2022届高考（统考版）数学理科一轮复习教学案：第12章 第1节 坐标系 （含解析）.doc

1、全国卷五年考情图解 高考命题规律把握 1.考查形式 本题为高考选做题，以解答题形式出 现，分值 10 分. 2.考查内容 (1)参数方程、极坐标与曲线的关系； (2)由参数方程、 极坐标方程求解曲线 的一些基本量，主要是极坐标与直角 坐标、参数方程(直线、圆、椭圆的参 数方程)与普通方程的互化问题及应 用等，考查知识点较为简单和稳定. 坐标系坐标系 考试要求 1.了解坐标系的作用， 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平 面图形的变化情况. 2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极 坐标和直角坐标的互化. 3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程 1平面直角坐

2、标系中的坐标伸缩变换 设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 ： x x0， y y0 的 作用下，点 P(x，y)对应到点 P(x，y)，称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换， 简称伸缩变换 2极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示，在平面内取一个定点 O，叫做极点；自极点 O 引一条射线 Ox，叫 做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆 时针方向)，这样就建立了一个极坐标系 (2)极坐标 极径：设 M 是平面内一点，极点 O 与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的极径， 记为 . 极角：以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的角 xO

3、M 叫做点 M 的极角，记 为 . 极坐标：有序数对(，)叫做点 M 的极坐标，记为 M(，)一般不作特殊 说明时，我们认为 0， 可取任意实数 3极坐标与直角坐标的互化 设 M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(，)，则它们之 间的关系为： xcos ， ysin ； 2x2y2， tan y xx0. 4常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点，半径为 r 的 圆 r(02) 圆心为(r,0)半径为 r 的圆 2rcos 2 2 圆心为 r， 2 ，半径为 r 的圆 2rsin (0) 过极点，倾斜角为 的直 线 (R) 或 (R) 过点(a,0)，与极

4、轴垂直的 直线 cos a 2 2 过点 ， 2 ，与极轴平行 的直线 sin a(0) 一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐 标也是一一对应关系 ( ) (2)若点 P 的直角坐标为(1， 3)，则点 P 的一个极坐标是 2， 3 .( ) (3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的 ( ) (4)极坐标方程 (0)表示的曲线是一条直线 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 二、教材习题衍生 1在极坐标系中，圆 2sin 的圆心的极坐标是( ) A 1， 2 B 1， 2 C(1,0) D(1，)

5、B 由 2sin ，得 22sin ，化成直角坐标方程为 x2y22y，化 成标准方程为 x2(y1)21，圆心坐标为(0，1)，其对应的极坐标为 1， 2 . 2若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则 线段 y1x(0 x1)的极坐标方程为( ) A 1 cos sin ，0 2 B 1 cos sin ，0 4 Ccos sin ，0 2 Dcos sin ，0 4 A y1x(0 x1)，sin 1cos (0cos 1)， 1 sin cos 0 2 . 3设平面上的伸缩变换的坐标表达式为 x1 2x， y3y， 则在这一坐标变换下正弦 曲线 ysin x

6、的方程变为 y3sin 2x 由 x1 2x， y3y， 知 x2x， y1 3y， 代入 ysin x 中得 y3sin 2x. 4点 P 的直角坐标为(1， 3)，则点 P 的极坐标为 2， 3 因为点 P(1， 3)在第四象限，与原点的距离为 2，且 OP 与 x 轴所成的角为 3，所以点 P 的极坐标为 2， 3 . 考点一 平面直角坐标系中的伸缩变换 伸缩变换后方程的求法 平面上的曲线 yf (x)在变换 ： xx0， yy0 的作用下的变换方程的求法 是将 xx ， yy 代入 yf (x)，得y f x ，整理之后得到 yh(x)，即为所求变 换之后的方程 1求椭圆x 2 4y

7、21 经过伸缩变换 x1 2x， yy 后的曲线方程 解 由 x1 2x， yy， 得到 x2x， yy. 将代入x 2 4y 21，得4x 2 4 y21， 即 x2y21. 因此椭圆x 2 4y 21 经伸缩变换后得到的曲线方程是 x2y21. 2将圆 x2y21 变换为椭圆 x2 9 y 2 4 1 的一个伸缩变换公式为 ： Xaxa0， Ybyb0， 求 a，b 的值 解 由 Xax， Yby 得 x1 aX， y1 bY， 代入 x2y21 中得X 2 a2 Y2 b21， 所以 a29，b24，即 a3，b2. 点评：解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公 式

8、的意义与作用求解；二是明确变换前的点 P(x，y)与变换后的点 P(x，y)的坐标 关系，用方程思想求解 考点二 极坐标系与直角坐标系的互化 1极坐标方程与直角坐标方程的互化方法 (1)直角坐标方程化为极坐标方程：将公式 xcos 及 ysin 直接代入直 角坐标方程并化简即可 (2)极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如 cos ，sin ，2 的形式，再应用公式进行代换其中方程的两边同乘以(或同除以) 及方程两边平 方是常用的变形技巧 2极角的确定方法 由 tan 确定角 时， 应根据点 P 所在象限取最小正角 在这里要注意： 当 x0 时， 角才能由 tan y x按上述方法确

9、定当 x0 时，tan 没有意义，这时可分 三种情况处理：当 x0，y0 时， 可取任何值；当 x0，y0 时，可取 2； 当 x0，y0 时，可取 3 2 . 典例 1 (1)在极坐标系下， 已知圆 O： cos sin 和直线 l： sin 4 2 2 (0,00)，M 的极坐标为(1，)(10) 由题意知|OP|，|OM|1 4 cos . 由|OM| |OP|16 得 C2的极坐标方程为 4cos (0) 因此 C2的直角坐标方程为(x2)2y24(x0) (2)设点 B 的极坐标为(B，)(B0) 由题设知|OA|2，B4cos ，于是OAB 的面积 S1 2|OA| B sinAO

10、B4cos sin 3 2 sin 2 3 3 2 2 3. 当 12时，S 取得最大值 2 3. 所以OAB 面积的最大值为 2 3. 点评：求线段的长度有两种方法方法一，先将极坐标系下点的坐标、曲线 方程转化为平面直角坐标系下的点的坐标、曲线方程，然后求线段的长度方法 二 ， 直 接 在 极 坐 标 系 下 求 解 ， 设A(1， 1) ， B(2， 2) ， 则 |AB| 2122212cos21；如果直线过极点且与另一曲线相交，求交点之间的距 离时，求出曲线的极坐标方程和直线的极坐标方程及交点的极坐标，则|12|即 为所求 跟进训练 1在直角坐标系 xOy 中，直线 C1：x2，圆 C

11、2：(x1)2(y2)21，以 坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 (1)求 C1，C2的极坐标方程； (2)若直线C3的极坐标方程为 4(R)， 设C2与C3的交点为M， N， 求C2MN 的面积 解 (1)因为 xcos ，ysin ， 所以 C1的极坐标方程为 cos 2， C2的极坐标方程为 22cos 4sin 40. (2)将 4代入 22cos 4sin 40，得 23 240，解得 12 2，2 2. 故 12 2，即|MN| 2. 由于 C2的半径为 1，所以C2MN 的面积为1 2. 2在极坐标系 Ox 中，直线 C1的极坐标方程为 sin 2，M 是 C1上

12、任意一 点，点 P 在射线 OM 上，且满足|OP| |OM|4，记点 P 的轨迹为 C2. (1)求曲线 C2的极坐标方程； (2)求曲线 C2上的点到直线 cos 4 2距离的最大值 解 (1)设 P(1，)，M(2，)， 由|OP| |OM|4， 得 124，即 2 4 1. 因为 M 是 C1上任意一点，所以 2sin 2， 即 4 1sin 2，12sin . 所以曲线 C2的极坐标方程为 2sin . (2)由 2sin ，得 22sin ，即 x2y22y0， 化为标准方程为 x2(y1)21， 则曲线 C2的圆心坐标为(0,1)，半径为 1， 由直线 cos 4 2， 得 cos cos 4sin sin 4 2， 即 xy2， 圆心(0,1)到直线 xy2 的距离为 d|012| 2 3 2 2 ， 所以曲线 C2上的点到直线 cos 4 2距离的最大值为 13 2 2 .