1、数学 集合的概念与集合的基本运算 01 基础知识 自主回顾 02 学科素养 探究提升 03 高效演练 分层突破 一、知识梳理一、知识梳理 1集合与元素集合与元素 (1)集合元素的三个特征：集合元素的三个特征：_、_、_ (2)元素与集合元素与集合的关系是的关系是_或或_关系关系，用符号用符号_或或_表示表示 (3)集合的表示法：集合的表示法：_、_、_ 确定性确定性 互异性互异性 无序性无序性 属于属于 不属于不属于 列举法列举法 描述法描述法 图示法图示法 (4)常见数集的记法常见数集的记法 集合集合 自然数集自然数集 正正整数集整数集 整数集整数集 有理数集有理数集 实数集实数集 符号符号
2、 N N*(或或 N ) Z Q R 注意注意 N 为自然数集为自然数集(即非负整数集即非负整数集)，包含包含 0，而而 N*和和 N 的含义是一样的的含义是一样的，表示正表示正 整数集整数集，不包含不包含 0. 2集合间的基本关系集合间的基本关系 表示表示 关系关系 自然语言自然语言 符号语言符号语言 Venn 图图 子集子集 集合集合 A 中所有元素都在集合中所有元素都在集合 B 中中(即若即若 xA，则则 xB) _ 真子集真子集 集合集合 A 是集合是集合 B 的子集的子集，且且 集合集合 B 中至少有一个元素不中至少有一个元素不 在集合在集合 A 中中 _ 集合相等集合相等 集合集合
3、 A，B 中元素相同中元素相同 AB AB(或或 BA) AB(或或 BA) 3.集合的基本运算集合的基本运算 集合的并集集合的并集 集合的交集集合的交集 集合的补集集合的补集 图形语言图形语言 符号语言符号语言 AB _ AB _ UA _ x|xA 或或 xB x|xA 且且 xB x|xU 且且 x A 常用结论常用结论 三种集合运用的性质 三种集合运用的性质 (1)并集的性质：并集的性质：A A；AAA；ABBA；ABABA (2)交集的性质：交集的性质：A ；AAA；ABBA；ABAAB (3)补集的性质：补集的性质：A( UA)U；A( UA) ； U( UA)A； U(AB)(
4、UA)( UB)； U(AB)( UA)( UB) 二、教材衍化二、教材衍化 1若集合若集合 PxN|x 2 021，a2 2，则则 ( ) AaP BaP CaP Da P 解析：解析： 选选 D 因为因为 a2 2不是自然数不是自然数， 而集合而集合 P 是不大于是不大于 2 021的自然数构成的集合的自然数构成的集合， 所以所以 a P.故选故选 D 2设集合设集合 Ax|2x2，Z 为整数集为整数集，则集合则集合 AZ 中元素的个数是中元素的个数是 ( ) A3 B4 C5 D6 解析：解析：选选 CA 中包含的整数元素有中包含的整数元素有2，1，0，1，2，共共 5 个个，所以所以
5、AZ 中的元中的元 素个数为素个数为 5. 一、思考辨析一、思考辨析 判断正误判断正误(正确的正确的打打“”“” ，错误的打错误的打“”“”) (1)若集合若集合 Ax|yx2，By|yx2，C(x，y)|yx2，则则 A，B，C 表示同一个集表示同一个集 合合 ( ) (2)若若 a 在集合在集合 A 中中，则可用符号表示为则可用符号表示为 aA ( ) (3)若若 AB，则则 AB 且且 AB ( ) (4)N*NZ. ( ) (5)若若 ABAC，则则 BC ( ) 二、易错纠偏二、易错纠偏 常见误区常见误区 (1)忽视集合中元素的互异性致错； 忽视集合中元素的互异性致错； (2)集合运
6、算中端点取值致错集合运算中端点取值致错； (3)忘记空集的情况导致出错忘记空集的情况导致出错 1已知集合已知集合 U1，0，1，Ax|xm2，mU，则则 UA_ 解析：解析：因为因为 Ax|xm2，mU0，1，所以所以 UA1 答案：答案：1 2已知集合已知集合 Ax|(x1)(x3)0，Bx|2x4，则则 AB_，AB _，( RA)B_. 解析：解析：由已知得由已知得 Ax|1x3，Bx|2x4， 所以所以 ABx|2x3，ABx|1x2 答案：答案：(2，3) (1，4) (，1(2，) 3 已知集合已知集合Mx|xa0， Nx|ax10， 若若MNN， 则实数则实数a的值是的值是_ 解
7、析：解析：易得易得 Ma因为因为 MNN， 所以所以 NM， 所以所以 N 或或 NM， 所以所以 a0 或或 a 1. 答案：答案：0 或或 1 或或1 考点一考点一 集合的概念集合的概念(基础型基础型) 复习指导复习指导 1.了解集合的含义 了解集合的含义，体会元素与集合的体会元素与集合的“属于属于”关系关系 2能选择自然语言能选择自然语言、图形语言、集合语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法列举法或描述法)描述不同的具体问题描述不同的具体问题，感感 受集合语言的意义和作用受集合语言的意义和作用 核心素养：核心素养：数学抽象数学抽象 1设集合设集合 AxZ|x|2，By|yx21，xA，
8、则则 B 中的元素有中的元素有 ( ) A5 个个 B4 个个 C3 个个 D无数个无数个 解析：解析：选选 C依题意有依题意有 A2，1，0，1，2，代入代入 yx21 得到得到 B1，2，5， 故故 B 中有中有 3 个元素个元素 2设设 a，bR，集合集合1，ab，a 0，b a， ，b ，则则 ba ( ) A1 B1 C2 D2 解析：解析：选选 C因为因为1，ab，a 0，b a， ，b ，a0，所以所以 ab0，则则b a 1，所以所以 a 1，b1.所所以以 ba2. 3已知集合已知集合 AxN|1xlog2k，集合集合 A 中至少有中至少有 3 个元素个元素，则则 k 的取值
9、范围为的取值范围为 _ 解析：解析：因为集合因为集合 A 中至少有中至少有 3 个元素个元素，所以所以 log2k4，所以所以 k2416. 答案：答案：(16，) 4已知集合已知集合 Am2，2m2m，若若 3A，则则 m 的值为的值为_ 解析：解析：由题意得由题意得 m23 或或 2m2m3， 则则 m1 或或 m3 2. 当当 m1 时时，m23 且且 2m2m3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；根据集合中元素的互异性可知不满足题意； 当当 m3 2时 时，m21 2， ，而而 2m2m3，符合题意符合题意，故故 m3 2. 答案：答案：3 2 与集合中元素有关问题的求解策略与集合
10、中元素有关问题的求解策略 考点二考点二 集合间的基本关系集合间的基本关系(基础型基础型) 复习复习 指导指导 理解集合之间包含与相等的含义 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集能识别给定集合的子集了解全集与空集的了解全集与空集的 含义含义 核心素养：核心素养：数学抽象数学抽象 (1)已知集合已知集合 Ax|x23x20，xR，Bx|0x5，xN，则满足条件则满足条件 ACB 的集合的集合 C 的个数为的个数为 ( ) A1 B2 C3 D4 (2)已知集合已知集合 Ax|1x3， Bx|mx0 时时，因为因为 Ax|1x3 当当 BA 时时，在数轴上标出两集合在数轴上标出两集合，
11、如图如图， 所以所以 m1， m3， mm. 所以所以 00，Bx| 5x2 或或 x2 或或 x0 x| 5x 5 R.故选故选 B 2已知集合已知集合 Ax|x22x30，xN*，则集合则集合 A 的真子集的个数为的真子集的个数为 ( ) A7 B8 C15 D16 解析解析：选选 A法一：法一：Ax|1x3，xN*1，2，3，其真子集有：其真子集有： ，1，2， 3，1，2，1，3，2，3共共 7 个个 法二：法二：因为集合因为集合 A 中有中有 3 个元素个元素，所以其真子集的个所以其真子集的个数为数为 2317(个个) 3设集合设集合 Ax|1x2，Bx|xa，若若 ABA，则则 a
12、 的取值范围是的取值范围是 ( ) Aa|a2 Ba|a1 Ca|a1 Da|a2 解析：解析：选选 D由由 ABA，可得可得 AB，又又 Ax|1x2，Bx|xa，所以所以 a2.故故 选选 D 考点三考点三 集合的基本运算集合的基本运算(综合型综合型) 复习指导复习指导 1.理解两个集合的并集与交集的含义 理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集会求两个简单集合的并集与交集 2理解在给定集合中一个子理解在给定集合中一个子集的补集的含义集的补集的含义，会求给定子集的补集会求给定子集的补集 3能使用能使用 Venn 图表达集合的关系及运算图表达集合的关系及运算，体会直观图示
13、对理解抽象概念的作用体会直观图示对理解抽象概念的作用 核心素养：核心素养：数学运算数学运算 角度一角度一 集合的运算集合的运算 (1)(2019 高考全国卷高考全国卷)已知集合已知集合 U1，2，3，4，5，6，7，A2，3，4， 5，B2，3，6，7，则则 B UA ( ) A1，6 B1，7 C6，7 D1，6，7 (2)(2020 郑州市第一次质量预测郑州市第一次质量预测)设全集设全集 UR， 集合集合 Ax|3x1， Bx|x10， 则则 U(AB) ( ) Ax|x3 或或 x1 Bx|x1 或或 x3 Cx|x3 Dx|x3 【解析解析】 (1)依题意得依题意得 UA1，6，7，故
14、故 B UA6，7故选故选 C (2)因为因为 Bx|x1， Ax|3x3， 所以所以 U(AB)x|x 3故选故选 D 【答案答案】 (1)C (2)D 集合基本运集合基本运算的求解策略算的求解策略 角度二角度二 利用集合的运算求参数利用集合的运算求参数 (1)设集合设集合 Ax|1x2，Bx|xa，若若 AB ，则则 a 的取值范围是的取值范围是 ( ) A12 Ca1 Da1 (2)集合集合 A0，2，a，B1，a2，若若 AB0，1，2，4，16，则则 a 的值为的值为 ( ) A0 B1 C2 D4 【解析解析】 (1)因为因为 AB ，所以集合所以集合 A，B 有公共元素有公共元素
15、，作出数轴作出数轴，如图所示如图所示，易易 知知 a1. (2)根据并集的概念根据并集的概念，可知可知a，a24，16，故故 a4. 【答案答案】 (1)D (2)D 根据集合的运算结果求参数的值或取值范围的方法根据集合的运算结果求参数的值或取值范围的方法 (1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系若集合中的元素能一一列举将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系若集合中的元素能一一列举，则则 用观察法得到不同集合中元素之间的关系；若集合是与不等式有关的集合用观察法得到不同集合中元素之间的关系；若集合是与不等式有关的集合，则一则一般利般利 用数轴解决用数轴解决，要注意端点值能否取到要注意
16、端点值能否取到 (2)将集合之间的关系转化为解方程将集合之间的关系转化为解方程(组组)或不等式或不等式(组组)问题求解问题求解 (3)根据求解结果来确定参数的值或取值范围根据求解结果来确定参数的值或取值范围 1 (2019 高考天津卷高考天津卷)设集合设集合 A1， 1， 2， 3， 5， B2， 3， 4， CxR|1x3， 则则(AC)B ( ) A2 B2，3 C1，2，3 D1，2，3，4 解析：解析：选选 D通解：通解：因为因为 AC1，2，B2，3，4，所以所以(AC)B1，2，3， 4故选故选 D 优解：优解：因为因为 B2，3，4，所以所以(AC)B 中一定含有中一定含有 2，
17、3，4 三个元素三个元素，故排除故排除 A， B，C，选选 D 2(2020 宁夏石嘴山三中一模宁夏石嘴山三中一模)已知集合已知集合 A1，0，1，2，Bx|x210，则右则右 图中阴影部分所表示的集合为图中阴影部分所表示的集合为 ( ) A1 B0 C1，0 D1，0，1 解析：解析：选选 B阴影部分对应的集合为阴影部分对应的集合为 A RB，Bx|x210 x|x1 或或 x1， 则则 RBx|1x1，则则 A RB0，故选故选 B 3已知集合已知集合 Ax|x24，Bm若若 ABA，则则 m 的取值范围是的取值范围是 ( ) A(，2) B2，) C2，2 D(，22，) 解析：解析：选
18、选 D因为因为 ABA，所以所以 BA，即即 mA，得得 m24，解得解得 m2 或或 m 2. 考点四考点四 集合的新定义问题集合的新定义问题(创新型创新型) 复习指导复习指导 以集合为背景的新定义问题常以 以集合为背景的新定义问题常以“问题问题”为核心为核心，以以“探究探究”为途径为途径，以以 “发现发现”为目的为目的，这类试题只是以集合为依这类试题只是以集合为依托托，考查考生对新概念的理解考查考生对新概念的理解，充分体现充分体现 了核心素养中的数学抽象了核心素养中的数学抽象 核心素养：核心素养：数学抽象数学抽象 定义集合的商集运算为定义集合的商集运算为A B x|xm n ，mA，nB已
19、已知集合知集合 A2，4，6， Bx|xk 2 1，kA，则集合则集合B A B 中的元素个数为中的元素个数为 ( ) A6 B7 C8 D9 【解析】【解析】 由题意知由题意知，B0，1，2，B A 0，1 2， ，1 4， ，1 6， ，1，1 3， ，则则B A B0，1 2， ，1 4， ， 1 6， ，1，1 3， ，2，共有共有 7 个元素个元素，故选故选 B 【答案答案】 B 解决集合新定义问题的方法解决集合新定义问题的方法 (1)要分析新定义的特点和本质要分析新定义的特点和本质，认清新定义对集合元素的要求认清新定义对集合元素的要求，结合题目要求进行转结合题目要求进行转 化化，并
20、将其运用到具体的解题过程中并将其运用到具体的解题过程中 (2)要充分应用集合的有关性质及一些特殊方法要充分应用集合的有关性质及一些特殊方法(如特值法、排除法、数形结合法等如特值法、排除法、数形结合法等)， 将新定义问题转化到已学的知识中进行求解将新定义问题转化到已学的知识中进行求解 1如果集合如果集合 A 满足若满足若 xA，则则xA，那么就称集合那么就称集合 A 为为“对称集合对称集合”已知集合已知集合 A2x，0，x2x，且且 A 是对称集合是对称集合，集合集合 B 是自然数集是自然数集，则则 AB_ 解析：解析：由题意可知由题意可知2xx2x， 所以所以 x0 或或 x3. 而当而当 x0 时不符合元素的互异性时不符合元素的互异性，所以舍去所以舍去 当当 x3 时时，A6，0，6， 所以所以 AB0，6 答案：答案：0，6 2 设设 A， B 是非空集合是非空集合， 定义定义 A Bx|xAB 且且 x AB 已知集合已知集合 Ax|0x2， By|y0，则则 A B_ 解析：解析：由已知由已知 Ax|0x2，By|y0， 又由新定义又由新定义 A Bx|xAB 且且 x AB， 结合数轴得结合数轴得 A B02，) 答案：答案：02，) 本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放
