1、2025年高考数学一轮复习-立体几何中的动点及其轨迹问题-专项训练一、基本技能练1.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与到直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹为()A.直线 B.圆C.双曲线 D.抛物线2.如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，P为底面ABCD上的动点.PEA1C于E，且PAPE，则点P的轨迹是()A.线段 B.圆弧C.椭圆的一部分 D.抛物线的一部分3.如图，圆锥的底面直径AB2，母线VA3，点C在母线VB上，且VC1，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A到达点C，则这只蚂蚁爬行的最短距离是()A. B. C. D.4.如图所示
2、，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，长为2的线段MN的一个端点M在棱DD1上运动，另一端点N在正方形ABCD内运动，则MN中点轨迹的面积为()A.4 B.2 C. D.5.已知MN是长方体外接球的一条直径，点P在长方体表面上运动，长方体的棱长分别是1，1，则的取值范围为()A. B.C. D.6.点P为棱长是2的正方体ABCDA1B1C1D1的内切球O球面上的动点，点M为B1C1的中点，若满足DPBM，则动点P的轨迹的长度为()A. B.2 C.4 D.27.已知正三棱锥PABC的六条棱长均为6，S是ABC及其内部的点构成的集合.设集合TQS|PQ5，则T表示的区域的面积为()A.
3、 B. C.2 D.38.如图，三角形PAB所在的平面和四边形ABCD所在的平面垂直，且AD，BC，AD4，BC8，AB6，APDCPB，则点P在平面内的轨迹是()A.圆的一部分 B.椭圆的一部分C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分9.已知正方体ABCDABCD的棱长为1，点M，N分别为线段AB，AC上的动点，点T在平面BCCB内，则MTNT的最小值是()A. B. C. D.110.如图，长方体ABCDABCD中，ABBC，AA，上底面ABCD的中心为O，当点E在线段CC上从C移动到C时，点O在平面BDE上的射影G的轨迹长度为()A. B. C. D.11.如图所示，在四棱锥PABCD中，
4、PA底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_时，平面MBD平面PCD(只要填写一个你认为是正确的条件即可).12.如图，P是棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1表面上的动点，且AP，则动点P的轨迹的长度为_.二、创新拓展练13.在棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是AA1的中点，P是底面ABCD所在平面内一动点，设PD1，PE与底面ABCD所成的角分别为1，2(1，2均不为0)，若12，则三棱锥PBB1C1体积的最小值是()A. B. C. D.14.(多选)如图，设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E为A1D1的中点，F为CC1上的一个动点，设
5、由点A，E，F构成的平面为，则()A.平面截正方体的截面可能是三角形B.当点F与点C1重合时，平面截正方体的截面面积为2C.当点D到平面的距离的最大值为D.当F为CC1的中点时，平面截正方体的截面为五边形15.已知面积为2的菱形ABCD如图所示，其中AC2，E是线段AD的中点.现沿AC折起，使得点D到达点S的位置，此时二面角SACB的大小为120，连接SB，得到三棱锥SABC如图所示，则三棱锥SABC的体积为_；若点F在三棱锥的表面运动，且始终保持EFAC，则点F的轨迹长度为_.16.如图，三棱锥SABC的所有棱长均为1，SH底面ABC，点M，N在直线SH上，且MN，若动点P在底面ABC内，且
6、PMN的面积为，则动点P的轨迹长度为_.参考答案与解析一、基本技能练1.答案D解析点P到直线C1D1的距离即为点P到点C1的距离，所以在平面BB1C1C中，点P到定点C1的距离与到定直线BC的距离相等，由抛物线的定义可知，动点P的轨迹为抛物线，故选D.2.答案A解析由题意知，A1APA1EP，则点P为在线段AE的中垂面上运动，从而与底面ABCD的交线为线段.3.答案B解析在圆锥侧面的展开图中，AA2，所以AVA，所以AVBAVA，由余弦定理得AC2VA2VC22VAVCcosAVB32122317，所以AC.所以这只蚂蚁爬行的最短距离是，故选B.4.答案D解析易知DD1平面ABCD，MDN90
7、，取线段MN的中点P，则DPMN1，所以点P的轨迹是以D为球心，1为半径的球面，故S412.5.答案B解析根据题意，以D为坐标原点，为x轴正方向，为y轴正方向，为z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示.设长方体外接球球心为O，则DB1为外接球的一条直径，设O为DB1的中点，不妨设M与D重合，N与B1重合.则外接球的直径长为2，所以半径r1，所以()()()()|2|2|21，由P在长方体表面上运动，所以|，即|2，所以|21，即.6.答案C解析根据题意知，该正方体的内切球半径为r，如图，取BB1的中点N，连接CN，则CNBM，在正方体ABCDA1B1C1D1中，CN为DP在平面B1C1CB中
8、的射影，点P的轨迹为过D，C，N的平面与内切球的交线，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，O到过D，C，N的平面的距离为1，截面圆的半径为2，点P的轨迹的长度为224.7.答案B解析设顶点P在底面上的投影为O，连接BO，则O为ABC的中心，且BO62，故PO2.因为PQ5，故OQ1，故Q的轨迹为以O为圆心，1为半径的圆，而ABC内切圆的圆心为O，半径为1，故Q的轨迹圆在ABC内部，故其面积为.8.答案A解析由条件易得ADBC，且APDCPB，AD4，BC8，可得tanAPDtanCPB，即2，在平面PAB内以AB所在的直线为x轴，AB的中点O为坐标原点，建立直角坐标系(图略)，则A(3，
9、0)，B(3，0)，设P(x，y)，则有2，整理可得x2y210x90(x0).由于点P不在直线AB上，故此轨迹为圆的一部分，故答案选A.9.答案B解析A点关于BC的对称点为E，M关于BB的对称点为M，记d为直线EB与AC之间的距离，则MTNTMTNTMNd，由BEDC，d为E到平面ACD的距离，因为VDACE1SACE11，而VDACEVEACDd()2d，故d.10.答案B解析如图，以CA，CC分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，则有C(0，0)，O(1，0)，O(1，)，设G(x，y)，由OGOG，可得1，整理可得(x1)2，所以点O在平面BDE上的射影G的轨迹是以F为圆心，半径为
10、的.因为tanGOF，所以OGOOsinGOF，所以OGF是等边三角形，即GFO，所以圆弧OG的长l.11.答案DMPC(或BMPC)解析连接AC，BD，则ACBD，因为PA底面ABCD，BD平面ABCD，所以PABD.又PAACA，所以BD平面PAC，PC平面PAC，所以BDPC，所以当DMPC(或BMPC)时，有PC平面MBD，PC平面PCD，所以平面MBD平面PCD.12.答案解析由已知ACAB1AD1，在平面BC1，平面A1C1中，BPA1PDP1，所以动点P的轨迹是在平面BC1，平面A1C1，平面DC1内分别以B，D，A1为圆心，1为半径的三段圆弧，且长度相等，故轨迹长度和为3.二、
11、创新拓展练13.答案C解析以D为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，因为正方体的棱长为3，则E，D1(0，0，3)，设P(x，y，0)(x0，y0)，则，(x，y，3).因为12，平面ABCD的一个法向量z(0，0，1)，所以，得，整理得x2y28x120，即(x4)2y24(0y2)，则动点P的轨迹为圆的一部分，所以点P到平面BB1C1的最小距离为1，所以三棱锥PBB1C1体积的最小值是331.14.答案BCD解析如图，建立空间直角坐标系，延长AE与z轴交于点P，连接PF并延长与y轴交于点M，则平面由平面AEF扩展为平面APM.由此模型可知A错误.当点F与点C1重合时，截面是一个边长为的菱形
12、，该菱形的两条对角线长度分别AC12和2，则此时截面的面积为222.当F为CC1的中点时，平面截正方体的截面为五边形，B，D正确.D(0，0，0)，A(2，0，0)，P(0，0，4)，设点M的坐标为(0，t，0)(t2，4)，(2，0，0)，(2，t，0)，(2，0，4)，则可知点P到直线AM的距离为d，SAPMd.SPAD244，设点D到平面的距离为h，利用等体积法VDAPMVMPAD，即SAPMhSPADt，可得h，则h，由h在t2，4上单调递增，所以当t4时，h取到最大值为.故选BCD.15.答案解析依题意，ACBDBD2，点S到平面ABC的距离为sin 60，ABC的面积为2，则三棱锥
13、SABC的体积为.如图，取AC边上靠近点A的四等分点G，取BA的中点为H，连接EH，EG，GH，故点F的轨迹长度即为EHG的周长，又EGGH，EHSB，故点F的轨迹长度为.16.答案解析设P到直线MN的距离为d，由题易得d，易知H为ABC的中心，又MN平面ABC，当点P在平面ABC内时，其轨迹是以H为圆心，为半径的圆.ABC内切圆的半径为，圆H的一部分位于ABC外，结合题意得，点P的轨迹为圆H位于底面ABC内的三段相等的圆弧(利用正三角形的性质判断出圆H有一部分在ABC外，才能正确得到点P的轨迹)，如图，过点H作HOAC，垂足为O，则HO，记圆H与线段OC的交点为K，连接HK，可得HK，cosOHK，OHK，点P的轨迹长度为圆H周长的(利用圆及正三角形的对称性分析求解)，点P的轨迹长度为2.
