1、2025年高考数学一轮复习课时作业-圆锥曲线中的存在性问题【原卷版】(时间:45分钟分值:40分)1.(10分)(2024郑州模拟)已知抛物线:x2=2py(p0)上一点到焦点F的距离比它到直线y=-4的距离小3.(1)求抛物线的准线方程; (2)若过点F的直线l与抛物线交于A,B两点,线段AB的中垂线与抛物线的准线交于点C,请问:是否存在直线l,使得tan ACB=43?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.2.(10分)(2024扬州模拟)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左顶点为A,过右焦点F且平行于y轴的弦PQ=AF=3.(1)求APQ的内心坐标; (2)是否存在
2、定点D,使过点D的直线l交C于M,N,交PQ于点R,且满足MRND=MDRN?若存在,求出该定点坐标;若不存在,请说明理由.3.(10分)(2024梅州模拟)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点、右顶点分别为F,A,B(0,b),|AF|=1,点M在线段AB上,且满足|BM|=3|MA|,直线OM的斜率为1,O为坐标原点.(1)求双曲线C的方程. (2)过点F的直线l与双曲线C的右支相交于P,Q两点,在x轴上是否存在与F不同的定点E,使得|EP|FQ|=|EQ|FP|恒成立?若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.4.(10分)已知椭圆:x2a2+y2b2=1(ab
3、0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点B(0,b)且与直线BF2垂直的直线交x轴负半轴于D,且2F1F2+F2D=0.(1)求椭圆的离心率;(2)若过B,D,F2三点的圆恰好与直线l:x-3y-6=0相切,求椭圆的方程; (3)设a=2.过椭圆右焦点F2且不与坐标轴垂直的直线l与椭圆交于P,Q两点,点M是点P关于x轴的对称点,在x轴上是否存在一个定点N,使得M,Q,N三点共线?若存在,求出点N的坐标;若不存在,说明理由.【加练备选】(2024南京模拟)椭圆E的方程为x24+y28=1,左、右顶点分别为A(-2,0),B(2,0),点P为椭圆E上的点,且在第一象限,直线l过点P.(1)若直线l分
4、别交x,y轴于C,D两点,若PD=2,求PC的长; (2)若直线l过点(-1,0),且交椭圆E于另一点Q(异于点A,B),记直线AP与直线BQ交于点M,试问:点M是否在一条定直线上?若是,求出该定直线方程;若不是,说明理由.2025年高考数学一轮复习课时作业-圆锥曲线中的存在性问题【解析版】(时间:45分钟分值:40分)1.(10分)(2024郑州模拟)已知抛物线:x2=2py(p0)上一点到焦点F的距离比它到直线y=-4的距离小3.(1)求抛物线的准线方程;【解析】(1)因为抛物线:x2=2py上一点到焦点F的距离比它到直线y=-4的距离小于3,所以抛物线:x2=2py上一点到焦点F的距离等
5、于它到直线y=-1的距离,所以-p2=-1,解得p=2,故抛物线的方程是x2=4y,抛物线的准线方程为y=-1. (2)若过点F的直线l与抛物线交于A,B两点,线段AB的中垂线与抛物线的准线交于点C,请问:是否存在直线l,使得tan ACB=43?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.【解析】(2)由题意得F(0,1),且l斜率一定存在,设l:y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),由y=kx+1x2=4y,消去y可得x2-4kx-4=0,=16k2+160,则x1+x2=4k,x1x2=-4.设AB中点为M,如图,则tan ACB=tan 2ACM=2tanACM1-ta
6、n 2ACM=2|AM|CM|1-|AM|2|CM|2=43,解得|CM|=2|AM|,即|CM|=|AB|.当k=0时,易知|CM|=2,|AB|=|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2=4,不符合题意;当k0时,设C(x3,y3),M(x4,y4).因为CM垂直平分AB,所以CM的斜率为-1k,易知|CM|=1+k2|y3-y4|,因此有1+k2|y3-y4|=1+k2|x1-x2|.因为M为AB的中点,所以y4=y1+y22=k(x1+x2)+22=2k2+1,由题意,y3=-1,即|x1-x2|=2k2+2,16k2+16=2k2+2,两边平方整理可得k4-2k2-3=0,解得k
7、=3,故存在直线l使得tan ACB=43,且直线l的方程为y=3x+1或y=-3x+1.2.(10分)(2024扬州模拟)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左顶点为A,过右焦点F且平行于y轴的弦PQ=AF=3.(1)求APQ的内心坐标;【解析】(1)因为a2=b2+c2,2b2a=a+c=3,所以a=2,b=3,c=1,所以椭圆C的标准方程为x24+y23=1,不妨取P(1,32),Q(1,-32),A(-2,0),F(1,0),则AP=352,PF=32;因为在APQ中,AP=AQ,所以APQ的内心在x轴上,设直线PT平分APQ,交x轴于T,则T为APQ的内心,且ATTF=AP
8、PF=5=AT3-AT,所以AT=355+1,则T(7-354,0); (2)是否存在定点D,使过点D的直线l交C于M,N,交PQ于点R,且满足MRND=MDRN?若存在,求出该定点坐标;若不存在,请说明理由.【解析】(2)因为椭圆和弦PQ均关于x轴对称.若存在定点D,则点D必在x轴上,所以设D(t,0),当直线l斜率存在时,设其方程为y=k(x-t),M(x1,y1),N(x2,y2),直线方程与椭圆方程联立y=k(x-t)x24+y23=1,消去y得(4k2+3)x2-8k2tx+4(k2t2-3)=0,则=48(4k2+3-k2t2)0,x1+x2=8k2t4k2+3,x1x2=4(k2
9、t2-3)4k2+3.因为点R的横坐标为1,M,R,N,D均在直线l上,MRND=MDRN,所以(1+k2)(1-x1)(t-x2)=(1+k2)(t-x1)(x2-1),所以2t-(1+t)(x1+x2)+2x1x2=0,所以2t-(1+t)8k2t4k2+3+24(k2t2-3)4k2+3=0,整理得t=4,因为点D在椭圆外,则直线l的斜率必存在,所以存在定点D(4,0)满足题意.3.(10分)(2024梅州模拟)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点、右顶点分别为F,A,B(0,b),|AF|=1,点M在线段AB上,且满足|BM|=3|MA|,直线OM的斜率为1,O为
10、坐标原点.(1)求双曲线C的方程.【解析】(1)设c2=a2+b2(c0),所以F(c,0),A(a,0),B(0,b),因为点M在线段AB上,且满足|BM|=3|MA|,所以点M(33+1a,13+1b),因为直线OM的斜率为1,所以13+1b33+1a=1,所以ba=3,因为|AF|=1,所以c-a=1,解得a=1,b=3,c=2.所以双曲线C的方程为x2-y23=1. (2)过点F的直线l与双曲线C的右支相交于P,Q两点,在x轴上是否存在与F不同的定点E,使得|EP|FQ|=|EQ|FP|恒成立?若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.【解析】(2)假设在x轴上存在与F不同的定点E
11、,使得|EP|FQ|=|EQ|FP|恒成立,当直线l的斜率不存在时,E在x轴上任意位置,都有|EP|FQ|=|EQ|FP|;当直线l的斜率存在且不为0时,设E(t,0),直线l的方程为x=ky+2,直线l与双曲线C的右支相交于P,Q两点,则-33k0,所以y1+y2=-12k3k2-1,y1y2=93k2-1,因为|EP|FQ|=|EQ|FP|,即|EP|EQ|=|FP|FQ|,所以EF平分PEQ,kEP+kEQ=0,有y1x1-t+y2x2-t=0,即y1ky1+2-t+y2ky2+2-t=0,得2ky1y2+(2-t)(y1+y2)=0,所以2k93k2-1+(2-t) (-12k3k2-
12、1)=0,由k0,解得t=12.综上所述,存在与F不同的定点E,使得|EP|FQ|=|EQ|FP|恒成立,且E(12,0).4.(10分)已知椭圆:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点B(0,b)且与直线BF2垂直的直线交x轴负半轴于D,且2F1F2+F2D=0.(1)求椭圆的离心率;【解析】(1)由题意知F1(-c,0),F2(c,0),由2F1F2+F2D=0得F1是线段F2D的中点,故D(-3c,0).又因为直线BD与BF2垂直,所以|BF1|=12|DF2|,即b2+c2=a=124c=2c,所以椭圆的离心率为e=ca=12.(2)若过B,D,F2三点的圆
13、恰好与直线l:x-3y-6=0相切,求椭圆的方程;【解析】(2)由(1)得过B,D,F2三点的圆的圆心为F1(-c,0),半径为r=2c.因为过B,D,F2三点的圆恰好与直线l:x-3y-6=0相切,所以2c=|-c-6|1+3,解得c=2.又a=2c,所以a=4,从而b2=12.故椭圆的方程为x216+y212=1. (3)设a=2.过椭圆右焦点F2且不与坐标轴垂直的直线l与椭圆交于P,Q两点,点M是点P关于x轴的对称点,在x轴上是否存在一个定点N,使得M,Q,N三点共线?若存在,求出点N的坐标;若不存在,说明理由.【解析】(3)由(1)及a=2得c=1,b=3,F2(1,0),椭圆的方程为
14、x24+y23=1.设直线l的方程为x=ty+1,P(x1,y1),Q(x2,y2),则M(x1,-y1),联立得x24+y23=1x=ty+1得(4+3t2)y2+6ty-9=0,=36t2+36(4+3t2)0,y1+y2=-6t4+3t2,y1y2=-94+3t2.直线MQ的方程为x-x1=x2-x1y1+y2(y+y1),令y=0得x=(x2-x1)y1y1+y2+x1=x2y1-x1y1+x1y1+x1y2y1+y2=x2y1+x1y2y1+y2=(ty2+1)y1+(ty1+1)y2y1+y2=2ty1y2+y1+y2y1+y2=2ty1y2y1+y2+1=2t(-9)-6t+1=
15、4.故在x轴上存在一个定点N(4,0),使得M,Q,N三点共线.【加练备选】(2024南京模拟)椭圆E的方程为x24+y28=1,左、右顶点分别为A(-2,0),B(2,0),点P为椭圆E上的点,且在第一象限,直线l过点P.(1)若直线l分别交x,y轴于C,D两点,若PD=2,求PC的长;【解析】(1)设P(x,y),D(0,yD),则x24+y28=1,x2+(y-yD)2=4,由可得y22=(y-yD)2,因为y0,所以y2=|y-yD|,即y|y-yD|=2,因为|PC|PD|=y|y-yD|=2,所以|PC|=22. (2)若直线l过点(-1,0),且交椭圆E于另一点Q(异于点A,B)
16、,记直线AP与直线BQ交于点M,试问:点M是否在一条定直线上?若是,求出该定直线方程;若不是,说明理由.【解析】(2)依题可设直线l的方程为x=my-1,P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x0,y0).联立方程得x=my-1x24+y28=1,整理得(2m2+1)y2-4my-6=0,=16m2+24(2m2+1)0,则y1+y2=4m2m2+1,y1y2=-62m2+1.直线AP的方程为y=y1x1+2(x+2),直线BQ的方程为y=y2x2-2(x-2),联立方程得y=y1x1+2(x+2)y=y2x2-2(x-2),得x0=2y1x2-4y1+2x1y2+4y2(x1+2)y2-(
17、x2-2)y1,因为(x1+2)y2-(x2-2)y1=x1y2+2y2-x2y1+2y1=(my1-1)y2+2y2-(my2-1)y1+2y1=3y1+y2,2y1x2-4y1+2x1y2+4y2=2y1(my2-1)-4y1+2(my1-1)y2+4y2=4my1y2-6y1+2y2,所以x0=4my1y2-6y1+2y23y1+y2.由y1+y2=4m2m2+1,得y1y2=-62m2+1,得2my1y2=-3(y1+y2).所以x0=4my1y2-6y1+2y23y1+y2=-6(y1+y2)-6y1+2y23y1+y2=-12y1-4y23y1+y2=-4.故点M在定直线x=-4上.
