20070919高一数学（1.3.1-1函数单调性的概念）.ppt

1、1.3.1 1.3.1 单调性与最大（小）值单调性与最大（小）值 第一课时第一课时 函数单调性的概念函数单调性的概念 问题提出问题提出 德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类 的记忆牢固程度进行了有关研究的记忆牢固程度进行了有关研究. .他经过测试，得他经过测试，得 到了以下一些数据：到了以下一些数据： 时间间隔时间间隔 t 刚记刚记 忆完忆完 毕毕 20分分 钟后钟后 60分分 钟后钟后 8-9 小时小时 后后 1天天 后后 2天天 后后 6天天 后后 一个一个 月后月后 记忆量记忆量y (百分比百分比) 100 58.2 44.2 35.8 33.

2、7 27.8 25.4 21.1 以上数据表明，记忆量以上数据表明，记忆量y y是时间是时间 间隔间隔t t的函数的函数. . 艾宾浩斯根据这艾宾浩斯根据这 些数据描绘出了著名的些数据描绘出了著名的“艾宾浩艾宾浩 斯斯遗忘曲线遗忘曲线”, ,如图如图. . 1 2 3 t y o 20 40 60 80 100 思考思考1:1:当时间间隔当时间间隔t t逐渐增逐渐增 大你能看出对应的函数值大你能看出对应的函数值y y 有什么变化趋势？通过这个有什么变化趋势？通过这个 试验，你打算以后如何对待试验，你打算以后如何对待 刚学过的知识刚学过的知识? ? 思考思考2:2:“艾宾浩斯遗忘曲线艾宾浩斯遗忘

3、曲线” 从左至右是逐渐下降的，对此，从左至右是逐渐下降的，对此， 我们如何用数学观点进行解释？我们如何用数学观点进行解释？ t y o 20 40 60 80 100 1 2 3 知识探究（一）知识探究（一） y x o 考察下列两个函数考察下列两个函数: : ( )f xx 2 ( )(0)f xxx （1 1） ； (2)(2) x y o 思考思考1 1: :这两个函数的图象分别是什么？二者有何这两个函数的图象分别是什么？二者有何 共同特征？共同特征？ 思考思考2 2: :如果一个函数的图象从左至右逐渐上升，如果一个函数的图象从左至右逐渐上升， 那么当自变量那么当自变量x x从小到大依次

4、取值时，函数值从小到大依次取值时，函数值y y的的 变化情况如何？变化情况如何？ ( )f x 12 xx 1 ()f x 2 ()f x 思考思考3 3: :如图为函数如图为函数 在定义域在定义域 I I内某个区间内某个区间D D上的图象，对于该上的图象，对于该 区间上任意两个自变量区间上任意两个自变量x x1 1和和x x2 2， 当当 时，时， 与与 的大小的大小 关系如何关系如何？ x y o x1 x2 ( )yf x 1 ( )f x 2 ()f x 思考思考4 4: :我们把具有上述特点的函数称为增函数，我们把具有上述特点的函数称为增函数， 那么怎样定义“函数那么怎样定义“函数

5、在区间在区间D D上是增函数”？上是增函数”？ ( )f x ( )f x 12 ,x x 1 x 2 x 1 ( )f x 2 ()f x )(xf 对于对于函数函数定义域定义域I I内某个区间内某个区间D D上的任意两个自变量上的任意两个自变量 的值的值，若当，若当 时，都有时，都有 , , 则称函数则称函数 在区间在区间D D上是增函数上是增函数. . 知识探究（二）知识探究（二） 考察下列两个函数考察下列两个函数: : ( )f xx 2 ( )(0)f xxx （1 1） ； (2)(2) 1 ( )f x 2 ()f x ( )yf x x y o x o y 思考思考1 1: :

6、这两个函数的图象分别是什么？这两个函数的图象分别是什么？二者有何二者有何 共同特征？共同特征？ ( )f x 思考思考2 2: :我们把具有上述特点的我们把具有上述特点的 函数称为减函数，那么怎样定函数称为减函数，那么怎样定 义“函数义“函数 在区间在区间D D上是减上是减 函数”？函数”？ 2 ()f x x y o x1 x2 ( )yf x 1 ( )f x ( )f x 12 ,x x 1 x 2 x 1 ( )f x 2 ()f x )(xf 对于对于函数函数定义域定义域I I内某个区间内某个区间D D上的任意两个自变量上的任意两个自变量 的值的值，若当，若当 , , 则称函数则称函

7、数 在区间在区间D D上是减函数上是减函数. . ( )f x 12 ()()f xf x 思考思考3:3:对于对于函数函数定义域定义域I I内某个区间内某个区间D D上的任意两上的任意两 个自变量个自变量 的值的值，若当，若当 时，都有时，都有 , ,则函数则函数 在区间在区间D D上是增函数还是上是增函数还是 减函数？减函数？ 12 ,x x 12 xx 2 ( )(1)f xx ( )f x ( )f x 思考思考4 4：如果函数如果函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间D D上是增函上是增函 数或减函数，则称函数数或减函数，则称函数 在这一区间具有在这一区间具有 （严格的）（严格的）

8、单调性单调性，区间，区间D D叫做函数叫做函数 的的 单调区间单调区间. .那么二次函数在那么二次函数在R R上具有单调性吗？上具有单调性吗？ 函数函数 的单调区间如何？的单调区间如何？ 理论迁移理论迁移 - -5 5 - -3 3 1 1 3 3 6 o o x x y y ( )yf x ( )yf x 例例1 如图是定义在闭区间如图是定义在闭区间 - -5 5，66上的函数上的函数 的图象，根据图象说出的图象，根据图象说出 的单调区间，以的单调区间，以 及在每一单调区间上，及在每一单调区间上， 函数函数 是增函数还是增函数还 是减函数是减函数. ( )yf x (0,) 1 ( ) x

9、f x x 例例3 3 试确定函数试确定函数 在区间在区间 上的单调性上的单调性. () k Pk V 为正常数 例例2 2 物理学中的玻意耳定律物理学中的玻意耳定律 告诉我们，对于一定量的气体，当其体积告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V V 减小时，压强减小时，压强p p将增大将增大. . 试用函数的单调性试用函数的单调性 证明证明. . 小小 结结 利用定义确定或证明函数利用定义确定或证明函数f(x)f(x)在给定的在给定的 区间区间D D上的单调性的一般步骤：上的单调性的一般步骤： 1.1.取数取数: :任取任取x x1 1，x x2 2DD，且，且x x1 1x x2 2； 2.2.作差作差: :f(xf(x1 1) )f(xf(x2 2) )； 3.3.变形变形: :通常是因式分解和配方通常是因式分解和配方; ; 4.4.定号定号: :判断差判断差f(xf(x1 1) )f(xf(x2 2) )的正负的正负; ; 5.5.小结小结: :指出函数指出函数f(x)f(x)在给定的区间在给定的区间D D上的上的 单调性单调性. . 作业：作业： P P32 32 练习： 练习：1 1，2 2，3 3，4.4.