1、【高考冲刺】名师讲解全国特级教师 江新欢 博士教授高中数学高中数学三角函数三角函数弧度弧度周期现象周期现象任意角任意角三角函数三角函数三角函数线三角函数线同角三角函数关系同角三角函数关系诱导公式诱导公式三角函数图象性质三角函数图象性质综合运用综合运用（1）任意角、弧度）任意角、弧度了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化的互化（2）三角函数）三角函数 借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义弦、正切）的定义借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（/2,的正
2、弦、余弦、正切），能画出的正弦、余弦、正切），能画出y=sin x,y=cos x,y=tan x的图象，了解三角函数的图象，了解三角函数的周期性的周期性借助图象理解正弦函数、余弦函数在借助图象理解正弦函数、余弦函数在0，2，正切函数在（正切函数在（-/2，/2）上的性质（如单调性、）上的性质（如单调性、最大和最小值、图象与最大和最小值、图象与x轴交点等）轴交点等）1引言引言提供背景：提供背景：自然界广泛地存在着周期性现象，自然界广泛地存在着周期性现象，圆周上一点的运动是一个简单又基本的例子圆周上一点的运动是一个简单又基本的例子提出问题：提出问题：用什么样的数学模型来刻画周期性用什么样的数学模
3、型来刻画周期性运动？运动？明确任务明确任务：建构这样的数学模型建构这样的数学模型教学的起点是教学的起点是：对周期性现象的数学（分析）对周期性现象的数学（分析）研究研究教材的定位是教材的定位是：展示对周期现象进行数学研究展示对周期现象进行数学研究的过程，即建构刻画周期性现象的数学模型的的过程，即建构刻画周期性现象的数学模型的（思维）过程（思维）过程三、本章内容的定位案例：任意角三角函数案例：任意角三角函数实际问题实际问题建立数学模型建立数学模型数学模型进行研究数学模型进行研究利用数学模型解决实际问题利用数学模型解决实际问题已知已知 f(1)3，f(37)?“周而复始，重复出现周而复始，重复出现”
4、xyO425813 对于对于 ，如果存在一个非零常数，如果存在一个非零常数 T，使得定义域内的每一个，使得定义域内的每一个x，都满足：，都满足：f(xT)f(x)，则函数，则函数f(x)叫做周期函叫做周期函 数数T叫做这个函数的周期叫做这个函数的周期函数函数f(x)xyO4258xyO425 注：注：定义域向数轴两端无限延伸；定义域向数轴两端无限延伸；周期有无数个周期有无数个 不是所有的周期函数都有最小正周期不是所有的周期函数都有最小正周期8最小正最小正周期；周期；三角函数的周期性：三角函数的周期性：f(x)sinx f(x)cosx f(x)tanx tan(k)tan，kZ最小正周期：最小
5、正周期：2 最小正周期：最小正周期：2 最小正周期：最小正周期：T4 T4 T4 T例例 求下列函数的周期：求下列函数的周期：f(x)sin x；g(x)sin(x )；h(x)2sin(x )；f(x)Asin(x)，其中，其中A0，04 214 21 2|221问题问题终 边 的 的终 边 的 的位置关系位置关系对 称 的 位对 称 的 位置关系置关系三角函数值之间三角函数值之间的关系的关系诱导公式诱导公式（1）要突出数学模型思想教学中应当充分利用章）要突出数学模型思想教学中应当充分利用章引言提供的情境，引导学生利用学习引言提供的情境，引导学生利用学习函数函数的经验，的经验，自觉地参与建构
6、刻画周期现象的数学模型的活动，使自觉地参与建构刻画周期现象的数学模型的活动，使学生从学习之初就建立起从数学模型的角度看三角函学生从学习之初就建立起从数学模型的角度看三角函数的意识，在此基础上，要充分注意运用三角函数模数的意识，在此基础上，要充分注意运用三角函数模型解决实际问题的教学，使学生经历运用三角函数模型解决实际问题的教学，使学生经历运用三角函数模型描述周期现象、解决实际问题的全过程型描述周期现象、解决实际问题的全过程例例1在图中，点在图中，点O为做简谐运动的物体的平衡位置，为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅
7、为3cm，周期为周期为3s，且物体向右运到到距离平衡位置最远处时开，且物体向右运到到距离平衡位置最远处时开始计时始计时 （1）求物体对平衡位置的位移）求物体对平衡位置的位移x(cm)和时间和时间t(s)之间的之间的函数关系；函数关系；（2）求该物体在）求该物体在t5s时的位置时的位置l用什么模型描述物体的运动？用什么模型描述物体的运动？l如何确定模型中的参数？如何确定模型中的参数？l已知条件已知条件“物体向右运到到距离平衡位置最远处时开始计时物体向右运到到距离平衡位置最远处时开始计时”怎样应用？怎样应用？例例1在图在图1中，点中，点O为做简谐运动的物体的平衡位置，为做简谐运动的物体的平衡位置，
8、取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3cm，周期为周期为3s，且物体向右运到到距离平衡位置最远处时开，且物体向右运到到距离平衡位置最远处时开始计时始计时回顾说明：回顾说明：n注意简谐振动中的振幅、周期、频率、初注意简谐振动中的振幅、周期、频率、初相的意义；相的意义；n本题的难点在于初相的确定；本题的难点在于初相的确定；n书写函数解析式时，需要根据自变量的实书写函数解析式时，需要根据自变量的实际意义，书写定义域际意义，书写定义域.图2例例2如图如图2，某地一天从，某地一天从614时的时的温度变化曲线近似满足函数温度变化曲线近似满足函数yAsin
9、(x)b（1）求这一天该时段的最大温差；）求这一天该时段的最大温差；（2）写出这段曲线的函数解析式）写出这段曲线的函数解析式例例3一半径为一半径为3m的水轮如图的水轮如图3所示，水轮圆心所示，水轮圆心O距离距离水面水面2m，已知水轮每分钟转动，已知水轮每分钟转动4圈，如果当水轮上点圈，如果当水轮上点P从水中浮现（图中点从水中浮现（图中点P0）开始计算时间）开始计算时间（1）将点）将点P距离水面的高度距离水面的高度z（m）表示为时间）表示为时间t(s)的的函数；函数；l时刻时刻t时，物体位于何处？时，物体位于何处？l时刻时刻t时，物体距离水面的高度如时，物体距离水面的高度如 何计算？何计算？l如
10、何确定如何确定？（2）点）点P第一次到达最高点大约要多少时间？第一次到达最高点大约要多少时间？例例4海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般的早潮叫潮，晚潮叫汐在通常情况下，象叫潮汐，一般的早潮叫潮，晚潮叫汐在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋下面给出了某港口在某季节每天几个时刻的水深洋下面给出了某港口在某季节每天几个时刻的水深（1）选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深）选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深和时间的和时间的函数关系函数关系，并给出在整点时
11、的水深的近似数，并给出在整点时的水深的近似数值值(精确到精确到0.001)；为什么是“12”？为什么是=0？（2）一条货船的吃水）一条货船的吃水深度深度（船底与水面的距离）为（船底与水面的距离）为4m，安全条例规定至少要有，安全条例规定至少要有1.5m的安全间隙（船底的安全间隙（船底与海底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆与海底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？多久？（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4m，安全条例规定至少要有，安全条例规定至少要有1.5m的安全间隙（船底的安全间隙（船底与海底的距离），该船何时能进入港口？
12、在港口能呆与海底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？多久？（3）若船若船的吃水深度为的吃水深度为4m，安全间隙为，安全间隙为1.5m，该船，该船在在2：00开始卸货，吃水深度以每小时开始卸货，吃水深度以每小时0.3m的速度减少，的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？水域？如何求交点坐标？三角函数作为描述现实世界中周期现象的一三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测未来等方面发挥着十分重周期变化规律、预测未来等方面发挥着
13、十分重要的作用要的作用 具体的，我们可以利用搜集到的数据，作出具体的，我们可以利用搜集到的数据，作出相应的相应的“散点图散点图”，通过观察散点图并进行函，通过观察散点图并进行函数拟合而获得具体函数模型，最后利用这个函数拟合而获得具体函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题数模型来解决相应的实际问题 实际问题通常涉及复杂的数据因此往往需实际问题通常涉及复杂的数据因此往往需要使用要使用计算机或计算器计算机或计算器平面向量平面向量几何表示几何表示向量的运算向量的运算加法加法数乘数乘数量积数量积向量的应用向量的应用背景背景符号表示符号表示坐标表示坐标表示减法减法 小狗向西北方向逃窜，如果金钱
14、豹向正东小狗向西北方向逃窜，如果金钱豹向正东方向追方向追请问请问:金钱豹能追上小狗吗？金钱豹能追上小狗吗？在四台发动机的推动下，返回舱的速度由在四台发动机的推动下，返回舱的速度由8米秒米秒迅速下降到迅速下降到1米米秒秒，如同一片羽毛，轻轻地落在草地上，如同一片羽毛，轻轻地落在草地上 着陆场总指挥隋起胜从耳机中听到了费俊龙的声音：着陆场总指挥隋起胜从耳机中听到了费俊龙的声音：“我是神我是神舟六号，我已着陆舟六号，我已着陆”费俊龙、聂海胜隔着舷窗，在向人们招手费俊龙、聂海胜隔着舷窗，在向人们招手返回舱内柔和的返回舱内柔和的灯光，映着他们的微笑这一刻，距他们离开大地灯光，映着他们的微笑这一刻，距他们
15、离开大地4天又天又19个多小个多小时，他们的总行程为时，他们的总行程为325万余公里（注：费俊龙万余公里（注：费俊龙 身高身高1.68米）米）神舟六号载人飞船现实生活中，还有哪现实生活中，还有哪些量只有大小没有方些量只有大小没有方向？哪些量既有大小向？哪些量既有大小又有方向？又有方向？距离、身高、时间、质量等距离、身高、时间、质量等位移、力、速度、加速度、电场强度等位移、力、速度、加速度、电场强度等既有大小又有方向的量叫向量.数量只有大小，是一个代数量，可以进行数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；代数运算、比较大小；向量的定义：区别：区别：数量向量向量有方向，大小，双重性，
16、不能比较大小向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.|F|s|cosABOsFabW|F|s|cos|a|b|cos|F|s|cosABOsFabW|a|b|cos|F|s|cos对于两个非零向量a和b，作 a，b，则AOB(0180)叫做向量a与b的夹角OAOB数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角是，我们把数量|a|b|cos叫做向量a和b的数量积（或内积），记作a b，即a b|a|b|cos规定：零向量与任一向量的数量积为0问题：已知向量a与b的夹角为，|a|4，|b|3，分别在下列条件下求a b：(1)45；(2)90；(3)120 问题：已知|a|4，|b|3，分别在下列
17、条件下求a b：(1)ab；(2)ab(1)当0时，a与b同向，此时，a b|a|b|；(2)当180时，a与b反向，此时，a b|a|b|；(3)当90时，则称向量a与b垂直，记作ab此时，a b0；(4)a a|a|2或|a|a a问题：问题：向量a与b的夹角为45，|a|4，|b|3，试求：a b，b a，(2a)b，a(2b)和2(a b)运算律(1)a bb a；(2)(a)ba(b)(a b)a b；(3)(ab)ca cb c思考：向量的数量积是否满足结合律？思考：向量的数量积是否满足结合律？向量是既有大小又有方向的量，它既有代数特向量是既有大小又有方向的量，它既有代数特征，又有
18、几何特征通过向量可以实现代数问征，又有几何特征通过向量可以实现代数问题与几何问题的互相转化，所以向量是数形结题与几何问题的互相转化，所以向量是数形结合的桥梁同时，向量也是解决许多物理问题合的桥梁同时，向量也是解决许多物理问题的有力工具的有力工具一、向量在物理中的应用一、向量在物理中的应用例如图所示，无弹性的细绳例如图所示，无弹性的细绳OA，OB的一端分的一端分别固定在别固定在A，B 处，同质量的细绳处，同质量的细绳OC 下端系着一下端系着一个称盘，且使得个称盘，且使得OBOC，试分析，试分析OA，OB，OC 三根绳子受力的大小，判断哪根绳受力最大三根绳子受力的大小，判断哪根绳受力最大 受力分析
19、解解 设设OA，OB，OC 三根绳子所受的力分别为三根绳子所受的力分别为a，b，c，则，则abc a，b的合力为的合力为cab，c|c|如图，在如图，在OBCA中，中，因为因为OB OC，所以所以|OA|OB，|OA|OC即即ab，ac，所以细绳，所以细绳OA 受力最大受力最大 二、向量在数学中的应用二、向量在数学中的应用例例2 用向量法证明：直径所对的圆周角是直角用向量法证明：直径所对的圆周角是直角已知：如图，线段已知：如图，线段AB为为 O的直径，点的直径，点C为圆周为圆周上异于上异于A、B的任意一点求证：的任意一点求证：ACB是直角是直角 A BCO即即 OC AB=0，所以所以OC A
20、B 即即 OA(OCOB)=0，OB (OCOA)=0例例3 已知：已知：OABC，OB AC 求证：求证：OC AB 证：证：因为因为 OABC，OB AC 所有所有 OABC=0，OB AC=0 得得 OC (OBOA)=0，例例3 已知：已知：OABC，OB AC 求证：求证：OC AB 你能否画出一个几何图形来解释例你能否画出一个几何图形来解释例3？你知道向量等式你知道向量等式 OABC=OA AC给出的是给出的是什么几何关系吗？什么几何关系吗？C C +S S +C2 T2 T T +S2 C C +S S +C2 T2 T T +S2 本章中的三角变换公式都是由余弦的差角公式推导出
21、来本章中的三角变换公式都是由余弦的差角公式推导出来的，化归思想是推导这些公式的主导思想在教学中，的，化归思想是推导这些公式的主导思想在教学中，不论是在推导公式时，还是在应用公式时，都应该自始不论是在推导公式时，还是在应用公式时，都应该自始至终地贯彻这一思想至终地贯彻这一思想如图，有一个小山坡如图，有一个小山坡OA，OA的长度为的长度为a，ACOC，AOC15，求坡脚线，求坡脚线OC的长度？的长度？OAC如图，如图，OCOAcos15a cos15.问题问题1：你会算：你会算cos15吗？吗？问题问题2：还有其它方法算：还有其它方法算cos15吗？吗？如图，向量如图，向量a(cos45，sin4
22、5）b(cos60，sin60)，试分别，试分别计算计算ab=|a|b|cos及及ab=x1x2+y1y2，比较两次计算，比较两次计算的结果，你能发现什么？的结果，你能发现什么？xyO4560P1P2 cos(60-45)=cos60cos45 +sin60 sin45 问题问题3：这个表达式揭示了哪些角的三角函数间的关：这个表达式揭示了哪些角的三角函数间的关系？系？揭示了揭示了60和和45 的正余弦与的正余弦与15 的余弦之间的关系的余弦之间的关系.问题问题4：以上关系能否推广到任意的两个角：以上关系能否推广到任意的两个角与与之间呢？即之间呢？即cos()能否用能否用与与的三角函数来表示？的
23、三角函数来表示？cos()coscos+sinsin问题问题5：如何证明？：如何证明？问题问题6：若借助于向量证明，要：若借助于向量证明，要构造怎样的两个向量构造怎样的两个向量?令令a(cos，sin)，b(cos，sin)ab|a|b|cos()cos()，a bcoscossinsin，故故cos()coscossinsinxyOP1P2问题问题7：还有其它方法吗？（距离法）：还有其它方法吗？（距离法）问题问题8：如何推导两角和的余弦：如何推导两角和的余弦cos()的的公式？公式？cos()cos()=coscos()+sinsin()=coscossinsin 两角差的余弦公式两角差的余弦公式 cos()coscossinsin两角和的余弦公式两角和的余弦公式 cos(+)coscos sinsin辅助角仅限于特殊角辅助角仅限于特殊角
