1、. 回扣回扣 9 复数、算法、推理与证明复数、算法、推理与证明 1复数的相关概念及运算法则 (1)复数 zabi(a,bR)的分类 z 是实数?b0. z 是虚数?b0. z 是纯虚数?a0 且 b0. (2)共轭复数 复数 zabi 的共轭复数 z abi. (3)复数的模: 复数 zabi 的模|z| a2b2. (4)复数相等的充要条件 abicdi?ac 且 bd(a,b,c,dR) 特别地,abi0?a0 且 b0(a,bR) (5)复数的运算法则 加减法:(abi) (cdi)(a c)(b d)i; 乘法:(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i; 除法:(abi) (cd
2、i)acbd c2d2 bcad c2d2 i; 其中 a,b,c,dR. 2复数的几个常见结论 (1)(1 i)2 2i; (2)1i 1ii, 1i 1ii; (3)i4n1,i4n 1i,i4n21,i4n3i,i4ni4n1i4n2i4n30(nZ); (4)1 2 3 2 i,且 01,2 ,31,120. 3程序框图的三种基本逻辑结构 (1)顺序结构:如图(1)所示 (2)条件结构:如图(2)和图(3)所示 (3)循环结构:如图(4)和图(5)所示 . 程序框图由程序框和流程线组成,一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤;流程线 带有方向箭头,按照算法进行的顺序将程序框连接起来
3、程序框图的基本逻辑结构包括顺序 结构、条件结构和循环结构三种 5推理 推理分为合情推理与演绎推理,合情推理包括归纳推理和类比推理;演绎推理的一般模式是 三段论 合情推理的思维过程 (1)归纳推理的思维过程: 实验、观察 概括、推广 猜测一般性结论 (2)类比推理的思维过程: 实验、观察 联想、类推 猜测新的结论 6证明方法 (1)分析法的特点:从未知看需知,逐步靠拢已知 推理模式: 框图表示: Q?P1 P1?P2 P2?P3? 得到一个明显成立的条件 (2)综合法的特点:从已知看可知,逐步推出未知 推理模式: 框图表示:P?Q1 Q1?Q2 Q2?Q3? Qn?Q (其中 P 表示已知条件、
4、 已有的定义、 公理、定理等,Q 表示要证明的结论) (3)反证法 在假定命题结论成立的前提下,经过推理,若推出的结果与定义、公理、定理矛盾,或与命 题中的已知条件相矛盾,或与假定相矛盾,从而说明命题结论的反面不可能成立,由此判定 命题结论成立的方法叫反证法 . 1复数 z 为纯虚数的充要条件是 a0 且 b0(zabi,a,bR)还要注意巧妙运用参数 问题和合理消参的技巧 2复数的运算与多项式运算类似,要注意利用 i21 化简合并同类项 3在解决含有循环结构的框图时,要弄清停止循环的条件注意理解循环条件中“”与 “”的区别 4解决程序框图问题时,要注意流程线的指向与其上文字“是”“否”的对应
5、 5类比推理易盲目机械类比,不要被表面的假象(某一点表面相似)迷惑,应从本质上类比 6在循环结构中,易错误判定循环体结束的条件,导致错求输出的结果 1复数 z 1i 12i的虚部为( ) A1 5 B.1 5 C3 5 D.3 5 答案 D 解析 z 1i 12i ?1i?12i? ?12i?12i? 1 5 3 5i,所以其虚部为 3 5. 2复数 z 满足 z(2i)17i,则复数 z 的共轭复数为( ) A13i B13i C13i D13i 答案 A 解析 z(2i)17i, z17i 2i ?17i?2i? ?2i?2i? 515i 5 13i,共轭复数为13i. 3(2016 课标
6、全国甲)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,如图是实现该 算法的程序框图,执行该程序框图,若输入的 x2,n2,依次输入的 a 为 2,2,5,则输出的 S 等于( ) A7 B12 C17 D34 答案 C 解析 由框图可知,输入 x2,n2,a2,S2,k1,不满足条件;a 2,S426,k2,不满足条件;a5,S12517,k3,满足条件, 输出 S17,故选 C. . 4已知 x(0,),观察下列各式:x1 x2,x 4 x2 x 2 x 2 4 x23,x 27 x3 x 3 x 3 x 3 27 x3 4,?, 类比有 x a xnn1 (nN *),则 a 等于( ) An B2
7、n Cn2 Dnn 答案 D 解析 第一个式子是 n1 的情况,此时 a1,第二个式子是 n2 的情况,此时 a4,第三 个式子是 n3 的情况,此时 a33,归纳可以知道 ann. 5“四边形 ABCD 是矩形,四边形 ABCD 的对角线相等”,补充以上推理的大前提是 ( ) A正方形都是对角线相等的四边形 B矩形都是对角线相等的四边形 C等腰梯形都是对角线相等的四边形 D矩形都是对边平行且相等的四边形 答案 B 解析 用三段论形式推导一个结论成立,大前提应该是结论成立的依据,由四边形 ABCD 为矩形,得到四边形 ABCD 的对角线相等的结论,大前提一定是矩形的对角线相等 6用反证法证明命
8、题:“已知 a,bN*,如果 ab 可被 5 整除,那么 a,b 中至少有一个能 被 5 整除”时,假设的内容应为( ) Aa,b 都被 5 整除 Ba,b 都不能被 5 整除 Ca,b 不能被 5 整除 Da 不能被 5 整除 答案 B 解析 由于反证法是命题的否定的一个运用,故用反证法证明命题时,可以设其否定成立进 行推证命题“a,bN*,如果 ab 可被 5 整除,那么 a,b 至少有 1 个能被 5 整除”的否定 是“a,b 都不能被 5 整除” 7. 以下是解决数学问题的思维过程的流程图: 在此流程图中,两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是( ) A综合法,分析法 B分
9、析法,综合法 C综合法,反证法 D分析法,反证法 答案 A 解析 根据已知可得该结构图为证明方法的结构图: 由已知到可知,进而得到结论的应为综合法,由未知到需知,进而找到与已知的关系为分 . 析法,故两条流程线与“推理与证明”中的思维方法为:综合法,分析法 8执行如图所示的程序框图,若输出的是 n6,则输入整数 p 的最小值为( ) A15 B16 C31 D32 答案 B 解析 列表分析如下 是否继续循环 S n 循环前 0 1 第一圈 是 1 2 第二圈 是 3 3 第三圈 是 7 4 第四圈 是 15 5 第五圈 是 31 6 第六圈 否 故当 S 值不大于 15 时继续循环,大于 15
10、 但不大于 31 时退出循环,故 p 的最小正整数值为 16. 9在平面上,如果用一条直线去截正方形的一个角,那么截下的一个直角三角形,按图所标 边长,由勾股定理有:c2a2b2.设想正方形换成正方体,把截线换成如图的截面,这时从 正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥 OLMN,如果用 S1,S2,S3表示三个侧面面积, S4表示截面面积,那么类比得到的结论是_ 答案 S21S22S23S24 解析 将侧面面积类比为直角三角形的直角边,截面面积类比为直角三角形的斜边,可得 S21 S22S23S24. . 10若 P0(x0,y0)在椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)外,过 P0作椭圆的
11、两条切线的切点为 P1,P2,则切 点弦 P1P2所在的直线方程是x0x a2 y0y b2 1,那么对于双曲线则有如下命题:若 P0(x0,y0)在双 曲线x 2 a2 y2 b21(a0,b0)外,过 P0作双曲线的两条切线,切点为 P1,P2,则切点弦 P1P2 所 在直线的方程是_ 答案 x0x a2 y0y b2 1 解析 设 P1(x1,y1),P2(x2,y2), 则 P1,P2的切线方程分别是 x1x a2 y1y b2 1,x2x a2 y2y b2 1. 因为 P0(x0,y0)在这两条切线上, 故有x1x0 a2 y1y0 b2 1, x2x0 a2 y2y0 b2 1,
12、 这说明 P1(x1,y1),P2(x2,y2)在直线x0x a2 y0y b2 1 上, 故切点弦 P1P2所在的直线方程是x0x a2 y0y b2 1. 11已知函数 f(x) a ax a(a0,且 a1) (1)证明:函数 yf(x)的图象关于点(1 2, 1 2)对称; (2)求 f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)的值 (1)证明 函数 f(x)的定义域为全体实数, 任取一点(x,y), 它关于点(1 2, 1 2)对称的点的坐标为(1x,1y) 由已知 y a ax a, 则1y1 a ax a ax ax a, f(1x) a a1 x a a a ax a a
13、ax a a ax ax ax a, . 1yf(1x), 即函数 yf(x)的图象关于点(1 2, 1 2)对称 (2)解 由(1)知1f(x)f(1x), 即 f(x)f(1x)1. f(2)f(3)1,f(1)f(2)1, f(0)f(1)1. 则 f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)3. 12如图,在三棱锥 PABC 中,平面 PAC平面 ABC,PAAC,ABBC.设 D,E 分别为 PA,AC 的中点 (1)求证:DE平面 PBC; (2)求证:BC平面 PAB; (3)试问在线段 AB 上是否存在点 F,使得过三点 D,E,F 的平面内的任一条直线都与平面 PBC 平
14、行?若存在,指出点 F 的位置并证明;若不存在,请说明理由 (1)证明 因为点 E 是 AC 的中点,点 D 为 PA 的中点,所以 DEPC. 又因为 DE?平面 PBC,PC?平面 PBC, 所以 DE平面 PBC. (2)证明 因为平面 PAC平面 ABC, 平面 PAC平面 ABCAC. 又 PA?平面 PAC,PAAC, 所以 PA平面 ABC. 所以 PABC. 又因为 ABBC,且 PAABA, 所以 BC平面 PAB. (3)解 当点 F 是线段 AB 的中点时,过点 D,E,F 的平面内的任一条直线都与平面 PBC 平 行 如图,取 AB 中点 F,连接 EF,DF. 由(1)可知 DE平面 PBC. 因为点 E 是 AC 的中点, . 点 F 为 AB 的中点, 所以 EFBC. 又因为 EF?平面 PBC, BC?平面 PBC, 所以 EF平面 PBC. 又因为 DEEFE, 所以平面 DEF平面 PBC, 所以平面 DEF 内的任一条直线都与平面 PBC 平行 故当点 F 是线段 AB 的中点时,过点 D,E,F 的平面内的任一条直线都与平面 PBC 平行