1、目目 录录 基础基础在批注中理解透在批注中理解透 单纯识记无意义，深刻理解提能力单纯识记无意义，深刻理解提能力 考点考点在细解中明规律在细解中明规律 题目千变总有根，梳干理枝究其本题目千变总有根，梳干理枝究其本 课时跟踪检测课时跟踪检测 5.2.2同角三角函数的基本关系 &5.3诱导公式 基础基础在批注中理解透 单纯识记无意义，深刻理解提能力单纯识记无意义，深刻理解提能力 1同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：平方关系：sin2cos21 ； ；(2)商数关系：商数关系：tan sin cos . 作用：实现同角的正弦值与余弦值作用：实现同角的正弦值与余弦值 之间的转
2、化，利用该公式求值，要之间的转化，利用该公式求值，要 注意确定角的终边所在的象限，从注意确定角的终边所在的象限，从 而判断三角函数值的符号而判断三角函数值的符号 作用：切化弦，作用：切化弦， 弦切互化弦切互化 2三角函数的诱导公式三角函数的诱导公式 公式公式 一一 二二 三三 四四 五五 六六 角角 2k(kZ) 2 2 正弦正弦 sin sin sin sin cos cos 余弦余弦 cos cos cos cos sin sin 正切正切 tan tan tan tan 口诀口诀 函数名不变，符号看象限函数名不变，符号看象限 函数名改函数名改 变，符号看变，符号看 象限象限 熟记常用结论
3、熟记常用结论 同角三角函数的基本关系式的几种变形同角三角函数的基本关系式的几种变形 (1)sin21cos2(1cos )(1cos )； cos21sin2(1sin )(1sin )； (sin cos )21 2sin cos . (2)sin tan cos 2 k，kZ . (3)sin2 sin2 sin2cos2 tan2 tan21； ； cos2 cos2 sin2cos2 1 tan21. 2诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象 限限“奇奇”“”“偶偶”指的是指的是“k 2 (kZ Z)”中的中的 k 是奇数还是奇数还 是偶数是偶数“
4、变变”与与“不变不变”是指函数的名称的变化，若是指函数的名称的变化，若 k 是奇数， 则正、 余弦互变； 若是奇数， 则正、 余弦互变； 若 k 为偶数， 则函数名称不变为偶数， 则函数名称不变 “符符 号看象限号看象限”指的是在指的是在“k 2 (kZ Z)”中， 将中， 将看成锐角时，看成锐角时， “k 2 (kZ Z)”的终边所在的象限的终边所在的象限 小题查验基础小题查验基础 一、判断题一、判断题(对的打对的打“”，错的打，错的打“”“”) (1)若若，为锐角，则为锐角，则sin2cos21. ( ) (2)sin2()cos2()1. ( ) (3)若若R，则，则tan sin co
5、s 恒成立 恒成立 ( ) (4)sin()sin 成立的条件是成立的条件是为锐角为锐角 ( ) (5)若若sin(k)1 3(k Z)，则，则sin 1 3. ( ) 二、选填题二、选填题 1已知已知sin 5 5 ， 2， ， ，则，则tan ( ) A2 B2 C.1 2 D1 2 解析：解析：因为因为 2 ，所以，所以cos 1sin2 1 5 5 2 2 5 5 ，所以，所以tan sin cos 1 2. D 2已知已知sin 5 2 1 5，那么 ，那么cos ( ) A2 5 B1 5 C.1 5 D.2 5 解析：解析：sin 5 2 sin 2 cos ， cos 1 5.
6、 C 3sin 210 cos 120 的值为的值为 ( ) A.1 4 B 3 4 C3 2 D. 3 4 解析：解析：sin 210 cos 120 sin 30 (cos 60 ) 1 2 1 2 1 4. A 4若若sin cos 1 2，则 ，则tan cos sin _. 解析：解析：tan cos sin sin cos cos sin 1 cos sin 2. 2 5化简化简 cos 2 sin 9 2 sin()cos(2)的结果为的结果为_ 解析：解析：原式原式sin cos ( sin ) cos sin2. sin2 考点考点在细解中明规律 题目千变总有根，梳干理枝究其
7、本题目千变总有根，梳干理枝究其本 考点一考点一 同角三角函数基本关系式的应用同角三角函数基本关系式的应用全析考法过关全析考法过关 考法全析考法全析 考法考法(一一) 公式的直接应用公式的直接应用 例例1 (1)已知已知cos k，kR， 2， ， ，则，则sin ( ) A 1k2 B. 1k2 C 1k2 D. 1k2 解析解析 由由cos k，kR， 2， ， ，可知可知k0，设设 角角终边上一点终边上一点P(k，y)(y0)，|OP|1，所以所以 k2y21，得得 y 1k2，由三角函数定义可知由三角函数定义可知sin 1k2. B (2)sin21 sin22 sin289 _. 解析
8、解析 因为因为sin 1 cos 89 ，所以所以sin21 sin289 cos289 sin289 1，同理同理sin22 sin288 1，sin244 sin246 1，而而sin245 1 2， ，故原式故原式441 2 441 2. 441 2 考法考法(二二) sin ，cos 的齐次式问题的齐次式问题 例例2 已知已知 tan tan 1 1，求下列各式的值：，求下列各式的值： (1)sin 3cos sin cos ； (2)sin2sin cos 2. 解解 由已知得由已知得tan 1 2. (1)sin 3cos sin cos tan 3 tan 1 5 3. (2)s
9、in2sin cos 2 sin2sin cos sin2cos2 2 tan2tan tan21 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 213 5 . 考法考法(三三) “sin cos ，sin cos ”之间的关系的应用之间的关系的应用 例例3 已知已知x(，0)，sin xcos x1 5. (1)求求sin xcos x的值；的值； 解解 由由sin xcos x1 5， ， 平方得平方得sin2x2sin xcos xcos2x 1 25， ， 整理得整理得2sin xcos x24 25. (sin xcos x)212sin xcos x49 25. 由由x(，0)，知知si
10、n x0，又又sin xcos x0， cos x0，则则sin xcos x0，故故sin xcos x7 5. (2)求求sin 2x 2sin2x 1tan x 的值的值 解解 sin 2x2sin2x 1tan x 2sin x cos x sin x 1sin x cos x 2sin xcos x cos x sin x cos xsin x 24 25 1 5 7 5 24 175. 规律探求规律探求 看看 个个 性性 考法考法(一一)是公式的直接应用，即已知是公式的直接应用，即已知sin ，cos ，tan 中的一个求另外两个的值解决此类问题时，直接套用中的一个求另外两个的值解
11、决此类问题时，直接套用 公式公式sin2cos21及及tan sin cos 即可，但要注意即可，但要注意的的 范围，即三角函数值的符号范围，即三角函数值的符号 考法考法(二二)的分式中分子与分母是关于的分式中分子与分母是关于sin ，cos 的齐次的齐次 式，往往转化为关于式，往往转化为关于tan 的式子求解的式子求解. 考法考法(三三)是考查是考查sin cos 与与sin cos 的关系对于的关系对于sin cos ，sin cos ，sin cos 这三个式子，利用这三个式子，利用 (sin cos )21 2sin cos ，可以知一求二，可以知一求二 找找 共共 性性 (1)利用利
12、用sin2cos21可实现正弦、余弦的互化，开可实现正弦、余弦的互化，开 方时要根据角方时要根据角所在象限确定符号；利用所在象限确定符号；利用 sin cos tan 可以实现角可以实现角的弦切互化；利用的弦切互化；利用(sin cos )21 2sin cos 的关系可实现和积转化的关系可实现和积转化 (2)注意方程思想与转化思想的应用注意方程思想与转化思想的应用 过关训练过关训练 1若角若角的终边落在第三象限，则的终边落在第三象限，则 cos 1sin2 2sin 1cos2 的的 值为值为 ( ) A3 B3 C1 D1 解析：解析：由角由角的终边落在第三象限得的终边落在第三象限得sin
13、 0，cos 0， 故原式故原式 cos |cos | 2sin |sin | cos cos 2sin sin 123. B 2(2019 合肥模拟合肥模拟)已知已知sin xcos x 31 2 ，x(0，)，则，则 tan x ( ) A 3 3 B. 3 3 C. 3 D 3 解析：解析：sin xcos x 31 2 ，且，且x(0，)，12sin xcos x1 3 2 ，2sin xcos x 3 2 0，x为钝角，为钝角，sin x cos x sin xcos x 21 3 2 ，结合已知解得，结合已知解得sin x 3 2 ， cos x1 2，则 ，则tan xsin x
14、 cos x 3. D 3若若3sin cos 0，则，则 1 cos22sin cos 的值为 的值为_ 解析：解析：3sin cos 0cos 0tan 1 3， ， 1 cos22sin cos cos2sin2 cos22sin cos 1tan2 12tan 1 1 3 2 12 3 10 3 . 10 3 考点二考点二 诱导公式的应用诱导公式的应用师生共研过关师生共研过关 典例精析典例精析 (1)设设f() 2sin cos cos 1sin2cos 3 2 sin2 2 (12sin 0)，则，则f 23 6 _. 解析解析 因为因为f() 2sin cos cos 1sin2s
15、in cos2 2sin cos cos 2sin2sin cos 1 2sin sin 12sin 1 tan ，所以 ，所以f 23 6 1 tan 23 6 1 tan 4 6 1 tan 6 3. 3 (2)已知已知cos 6 a，则，则cos 5 6 sin 2 3 的值是的值是 _ 解析解析 因为因为cos 5 6 cos 6 cos 6 a，sin 2 3 sin 2 6 cos 6 a，所以，所以 cos 5 6 sin 2 3 0. 0 解题技法解题技法 1利用诱导公式解题的一般思路利用诱导公式解题的一般思路 2常见的互余和互补的角常见的互余和互补的角 互余互余的角的角 3
16、与与 6 ； 3 与与 6 ； 4 与与 4 等等 互补互补的角的角 3 与与2 3 ； 4 与与3 4 等等 (1)化绝对值大的角为锐角化绝对值大的角为锐角 (2)角中含有加减角中含有加减 2的整数倍时，用公式去掉 的整数倍时，用公式去掉 2的整数倍 的整数倍 过关训练过关训练 1sin(1 200 ) cos 1 290 cos(1 020 ) sin(1 050 ) tan 945 _. 解析：解析：原式原式sin(3360 120 )cos(3360 180 30 ) cos(3360 60 )sin(3360 30 )tan(2360 180 45 )sin 120 cos 30 c
17、os 60 sin 30 tan 45 3 4 1 4 12. 2 2已知已知sin 是方程是方程5x27x60的根，的根，是第三象限角，则是第三象限角，则 sin 3 2 cos 3 2 cos 2 sin 2 tan2()_. 解析：解析：因为方程因为方程5x27x60的根为的根为x12，x2 3 5 ，由，由 题意知题意知sin 3 5，故 ，故cos 4 5， ，tan 3 4，所以原式 ，所以原式 cos sin tan2 sin cos tan2 9 16. 9 16 3(2018 大连二模大连二模)已知已知sin 3 1 3，则 ，则cos 5 6 ( ) A.1 3 B1 3
18、C.2 2 2 D 2 3 解析：解析：由题意知，由题意知，cos 5 6 cos 2 3 sin 3 1 3.故选 故选B. B 考点三考点三 诱导公式与同角关系的综合应用诱导公式与同角关系的综合应用师生共研过关师生共研过关 典例精析典例精析 已知已知f(x)cos 2 n x sin2 nx cos2 2n1 x (nZ) (1)化简化简f(x)的表达式；的表达式； (2)求求f 2 018 f 504 1 009 的值的值 解：解：(1)当当n为偶数，即为偶数，即n2k(kZ)时，时， f(x)cos 2 2k x sin2 2kx cos2 22k1 x cos 2x sin2 x c
19、os2 x cos 2x sin x 2 cos x 2 sin2x； 当当n为奇数，即为奇数，即n2k1(kZ)时，时， f(x)cos 2 2k 1 x sin2 2k1 x cos22 2k1 1x cos 22k x sin22k x cos22 2k1 x cos 2 x sin2 x cos2 x cos x 2sin2x cos x 2 sin2x， 综上得综上得f(x)sin2x. (2)由由(1)得得f 2 018 f 504 1 009 sin2 2 018 sin21 008 2 018 sin2 2 018 sin2 2 2 018 sin2 2 018 cos2 2
20、018 1. 解题技法解题技法 求解诱导公式与同角关系综合问题的基本思路和化简要求求解诱导公式与同角关系综合问题的基本思路和化简要求 化简化简 要求要求 基本基本 思路思路 化简过程是恒等变换；化简过程是恒等变换； 结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结 构尽可能简单，能求值的要求出值构尽可能简单，能求值的要求出值 分析结构特点，选择恰当公式；分析结构特点，选择恰当公式； 利用公式化成单角三角函数；利用公式化成单角三角函数； 整理得最简形式整理得最简形式 过关训练过关训练 1已知已知为锐角，且为锐角，且2tan()3cos 2 50，tan() 6sin(
21、)10，则，则sin 的值是的值是 ( ) A.3 5 5 B.3 7 7 C.3 10 10 D.1 3 解析解析：由已知可得由已知可得2tan 3sin 50. tan 6sin 10，解得，解得tan 3， 又又为锐角，故为锐角，故sin 3 10 10 . C 2已知已知tan()2 3，且 ，且 ， 2 ，则，则 cos 3sin cos 9sin _. 解析：解析：由由tan()2 3，得 ，得tan 2 3， ， 则则 cos 3sin cos 9sin cos 3sin cos 9sin 13tan 19tan 12 16 1 5. 1 5 3已知已知sin cos 1 5 ，且，且 2 ，则，则 1 sin 1 cos 的值为 的值为_ 解析：解析：由由sin cos 1 5平方得 平方得sin cos 12 25， ， 2 ， sin cos sin cos 24sin cos 7 5， ， 1 sin 1 cos 1 sin 1 cos cos sin sin cos 7 5 12 25 35 12. 35 12
