1、2025年高考数学一轮复习课时作业-拓展拔高练七【原卷版】(时间:45分钟分值:55分)1.(5分)记Sn为数列an的前n项和,若a1=1,a2=2,且an+2-an=1+1n+1,则S100的值为()A.5 050B.2 600C.2 550D.2 4502.(5分)已知数列an满足a1=1,an+1+an=-3n(nN*),记数列an的前n项和为Sn,若Sn=-192,则n的值是()A. 14B. 15C. 16D. 173.(5分)设数列an的首项a1=a2=1,且满足a2n+1=3a2n-1与a2n+2-a2n+1=a2n,则数列an的前12项的和为()A.364B.728C.907D
2、.1 6354.(5分)(多选题)定义:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数,那么这个数列叫做等积数列,这个常数叫做该数列的公积,已知数列an是等积数列,且a1=3,前7项的和为14,则下列结论正确的是()A.an+2=anB.a2=23C.公积为1D.anan+1an+2=65.(5分)(多选题)已知数列an共有60项,满足an+1+(-1)nan=2n-1,其中1n59且nN*,数列an的所有奇数项的和记为S奇,所有偶数项的和记为S偶,则下列选项正确的是 ()A.a2k+1+a2k1=2(1k29且kN*)B.S奇=30C.S偶-S奇=1 770D. S60=1 810【
3、加练备选】 (多选题) 已知数列an满足a1=1,an+an+1=2n,则下列结论中正确的是()A.a4=5B. an为等比数列C.a1+a2+a2 023=22 024-3D.a1+a2+a2 024=22 025236.(5分)定义:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列an是等和数列,且a1=2,公和为5,则数列an的前n项和Sn=.7.(5分)已知数列an的各项均为正数,其前n项和为Sn,满足4Sn=an2+2an(nN*),设bn=(-1)nanan+1,Tn为数列bn的前n项和,则T20=.8.(10分)
4、已知数列an为各项非零的等差数列,其前n项和为Sn,满足S2n1=an2.(1)求数列an的通项公式;(2)记bn=nanan+1(-1)n,求数列bn的前n项和Tn.9.(10分)已知数列an满足an=n2an+12+12,n为奇数,2an2+n2,n为偶数.(1)判断数列an是否为等差数列或等比数列,请说明理由;(2)求证:数列a2n2n是等差数列,并求数列a2n的通项公式.2025年高考数学一轮复习课时作业-拓展拔高练七【解析版】(时间:45分钟分值:55分)1.(5分)记Sn为数列an的前n项和,若a1=1,a2=2,且an+2-an=1+1n+1,则S100的值为()A.5 050B
5、.2 600C.2 550D.2 450【解析】选B.当n为奇数时,an+2-an=2,数列a2n1是首项为1,公差为2的等差数列;当n为偶数时,an+2-an=0,数列a2n是首项为2,公差为0的等差数列,即常数列.则S100=(a1+a3+a99)+(a2+a4+a100)=50+504922+502=2 600.2.(5分)已知数列an满足a1=1,an+1+an=-3n(nN*),记数列an的前n项和为Sn,若Sn=-192,则n的值是()A. 14B. 15C. 16D. 17【解析】选C.因为a1=1,an+1+an=-3n,所以a2=-4,且an+2+an+1=-3(n+1),则
6、an+2-an=-3,故数列an的奇数项是首项为1,公差为-3的等差数列,偶数项是首项为-4,公差为-3的等差数列,所以S2n=n+n(n1)2(-3)-4n+n(n1)2(-3)=-3n2=-192,解得n=8.若Sn=-192,则n=16.3.(5分)设数列an的首项a1=a2=1,且满足a2n+1=3a2n-1与a2n+2-a2n+1=a2n,则数列an的前12项的和为()A.364B.728C.907D.1 635【解析】选C.数列an的首项a1=a2=1,且满足a2n+1=3a2n-1,则a3=3a1=3,a5=3a3=9,a7=3a5=27,a9=3a7=81,a11=3a9=24
7、3,由于a2n+2-a2n+1=a2n,则a2n+2=a2n+1+a2n,故a4=a3+a2=4,a6=a5+a4=13,a8=a7+a6=40,a10=a9+a8=121,a12=a11+a10=364,所以,数列an的前12项的和为1+1+3+4+9+13+27+40+81+121+243+364=907.4.(5分)(多选题)定义:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数,那么这个数列叫做等积数列,这个常数叫做该数列的公积,已知数列an是等积数列,且a1=3,前7项的和为14,则下列结论正确的是()A.an+2=anB.a2=23C.公积为1D.anan+1an+2=6【解
8、析】选AB.设anan+1=k(k为常数),则an+1an+2=k,所以an+2an=1,即an+2=an,故A正确;因为前7项的和为14,所以3(a1+a2)+a1=14,因为a1=3,所以a2=23,所以anan+1=2,即公积为2,故B正确,C错误;当n为奇数时,anan+1an+2=6,当n为偶数时,anan+1an+2=43,故D错误.5.(5分)(多选题)已知数列an共有60项,满足an+1+(-1)nan=2n-1,其中1n59且nN*,数列an的所有奇数项的和记为S奇,所有偶数项的和记为S偶,则下列选项正确的是 ()A.a2k+1+a2k1=2(1k29且kN*)B.S奇=30
9、C.S偶-S奇=1 770D. S60=1 810【解析】选ABC.因为an+1+(-1)nan=2n-1,其中1n59,所以a2k+1+a2k=4k-1,a2k-a2k1=4k-3,a2k+2-a2k+1=4k+1,所以a2k+1+a2k1=2(1k29且kN*),a2k+a2k+2=8k,所以S奇=215=30,S偶=8(1+3+29)=815(1+29)2=1 800,故S偶-S奇=1 800-30=1 770,S60=S偶+S奇=1 830.【加练备选】 (多选题) 已知数列an满足a1=1,an+an+1=2n,则下列结论中正确的是()A.a4=5B. an为等比数列C.a1+a2+
10、a2 023=22 024-3D.a1+a2+a2 024=22 02523【解析】选AD.对于A,由a1=1,an+an+1=2n,解得a2=1.又a2+a3=4,解得a3=3,同理a3+a4=23,解得a4=5,故A正确;对于B,因为a2a1=1,a3a2=3,所以an不是等比数列,故B错误;对于C,a1+a2+a2 023=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+(a2 022+a2 023)=1+22+24+22 022=1+4(141 011)14=41 01213=22 02413,故C错误;对于D,a1+a2+a2 024=(a1+a2)+(a3+a4)+(a2 023+a2 02
11、4)=21+23+22 023=2(141 012)14=241 01223=22 02523,故D正确.6.(5分)定义:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列an是等和数列,且a1=2,公和为5,则数列an的前n项和Sn=.【解析】由数列an是等和数列,且a1=2,公和为5,所以5=a1+a2=2+a2,解得a2=3.当n=2k(kN*)时,数列an的前n项和Sn=(a1+a2)+(a3+a4)+(a2k-1+a2k)=5+5+5=5k=5n2.当n=2k-1(kN*)时,数列an的前n项和Sn=(a1+a2)+
12、(a3+a4)+(a2k-3+a2k-2)+a2k-1=5(n1)2+2=5n12.所以Sn=5n2,n为偶数5n12,n为奇数. 答案:5n2,n为偶数5n12,n为奇数7.(5分)已知数列an的各项均为正数,其前n项和为Sn,满足4Sn=an2+2an(nN*),设bn=(-1)nanan+1,Tn为数列bn的前n项和,则T20=.【解析】因为4Sn=an2+2an(nN*),当n=1时,4S1=a12+2a1,解得a1=2或0(舍去),当n2时,4Sn=an2+2an,4Sn-1=an12+2an-1,-得:4an=an2+2an-an12-2an-1,整理得:(an+an-1)(an-
13、an-1-2)=0,因为数列an的各项均为正数,所以an-an-1-2=0,即an-an-1=2,所以数列an是首项为2,公差为2的等差数列,所以an=2+2(n-1)=2n,所以bn=(-1)nanan+1=4(-1)nn(n+1),所以T20=4-2+6-12+20-30+42-380+420=4(-2+6)+(-12+20)+(-30+42)+(-380+420)=4(4+8+12+40)=410(4+40)2=880.答案:8808.(10分)已知数列an为各项非零的等差数列,其前n项和为Sn,满足S2n1=an2.(1)求数列an的通项公式;(2)记bn=nanan+1(-1)n,求
14、数列bn的前n项和Tn.【解析】 (1)S2n1=(2n1)(a1+a2n1)2=an(2n-1)=an2,因为an0,所以an=2n-1(nN*).(2)bn=nanan+1(-1)n=n(2n1)(2n+1)(-1)n=14(12n1+12n+1)(-1)n,当n为偶数时,Tn=14(-11-13+13+15-15-17+12n1+12n+1)=14(-11+12n+1)=n4n+2,当n为奇数时,Tn=14(-11-13+13+15-15-17+-12n1-12n+1)=14(-11-12n+1)=n14n+2.所以Tn=n4n+2,n为偶数,n+14n+2,n为奇数.9.(10分)已知
15、数列an满足an=n2an+12+12,n为奇数,2an2+n2,n为偶数.(1)判断数列an是否为等差数列或等比数列,请说明理由;【解析】(1)由题意可知a1=12a1+12+12=12a1+12,所以a1=1,a2=2a22+22=2a1+1=3,a3=32a3+12+12=32a2+12=5,a4=2a42+42=2a2+2=8.因为a3-a2=2,a4-a3=3,a3-a2a4-a3,所以数列an不是等差数列.又因为a2a1=3,a3a2=53,a2a1a3a2,所以数列an也不是等比数列.(2)求证:数列a2n2n是等差数列,并求数列a2n的通项公式.【解析】(2)因为对任意正整数n,a2n+1=2a2n+2n,a2n+12n+1-a2n2n=12,a22=32,所以数列a2n2n是首项为32,公差为12的等差数列.从而对nN*,a2n2n=32+n12,a2n=(n+2)2n1,所以数列a2n的通项公式是a2n=(n+2)2n1.
