2022届高考(统考版)数学理科一轮复习教学案:第12章 第1节 坐标系 (含解析).doc

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1、全国卷五年考情图解 高考命题规律把握 1.考查形式 本题为高考选做题,以解答题形式出 现,分值 10 分. 2.考查内容 (1)参数方程、极坐标与曲线的关系; (2)由参数方程、 极坐标方程求解曲线 的一些基本量,主要是极坐标与直角 坐标、参数方程(直线、圆、椭圆的参 数方程)与普通方程的互化问题及应 用等,考查知识点较为简单和稳定. 坐标系坐标系 考试要求 1.了解坐标系的作用, 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平 面图形的变化情况. 2.了解极坐标的基本概念,会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,能进行极 坐标和直角坐标的互化. 3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程 1平面直角坐

2、标系中的坐标伸缩变换 设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 : x x0, y y0 的 作用下,点 P(x,y)对应到点 P(x,y),称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换, 简称伸缩变换 2极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示,在平面内取一个定点 O,叫做极点;自极点 O 引一条射线 Ox,叫 做极轴;再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆 时针方向),这样就建立了一个极坐标系 (2)极坐标 极径:设 M 是平面内一点,极点 O 与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的极径, 记为 . 极角:以极轴 Ox 为始边,射线 OM 为终边的角 xO

3、M 叫做点 M 的极角,记 为 . 极坐标:有序数对(,)叫做点 M 的极坐标,记为 M(,)一般不作特殊 说明时,我们认为 0, 可取任意实数 3极坐标与直角坐标的互化 设 M 是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(,),则它们之 间的关系为: xcos , ysin ; 2x2y2, tan y xx0. 4常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点,半径为 r 的 圆 r(02) 圆心为(r,0)半径为 r 的圆 2rcos 2 2 圆心为 r, 2 ,半径为 r 的圆 2rsin (0) 过极点,倾斜角为 的直 线 (R) 或 (R) 过点(a,0),与极

4、轴垂直的 直线 cos a 2 2 过点 , 2 ,与极轴平行 的直线 sin a(0) 一、易错易误辨析(正确的打“”,错误的打“”) (1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系,在极坐标系中点与坐 标也是一一对应关系 ( ) (2)若点 P 的直角坐标为(1, 3),则点 P 的一个极坐标是 2, 3 .( ) (3)在极坐标系中,曲线的极坐标方程不是唯一的 ( ) (4)极坐标方程 (0)表示的曲线是一条直线 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 二、教材习题衍生 1在极坐标系中,圆 2sin 的圆心的极坐标是( ) A 1, 2 B 1, 2 C(1,0) D(1,)

5、B 由 2sin ,得 22sin ,化成直角坐标方程为 x2y22y,化 成标准方程为 x2(y1)21,圆心坐标为(0,1),其对应的极坐标为 1, 2 . 2若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则 线段 y1x(0 x1)的极坐标方程为( ) A 1 cos sin ,0 2 B 1 cos sin ,0 4 Ccos sin ,0 2 Dcos sin ,0 4 A y1x(0 x1),sin 1cos (0cos 1), 1 sin cos 0 2 . 3设平面上的伸缩变换的坐标表达式为 x1 2x, y3y, 则在这一坐标变换下正弦 曲线 ysin x

6、的方程变为 y3sin 2x 由 x1 2x, y3y, 知 x2x, y1 3y, 代入 ysin x 中得 y3sin 2x. 4点 P 的直角坐标为(1, 3),则点 P 的极坐标为 2, 3 因为点 P(1, 3)在第四象限,与原点的距离为 2,且 OP 与 x 轴所成的角为 3,所以点 P 的极坐标为 2, 3 . 考点一 平面直角坐标系中的伸缩变换 伸缩变换后方程的求法 平面上的曲线 yf (x)在变换 : xx0, yy0 的作用下的变换方程的求法 是将 xx , yy 代入 yf (x),得y f x ,整理之后得到 yh(x),即为所求变 换之后的方程 1求椭圆x 2 4y

7、21 经过伸缩变换 x1 2x, yy 后的曲线方程 解 由 x1 2x, yy, 得到 x2x, yy. 将代入x 2 4y 21,得4x 2 4 y21, 即 x2y21. 因此椭圆x 2 4y 21 经伸缩变换后得到的曲线方程是 x2y21. 2将圆 x2y21 变换为椭圆 x2 9 y 2 4 1 的一个伸缩变换公式为 : Xaxa0, Ybyb0, 求 a,b 的值 解 由 Xax, Yby 得 x1 aX, y1 bY, 代入 x2y21 中得X 2 a2 Y2 b21, 所以 a29,b24,即 a3,b2. 点评:解答该类问题应明确两点:一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公 式

8、的意义与作用求解;二是明确变换前的点 P(x,y)与变换后的点 P(x,y)的坐标 关系,用方程思想求解 考点二 极坐标系与直角坐标系的互化 1极坐标方程与直角坐标方程的互化方法 (1)直角坐标方程化为极坐标方程:将公式 xcos 及 ysin 直接代入直 角坐标方程并化简即可 (2)极坐标方程化为直角坐标方程:通过变形,构造出形如 cos ,sin ,2 的形式,再应用公式进行代换其中方程的两边同乘以(或同除以) 及方程两边平 方是常用的变形技巧 2极角的确定方法 由 tan 确定角 时, 应根据点 P 所在象限取最小正角 在这里要注意: 当 x0 时, 角才能由 tan y x按上述方法确

9、定当 x0 时,tan 没有意义,这时可分 三种情况处理:当 x0,y0 时, 可取任何值;当 x0,y0 时,可取 2; 当 x0,y0 时,可取 3 2 . 典例 1 (1)在极坐标系下, 已知圆 O: cos sin 和直线 l: sin 4 2 2 (0,00),M 的极坐标为(1,)(10) 由题意知|OP|,|OM|1 4 cos . 由|OM| |OP|16 得 C2的极坐标方程为 4cos (0) 因此 C2的直角坐标方程为(x2)2y24(x0) (2)设点 B 的极坐标为(B,)(B0) 由题设知|OA|2,B4cos ,于是OAB 的面积 S1 2|OA| B sinAO

10、B4cos sin 3 2 sin 2 3 3 2 2 3. 当 12时,S 取得最大值 2 3. 所以OAB 面积的最大值为 2 3. 点评:求线段的长度有两种方法方法一,先将极坐标系下点的坐标、曲线 方程转化为平面直角坐标系下的点的坐标、曲线方程,然后求线段的长度方法 二 , 直 接 在 极 坐 标 系 下 求 解 , 设A(1, 1) , B(2, 2) , 则 |AB| 2122212cos21;如果直线过极点且与另一曲线相交,求交点之间的距 离时,求出曲线的极坐标方程和直线的极坐标方程及交点的极坐标,则|12|即 为所求 跟进训练 1在直角坐标系 xOy 中,直线 C1:x2,圆 C

11、2:(x1)2(y2)21,以 坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 (1)求 C1,C2的极坐标方程; (2)若直线C3的极坐标方程为 4(R), 设C2与C3的交点为M, N, 求C2MN 的面积 解 (1)因为 xcos ,ysin , 所以 C1的极坐标方程为 cos 2, C2的极坐标方程为 22cos 4sin 40. (2)将 4代入 22cos 4sin 40,得 23 240,解得 12 2,2 2. 故 12 2,即|MN| 2. 由于 C2的半径为 1,所以C2MN 的面积为1 2. 2在极坐标系 Ox 中,直线 C1的极坐标方程为 sin 2,M 是 C1上

12、任意一 点,点 P 在射线 OM 上,且满足|OP| |OM|4,记点 P 的轨迹为 C2. (1)求曲线 C2的极坐标方程; (2)求曲线 C2上的点到直线 cos 4 2距离的最大值 解 (1)设 P(1,),M(2,), 由|OP| |OM|4, 得 124,即 2 4 1. 因为 M 是 C1上任意一点,所以 2sin 2, 即 4 1sin 2,12sin . 所以曲线 C2的极坐标方程为 2sin . (2)由 2sin ,得 22sin ,即 x2y22y0, 化为标准方程为 x2(y1)21, 则曲线 C2的圆心坐标为(0,1),半径为 1, 由直线 cos 4 2, 得 cos cos 4sin sin 4 2, 即 xy2, 圆心(0,1)到直线 xy2 的距离为 d|012| 2 3 2 2 , 所以曲线 C2上的点到直线 cos 4 2距离的最大值为 13 2 2 .

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