1、 1 绝对值绝对值（提高提高） 撰稿：孙景艳 审稿：赵炜 【学习目标】【学习目标】 1掌握一个数的绝对值的求法和性质； 2进一步学习使用数轴，借助数轴理解绝对值的几何意义； 3会求一个数的绝对值，并会用绝对值比较两个负有理数的大小； 4. 理解并会熟练运用绝对值的非负性进行解题. 【要点梳理】【要点梳理】 要点一、要点一、绝对值绝对值 1.1.定义：定义：一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值，记作|a|. 要点诠释：要点诠释： （1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值 是 0即对于任何有理数 a 都有： （2）绝对值
2、的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远， 绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小 （3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的 2.2.性质性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或 0 要点二、要点二、有理数的大小有理数的大小比较比较 1.1.数轴法：数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小. 如：a 与 b 在数轴上的位置如 图所示，则 ab 2.2.法则比较法：法则比较法： 两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下： 两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 数为 0
3、 正数与 0：正数大于 0 负数与 0：负数小于 0 要点诠释：要点诠释： 利用绝对值比较两个负数的大小的步骤： （1）分别计算两数的绝对值； （2） 比较绝对值的大小： （3） 判定两数的大小 3. 作差法：作差法：设 a、b 为任意数，若 a-b0，则 ab；若 a-b0，则 ab；若 a-b0，ab；反之成 立 4. 求商法：求商法：设 a、b 为任意正数，若1 a b ，则ab；若1 a b ，则ab；若1 a b ，则ab；反 之也成立 若 a、b 为任意负数，则与上述结论相反 5. 倒数比较法：倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小. 【典型例题】【典型例题】 类型一、
4、绝对值类型一、绝对值的的概念概念 1计算： （1） 1 4 5 （2）|-4|+|3|+|0| （3）-|+(-8)| (0) |0(0) (0) aa aa aa 2 【答案与解析】运用绝对值意义先求出各个绝对值再计算结果. (1) 111 444 555 ， (2)|-4|+|3|+|0|4+3+07， (3)-|+(-8)|-(-8)-8 【总结升华】求一个数的绝对值有两种方法：一种是利用绝对值的几何意义求解，一种是利用绝对值 的代数意义求解，后种方法的具体做法为：首先判断这个数是正数、负数还是零再根据绝对值的代数意 义，确定去掉绝对值符号的结果是它本身，是它的相反数，还是零从而求出该数
5、的绝对值 2如果|x|6，|y|4，且 xy试求 x、y 的值 【思路点拨】6 和-6 的绝对值都等于 6，4 和-4 的绝对值都等于 4，所以要注意分类讨论 【答案与解析】因为|x|6，所以 x6 或 x-6； 因为|y|4，所以 y4 或 y-4； 由于 xy，故 x 只能是-6，因此 x-6，y4 【总结升华】已知绝对值求原数的方法：(1)利用概念；(2)利用数形结合法在数轴上表示出来无论 哪种方法但要注意若一个数的绝对值是正数，则此数有两个，且互为相反数.此外，此题 x-6，y4， 就是 x-6，y4 或 x-6，y-4. 举一反三：举一反三： 【变式变式 1 1】 (1)如果|x|6
6、，|y|4，且 xy，则 x、y 的值各是多少? 【答案】x6，y4 【变式变式 2 2】如果数轴上的点 A 到原点的距离是 6，则点 A 表示的数为 如果x21，那么x ； 如果x3，那么x的范围是 【答案】6 或-6；1 或 3；x3或x-3 【变式变式 3】已知| a |3，| b |4，若 a，b 同号，则| a +b |_；若 a，b 异号，则| a+b | _据此讨论| a+b |与| a | + | b |的大小关系 【答案】7，1；若 a，b 同号或至少有一个为零，则|a+b|=|a|+|b|；若 a，b 异号，则|a+b|a|+|b|， 由此可得：|a+b|a|+|b| .
7、类型二类型二、比大小、比大小 3 比较下列每组数的大小： (1)-(-5)与-|-5|；(2)-(+3)与 0；(3) 4 5 与 3 4 ；(4)与| 3.14| 【思路点拨】先化简符号，去掉绝对值号再分清是“正数与零、负数与零、正数与负数、两个正数还 是两个负数” ，然后比较 【答案与解析】 (1)化简得：-(-5)5，-|-5|-5 因为正数大于一切负数，所以-(-5)-|-5| (2)化简得：-(+3)-3因为负数小于零，所以-(+3)0 (3)化简得： 33 44 这是两个负数比较大小，因为 4416 5520 ， 3315 4420 ，且 3 1615 2020 所以 43 54
8、(4)化简得：-|-3.14|-3.14，这是两个负数比较大小，因为 |-|，|-3.14|3.14，而 3.14，所以-|-3.14| 【总结升华】在比较两个负数的大小时，可按下列步骤进行：先求两个负数的绝对值，再比较两个绝 对值的大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断 举一反三：举一反三： 【高清课堂：绝对值比大小【高清课堂：绝对值比大小 例（简单举例）例（简单举例） 】 【变式变式 1 1】比大小： （1） 0.3 3 1 （2） 9 1 10 1 【答案】； 【高清课堂：绝对值比大小【高清课堂：绝对值比大小 典型例题典型例题 2（最后两个）（最后两个） 】 【变式变
9、式 2 2】比大小： （1）1.38_1.384； （2） _3.14 【答案】； 【变式变式 3 3】若 m0，n0，且|m|n|，用“”把 m，-m，n，-n 连接起来 【答案】解法一： m0，n0， m 为正数，-m 为负数，n 为负数，-n 为正数 又 正数大于一切负数，且|m|n|， m-nn-m 解法二：因为 m0，n0 且|m|n|， 把 m，n，-m，-n 表示在数轴上，如图所示 数轴上的数右边的数总比左边的数大， m-nn-m 类型类型三、三、含有字母的绝对值的化简含有字母的绝对值的化简 4. 把下列各式去掉绝对值的符号 (1)|a-4|(a4)；(2)|5-b|(b5) 【
10、答案与解析】 (1) a4，a-40， |a-4|a-4 (2) b5， 5-b0， |5-b|-(5-b)b-5 【总结升华】由字母的取值范围来判断绝对值里面的符号情况，再根据绝对值的意义去掉绝对值的符 号. 举一反三：举一反三： 【变式变式 1 1】已知有理数 a，b，c 在数轴上对应的点的位置如图所示： 4 化简： 【答案】由图所示，可得 30ac ， ， 原式 【变式变式 2 2】求的最小值 【答案】 法一：当2x时，则23(2) (3)23215xxxxxxx 当时，则 23(2) (3)235xxxxxx 当时，则 23(2)(3)23215xxxxxxx 综上：当时，取得最小值为
11、：5. 法二：借助数轴分类讨论： ； ； . 的几何意义为对应的点到-2 对应点的距离与对应点到 3 对应点的距离和 由图明显看出时取最小值 所以，时，取最小值 5 类类型型四、绝对值非负性的应用四、绝对值非负性的应用 5. 已知 a、b 为有理数，且满足： 1 2 ，则 a=_，b=_ 【答案与解析】由，可得 【总结升华】 由于任何一个数的绝对值大于或等于 0， 要使这两个数的和为 0， 需要这两个数都为 0 几 个非负数的和为 0，则每一个数均为 0 举一反三：举一反三： 5 【变式变式 1 1】已知，则 x 的取值范围是_ 【答案】；提示：将看成整体，即，则，故， 【变式变式 2 2】已
12、知 b 为正整数，且 a、b 满足，求的值 【答案】 由题意得 所以， 2 b a 类型五、绝对值的实际应用类型五、绝对值的实际应用 6正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定，下面是 6 个足球的质量检测结果，用正数记 超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数检测结果(单位：克)：-25，+10，-20，+30，+15， -40裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢?请说明理由 【答案与解析】 因为+10+15-20-25+30-40，所以检测结果为 +10 的足球的质量好一些所以裁判员应该选第二个足球用于这场比赛 【总结升华】绝对值越小，越接近标准. 举一反三：举一反三： 【变式变式】一只可爱的小虫从点 O 出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬 行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程(单位：cm)依次记为：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10，在爬 行过程中，如果小虫每爬行 1cm 就奖励 2 粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻? 【答案】 ：小虫爬行的总路程为： |+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|5+3+10+8+6+12+1054(cm) 小虫得到的芝麻数为 542108(粒) 答：小虫一共可以得到 108 粒芝麻.
