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优生联赛全国1卷区2020-2021学年高三上学期理科数学试题(有答案).docx

1、华大新高考联盟华大新高考联盟 2021 届高三届高三 1 月教学质量测评月教学质量测评 理科数学理科数学 命题:华中师范大学考试研究院 本试题卷共 4 页,23 题(含选考题) 。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干 净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的

2、四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。 1.若集合2340Axxx,0Bx x,则AB R ( ) A.40 xx B.40 x xx 或 C.4x x D. 3 2 x x 2.若在复平面内,复数3 2i、12i、2i所对应的点分别为A,B,C,则ABC的面积为( ) A.6 B.4 C.3 D.2 3.世界著名的数学杂志 美国数学月刊 于1989年曾刊登过一个红极一时的棋盘问题.题中的正六边形棋盘, 用三种全等(仅朝向和颜色不同)的菱形图案全部填满(如图) ,如棋盘内随机投掷 3 点,则至少 2 点落在 灰色区域内的概率为( ) A. 13 27 B. 7 27 C. 2 3 D. 20

3、 27 4.已知母线长为 2 的圆柱 12 OO的体积为2,点M,N分别是圆 1 O, 2 O上的点,且 12 OMO N,则直 线MN与圆柱底面所成角的正弦值为( ) A. 2 2 B. 3 3 C. 6 3 D. 2 4 5.函数 3 sin 2 x f xx x 的图像大致为( ) A. B. C. D. 6.已知正六边形ABCDEF中,点G是线段DE的中点,则FG ( ) A. 13 34 BDCA B. 12 63 BDCA C. 11 23 BDCA D. 13 64 BDCA 7.已知矩形ABCD中,8AB, 取AB,CD的中点E,F, 沿直线EF进行翻折, 使得二面角AEFB

4、的大小为 120,若翻折以后点A,B,C,D,E,F均在球O的表面上,且球O的表面积为80, 则BC ( ) A.6 B.2 C.4 D.3 8.“提丢斯数列”,是由 18 世纪德国数学家提丢斯给出,具体如下:0,3,6,12,24,48,96,192, 容易发现,从第 3 项开始,每一项是前一项的 2 倍;将每一项加上 4 得到一个数列:4,7,10,16,28, 52,100,196,;再将每一项除以 10 后得到:“提丢斯数列”:0.4,0.7,1.0,1.6,2.8,5.2,10.0, 则下列说法中,正确的是( ) A.“提丢斯数列”是等比数列 B.“提丢斯数列”的第 99 项为 98

5、 3 24 10 C.“提丢斯数列”前 31 项和为 30 3 2 10 121 10 D.“提丢斯数列”中,不超过 20 的有 9 项 9.已知函数 2 3 01 3 log,132 , x x f x xx ,函数 21F xxx,若 yFfx 的图像与直线 ym 有 3 个交点,则实数m的值可能为( ) A.-6 B.9 C.-12 D.12 10.已知直线:240lxy与y轴交于点M,抛物线 2 :20,3C xpy p的准线为 l ,点A在抛物 线C上,点B在 l 上,且AB l ,ABMAMB ,120MAB,则p ( ) A. 6 7 B.12 7 C. 4 5 D. 8 5 1

6、1.已知函数 sin 30 2 f xx 在0, 4 上单调递增,现有如下三个结论: 的最小值为 3 ; 当取得最大值时,将函数 f x的图像向左平移 18 个单位后,再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,得到函数 g x的图像,则 1 32 g ; 函数 f x在0,2上有 6 个零点. 则上述结论正确的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 12.已知双曲线 22 22 :1 xy C ab (0a,0b)的左、右焦点分别为 1 F, 2 F,点M,N分别在双曲线C 的左、右两支上,点A在x轴上,且M,N, 1 F三点共线,若 2 3ANF M, 122 FNFANF,则双 曲

7、线C的离心率为( ) A.5 B.7 C.3 D.11 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.若实数x,y满足 340, 10, 20, xy xy y 则35zxy的最大值为_. 14.已知 6 2231112 01231112 21xaa xa xa xa xa x,则 678 aaa_. 15.已知,0, , 3 coscos 5 , 1 coscos 5 ,则sinsin_. 16.已知数列 n a满足 1 1 2 a , 2 1a , 数列 n a的奇数项单调递增, 偶数项单调递减, 若 1 1 21 nn aa n , 在数列 n a的通项公式为_.

8、三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题,每个试题考生 都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共 60 分。 17.已知平面四边形ABCD如图所示,其中ABBC, 1 2 ACBDAC,60ADC. (1)若30,3BC ,点E为线段AD的中点,求BE的值; (2)若3 DC AB ,求cos2的值. 18.如图所示,直四棱柱 1111 ABCDABC D中,底面ABCD为菱形,线段AC与BD交于点O,E为线段 1 CC的中点. (1)若点F在线段 1 AC上,且 1 90FOA,求证: 1 OFAB; (2

9、)若 1 34ABAA,120ABC,求直线EO与平面 1 ACD所成角的正弦值. 19.教育部官方数据显示, 2020 届大学毕业生达到 844 万, 根据相关调查, 位于大城市的应届毕业生毕业后, 有 30%会留在该城市进行就业,于是租房便成为这些毕业生的首选.为了了解应届毕业生房租支出的费用, 研究人员对部分毕业生进行相关调查,所得数据如下图所示. (1)求m的值以及房租支出的平均值x; (2)为了了解应届生选择租房时考虑的主要因素,研究人员作出调查,所得数据如下表所示,判断是否有 99.9%的把握认为性别与选择租房时考虑的主要因素具有相关性. 以距离上班地点的远近作为主要考虑因素 以房

10、租的高低作为主要考虑因素 男生 500 300 女生 300 400 (3)由频率分布直方图,可近似地认为A城市应届毕业生房租支出服从正态分布 2 ,3.2N,若 2020 年 该市区的应急毕业生共有 100 万人,试根据本题信息估计毕业后留在该市且房租支出介于 8.6 百元到 21.4 百元之间的毕业生人数. 附:参考公式: 2 2 adbc K abcdacbd 参考数据: 2 P Kk 0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 0.6827PX,220.9544PX, 330.9973PX 20.已知椭圆 22 22 :10 x

11、y Cab ab 的左、右焦点分别为 1 F, 2 F,点A在椭圆上运动, 12 AFF面积 的最大值为3,且当 112 AFFF时, 1 3 2 AF . (1)求椭圆C的方程; (2)延长直线 1 AF与椭圆C交于点B,若 11 FA FBAB,求的值. 21.已知函数 2 lnf xaxxx. (1)讨论函数 f x的单调性; (2) 若1a, 函数 1F xf xx , 且,0,m n,mn, mF nnF mmn mn, 求实数的取值范围. (二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多选,则按所做的第一题计分。 20.选修 4-4:坐标系与参数方程 已

12、知极坐标系中,直线l的极坐标方程为cos4,以极点为原点,极轴所在直线为x轴的非负半轴建立 平面直角坐标系xOy,曲线C的参数方程为 2cos2 , 24sincos , x y (为参数). (1)求直线l的直角坐标方程以及曲线C的极坐标方程; (2)过原点且倾斜角为0, 的直线 l 与直线l交于点M,与曲线C交于O,N两点,若 ONOM,求实数的最大值. 23.选修 4-5:不等式选讲 已知函数 3 1 2 fxxx. (1)求不等式 3f xx的解集; (2)若存在 12 ,x x R,使得 122 2210f xxmx,求实数m的取值范围. 华大新高考联盟华大新高考联盟 2021 届高

13、三届高三 1 月教学质量测评月教学质量测评 理科数学参考答案和评分标准理科数学参考答案和评分标准 一、选择题 1.【答案】D 【命题意图】本题考查集合的运算、一元二次不等式的解法,考查考生数学运算、逻辑推理的核心素养. 【 解 析 】 依 题 意 , 3 23404 2 Axxxxx ,=0Bx x R , 故 3 2 ABx x R ,故选 D. 2.【答案】C 【命题意图】本题考查复数的几何意义,考查考生直观想象的核心素养. 【解析】依题意,3, 2A,1, 2B,2,1C,在复平面内作出ABC的图形如图所示;观察可知, ABC的面积为 1 2 33 2 ,故选 C. 3.【答案】B 【命

14、题意图】本题考查数学文化、古典概型、独立重复试验的概率,考查考生数学建模、数学运算的核心 素养. 【解析】由图可知,棋盘共计 48 个菱形,其中有 16 个灰色的菱形,故向棋盘内随机投掷 1 个点,落在灰 色区域内的概率为 1 3 ;则至少 2 点落在灰色区域内的概率 23 2 3 1217 C 33327 P ,故选 B. 4.【答案】C 【命题意图】本题考查空间几何体的体积、空间角的运算,考查考生数学运算、直观想象的核心素养. 【解析】作出图形如图所示,则 2 2rl ,解得1r ;过点M作MM垂直于下底面,垂足为 M , 则2MM ,2NM,故直线MN与圆柱底面的成角的正弦值 26 si

15、nsin 36 MM MNM MN ,故选 C. 5.【答案】A 【命题意图】本题考查函数的图像与性质,考查考生直观想象、逻辑推理的核心素养. 【解析】 依题意,,00,x , 3 sin 2 x fxxf x x , 故函数 f x为奇函数, 图像关于原点对称,排除 C; 2 3 12 2 f ,排除 D;当x的值从x轴的正方向接近 0 时, f x接 近,排除 B;故选 A. 6.【答案】B 【命题意图】本题考查平面向量的基本定理,考查考生直观想象、逻辑推理的核心素养. 【解析】作出图形如图所示,则 11 22 FGFDDGCADECABA 11212 23363 C AB DC AB D

16、C A ,故选 B. 7.【答案】C 【命题意图】本题考查空间几何体的结构特征、球的表面积公式,考查考生数学运算、直观想象的核心素 养. 【 解析 】作 出图 形如图 所示 ,记CDF的 外 接圆圆 心为 1 O, 则 1 4 2sin DF FO DCF , 故 222 211 16DODOOOOO,而球O的表面积 2 22 1 441680SDOOO,故 1 2OO ,则4BC ,故选 C. 8.【答案】C 【命题意图】本题考查数学文化、等比数列的通项公式与前n项和公式、分组求和法,考查考生数学运算、 逻辑推理、数学建模的核心素养. 【解析】记“提丢斯数列”为数列 n a,则当3n时, 3

17、 1046 2n n a ,解得 2 3 24 10 n n a ,易知当 2n时, 2 0.7a ,符合该式,当1n 时, 1 0.550.4a ,故 2 0.4,1 3 24 ,4 10 n n n a n ,故 A 错误, 而 97 99 3 24 10 a , 故B错误; “提丢斯数列”前31项和为 30 029 2323 2121 2230 51051010 , 故 C 正确;令 2 3 24 20 10 n ,则 2 196 2 3 n ,故2,3,4,5,6,7,8n ,而 1 20a ,故不超过 20 的有 8 项,故 D 错误;故选 C. 9.【答案】B 【命题意图】本题考查

18、分段函数的图像与性质,考查考生数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养. 【解析】 令 f xa, 则 F am, 要使得 yFfx 的图像与直线 ym有 3 个交点, 则 F am 存在两个实数根 1 a, 2 a,且 1 13a, 2 3a 或 1 13a, 2 21a ,结合函数 F x的图像可知, 110m,观察可知,故选 B. 10.【答案】D 【命题意图】本题考查抛物线的方程与性质,考查考生数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养. 【解析】依题意,0,4M,不妨设点A在第一象限,MAm,易知MAF为等边三角形,故 3 , 222 mp Am ,代入 2 :2C xpy中,故 2 3

19、2 422 mp mp ,解得2mp;而4MO ,则 24 2 p p,解得 8 5 p ,故选 D. 11.【答案】C 【命题意图】本题考查三角函数的图像与性质,考查考生数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养. 【解析】 依题意,0, 4 x , 故 3 30, 4 x , 则 3 3, 4 x , 故 2 3 42 , 解得 42 , 故错误;当取得最大值时, sin 3cos3 2 f xxx ,将函数 f x的图像向左平移 18 个单位 后, 得到cos 3 6 yx , 再将横坐标伸长为原来的2 倍, 得到 3 cos 26 x g x , 则 1 32 g , 故正确;在同一直角坐

20、标系中分别作出sin 3 4 yx 以及sin 3 2 yx 的图像如下所示,观察可 知,它们在0,2上有个 6 个零点,故正确;故选 C. 12.【答案】B 【命题立意】本题考查双曲线的方程与性质,考查考生数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养. 【解析】依题意, 2 1 3 F MAN得 2 F MAN, 1222 FNFANFMF N,故 2 MNMF;又 2 1 3 MFAN,故 1 1 2 MFMN;不妨设2MNm,由双曲线的定义可得, 2 2MFma, 2 32NFma, 故22mma, 故2ma, 则 22 4MNMFNFa, 故 2 MNF为等边三角形, 故在 12 NFF中,

21、 12 60FNF,即 1 36NFma, 2 4NFa, 12 2FFc,由余弦定理, 2 22 2 642 64co 60284saaaaac ,则7e ,故选 B. 二、填空题 13.【答案】12. 【命题意图】本题考查二元一次不等式组与平面区域、线性规划,考查考生数学运算、直观想象的核心素 养. 【解析】 作出不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示; 观察可知, 当直线35zxy过点C时,z有 最大值;联立 340 20 xy y ,解得 2 3 2 x y ,故 2 , 2 3 C ,故35zxy的最大值为 12. 14.【答案】80. 【命题意图】本题考查二项式定理,考查考生数学

22、运算、逻辑推理的核心素养. 【解析】依题意, 7 0a , 3 33 66 C21160a , 2 44 86 C21240a ,故 678 80aaa. 15.【答案】 7 5 . 【命题意图】本题考查三角恒等变换,考查考生数学运算、逻辑推理的核心素养. 【解析】依题意, 222 2222 7 sinsinsinsin1 cos1 cos1 coscoscoscos 25 ,则 7 sinsin 5 . 16.【答案】 ,21 ,2 n n nk a n nk , (或写成 1 1 n n an ) 【命题意图】本题考查数列的性质、数列的通项公式,考查考生数学运算、逻辑推理的核心素养. 【解

23、析】依题意, 21n a 单调递增,故 135 aaa;数列 2n a单调递减,故 246 aaa,所 以 531246 aaaaaa; 因为 1 1 21 nn aa n , 故 212 41 n n aan ; 同理 1 22 41 n n aan , 所以 2121 2 nn aa ;又 1 1a ,所以 21 1 2121 n ann ,所以 2 2141 y ann ,则 2 2 n an ,所以数列 n a的通项公式为 ,21 ,2 n n nk a n nk . 三、解答题 17.【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理、二倍角公式,考查考生数学运算、直观想象的核心素养. 【解析】

24、 (1)依题意,30ACB,60DAC, 故ADC为等边三角形,则3AB ,2 3AC , 22 21BDBCCD, 因为coscos0BEABED, 由余弦定理, 222222 0 22 BEAEABBEDEBD BE AEBE DE ,解得3BE ; (2)设ABx,则3DCx,在RtABC中, sin x AC , 在ACD中,2DAC,由正弦定理, sinsin DCAC DACADC , 即 3 sin sin2sin60 x x ,解得 3 cos 4 ,则 2 1 cos22cos1 8 . 18.【命题意图】本题考查空间线面的位置关系、向量法求空间角,考查考生直观想象、数学运算

25、、逻辑推 理的核心素养. 【解析】 (1)证明:因为ABCD为菱形,所以BDAC. 因为 1 A A底面ABCD,所以 1 AABD.=又 1 ACA AA,所以BD 平面 1 A AC. 因为OF 平面 1 A AC,故BDOF; 又 1 90FOA,即 1 OFOA,而 1 BDOAO,故OF 平面 1 ABD; 而 1 AB 平面 1 ABD,故 1 OFAB; (2)以O为坐标原点,OC、OB所在直线分别为x、y轴,过点O作垂直于平面ABCD的直线为z轴, 建立空间直角坐标系Oxyz,设4AB , 1 3AA , 则 1 2 3,0,3A , 2 3,0,0C,0, 2,0D, 3 2

26、 3,0, 2 E , 则 1 4 3,0, 3AC , 2 3,2,0DC , 3 2 3,0, 2 OE , 设平面 1 ACD的法向量为, ,mx y z,则 1 4 330 2 320 m ACxz m DCxy , 令3x ,得 3, 3,4m 为平面 1 ACD的一个法向量; 记直线EO与平面 1 ACD所成角为,故 4 399 sin 133 OE m OEm . 19.【命题意图】本题考查样本的数字特征、频率分布直方图、独立性检验、正态分布,考查考生数学运算、 逻辑推理的核心素养. 【解析】 (1)依题意,0.0125 0.050.0375 0.012541m ,解得0.137

27、5m; 故0.0125 40.05 80.1375 120.0375 160.0125 20411.8x ; (2)在本次实验中, 2 K的观测值 2 0 1500500 400300 300 57.87610.828 800 800 700 700 k , 故有 99.9%的把握认为性别与选择租房时考虑的主要因素具有相关性. (3)依题意,毕业后留在该市的应届毕业生人数为1000000 0.3300000人, 0.68270.9973 860214030.84 2 PxPx , 故所求人数为300000 0.84252000. 20.【命题意图】本题考查椭圆的方程、直线与椭圆综合性问题,考查

28、考生直观想象、数学运算、逻辑推理 的核心素养. 【解析】 (1)依题意,3bc , 2 3 2 b a ;由可得, 22 3b c ,即 222 3bab; 由可得, 2 3 2 ba, 将代入中,整理可得, 32 2340aa,即 322 2440aaa,即 2 2220aaa; 因为 2 220aa,故2a,则 2 3b ,故椭圆C的方程为 22 1 43 xy ; (2)由(1)得 1 1,0F ,设 11 ,A x y, 22 ,B x y, 若直线AB的斜率为零,易知, 11 3 4 F AFB AB ; 若直线AB的斜率不为零,可设AB的方程为1xmy, 联立得方程组 22 1 1

29、 43 xmy xy ,消去x并整理得 22 34690mymy, 222 3636 3414410mmm , 12 2 6 34 m yy m , 12 2 9 34 y y m , 2 22 121212 114ABmyymyyy y 2 2 2 22 1441121 1 3434 mm m mm . 2 2 111212121212 2 91 111 34 m F A FBxxy ymy myy ymy y m . 11 93 124 F A FB AB ,则 11 3 4 F AFB AB ,综上所述, 3 4 . 21.【命题意图】本题考查利用导数研究函数的性质,考查考生数学运算、逻

30、辑推理的核心素养. 【解析】 (1)依题意,0,x, 2 2 21 axxa fxx xx ,则1 8a ; 若1 80a ,即 1 8 a 时, 0fx; 若1 80a ,即 1 8 a 时, 令 0fx,即 2 20 xxa,故 11 8 2 a x ( 11 8 2 a x 舍去) ; 当 11 8 0 2 a 时,即 1 0 8 a时, 0fx, f x在0,单调递减, 当 11 8 0 2 a 时,即0a时, 当 11 8 0, 2 a x 时, 0fx,当 11 8 , 2 a x 时, 0fx,故函数 f x在 11 8 0, 2 a 上单调递增,在 11 8 , 2 a 上单调

31、递减; 综上所述,当0a时, f x在0,上单调递减,当0a时, 11 8 0, 2 a 单调递增,在 11 8 , 2 a 上单调递减. (2)依题意, 2 ln1F xxx 不妨设0mn,则 mF nnF mmn mn等价于 F nF m mn nm , 考察函数 F x g x x ,得 2 2 ln2xx gx x ,令 2 2 ln2xx h x x , 3 52ln x h x x , 则 5 2 0,ex 时, 0h x, 2 5 e ,x 时, 0h x, 所以 h x在区间 2 5 0,e 上是单调递增函数, 在区间 2 5 e , 上是单调递减函数; 故 5 2 5 1 e

32、10 2e gxg ,所以 g x在0,上单调递减. 从而 g mg n,即 F nF m nm ,故 F mF n nm mn , 所以 F mF n mn mn ,即 g mmg nn恒成立, 设 xg xx,则 x在0,上恒为单调递减函数, 从而 0 xg x恒成立,故 5 1 10 2e xgx , 故 5 1 1 2e ,即实数的取值范围为 5 1 ,1 2e . 22.【命题意图】本题考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程、普通方程的转化以及极坐标方程的应用, 考查考生数学运算、逻辑推理的核心素养. 【解析】 (1)依题意,直线l的直角坐标方程为4x; 因为曲线 2cos2 : 2

33、2sin2 x C y ,故 2 2 24xy, 故曲线C的普通方程为 22 40 xyy,则曲线C的极坐标方程为4sin; (2)依题意,直线 l 的极坐标方程为 R 联立 cos4 ,故 4 cos M OM ,由 4sin , 故 cos1 4 sinsin2 42 N ON , 所以当 4 或 3 4 时,有最大值 1 2 . 23.【命题意图】本题考查绝对值不等式的解法、绝对值三角不等式的性质,考查考生数学运算、逻辑推理 的核心素养. 【解析】 (1)依题意, 3 13 2 xxx; 当1x时, 3 13 2 xxx ,解得 5 6 x ,故1x; 当 3 1 2 x 时, 3 13 2 xxx ,解得 1 2 x ,故 1 1 2 x ; 当 3 2 x 时, 3 13 2 xxx ,解得 5 6 x ,故无解; 综上所述,不等式 3f xx的解集为 1 2 x x ; (2)因为, 335 11 222 xxxx ,故 535 1 222 xx; 而2212211xmxxmxm ,故 5 1 2 m , 即 5 1 2 m,则 73 22 m,故实数m的取值范围为 7 3 , 2 2 .

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