1、. 回扣回扣 9 复数、算法、推理与证明复数、算法、推理与证明 1复数的相关概念及运算法则 (1)复数 zabi(a，bR)的分类 z 是实数?b0. z 是虚数?b0. z 是纯虚数?a0 且 b0. (2)共轭复数 复数 zabi 的共轭复数 z abi. (3)复数的模： 复数 zabi 的模|z| a2b2. (4)复数相等的充要条件 abicdi?ac 且 bd(a，b，c，dR) 特别地，abi0?a0 且 b0(a，bR) (5)复数的运算法则 加减法：(abi) (cdi)(a c)(b d)i； 乘法：(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i； 除法：(abi) (cd
2、i)acbd c2d2 bcad c2d2 i； 其中 a，b，c，dR. 2复数的几个常见结论 (1)(1 i)2 2i； (2)1i 1ii， 1i 1ii； (3)i4n1，i4n 1i，i4n21，i4n3i，i4ni4n1i4n2i4n30(nZ)； (4)1 2 3 2 i，且 01，2 ，31,120. 3程序框图的三种基本逻辑结构 (1)顺序结构：如图(1)所示 (2)条件结构：如图(2)和图(3)所示 (3)循环结构：如图(4)和图(5)所示 . 程序框图由程序框和流程线组成，一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤；流程线 带有方向箭头，按照算法进行的顺序将程序框连接起来
3、程序框图的基本逻辑结构包括顺序 结构、条件结构和循环结构三种 5推理 推理分为合情推理与演绎推理，合情推理包括归纳推理和类比推理；演绎推理的一般模式是 三段论 合情推理的思维过程 (1)归纳推理的思维过程： 实验、观察 概括、推广 猜测一般性结论 (2)类比推理的思维过程： 实验、观察 联想、类推 猜测新的结论 6证明方法 (1)分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知 推理模式： 框图表示： Q?P1 P1?P2 P2?P3? 得到一个明显成立的条件 (2)综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知 推理模式： 框图表示：P?Q1 Q1?Q2 Q2?Q3? Qn?Q (其中 P 表示已知条件、
4、 已有的定义、 公理、定理等，Q 表示要证明的结论) (3)反证法 在假定命题结论成立的前提下，经过推理，若推出的结果与定义、公理、定理矛盾，或与命 题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此判定 命题结论成立的方法叫反证法 . 1复数 z 为纯虚数的充要条件是 a0 且 b0(zabi，a，bR)还要注意巧妙运用参数 问题和合理消参的技巧 2复数的运算与多项式运算类似，要注意利用 i21 化简合并同类项 3在解决含有循环结构的框图时，要弄清停止循环的条件注意理解循环条件中“”与 “”的区别 4解决程序框图问题时，要注意流程线的指向与其上文字“是”“否”的对应
5、 5类比推理易盲目机械类比，不要被表面的假象(某一点表面相似)迷惑，应从本质上类比 6在循环结构中，易错误判定循环体结束的条件，导致错求输出的结果 1复数 z 1i 12i的虚部为( ) A1 5 B.1 5 C3 5 D.3 5 答案 D 解析 z 1i 12i ?1i?12i? ?12i?12i? 1 5 3 5i，所以其虚部为 3 5. 2复数 z 满足 z(2i)17i，则复数 z 的共轭复数为( ) A13i B13i C13i D13i 答案 A 解析 z(2i)17i， z17i 2i ?17i?2i? ?2i?2i? 515i 5 13i，共轭复数为13i. 3(2016 课标
6、全国甲)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该 算法的程序框图，执行该程序框图，若输入的 x2，n2，依次输入的 a 为 2,2,5，则输出的 S 等于( ) A7 B12 C17 D34 答案 C 解析 由框图可知，输入 x2，n2，a2，S2，k1，不满足条件；a 2，S426，k2，不满足条件；a5，S12517，k3，满足条件， 输出 S17，故选 C. . 4已知 x(0，)，观察下列各式：x1 x2，x 4 x2 x 2 x 2 4 x23，x 27 x3 x 3 x 3 x 3 27 x3 4，?， 类比有 x a xnn1 (nN *)，则 a 等于( ) An B2
7、n Cn2 Dnn 答案 D 解析 第一个式子是 n1 的情况，此时 a1，第二个式子是 n2 的情况，此时 a4，第三 个式子是 n3 的情况，此时 a33，归纳可以知道 ann. 5“四边形 ABCD 是矩形，四边形 ABCD 的对角线相等”，补充以上推理的大前提是 ( ) A正方形都是对角线相等的四边形 B矩形都是对角线相等的四边形 C等腰梯形都是对角线相等的四边形 D矩形都是对边平行且相等的四边形 答案 B 解析 用三段论形式推导一个结论成立，大前提应该是结论成立的依据，由四边形 ABCD 为矩形，得到四边形 ABCD 的对角线相等的结论，大前提一定是矩形的对角线相等 6用反证法证明命
8、题：“已知 a，bN*，如果 ab 可被 5 整除，那么 a，b 中至少有一个能 被 5 整除”时，假设的内容应为( ) Aa，b 都被 5 整除 Ba，b 都不能被 5 整除 Ca，b 不能被 5 整除 Da 不能被 5 整除 答案 B 解析 由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进 行推证命题“a，bN*，如果 ab 可被 5 整除，那么 a，b 至少有 1 个能被 5 整除”的否定 是“a，b 都不能被 5 整除” 7. 以下是解决数学问题的思维过程的流程图： 在此流程图中，两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是( ) A综合法，分析法 B分
9、析法，综合法 C综合法，反证法 D分析法，反证法 答案 A 解析 根据已知可得该结构图为证明方法的结构图： 由已知到可知，进而得到结论的应为综合法，由未知到需知，进而找到与已知的关系为分 . 析法，故两条流程线与“推理与证明”中的思维方法为：综合法，分析法 8执行如图所示的程序框图，若输出的是 n6，则输入整数 p 的最小值为( ) A15 B16 C31 D32 答案 B 解析 列表分析如下 是否继续循环 S n 循环前 0 1 第一圈 是 1 2 第二圈 是 3 3 第三圈 是 7 4 第四圈 是 15 5 第五圈 是 31 6 第六圈 否 故当 S 值不大于 15 时继续循环，大于 15
10、 但不大于 31 时退出循环，故 p 的最小正整数值为 16. 9在平面上，如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标 边长，由勾股定理有：c2a2b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从 正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥 OLMN，如果用 S1，S2，S3表示三个侧面面积， S4表示截面面积，那么类比得到的结论是_ 答案 S21S22S23S24 解析 将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得 S21 S22S23S24. . 10若 P0(x0，y0)在椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)外，过 P0作椭圆的
11、两条切线的切点为 P1，P2，则切 点弦 P1P2所在的直线方程是x0x a2 y0y b2 1，那么对于双曲线则有如下命题：若 P0(x0，y0)在双 曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)外，过 P0作双曲线的两条切线，切点为 P1，P2，则切点弦 P1P2 所 在直线的方程是_ 答案 x0x a2 y0y b2 1 解析 设 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 则 P1，P2的切线方程分别是 x1x a2 y1y b2 1，x2x a2 y2y b2 1. 因为 P0(x0，y0)在这两条切线上， 故有x1x0 a2 y1y0 b2 1， x2x0 a2 y2y0 b2 1，
12、 这说明 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线x0x a2 y0y b2 1 上， 故切点弦 P1P2所在的直线方程是x0x a2 y0y b2 1. 11已知函数 f(x) a ax a(a0，且 a1) (1)证明：函数 yf(x)的图象关于点(1 2， 1 2)对称； (2)求 f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)的值 (1)证明 函数 f(x)的定义域为全体实数， 任取一点(x，y)， 它关于点(1 2， 1 2)对称的点的坐标为(1x，1y) 由已知 y a ax a， 则1y1 a ax a ax ax a， f(1x) a a1 x a a a ax a a
13、ax a a ax ax ax a， . 1yf(1x)， 即函数 yf(x)的图象关于点(1 2， 1 2)对称 (2)解 由(1)知1f(x)f(1x)， 即 f(x)f(1x)1. f(2)f(3)1，f(1)f(2)1， f(0)f(1)1. 则 f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)3. 12如图，在三棱锥 PABC 中，平面 PAC平面 ABC，PAAC，ABBC.设 D，E 分别为 PA，AC 的中点 (1)求证：DE平面 PBC； (2)求证：BC平面 PAB； (3)试问在线段 AB 上是否存在点 F，使得过三点 D，E，F 的平面内的任一条直线都与平面 PBC 平
14、行？若存在，指出点 F 的位置并证明；若不存在，请说明理由 (1)证明 因为点 E 是 AC 的中点，点 D 为 PA 的中点，所以 DEPC. 又因为 DE?平面 PBC，PC?平面 PBC， 所以 DE平面 PBC. (2)证明 因为平面 PAC平面 ABC， 平面 PAC平面 ABCAC. 又 PA?平面 PAC，PAAC， 所以 PA平面 ABC. 所以 PABC. 又因为 ABBC，且 PAABA， 所以 BC平面 PAB. (3)解 当点 F 是线段 AB 的中点时，过点 D，E，F 的平面内的任一条直线都与平面 PBC 平 行 如图，取 AB 中点 F，连接 EF，DF. 由(1)可知 DE平面 PBC. 因为点 E 是 AC 的中点， . 点 F 为 AB 的中点， 所以 EFBC. 又因为 EF?平面 PBC， BC?平面 PBC， 所以 EF平面 PBC. 又因为 DEEFE， 所以平面 DEF平面 PBC， 所以平面 DEF 内的任一条直线都与平面 PBC 平行 故当点 F 是线段 AB 的中点时，过点 D，E，F 的平面内的任一条直线都与平面 PBC 平行
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