1、 1 圆锥曲线上的动点与不动点一道习题的挖掘、延伸与类比发散圆锥曲线上的动点与不动点一道习题的挖掘、延伸与类比发散 一、引例一、引例. 如图，点 2 3 , 1P为椭圆1 34 22 yx 上一 点，点C，D为x轴上的两个点，PCD是以P为 顶点的等腰三角形，直线PC，PD交椭圆于点A， B，则直线AB的斜率是（ ） A. 2 3 B. 3 2 C. 2 D. 2 1 【解析】 ：【解析】 ： 思路一（设过思路一（设过 2 3 , 1P的直线） ：的直线） ：设直线PA： 2 3 1 xky，由PCD是以P为顶点的 等腰三角形知：PDCPCD，从而0 PBPA kk，所以直线PB: 2 3 1
2、 xky 由 1243 2 3 1 22 yx xky 消去y得：0312423434 2222 kkxkkxk， 则： 34 3124 2 2 k kk xx PA ，由1 P x得： 34 3124 2 2 k kk xA， 同理可得： 34 3124 2 2 k kk xB。 所以： 2 1 24 12 34 24 2 34 68 2 2 2 2 k k k k k xx xxk xx yy k BA BA BA BA AB 思路二（设直线思路二（设直线AB） ：） ：设直线AB：mkxy，由 1243 22 yx mkxy 消去y得： 0124834 222 mkmxxk，则 34 8
3、 2 k km xx BA ， 34 124 2 2 k m xx BA 。 由0 PBPA kk得：0 1 2 3 1 2 3 B B A A x y x y 032 2 3 2 mxxkmxkx BABA 2 所以：032484 2 mkmkk032212mkk，故 2 1 k。 思路二（小题小做，考虑特殊位置，点思路二（小题小做，考虑特殊位置，点C落在原点） ：落在原点） ：当点C落 在原点时，点B落在椭圆的右顶点，此时B与D重合，0 , 2B， 由椭圆的对称性易知： 2 3 , 1A，从而 2 1 AB k 思路三（小题小做，考虑特殊位置，当点思路三（小题小做，考虑特殊位置，当点C与点
4、与点D重合） ：重合） ： 当点C与D重合时，A与B重合，此时 2 3 , 1A，直线AB为椭圆的切线， 由椭圆的切线方程：1 34 00 yyxx ，代入点 2 3 , 1A得：切线 方程为：2 2 1 xy，故 2 1 AB k。 思路四 （改进思路三， 当点思路四 （改进思路三， 当点C与点与点D重合） ：重合） ： 当点C与D重合时， A处椭圆的切线，与P点处椭圆的切线，两直线斜率互为相反数，可求P处的切线，易求 为 2 1 ，从而 2 1 AB k。 变式变式 1：如图，过椭圆1 34 22 yx 上一点 4 53 , 2 1 P引 两条直线PA，PB交椭圆于点A，B，若0 PBPA
5、 kk， 则直线AB的斜率是 。 变式变式 2： 如图， 过椭圆1 18 7 8 22 yx 上点 2 3 , 1P引两条直线 PA，PB交椭圆于点A，B，若PA，PB的倾斜角互补， 则直线AB的斜率是 。 3 二、通过例题及变式，你有何发现？二、通过例题及变式，你有何发现？ 结论：结论：过椭圆1 2 2 2 2 b y a x 上任一点 00, y xP（不在x轴上）引两天斜率互为相反数（斜率 存在）的直线与椭圆交于A，B，则直线AB的斜率是 。 （并证明结论） 当 22 ba 时，可得圆中相应结论；当 22 bb时，可得双曲线中相应结论。 三、学以致用三、学以致用 例例 1. （1）如图，
6、点3 , 4P为圆25 22 yx上一点，点E， F为y轴上的两个点，PEF是以P为顶点的等腰三角形， 直线PE，PF交圆于点D，C，则直线CD的斜率是（ ） A. 2 3 B. 3 2 C. 2 D. 2 1 （2） 已知椭圆C：1 2 2 2 2 b y a x 0ba经过点 5 16 , 3P， 离心率为 5 3 ，过椭圆C的右焦点作斜率为k的直线l交椭圆于点A，B，记PA，PB的斜 率为 1 k， 2 k，则椭圆C的标准方程为 ，若0 21 kk，则k 。 （3）过抛物线xy2 2 上任一点P（不在x轴上）引两条斜率互为相反数的直线与抛物线 交于A，B，若 2 1 AB k，则点P的坐
7、标为 。 例例 2. 如图，过抛物线 2 xy 上一点 1 , 1P作两条直线PA，PB分别交抛物线于点A，B ，直线AB的斜率为2。 （）证明：直线PA的斜率与PB的斜率互为相反数； （）若直线PA的斜率为k2k，且ABP的内切圆 半径为526 ， （）求ABP的周长（用k表示） ； （）求直线AB的方程。 4 类比发散：类比发散： A，B为圆 222 Ryx上的两个点，弦AB过坐标原点O。若点P是圆上异于点A，B 的动点，且 PA k与 PB k都存在，则1 PBPA kk。 AB为圆 222 Ryx的弦，M是AB的中点，O为坐标原点，则1 ABOM kk； 类比圆的两个性质，椭圆有如下两
8、个性质：类比圆的两个性质，椭圆有如下两个性质： A，B为椭圆1 2 2 2 2 b y a x 0ba上的两个点，弦AB过坐标原点O。若点P是椭圆 上异于点A，B的动点，且 PA k与 PB k都存在，则 2 2 a b kk PBPA ； AB为椭圆1 2 2 2 2 b y a x 0ba的弦，M是AB的中点，M是AB的中点，则 2 2 a b kk ABOM ； 类比圆的两个性质，双曲线有如下两个性质：类比圆的两个性质，双曲线有如下两个性质： A，B为双曲线1 2 2 2 2 b y a x 0ba上的两个点，弦AB过坐标原点O。若点P是椭 圆上异于点A，B的动点，且 PA k与 PB
9、k都存在，则 2 2 a b kk PBPA ； 5 AB为双曲线1 2 2 2 2 b y a x 0ba的弦，M是AB的中点，M是AB的中点，则 2 2 a b kk ABOM ； 例例 3. （1）已知A，B分别是椭圆1 2 2 2 2 b y a x 0ba的两个顶点，M是双曲线上一 点， 若直线AM与BM的斜率之积 3 1 BMAM kk， 则该椭圆离心率的取值范围为 。 （2）已知直线l与椭圆C：1 2 2 2 2 b y a x 0ba交于A，B两点，M为线段AB的中 点，延长OM交椭圆于点P。 （）若直线l与直线OM的之积为 4 1 ，且椭圆的长轴长为4，求椭圆的方程； （）若四边形OAPB为平行四边形，求四边形OAPB的面积。
