1、华大新高考联盟华大新高考联盟 2021 届高三届高三 1 月教学质量测评月教学质量测评 理科数学理科数学 命题：华中师范大学考试研究院 本试题卷共 4 页，23 题（含选考题） 。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的
2、四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.若集合2340Axxx，0Bx x，则AB R （ ） A.40 xx B.40 x xx 或 C.4x x D. 3 2 x x 2.若在复平面内，复数3 2i、12i、2i所对应的点分别为A，B，C，则ABC的面积为（ ） A.6 B.4 C.3 D.2 3.世界著名的数学杂志 美国数学月刊 于1989年曾刊登过一个红极一时的棋盘问题.题中的正六边形棋盘， 用三种全等（仅朝向和颜色不同）的菱形图案全部填满（如图） ，如棋盘内随机投掷 3 点，则至少 2 点落在 灰色区域内的概率为（ ） A. 13 27 B. 7 27 C. 2 3 D. 20
3、 27 4.已知母线长为 2 的圆柱 12 OO的体积为2，点M，N分别是圆 1 O， 2 O上的点，且 12 OMO N，则直 线MN与圆柱底面所成角的正弦值为（ ） A. 2 2 B. 3 3 C. 6 3 D. 2 4 5.函数 3 sin 2 x f xx x 的图像大致为（ ） A. B. C. D. 6.已知正六边形ABCDEF中，点G是线段DE的中点，则FG （ ） A. 13 34 BDCA B. 12 63 BDCA C. 11 23 BDCA D. 13 64 BDCA 7.已知矩形ABCD中，8AB， 取AB，CD的中点E，F， 沿直线EF进行翻折， 使得二面角AEFB
4、的大小为 120，若翻折以后点A，B，C，D，E，F均在球O的表面上，且球O的表面积为80， 则BC （ ） A.6 B.2 C.4 D.3 8.“提丢斯数列”，是由 18 世纪德国数学家提丢斯给出，具体如下：0，3，6，12，24，48，96，192， 容易发现，从第 3 项开始，每一项是前一项的 2 倍；将每一项加上 4 得到一个数列：4，7，10，16，28， 52，100，196，；再将每一项除以 10 后得到：“提丢斯数列”：0.4，0.7，1.0，1.6，2.8，5.2，10.0， 则下列说法中，正确的是（ ） A.“提丢斯数列”是等比数列 B.“提丢斯数列”的第 99 项为 98
5、 3 24 10 C.“提丢斯数列”前 31 项和为 30 3 2 10 121 10 D.“提丢斯数列”中，不超过 20 的有 9 项 9.已知函数 2 3 01 3 log,132 , x x f x xx ，函数 21F xxx，若 yFfx 的图像与直线 ym 有 3 个交点，则实数m的值可能为（ ） A.-6 B.9 C.-12 D.12 10.已知直线:240lxy与y轴交于点M，抛物线 2 :20,3C xpy p的准线为 l ，点A在抛物 线C上，点B在 l 上，且AB l ，ABMAMB ，120MAB，则p （ ） A. 6 7 B.12 7 C. 4 5 D. 8 5 1
6、1.已知函数 sin 30 2 f xx 在0, 4 上单调递增，现有如下三个结论： 的最小值为 3 ； 当取得最大值时，将函数 f x的图像向左平移 18 个单位后，再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，得到函数 g x的图像，则 1 32 g ； 函数 f x在0,2上有 6 个零点. 则上述结论正确的个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 12.已知双曲线 22 22 :1 xy C ab （0a，0b）的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，点M，N分别在双曲线C 的左、右两支上，点A在x轴上，且M，N， 1 F三点共线，若 2 3ANF M， 122 FNFANF，则双 曲
7、线C的离心率为（ ） A.5 B.7 C.3 D.11 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.若实数x，y满足 340, 10, 20, xy xy y 则35zxy的最大值为_. 14.已知 6 2231112 01231112 21xaa xa xa xa xa x，则 678 aaa_. 15.已知,0, ， 3 coscos 5 ， 1 coscos 5 ，则sinsin_. 16.已知数列 n a满足 1 1 2 a ， 2 1a ， 数列 n a的奇数项单调递增， 偶数项单调递减， 若 1 1 21 nn aa n ， 在数列 n a的通项公式为_.
8、三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生 都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17.已知平面四边形ABCD如图所示，其中ABBC， 1 2 ACBDAC，60ADC. （1）若30，3BC ，点E为线段AD的中点，求BE的值； （2）若3 DC AB ，求cos2的值. 18.如图所示，直四棱柱 1111 ABCDABC D中，底面ABCD为菱形，线段AC与BD交于点O，E为线段 1 CC的中点. （1）若点F在线段 1 AC上，且 1 90FOA，求证： 1 OFAB； （2
9、）若 1 34ABAA，120ABC，求直线EO与平面 1 ACD所成角的正弦值. 19.教育部官方数据显示， 2020 届大学毕业生达到 844 万， 根据相关调查， 位于大城市的应届毕业生毕业后， 有 30%会留在该城市进行就业，于是租房便成为这些毕业生的首选.为了了解应届毕业生房租支出的费用， 研究人员对部分毕业生进行相关调查，所得数据如下图所示. （1）求m的值以及房租支出的平均值x； （2）为了了解应届生选择租房时考虑的主要因素，研究人员作出调查，所得数据如下表所示，判断是否有 99.9%的把握认为性别与选择租房时考虑的主要因素具有相关性. 以距离上班地点的远近作为主要考虑因素 以房
10、租的高低作为主要考虑因素 男生 500 300 女生 300 400 （3）由频率分布直方图，可近似地认为A城市应届毕业生房租支出服从正态分布 2 ,3.2N，若 2020 年 该市区的应急毕业生共有 100 万人，试根据本题信息估计毕业后留在该市且房租支出介于 8.6 百元到 21.4 百元之间的毕业生人数. 附：参考公式： 2 2 adbc K abcdacbd 参考数据： 2 P Kk 0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 0.6827PX，220.9544PX， 330.9973PX 20.已知椭圆 22 22 :10 x
11、y Cab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，点A在椭圆上运动， 12 AFF面积 的最大值为3，且当 112 AFFF时， 1 3 2 AF . （1）求椭圆C的方程； （2）延长直线 1 AF与椭圆C交于点B，若 11 FA FBAB，求的值. 21.已知函数 2 lnf xaxxx. （1）讨论函数 f x的单调性； （2） 若1a， 函数 1F xf xx ， 且,0,m n，mn， mF nnF mmn mn， 求实数的取值范围. （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分。 20.选修 4-4：坐标系与参数方程 已
12、知极坐标系中，直线l的极坐标方程为cos4，以极点为原点，极轴所在直线为x轴的非负半轴建立 平面直角坐标系xOy，曲线C的参数方程为 2cos2 , 24sincos , x y （为参数）. （1）求直线l的直角坐标方程以及曲线C的极坐标方程； （2）过原点且倾斜角为0, 的直线 l 与直线l交于点M，与曲线C交于O，N两点，若 ONOM，求实数的最大值. 23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数 3 1 2 fxxx. （1）求不等式 3f xx的解集； （2）若存在 12 ,x x R，使得 122 2210f xxmx，求实数m的取值范围. 华大新高考联盟华大新高考联盟 2021 届高
13、三届高三 1 月教学质量测评月教学质量测评 理科数学参考答案和评分标准理科数学参考答案和评分标准 一、选择题 1.【答案】D 【命题意图】本题考查集合的运算、一元二次不等式的解法，考查考生数学运算、逻辑推理的核心素养. 【 解 析 】 依 题 意 ， 3 23404 2 Axxxxx ，=0Bx x R ， 故 3 2 ABx x R ，故选 D. 2.【答案】C 【命题意图】本题考查复数的几何意义，考查考生直观想象的核心素养. 【解析】依题意，3, 2A，1, 2B，2,1C，在复平面内作出ABC的图形如图所示；观察可知， ABC的面积为 1 2 33 2 ，故选 C. 3.【答案】B 【命
14、题意图】本题考查数学文化、古典概型、独立重复试验的概率，考查考生数学建模、数学运算的核心 素养. 【解析】由图可知，棋盘共计 48 个菱形，其中有 16 个灰色的菱形，故向棋盘内随机投掷 1 个点，落在灰 色区域内的概率为 1 3 ；则至少 2 点落在灰色区域内的概率 23 2 3 1217 C 33327 P ，故选 B. 4.【答案】C 【命题意图】本题考查空间几何体的体积、空间角的运算，考查考生数学运算、直观想象的核心素养. 【解析】作出图形如图所示，则 2 2rl ，解得1r ；过点M作MM垂直于下底面，垂足为 M ， 则2MM ，2NM，故直线MN与圆柱底面的成角的正弦值 26 si
15、nsin 36 MM MNM MN ，故选 C. 5.【答案】A 【命题意图】本题考查函数的图像与性质，考查考生直观想象、逻辑推理的核心素养. 【解析】 依题意，,00,x ， 3 sin 2 x fxxf x x ， 故函数 f x为奇函数， 图像关于原点对称，排除 C； 2 3 12 2 f ，排除 D；当x的值从x轴的正方向接近 0 时， f x接 近，排除 B；故选 A. 6.【答案】B 【命题意图】本题考查平面向量的基本定理，考查考生直观想象、逻辑推理的核心素养. 【解析】作出图形如图所示，则 11 22 FGFDDGCADECABA 11212 23363 C AB DC AB D
16、C A ，故选 B. 7.【答案】C 【命题意图】本题考查空间几何体的结构特征、球的表面积公式，考查考生数学运算、直观想象的核心素 养. 【 解析 】作 出图 形如图 所示 ，记CDF的 外 接圆圆 心为 1 O， 则 1 4 2sin DF FO DCF ， 故 222 211 16DODOOOOO，而球O的表面积 2 22 1 441680SDOOO，故 1 2OO ，则4BC ，故选 C. 8.【答案】C 【命题意图】本题考查数学文化、等比数列的通项公式与前n项和公式、分组求和法，考查考生数学运算、 逻辑推理、数学建模的核心素养. 【解析】记“提丢斯数列”为数列 n a，则当3n时， 3
17、 1046 2n n a ，解得 2 3 24 10 n n a ，易知当 2n时， 2 0.7a ，符合该式，当1n 时， 1 0.550.4a ，故 2 0.4,1 3 24 ,4 10 n n n a n ，故 A 错误， 而 97 99 3 24 10 a ， 故B错误； “提丢斯数列”前31项和为 30 029 2323 2121 2230 51051010 ， 故 C 正确；令 2 3 24 20 10 n ，则 2 196 2 3 n ，故2,3,4,5,6,7,8n ，而 1 20a ，故不超过 20 的有 8 项，故 D 错误；故选 C. 9.【答案】B 【命题意图】本题考查
18、分段函数的图像与性质，考查考生数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养. 【解析】 令 f xa， 则 F am， 要使得 yFfx 的图像与直线 ym有 3 个交点， 则 F am 存在两个实数根 1 a， 2 a，且 1 13a， 2 3a 或 1 13a， 2 21a ，结合函数 F x的图像可知， 110m，观察可知，故选 B. 10.【答案】D 【命题意图】本题考查抛物线的方程与性质，考查考生数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养. 【解析】依题意，0,4M，不妨设点A在第一象限，MAm，易知MAF为等边三角形，故 3 , 222 mp Am ，代入 2 :2C xpy中，故 2 3
19、2 422 mp mp ，解得2mp；而4MO ，则 24 2 p p，解得 8 5 p ，故选 D. 11.【答案】C 【命题意图】本题考查三角函数的图像与性质，考查考生数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养. 【解析】 依题意，0, 4 x ， 故 3 30, 4 x ， 则 3 3, 4 x ， 故 2 3 42 ， 解得 42 ， 故错误；当取得最大值时， sin 3cos3 2 f xxx ，将函数 f x的图像向左平移 18 个单位 后， 得到cos 3 6 yx ， 再将横坐标伸长为原来的2 倍， 得到 3 cos 26 x g x ， 则 1 32 g ， 故正确；在同一直角坐
20、标系中分别作出sin 3 4 yx 以及sin 3 2 yx 的图像如下所示，观察可 知，它们在0,2上有个 6 个零点，故正确；故选 C. 12.【答案】B 【命题立意】本题考查双曲线的方程与性质，考查考生数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养. 【解析】依题意， 2 1 3 F MAN得 2 F MAN， 1222 FNFANFMF N，故 2 MNMF；又 2 1 3 MFAN，故 1 1 2 MFMN；不妨设2MNm，由双曲线的定义可得， 2 2MFma， 2 32NFma， 故22mma， 故2ma， 则 22 4MNMFNFa， 故 2 MNF为等边三角形， 故在 12 NFF中，
21、 12 60FNF，即 1 36NFma， 2 4NFa， 12 2FFc，由余弦定理， 2 22 2 642 64co 60284saaaaac ，则7e ，故选 B. 二、填空题 13.【答案】12. 【命题意图】本题考查二元一次不等式组与平面区域、线性规划，考查考生数学运算、直观想象的核心素 养. 【解析】 作出不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示； 观察可知， 当直线35zxy过点C时，z有 最大值；联立 340 20 xy y ，解得 2 3 2 x y ，故 2 , 2 3 C ，故35zxy的最大值为 12. 14.【答案】80. 【命题意图】本题考查二项式定理，考查考生数学
22、运算、逻辑推理的核心素养. 【解析】依题意， 7 0a ， 3 33 66 C21160a ， 2 44 86 C21240a ，故 678 80aaa. 15.【答案】 7 5 . 【命题意图】本题考查三角恒等变换，考查考生数学运算、逻辑推理的核心素养. 【解析】依题意， 222 2222 7 sinsinsinsin1 cos1 cos1 coscoscoscos 25 ，则 7 sinsin 5 . 16.【答案】 ,21 ,2 n n nk a n nk ， （或写成 1 1 n n an ） 【命题意图】本题考查数列的性质、数列的通项公式，考查考生数学运算、逻辑推理的核心素养. 【解
23、析】依题意， 21n a 单调递增，故 135 aaa；数列 2n a单调递减，故 246 aaa，所 以 531246 aaaaaa； 因为 1 1 21 nn aa n ， 故 212 41 n n aan ； 同理 1 22 41 n n aan ， 所以 2121 2 nn aa ；又 1 1a ，所以 21 1 2121 n ann ，所以 2 2141 y ann ，则 2 2 n an ，所以数列 n a的通项公式为 ,21 ,2 n n nk a n nk . 三、解答题 17.【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理、二倍角公式，考查考生数学运算、直观想象的核心素养. 【解析】
24、 （1）依题意，30ACB，60DAC， 故ADC为等边三角形，则3AB ，2 3AC ， 22 21BDBCCD， 因为coscos0BEABED， 由余弦定理， 222222 0 22 BEAEABBEDEBD BE AEBE DE ，解得3BE ； （2）设ABx，则3DCx，在RtABC中， sin x AC ， 在ACD中，2DAC，由正弦定理， sinsin DCAC DACADC ， 即 3 sin sin2sin60 x x ，解得 3 cos 4 ，则 2 1 cos22cos1 8 . 18.【命题意图】本题考查空间线面的位置关系、向量法求空间角，考查考生直观想象、数学运算
25、、逻辑推 理的核心素养. 【解析】 （1）证明：因为ABCD为菱形，所以BDAC. 因为 1 A A底面ABCD，所以 1 AABD.=又 1 ACA AA，所以BD 平面 1 A AC. 因为OF 平面 1 A AC，故BDOF； 又 1 90FOA，即 1 OFOA，而 1 BDOAO，故OF 平面 1 ABD； 而 1 AB 平面 1 ABD，故 1 OFAB； （2）以O为坐标原点，OC、OB所在直线分别为x、y轴，过点O作垂直于平面ABCD的直线为z轴， 建立空间直角坐标系Oxyz，设4AB ， 1 3AA ， 则 1 2 3,0,3A ， 2 3,0,0C，0, 2,0D， 3 2
26、 3,0, 2 E ， 则 1 4 3,0, 3AC ， 2 3,2,0DC ， 3 2 3,0, 2 OE ， 设平面 1 ACD的法向量为, ,mx y z，则 1 4 330 2 320 m ACxz m DCxy ， 令3x ，得 3, 3,4m 为平面 1 ACD的一个法向量； 记直线EO与平面 1 ACD所成角为，故 4 399 sin 133 OE m OEm . 19.【命题意图】本题考查样本的数字特征、频率分布直方图、独立性检验、正态分布，考查考生数学运算、 逻辑推理的核心素养. 【解析】 （1）依题意，0.0125 0.050.0375 0.012541m ，解得0.137
27、5m； 故0.0125 40.05 80.1375 120.0375 160.0125 20411.8x ； （2）在本次实验中， 2 K的观测值 2 0 1500500 400300 300 57.87610.828 800 800 700 700 k ， 故有 99.9%的把握认为性别与选择租房时考虑的主要因素具有相关性. （3）依题意，毕业后留在该市的应届毕业生人数为1000000 0.3300000人， 0.68270.9973 860214030.84 2 PxPx ， 故所求人数为300000 0.84252000. 20.【命题意图】本题考查椭圆的方程、直线与椭圆综合性问题，考查
28、考生直观想象、数学运算、逻辑推理 的核心素养. 【解析】 （1）依题意，3bc ， 2 3 2 b a ；由可得， 22 3b c ，即 222 3bab； 由可得， 2 3 2 ba， 将代入中，整理可得， 32 2340aa，即 322 2440aaa，即 2 2220aaa； 因为 2 220aa，故2a，则 2 3b ，故椭圆C的方程为 22 1 43 xy ； （2）由（1）得 1 1,0F ，设 11 ,A x y， 22 ,B x y， 若直线AB的斜率为零，易知， 11 3 4 F AFB AB ； 若直线AB的斜率不为零，可设AB的方程为1xmy， 联立得方程组 22 1 1
29、 43 xmy xy ，消去x并整理得 22 34690mymy， 222 3636 3414410mmm ， 12 2 6 34 m yy m ， 12 2 9 34 y y m ， 2 22 121212 114ABmyymyyy y 2 2 2 22 1441121 1 3434 mm m mm . 2 2 111212121212 2 91 111 34 m F A FBxxy ymy myy ymy y m . 11 93 124 F A FB AB ，则 11 3 4 F AFB AB ，综上所述， 3 4 . 21.【命题意图】本题考查利用导数研究函数的性质，考查考生数学运算、逻
30、辑推理的核心素养. 【解析】 （1）依题意，0,x， 2 2 21 axxa fxx xx ，则1 8a ； 若1 80a ，即 1 8 a 时， 0fx； 若1 80a ，即 1 8 a 时， 令 0fx，即 2 20 xxa，故 11 8 2 a x （ 11 8 2 a x 舍去） ； 当 11 8 0 2 a 时，即 1 0 8 a时， 0fx， f x在0,单调递减， 当 11 8 0 2 a 时，即0a时， 当 11 8 0, 2 a x 时， 0fx，当 11 8 , 2 a x 时， 0fx，故函数 f x在 11 8 0, 2 a 上单调递增，在 11 8 , 2 a 上单调
31、递减； 综上所述，当0a时， f x在0,上单调递减，当0a时， 11 8 0, 2 a 单调递增，在 11 8 , 2 a 上单调递减. （2）依题意， 2 ln1F xxx 不妨设0mn，则 mF nnF mmn mn等价于 F nF m mn nm ， 考察函数 F x g x x ，得 2 2 ln2xx gx x ，令 2 2 ln2xx h x x ， 3 52ln x h x x ， 则 5 2 0,ex 时， 0h x， 2 5 e ,x 时， 0h x， 所以 h x在区间 2 5 0,e 上是单调递增函数， 在区间 2 5 e , 上是单调递减函数； 故 5 2 5 1 e
32、10 2e gxg ，所以 g x在0,上单调递减. 从而 g mg n，即 F nF m nm ，故 F mF n nm mn ， 所以 F mF n mn mn ，即 g mmg nn恒成立， 设 xg xx，则 x在0,上恒为单调递减函数， 从而 0 xg x恒成立，故 5 1 10 2e xgx ， 故 5 1 1 2e ，即实数的取值范围为 5 1 ,1 2e . 22.【命题意图】本题考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程、普通方程的转化以及极坐标方程的应用， 考查考生数学运算、逻辑推理的核心素养. 【解析】 （1）依题意，直线l的直角坐标方程为4x； 因为曲线 2cos2 : 2
33、2sin2 x C y ，故 2 2 24xy， 故曲线C的普通方程为 22 40 xyy，则曲线C的极坐标方程为4sin； （2）依题意，直线 l 的极坐标方程为 R 联立 cos4 ，故 4 cos M OM ，由 4sin ， 故 cos1 4 sinsin2 42 N ON ， 所以当 4 或 3 4 时，有最大值 1 2 . 23.【命题意图】本题考查绝对值不等式的解法、绝对值三角不等式的性质，考查考生数学运算、逻辑推理 的核心素养. 【解析】 （1）依题意， 3 13 2 xxx； 当1x时， 3 13 2 xxx ，解得 5 6 x ，故1x； 当 3 1 2 x 时， 3 13 2 xxx ，解得 1 2 x ，故 1 1 2 x ； 当 3 2 x 时， 3 13 2 xxx ，解得 5 6 x ，故无解； 综上所述，不等式 3f xx的解集为 1 2 x x ； （2）因为， 335 11 222 xxxx ，故 535 1 222 xx； 而2212211xmxxmxm ，故 5 1 2 m ， 即 5 1 2 m，则 73 22 m，故实数m的取值范围为 7 3 , 2 2 .
