 为椭圆上一点，且 PF2垂 直于 x 轴若|F1F2|=2|PF2|，则该椭圆的离心率为（ ） A B C D 15已知椭圆（ab0）的两焦点分别是 F1
5、，F2，过 F1的直线交椭圆于 P，Q 两点， 若|PF2|=|F1F2|，且 2|PF1|=3|QF1|，则椭圆的离心率为（ ） A B C D 16已知椭圆 C：的左、右焦点分别为 F1，F2，O 为坐标原点，M 为 y 轴正半轴上一点，直线 MF2交 C 于点 A，若 F1AMF2，且|MF2|=2|OA|，则椭圆 C 的离心率为 （ ） A B C D 17 已知椭圆 C 的中心为 O， 两焦点为 F1、 F2， M 是椭圆 C 上一点， 且满足|=2|=2|， 则椭圆的离心率 e=（ ） A B C D 18设 F1，F2分别是椭圆+=1（ab0）的左右焦点，若在直线 x=上存在点
6、P，使 PF1F2为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A （0，） B （0，） C （，1） D （，1） 19点 F 为椭圆+=1（ab0）的一个焦点，若椭圆上在点 A 使AOF 为正三角形， 那么椭圆的离心率为（ ） A B C D1 20已知椭圆 C：=1（ab0）和圆 O：x 2+y2=b2，若 C 上存在点 M，过点 M 引圆 O 的两条切线，切点分别为 E，F，使得MEF 为正三角形，则椭圆 C 的离心率的取值范围是 （ ） A ，1） B，1） C，1） D （1， 21在平面直角坐标系 xOy 中，以椭圆+=1（ab0）上的一点 A 为圆心的圆与 x 轴 相切于椭
7、圆的一个焦点，与 y 轴相交于 B，C 两点，若ABC 是锐角三角形，则该椭圆 的离心率的取值范围是（ ） A （，） B （，1） C （，1） D （0，） 22设 F1、F2为椭圆 C：+=1（ab0）的左、右焦点，直线 l 过焦点 F2且与椭圆交 于 A，B 两点，若ABF1构成以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，设椭圆离心率为 e， 则 e 2=（ ） A2 B3 C116 D96 23 直线 y=kx 与椭圆 C： +=1 （ab0） 交于 A、 B 两点， F 为椭圆 C 的左焦点， 且=0， 若ABF（0，则椭圆 C 的离心率的取值范围是（ ） A （0， B （0， C， D
8、，1） 24已知 F1（c，0） ，F2（c，0）为椭圆=1（ab0）的两个焦点，若椭圆上存在 点 P 满足=2c 2，则此椭圆离心率的取值范围是（ ） A ， B （0， C，1） D， 25已知 F1（c，0） ，F2（c，0）是椭圆=1（ab0）的左右两个焦点，P 为椭圆 上的一点，且，则椭圆的离心率的取值范围为（ ） A B C D 26已知两定点 A（1，0）和 B（1，0） ，动点 P（x，y）在直线 l：y=x+2 上移动，椭圆 C 以 A，B 为焦点且经过点 P，则椭圆 C 的离心率的最大值为（ ） A B C D 27过椭圆+=1（ab0）的左顶点 A 且斜率为 k 的直线交
9、椭圆于另一个点 B，且点 B 在 x 轴上的射影恰好为右焦点 F，若 0k ，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A （0， ） B （ ，1） C （0， ） D （ ，1） 28已知椭圆 C1：=1（ab0）与圆 C2：x 2+y2=b2，若在椭圆 C 1上存在点 P，过 P 作 圆的切线 PA，PB，切点为 A，B 使得BPA=，则椭圆 C1的离心率的取值范围是（ ） A B C D 29已知圆 O1： （x2） 2+y2=16 和圆 O 2：x 2+y2=r2（0r2） ，动圆 M 与圆 O 1、圆 O2都相切， 动圆圆心 M 的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为 e1、e2（e1
10、e2） ，则 e1+2e2的最 小值是（ ） A B C D 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 2929 小题）小题） 1椭圆的左右焦点分别为 F1，F2，若椭圆 C 上恰好有 6 个不同的点 P，使得F1F2P 为等腰三角形，则椭圆 C 的离心率的取值范围是（ ） A B C D 解 答： 解：当点 P 与短轴的顶点重合时， F1F2P 构成以 F1F2为底边的等腰三角形， 此种情况有 2 个满足条件的等腰F1F2P； 当F1F2P 构成以 F1F2为一腰的等腰三角形时， 以 F2P 作为等腰三角形的底边为例， F1F2=F1P， 点 P 在以 F1为圆心，半径
11、为焦距 2c 的圆上 因此，当以 F1为圆心，半径为 2c 的圆与椭圆 C 有 2 交点时， 存在 2 个满足条件的等腰F1F2P， 在F1F2P1中，F1F2+PF1PF2，即 2c+2c2a2c， 由此得知 3ca所以离心率 e 当 e= 时，F1F2P 是等边三角形，与中的三角形重复，故 e 同理，当 F1P 为等腰三角形的底边时，在 e且 e 时也存在 2 个 满足条件的等腰F1F2P 这样，总共有 6 个不同的点 P 使得F1F2P 为等腰三角形 综上所述，离心率的取值范围是：e（ ， ）（ ，1） 2在区间1，5和2，4分别取一个数，记为 a，b，则方程表示焦点在 x 轴上且 离心
12、率小于的椭圆的概率为（ ） A B C D 解 答： 解：表示焦点在 x 轴上且离心率小于， ab0，a2b 它对应的平面区域如图中阴影部分所示： 则方程表示焦点在 x 轴上且离心率小于的椭圆的概率为 P=， 故选 B 3 已知椭圆（ab0） 上一点 A 关于原点的对称点为点 B， F 为其右焦点， 若 AFBF， 设ABF=，且，则该椭圆离心率 e 的取值范围为（ ） A B C D 解 答： 解： 已知椭圆（ab0） 上一点 A 关于原点的对称点为点 B， F 为其右焦点，设左焦点为：N 则：连接 AF，AN，AF，BF 所以：四边形 AFNB 为长方形 根据椭圆的定义：|AF|+|AN|
13、=2a ABF=，则：ANF= 所以：2a=2ccos+2csin 利用 e= 所以： 则： 即：椭圆离心率 e 的取值范围为 故选：A 4斜率为的直线 l 与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在 x 轴上 的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（ ） A B C D 解 答： 解：两个交点横坐标是c，c 所以两个交点分别为（c，c） （c，c） 代入椭圆=1 两边乘 2a 2b2 则 c 2（2b2+a2）=2a2b2 b 2=a2c2 c 2（3a22c2）=2a42a2c2 2a45a 2c2+2c4=0 （2a 2c2） （a22c2）=0 =2，或 0e1 所以 e= = 故选
14、 A 5设椭圆 C：=1（ab0）的左、右焦点分别为 F1、F2，P 是 C 上的点，PF2F1F2， PF1F2=30，则 C 的离心率为（ ） A B C D 解解：设|PF2|=x， 答： PF2F1F2，PF1F2=30， |PF1|=2x，|F1F2|=x， 又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c 2a=3x，2c=x， C 的离心率为：e= 故选 A 6已知椭圆，F1，F2为其左、右焦点，P 为椭圆 C 上除长轴端点外 的任一点，F1PF2的重心为 G，内心 I，且有（其中 为实数） ，椭圆 C 的离心 率 e=（ ） A B C D 解 答： 解：设 P（x0，y0）
15、 ，G 为F1PF2的重心， G 点坐标为 G（，） ， ，IGx 轴， I 的纵坐标为， 在焦点F1PF2中，|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c = |F1F2|y0| 又I 为F1PF2的内心，I 的纵坐标即为内切圆半径， 内心 I 把F1PF2分为三个底分别为F1PF2的三边， 高为内切圆半径的 小三角形 = （|PF1|+|F1F2|+|PF2|）| |F1F2|y0|= （|PF1|+|F1F2|+|PF2|）| 即 2c|y0|= （2a+2c）|， 2c=a， 椭圆 C 的离心率 e= = 故选 A 7 已知 F1（c， 0） ， F2（c， 0） 为椭圆的两个焦点
16、， P 为椭圆上一点且， 则此椭圆离心率的取值范围是（ ） A B C D 解 答： 解：设 P（m，n ） ，=（cm，n）（cm，n） =m 2c2+n2， m 2+n2=2c2，n2=2c2m2 把 P（m，n ）代入椭圆得 b 2m2+a2n2=a2b2 ， 把代入得 m 2= 0，a 2b22a2c2， b 22c2，a2c22c2， 又 m 2a2， a 2， 0， 故 a 22c20， 综上， ， 故选：C 8椭圆+=1（ab0）的左、右焦点分别是 F1，F2，过 F2作倾斜角为 120的直线与 椭圆的一个交点为 M，若 MF1垂直于 x 轴，则椭圆的离心率为（ ） A B2 C
17、2（2） D 解解：如图， 答： 在 RtMF1F2中，MF2F1=60，F1F2=2c MF2=4c，MF1=2c MF1+MF2=4c+2c=2ae= =2， 故选 B 9椭圆 C 的两个焦点分别是 F1，F2，若 C 上的点 P 满足，则椭圆 C 的离心 率 e 的取值范围是（ ） A B C D或 解 答： 解：椭圆 C 上的点 P 满足，|PF1|=3c， 由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a，|PF2|=2a3c 利用三角形的三边的关系可得：2c+（2a3c）3c，3c+2c2a3c， 化为 椭圆 C 的离心率 e 的取值范围是 故选：C 10设 F1，F2为椭圆的两个焦点
18、，若椭圆上存在点 P 满足F1PF2=120，则椭圆的离心率 的取值范围是（ ） A B C D 解 答： 解：F1（c，0） ，F2（c，0） ，c0，设 P（x1，y1） ， 则|PF1|=a+ex1，|PF2|=aex1 在PF1F2中，由余弦定理得 cos120= =， 解得 x1 2= x1 2（0，a2，0 a 2，即 4c23a20且 e21 e= 故椭圆离心率的取范围是 e 故选 A 11设 A1，A2分别为椭圆=1（ab0）的左、右顶点，若在椭圆上存在点 P，使得 ，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ） A （0， ） B （0，） C D 解 答： 解：设 P（asin，bc
19、os） ，A1（a，0） ，A2（a，0） ； ，； ； ； ，a，c0； 解得； 该椭圆的离心率的范围是（） 故选：C 12设椭圆 C 的两个焦点为 F1、F2，过点 F1的直线与椭圆 C 交于点 M，N，若|MF2|=|F1F2|， 且|MF1|=4，|NF1|=3，则椭圆 的离心率为（ ） A B C D 解 答： 解：设椭圆（ab0） ， F1（c，0） ，F2（c，0） ， |MF2|=|F1F2|=2c， 由椭圆的定义可得|NF2|=2a|NF1|=2a3， |MF2|+|MF1|=2a，即有 2c+4=2a， 即 ac=2， 取 MF1的中点 K，连接 KF2，则 KF2MN，
20、由勾股定理可得|MF2| 2|MK|2=|NF 2| 2|NK|2， 即为 4c 24=（2a3）225，化简即为 a+c=12， 由解得 a=7，c=5， 则离心率 e= = 故选：D 13椭圆 C：+=1（ab0）的左焦点为 F，若 F 关于直线x+y=0 的对称点 A 是椭圆 C 上的点，则椭圆 C 的离心率为（ ） A B C D一 l 解 答： 解：设 F（c，0）关于直线x+y=0 的对称点 A（m，n） ，则 ， m= ，n=c， 代入椭圆方程可得， 化简可得 e 48e2+4=0， e=1， 故选：D 14已知 F1，F2分别为椭圆+=1（ab0）的左、右焦点，P 为椭圆上一点
21、，且 PF2垂 直于 x 轴若|F1F2|=2|PF2|，则该椭圆的离心率为（ ） A B C D 解 答： 解：F1，F2分别为椭圆+=1（ab0）的左、右焦点， 设 F1（c，0） ，F2（c，0） ， （c0） ， P 为椭圆上一点，且 PF2垂直于 x 轴若|F1F2|=2|PF2|， 可得 2c=2，即 ac=b 2=a2c2可得 e2+e1=0 解得 e= 故选：D 15已知椭圆（ab0）的两焦点分别是 F1，F2，过 F1的直线交椭圆于 P，Q 两点， 若|PF2|=|F1F2|，且 2|PF1|=3|QF1|，则椭圆的离心率为（ ） A B C D 解 答： 解：由题意作图如右
22、图， l1，l2是椭圆的准线，设点 Q（x0，y0） ， 2|PF1|=3|QF1|， 点 P（ c x0， y0） ； 又|PF1|= |MP|，|QF1|= |QA|， 2|MP|=3|QA|， 又|MP|= c x0+，|QA|=x0+， 3（x0+）=2（ c x0+） ， 解得，x0=， |PF2|=|F1F2|， （ c+ x0+） =2c； 将 x0=代入化简可得， 3a 2+5c28ac=0， 即 58 +3=0； 解得， =1（舍去）或 = ； 故选：A 16已知椭圆 C：的左、右焦点分别为 F1，F2，O 为坐标原点，M 为 y 轴正半轴上一点，直线 MF2交 C 于点 A
23、，若 F1AMF2，且|MF2|=2|OA|，则椭圆 C 的离心率为 （ ） A B C D 解 答： 解：如图所示， 在 RtAF1F2中，|F1F2|=2|OA|=2c 又|MF2|=2|OA|， 在 RtOMF2中， AF2F1=60， 在 RtAF1F2中， |AF2|=c，|AF1|=c 2a=c+c， =1 故选：C 17 已知椭圆 C 的中心为 O， 两焦点为 F1、 F2， M 是椭圆 C 上一点， 且满足|=2|=2|， 则椭圆的离心率 e=（ ） A B C D 解 答： 解： |MF1|=|MO|=|MF2|， 由椭圆定义可得 2a=|MF1|+|MF2|=3|MF2|，
24、 即|MF2|= a，|MF1|= a， 在F1OM 中，|F1O|=c，|F1M|= a，|OM|= a， 则 cosMOF1=， 在OF2M 中，|F2O|=c，|M0|=|F2M|= a， 则 cosMOF2=， 由MOF1=180MOF2得：cosMOF1+cosMOF2=0， 即为+=0， 整理得：3c 22a2=0， 即= ，即 e 2= ， 即有 e= 故选：D 18设 F1，F2分别是椭圆+=1（ab0）的左右焦点，若在直线 x=上存在点 P，使 PF1F2为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A （0，） B （0，） C （，1） D （，1） 解 答： 解：由已
25、知 P（，y） ，得 F1P 的中点 Q 的坐标为（） ， ， ，y 2=2b2 ， y 2=（a2c2） （3 ）0， 30， 0e1， e1 故选：C 19点 F 为椭圆+=1（ab0）的一个焦点，若椭圆上存在点 A 使AOF 为正三角形， 那么椭圆的离心率为（ ） A B C D1 解 答： 解：如下图所示： 设椭圆的右焦点为 F，根据椭圆的对称性，得 直线 OP 的斜率为 k=tan60=， 点 P 坐标为： （ c，c） ， 代人椭圆的标准方程，得 ， b 2c2+3a2c2=4a2b2， e= 故选：D 20已知椭圆 C：=1（ab0）和圆 O：x 2+y2=b2，若 C 上存在点
26、 M，过点 M 引圆 O 的两条切线，切点分别为 E，F，使得MEF 为正三角形，则椭圆 C 的离心率的取值范围是 （ ） A ，1） B，1） C，1） D （1， 解 答： 解：如图所示，连接 OE，OF，OM， MEF 为正三角形， OME=30， OM=2b， 则 2ba， ， 椭圆 C 的离心率 e= 又 e1 椭圆 C 的离心率的取值范围是 故选：C 21在平面直角坐标系 xOy 中，以椭圆+=1（ab0）上的一点 A 为圆心的圆与 x 轴 相切于椭圆的一个焦点，与 y 轴相交于 B，C 两点，若ABC 是锐角三角形，则该椭圆的离 心率的取值范围是（ ） A （，） B （，1）
27、C （，1） D （0，） 解 答： 解：如图所示， 设椭圆的右焦点 F（c，0） ，代入椭圆的标准方程可得：， 取 y=，A ABC 是锐角三角形， BAD45， 1， 化为， 解得 故选：A 22设 F1、F2为椭圆 C：+=1（ab0）的左、右焦点，直线 l 过焦点 F2且与椭圆交 于 A，B 两点，若ABF1构成以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，设椭圆离心率为 e，则 e 2= （ ） A2 B3 C116 D96 解 答： 解：可设|F1F2|=2c，|AF1|=m， 若ABF1构成以 A 为直角顶点的等腰直角三角形， 则|AB|=|AF1|=m，|BF1|=m， 由椭圆的定义可得
28、ABF1的周长为 4a， 即有 4a=2m+m，即 m=2（2）a， 则|AF2|=2am=（2）a， 在直角三角形 AF1F2中， |F1F2| 2=|AF 1| 2+|AF 2| 2， 即 4c 2=4（2 ） 2a2+4（ ） 2a2， 即有 c 2=（96 ）a 2， 即有 e 2= =96故选 D 23 直线 y=kx 与椭圆 C： +=1 （ab0） 交于 A、 B 两点， F 为椭圆 C 的左焦点， 且=0， 若ABF（0，则椭圆 C 的离心率的取值范围是（ ） A （0， B （0， C， D，1） 解 答： 解：设 F2是椭圆的右焦点 =0， BFAF， O 点为 AB 的中
29、点，OF=OF2 四边形 AFBF2是平行四边形， 四边形 AFBF2是矩形 如图所示， 设ABF=， BF=2ccos，BF2=AF=2csin， BF+BF2=2a， 2ccos+2csin=2a， e=， sin+cos=， （0， ， ， e 故选：D 24已知 F1（c，0） ，F2（c，0）为椭圆=1（ab0）的两个焦点，若椭圆上存在 点 P 满足=2c 2，则此椭圆离心率的取值范围是（ ） A ， B （0， C，1） D， 解 答： 解：设 P（x0，y0） ，则 2c 2= =（cx0，y0）（cx0， y0）=+，化为 又，=， ， ， b 2=a2c2， ， 故选：A 2
30、5已知 F1（c，0） ，F2（c，0）是椭圆=1（ab0）的左右两个焦点，P 为椭圆 上的一点，且，则椭圆的离心率的取值范围为（ ） A B C D 解 答： 解：设 P（x0，y0） ，则， = ， （cx0，y0）（cx0，y0）=c 2， 化为=c 2， =2c 2， 化为=， ， 0a 2， 解得 故选：D 26已知两定点 A（1，0）和 B（1，0） ，动点 P（x，y）在直线 l：y=x+2 上移动，椭圆 C 以 A，B 为焦点且经过点 P，则椭圆 C 的离心率的最大值为（ ） A B C D 解 答： 解：由题意知 c=1，离心率 e= ， 椭圆 C 以 A，B 为焦点且经过点
31、 P， 则 c=1， P 在直线 l：y=x+2 上移动， 2a=|PA|+|PB| 过 A 作直线 y=x+2 的对称点 C， 设 C（m，n） ，则由， 解得，即有 C（2，1） ， 则此时 2a=|PA|+|PB|CD|+|DB|=|BC|=， 此时 a 有最小值， 对应的离心率 e 有最大值， 故选 C 27过椭圆+=1（ab0）的左顶点 A 且斜率为 k 的直线交椭圆于另一个点 B，且点 B 在 x 轴上的射影恰好为右焦点 F，若 0k ，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A （0， ） B （ ，1） C （0， ） D （ ，1） 解 答： 解：如图所示：|AF2|=a+c，|B
32、F2|=， k=tanBAF2=， 又0k ， 0 ， 0 ， e1 故选：D 28已知椭圆 C1：=1（ab0）与圆 C2：x 2+y2=b2，若在椭圆 C 1上存在点 P，过 P 作 圆的切线 PA，PB，切点为 A，B 使得BPA=，则椭圆 C1的离心率的取值范围是（ ） A B C D 解 答： 解：连接 OA，OB，OP，依题意，O、P、A、B 四点共圆， BPA=，APO=BPO=， 在直角三角形 OAP 中，AOP=， cosAOP= ，|OP|= =2b， b|OP|a，2ba， 4b 2a2，即 4（a2c2）a2， 3a 24c2，即 ， ，又 0e1，e1， 椭圆 C 的离心率的取值范围是，1） ， 故选：A 29已知圆 O1： （x2） 2+y2=16 和圆 O 2：x 2+y2=r2（0r2） ，动圆 M 与圆 O 1、圆 O2都相切， 动圆圆心 M 的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为 e1、e2（e1e2） ，则 e1+2e2的最 小值是（ ） A B C D 解 答： 解：当动圆 M 与圆 O1、O2都相内切时，|MO2|+|MO1|=4r=2a， e1= 当动圆 M 与圆 O1相内切而与 O2相外切时，|MO1|+|MO2|=4+r=2a， e2= e1+2e2=+=， 令 12r=t（10t12） ， e1+2e2=22= 故选：A
