1、1.3.1 1.3.1 单调性与最大(小)值单调性与最大(小)值 第一课时第一课时 函数单调性的概念函数单调性的概念 问题提出问题提出 德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯,对人类德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯,对人类 的记忆牢固程度进行了有关研究的记忆牢固程度进行了有关研究. .他经过测试,得他经过测试,得 到了以下一些数据:到了以下一些数据: 时间间隔时间间隔 t 刚记刚记 忆完忆完 毕毕 20分分 钟后钟后 60分分 钟后钟后 8-9 小时小时 后后 1天天 后后 2天天 后后 6天天 后后 一个一个 月后月后 记忆量记忆量y (百分比百分比) 100 58.2 44.2 35.8 33.
2、7 27.8 25.4 21.1 以上数据表明,记忆量以上数据表明,记忆量y y是时间是时间 间隔间隔t t的函数的函数. . 艾宾浩斯根据这艾宾浩斯根据这 些数据描绘出了著名的些数据描绘出了著名的“艾宾浩艾宾浩 斯斯遗忘曲线遗忘曲线”, ,如图如图. . 1 2 3 t y o 20 40 60 80 100 思考思考1:1:当时间间隔当时间间隔t t逐渐增逐渐增 大你能看出对应的函数值大你能看出对应的函数值y y 有什么变化趋势?通过这个有什么变化趋势?通过这个 试验,你打算以后如何对待试验,你打算以后如何对待 刚学过的知识刚学过的知识? ? 思考思考2:2:“艾宾浩斯遗忘曲线艾宾浩斯遗忘
3、曲线” 从左至右是逐渐下降的,对此,从左至右是逐渐下降的,对此, 我们如何用数学观点进行解释?我们如何用数学观点进行解释? t y o 20 40 60 80 100 1 2 3 知识探究(一)知识探究(一) y x o 考察下列两个函数考察下列两个函数: : ( )f xx 2 ( )(0)f xxx (1 1) ; (2)(2) x y o 思考思考1 1: :这两个函数的图象分别是什么?二者有何这两个函数的图象分别是什么?二者有何 共同特征?共同特征? 思考思考2 2: :如果一个函数的图象从左至右逐渐上升,如果一个函数的图象从左至右逐渐上升, 那么当自变量那么当自变量x x从小到大依次
4、取值时,函数值从小到大依次取值时,函数值y y的的 变化情况如何?变化情况如何? ( )f x 12 xx 1 ()f x 2 ()f x 思考思考3 3: :如图为函数如图为函数 在定义域在定义域 I I内某个区间内某个区间D D上的图象,对于该上的图象,对于该 区间上任意两个自变量区间上任意两个自变量x x1 1和和x x2 2, 当当 时,时, 与与 的大小的大小 关系如何关系如何? x y o x1 x2 ( )yf x 1 ( )f x 2 ()f x 思考思考4 4: :我们把具有上述特点的函数称为增函数,我们把具有上述特点的函数称为增函数, 那么怎样定义“函数那么怎样定义“函数
5、在区间在区间D D上是增函数”?上是增函数”? ( )f x ( )f x 12 ,x x 1 x 2 x 1 ( )f x 2 ()f x )(xf 对于对于函数函数定义域定义域I I内某个区间内某个区间D D上的任意两个自变量上的任意两个自变量 的值的值,若当,若当 时,都有时,都有 , , 则称函数则称函数 在区间在区间D D上是增函数上是增函数. . 知识探究(二)知识探究(二) 考察下列两个函数考察下列两个函数: : ( )f xx 2 ( )(0)f xxx (1 1) ; (2)(2) 1 ( )f x 2 ()f x ( )yf x x y o x o y 思考思考1 1: :
6、这两个函数的图象分别是什么?这两个函数的图象分别是什么?二者有何二者有何 共同特征?共同特征? ( )f x 思考思考2 2: :我们把具有上述特点的我们把具有上述特点的 函数称为减函数,那么怎样定函数称为减函数,那么怎样定 义“函数义“函数 在区间在区间D D上是减上是减 函数”?函数”? 2 ()f x x y o x1 x2 ( )yf x 1 ( )f x ( )f x 12 ,x x 1 x 2 x 1 ( )f x 2 ()f x )(xf 对于对于函数函数定义域定义域I I内某个区间内某个区间D D上的任意两个自变量上的任意两个自变量 的值的值,若当,若当 , , 则称函数则称函
7、数 在区间在区间D D上是减函数上是减函数. . ( )f x 12 ()()f xf x 思考思考3:3:对于对于函数函数定义域定义域I I内某个区间内某个区间D D上的任意两上的任意两 个自变量个自变量 的值的值,若当,若当 时,都有时,都有 , ,则函数则函数 在区间在区间D D上是增函数还是上是增函数还是 减函数?减函数? 12 ,x x 12 xx 2 ( )(1)f xx ( )f x ( )f x 思考思考4 4:如果函数如果函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间D D上是增函上是增函 数或减函数,则称函数数或减函数,则称函数 在这一区间具有在这一区间具有 (严格的)(严格的)
8、单调性单调性,区间,区间D D叫做函数叫做函数 的的 单调区间单调区间. .那么二次函数在那么二次函数在R R上具有单调性吗?上具有单调性吗? 函数函数 的单调区间如何?的单调区间如何? 理论迁移理论迁移 - -5 5 - -3 3 1 1 3 3 6 o o x x y y ( )yf x ( )yf x 例例1 如图是定义在闭区间如图是定义在闭区间 - -5 5,66上的函数上的函数 的图象,根据图象说出的图象,根据图象说出 的单调区间,以的单调区间,以 及在每一单调区间上,及在每一单调区间上, 函数函数 是增函数还是增函数还 是减函数是减函数. ( )yf x (0,) 1 ( ) x
9、f x x 例例3 3 试确定函数试确定函数 在区间在区间 上的单调性上的单调性. () k Pk V 为正常数 例例2 2 物理学中的玻意耳定律物理学中的玻意耳定律 告诉我们,对于一定量的气体,当其体积告诉我们,对于一定量的气体,当其体积V V 减小时,压强减小时,压强p p将增大将增大. . 试用函数的单调性试用函数的单调性 证明证明. . 小小 结结 利用定义确定或证明函数利用定义确定或证明函数f(x)f(x)在给定的在给定的 区间区间D D上的单调性的一般步骤:上的单调性的一般步骤: 1.1.取数取数: :任取任取x x1 1,x x2 2DD,且,且x x1 1x x2 2; 2.2.作差作差: :f(xf(x1 1) )f(xf(x2 2) ); 3.3.变形变形: :通常是因式分解和配方通常是因式分解和配方; ; 4.4.定号定号: :判断差判断差f(xf(x1 1) )f(xf(x2 2) )的正负的正负; ; 5.5.小结小结: :指出函数指出函数f(x)f(x)在给定的区间在给定的区间D D上的上的 单调性单调性. . 作业:作业: P P32 32 练习: 练习:1 1,2 2,3 3,4.4.