1、全国卷五年考情图解 高考命题规律把握 1.考查形式 本题为高考选做题，以解答题形式出 现，分值 10 分. 2.考查内容 (1)参数方程、极坐标与曲线的关系； (2)由参数方程、 极坐标方程求解曲线 的一些基本量，主要是极坐标与直角 坐标、参数方程(直线、圆、椭圆的参 数方程)与普通方程的互化问题及应 用等，考查知识点较为简单和稳定. 坐标系坐标系 考试要求 1.了解坐标系的作用， 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平 面图形的变化情况. 2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极 坐标和直角坐标的互化. 3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程 1平面直角坐
2、标系中的坐标伸缩变换 设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 ： x x0， y y0 的 作用下，点 P(x，y)对应到点 P(x，y)，称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换， 简称伸缩变换 2极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示，在平面内取一个定点 O，叫做极点；自极点 O 引一条射线 Ox，叫 做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆 时针方向)，这样就建立了一个极坐标系 (2)极坐标 极径：设 M 是平面内一点，极点 O 与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的极径， 记为 . 极角：以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的角 xO
3、M 叫做点 M 的极角，记 为 . 极坐标：有序数对(，)叫做点 M 的极坐标，记为 M(，)一般不作特殊 说明时，我们认为 0， 可取任意实数 3极坐标与直角坐标的互化 设 M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(，)，则它们之 间的关系为： xcos ， ysin ； 2x2y2， tan y xx0. 4常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点，半径为 r 的 圆 r(02) 圆心为(r,0)半径为 r 的圆 2rcos 2 2 圆心为 r， 2 ，半径为 r 的圆 2rsin (0) 过极点，倾斜角为 的直 线 (R) 或 (R) 过点(a,0)，与极
4、轴垂直的 直线 cos a 2 2 过点 ， 2 ，与极轴平行 的直线 sin a(0) 一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐 标也是一一对应关系 ( ) (2)若点 P 的直角坐标为(1， 3)，则点 P 的一个极坐标是 2， 3 .( ) (3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的 ( ) (4)极坐标方程 (0)表示的曲线是一条直线 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 二、教材习题衍生 1在极坐标系中，圆 2sin 的圆心的极坐标是( ) A 1， 2 B 1， 2 C(1,0) D(1，)
5、B 由 2sin ，得 22sin ，化成直角坐标方程为 x2y22y，化 成标准方程为 x2(y1)21，圆心坐标为(0，1)，其对应的极坐标为 1， 2 . 2若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则 线段 y1x(0 x1)的极坐标方程为( ) A 1 cos sin ，0 2 B 1 cos sin ，0 4 Ccos sin ，0 2 Dcos sin ，0 4 A y1x(0 x1)，sin 1cos (0cos 1)， 1 sin cos 0 2 . 3设平面上的伸缩变换的坐标表达式为 x1 2x， y3y， 则在这一坐标变换下正弦 曲线 ysin x
6、的方程变为 y3sin 2x 由 x1 2x， y3y， 知 x2x， y1 3y， 代入 ysin x 中得 y3sin 2x. 4点 P 的直角坐标为(1， 3)，则点 P 的极坐标为 2， 3 因为点 P(1， 3)在第四象限，与原点的距离为 2，且 OP 与 x 轴所成的角为 3，所以点 P 的极坐标为 2， 3 . 考点一 平面直角坐标系中的伸缩变换 伸缩变换后方程的求法 平面上的曲线 yf (x)在变换 ： xx0， yy0 的作用下的变换方程的求法 是将 xx ， yy 代入 yf (x)，得y f x ，整理之后得到 yh(x)，即为所求变 换之后的方程 1求椭圆x 2 4y
7、21 经过伸缩变换 x1 2x， yy 后的曲线方程 解 由 x1 2x， yy， 得到 x2x， yy. 将代入x 2 4y 21，得4x 2 4 y21， 即 x2y21. 因此椭圆x 2 4y 21 经伸缩变换后得到的曲线方程是 x2y21. 2将圆 x2y21 变换为椭圆 x2 9 y 2 4 1 的一个伸缩变换公式为 ： Xaxa0， Ybyb0， 求 a，b 的值 解 由 Xax， Yby 得 x1 aX， y1 bY， 代入 x2y21 中得X 2 a2 Y2 b21， 所以 a29，b24，即 a3，b2. 点评：解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公 式
8、的意义与作用求解；二是明确变换前的点 P(x，y)与变换后的点 P(x，y)的坐标 关系，用方程思想求解 考点二 极坐标系与直角坐标系的互化 1极坐标方程与直角坐标方程的互化方法 (1)直角坐标方程化为极坐标方程：将公式 xcos 及 ysin 直接代入直 角坐标方程并化简即可 (2)极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如 cos ，sin ，2 的形式，再应用公式进行代换其中方程的两边同乘以(或同除以) 及方程两边平 方是常用的变形技巧 2极角的确定方法 由 tan 确定角 时， 应根据点 P 所在象限取最小正角 在这里要注意： 当 x0 时， 角才能由 tan y x按上述方法确
9、定当 x0 时，tan 没有意义，这时可分 三种情况处理：当 x0，y0 时， 可取任何值；当 x0，y0 时，可取 2； 当 x0，y0 时，可取 3 2 . 典例 1 (1)在极坐标系下， 已知圆 O： cos sin 和直线 l： sin 4 2 2 (0,00)，M 的极坐标为(1，)(10) 由题意知|OP|，|OM|1 4 cos . 由|OM| |OP|16 得 C2的极坐标方程为 4cos (0) 因此 C2的直角坐标方程为(x2)2y24(x0) (2)设点 B 的极坐标为(B，)(B0) 由题设知|OA|2，B4cos ，于是OAB 的面积 S1 2|OA| B sinAO
10、B4cos sin 3 2 sin 2 3 3 2 2 3. 当 12时，S 取得最大值 2 3. 所以OAB 面积的最大值为 2 3. 点评：求线段的长度有两种方法方法一，先将极坐标系下点的坐标、曲线 方程转化为平面直角坐标系下的点的坐标、曲线方程，然后求线段的长度方法 二 ， 直 接 在 极 坐 标 系 下 求 解 ， 设A(1， 1) ， B(2， 2) ， 则 |AB| 2122212cos21；如果直线过极点且与另一曲线相交，求交点之间的距 离时，求出曲线的极坐标方程和直线的极坐标方程及交点的极坐标，则|12|即 为所求 跟进训练 1在直角坐标系 xOy 中，直线 C1：x2，圆 C
11、2：(x1)2(y2)21，以 坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 (1)求 C1，C2的极坐标方程； (2)若直线C3的极坐标方程为 4(R)， 设C2与C3的交点为M， N， 求C2MN 的面积 解 (1)因为 xcos ，ysin ， 所以 C1的极坐标方程为 cos 2， C2的极坐标方程为 22cos 4sin 40. (2)将 4代入 22cos 4sin 40，得 23 240，解得 12 2，2 2. 故 12 2，即|MN| 2. 由于 C2的半径为 1，所以C2MN 的面积为1 2. 2在极坐标系 Ox 中，直线 C1的极坐标方程为 sin 2，M 是 C1上
12、任意一 点，点 P 在射线 OM 上，且满足|OP| |OM|4，记点 P 的轨迹为 C2. (1)求曲线 C2的极坐标方程； (2)求曲线 C2上的点到直线 cos 4 2距离的最大值 解 (1)设 P(1，)，M(2，)， 由|OP| |OM|4， 得 124，即 2 4 1. 因为 M 是 C1上任意一点，所以 2sin 2， 即 4 1sin 2，12sin . 所以曲线 C2的极坐标方程为 2sin . (2)由 2sin ，得 22sin ，即 x2y22y0， 化为标准方程为 x2(y1)21， 则曲线 C2的圆心坐标为(0,1)，半径为 1， 由直线 cos 4 2， 得 cos cos 4sin sin 4 2， 即 xy2， 圆心(0,1)到直线 xy2 的距离为 d|012| 2 3 2 2 ， 所以曲线 C2上的点到直线 cos 4 2距离的最大值为 13 2 2 .
