1、2025年高考数学一轮复习课时作业-平面向量的基本定理及坐标表示【原卷版】(时间:45分钟分值:85分)【基础落实练】1.(5分)已知向量a=(1,m),b=(2,-3),且ab,则m=()A.-32B.23C.-12D.322.(5分)如图所示,在正六边形ABCDEF中,BA+CD+EF=()A.0B.BEC.ADD.CF3.(5分)(多选题)(2023哈尔滨模拟)下列两个向量,能作为基底向量的是()A.e1=(0,0),e2=(3,2)B.e1=(2,-1),e2=(1,2)C.e1=(-1,-2),e2=(4,8)D.e1=(2,1),e2=(3,4)4.(5分)如图所示的方格纸中有定点
2、O,P,Q,E,F,G,H,则OP+OQ=()A.OHB.OGC.EOD.FO5.(5分)如图,在直角梯形ABCD中,ABDC,ADDC,AD=DC=2AB,E为AD的中点,若CA=CE+DB(,R),则+的值为()A.65B.85C.2D.836.(5分)(多选题)(2023漳州模拟)如图,在四边形ABCD中,AB=3DC,点M满足CM=2MD,N是BC的中点.设AB=a,AD=b,则下列等式正确的是()A.BD=a-bB.AC=13a+bC.BM=-89a+bD.AN=23a+13b7.(5分)已知O为坐标原点,点C是线段AB上一点,且A(1,1),C(2,3),|BC|=2|AC|,则向
3、量OB的坐标是.8.(5分)已知O为坐标原点,P1P=-2PP2,若P1(1,2),P2(2,-1),则与OP共线的单位向量为.9.(5分)(2023九江模拟)如图,在ABC中,点D是BC的中点,点E在边AC上,且满足3AE=AC,BE交AD于点F,设BF=AB+AC(,R),则+=;AFAD=.10.(10分)(2023泰安模拟)如图,在ABC中,AM=13AB,BN=12BC.设AB=a,AC=b.(1)用a,b表示BC,MN;(2)若P为ABC内部一点,且AP=512a+14b.求证:M,P,N三点共线,并指明点P的具体位置.【加练备选】(多选题)(2023重庆模拟)如图,AB=2AE,
4、AC=3AD,线段BD与CE交于点F,记AB=a,AC=b,则()A.DE=12a-13bB.DE=-12a+23bC.AF=35a+215bD.AF=25a+15b11.(10分)(2023信阳模拟)已知e1,e2是平面内两个不共线的非零向量,AB=2e1+e2,BE=-e1+e2,EC=-2e1+e2,且A,E,C三点共线.(1)求实数的值;(2)若e1=(2,1),e2=(2,-2),求BC的坐标;(3)已知D(3,5),在(2)的条件下,若A,B,C,D四点按逆时针顺序构成平行四边形,求点A的坐标.【能力提升练】12.(5分)已知AD,BE分别是ABC的边BC,AC上的中线,且AD=a
5、,BE=b,则BC=() A.13a+23bB.23a+13bC.23a+43bD.43a+23b13.(5分)若,是平面内一个基底,向量=x+y(x,yR),则称(x,y)为向量在基底,下的坐标.已知向量a在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则a在基底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为.14.(10分)如图所示,在ABC中,AB=a,AC=b,BE=2EC,AC=3AD.(1)试用向量a,b表示BD,AE;(2)若AE交BD于点O,求AOOE及BOOD的值.【解题指南】(2)由A,O,E三点共线,得到AO=3a+23b,由B,O,D三点共线,得到AO=(1-
6、)a+3b,列出方程3a+23b=(1-)a+3b,得出方程组,即可求解.2025年高考数学一轮复习课时作业-平面向量的基本定理及坐标表示【解析版】(时间:45分钟分值:85分)【基础落实练】1.(5分)已知向量a=(1,m),b=(2,-3),且ab,则m=()A.-32B.23C.-12D.32【解析】选A.根据题意,a=(1,m),b=(2,-3),若ab,则有2m=1(-3),解得m=-32.2.(5分)如图所示,在正六边形ABCDEF中,BA+CD+EF=()A.0B.BEC.ADD.CF【解析】选D.由于BA=DE,因此BA+CD+EF=CD+DE+EF=CF.3.(5分)(多选题
7、)(2023哈尔滨模拟)下列两个向量,能作为基底向量的是()A.e1=(0,0),e2=(3,2)B.e1=(2,-1),e2=(1,2)C.e1=(-1,-2),e2=(4,8)D.e1=(2,1),e2=(3,4)【解析】选BD.A选项,零向量和任意向量平行,所以e1,e2不能作为基底.B选项,因为21-12,所以e1,e2不平行,可以作为基底.C选项,e1=-14e2,所以e1,e2平行,不能作为基底.D选项,因为2314,则e1,e2不平行,可以作为基底.4.(5分)如图所示的方格纸中有定点O,P,Q,E,F,G,H,则OP+OQ=()A.OHB.OGC.EOD.FO【解析】选D.在方
8、格纸上作出OP+OQ,如图所示,连接FO,则容易看出OP+OQ=FO.5.(5分)如图,在直角梯形ABCD中,ABDC,ADDC,AD=DC=2AB,E为AD的中点,若CA=CE+DB(,R),则+的值为()A.65B.85C.2D.83【解析】选B.建立如图所示的平面直角坐标系,则D(0,0).不妨设AB=1,则CD=AD=2,所以C(2,0),A(0,2),B(1,2),E(0,1),所以CA=(-2,2),CE=(-2,1),DB=(1,2),因为CA=CE+DB,所以(-2,2)=(-2,1)+(1,2),所以-2+=-2,+2=2,解得=65,=25,则+=85.6.(5分)(多选题
9、)(2023漳州模拟)如图,在四边形ABCD中,AB=3DC,点M满足CM=2MD,N是BC的中点.设AB=a,AD=b,则下列等式正确的是()A.BD=a-bB.AC=13a+bC.BM=-89a+bD.AN=23a+13b【解析】选BC.对于A,BD=AD-AB=b-a,A错误;对于B,AC=AD+DC=b+13AB=13a+b,B正确;对于C,BM=AM-AB=AD+DM-AB=AD+13DC-AB=AD+19AB-AB=-89a+b,C正确;对于D,由B知:AN=12(AB+AC)=12(a+13a+b)=23a+12b,D错误.7.(5分)已知O为坐标原点,点C是线段AB上一点,且A
10、(1,1),C(2,3),|BC|=2|AC|,则向量OB的坐标是.【解析】由点C是线段AB上一点,|BC|=2|AC|,得BC=-2AC.设点B(x,y),则(2-x,3-y)=-2(1,2),即2-x=-2,3-y=-4,解得x=4,y=7,所以向量OB的坐标是(4,7).答案:(4,7)8.(5分)已知O为坐标原点,P1P=-2PP2,若P1(1,2),P2(2,-1),则与OP共线的单位向量为.【解析】由P1P=-2PP2得P1P+2PP2=0,即P1P2+PP2=0,P1P2=P2P,OP2-OP1=OP-OP2,OP=2OP2-OP1=2(2,-1)-(1,2)=(3,-4),OP
11、=32+(-4)2=5,与OP同向的单位向量为OPOP=(35,-45),反向的单位向量为(-35,45).答案:(35,-45)和(-35,45)9.(5分)(2023九江模拟)如图,在ABC中,点D是BC的中点,点E在边AC上,且满足3AE=AC,BE交AD于点F,设BF=AB+AC(,R),则+=;AFAD=.【解题指南】根据向量共线定理表示出AD,AF,从而求出,即可求解出+,AFAD.【解析】设AF=mAD,BF=nBE,根据向量共线定理,得AF=mAD,AF=nAE+(1-n)AB,3AE=AC,所以AF=n3AC+(1-n)AB,又因为AD=12(AB+AC),所以n3AC+(1
12、-n)AB=m2(AB+AC),得n3=m21-n=m2,解得m=12n=34,代入BF=nBE=n(AE-AB)=34(13AC-AB)=14AC-34AB,得=-34,=14,则有+=-12,AFAD=12.答案:-121210.(10分)(2023泰安模拟)如图,在ABC中,AM=13AB,BN=12BC.设AB=a,AC=b.(1)用a,b表示BC,MN;【解析】(1)依题意,BC=AC-AB=b-a,MN=BN-BM=12BC+23AB=12(b-a)+2a3=12b+16a.(2)若P为ABC内部一点,且AP=512a+14b.求证:M,P,N三点共线,并指明点P的具体位置.【解析
13、】(2)由AM+AN=13AB+AC+CN=13AB+AC-12BC=13a+b-12(b-a)=56a+12b,又AP=512a+14b,所以AP=12AM+12AN,12+12=1,故M,P,N三点共线,且P是MN的中点.【加练备选】(多选题)(2023重庆模拟)如图,AB=2AE,AC=3AD,线段BD与CE交于点F,记AB=a,AC=b,则()A.DE=12a-13bB.DE=-12a+23bC.AF=35a+215bD.AF=25a+15b【解析】选AD.DE=AE-AD=12AB-13AC=12a-13b,故A正确.设AF=xa+yb,EF=EA+AF=(x-12)a+yb,EC=
14、EA+AC=-12a+b,因为EFEC,所以x-12-12=y1,同理DF=xa+(y-13)b,DB=a-13b,DFDB,x1=y-13-13,联立解得x=25,y=15,所以AF=25a+15b,D正确.11.(10分)(2023信阳模拟)已知e1,e2是平面内两个不共线的非零向量,AB=2e1+e2,BE=-e1+e2,EC=-2e1+e2,且A,E,C三点共线.(1)求实数的值;【解析】(1)AE=AB+BE=(2e1+e2)+(-e1+e2)=e1+(1+)e2.因为A,E,C三点共线,所以存在实数k,使得AE=kEC,即e1+(1+)e2=k(-2e1+e2),得(1+2k)e1
15、=(k-1-)e2.因为e1,e2是平面内两个不共线的非零向量,所以1+2k=0k-1-=0,解得k=-12,=-32.(2)若e1=(2,1),e2=(2,-2),求BC的坐标;【解析】(2)BC=BE+EC=-e1-32e2-2e1+e2=-3e1-12e2=(-6,-3)+(-1,1)=(-7,-2).(3)已知D(3,5),在(2)的条件下,若A,B,C,D四点按逆时针顺序构成平行四边形,求点A的坐标.【解析】(3)因为A,B,C,D四点按逆时针顺序构成平行四边形,所以AD=BC,设A(x,y),则AD=(3-x,5-y),因为BC=(-7,-2),所以3-x=-75-y=-2,解得x
16、=10y=7,即点A的坐标为(10,7).【能力提升练】12.(5分)已知AD,BE分别是ABC的边BC,AC上的中线,且AD=a,BE=b,则BC=() A.13a+23bB.23a+13bC.23a+43bD.43a+23b【解析】选C.因为BC=BE+EC=b+EC,AC=AD+DC=a+DC,且EC=12AC,DC=12BC,可得BC=b+12AC,AC=a+12BC,所以BC=b+12(a+12BC),整理得BC=23a+43b.13.(5分)若,是平面内一个基底,向量=x+y(x,yR),则称(x,y)为向量在基底,下的坐标.已知向量a在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标
17、为(-2,2),则a在基底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为.【解析】因为a在基底p,q下的坐标为(-2,2),所以a=-2p+2q=(2,4),令a=xm+yn=(-x+y,x+2y),所以-x+y=2,x+2y=4,即x=0,y=2,所以a在基底m,n下的坐标为(0,2).答案:(0,2)14.(10分)如图所示,在ABC中,AB=a,AC=b,BE=2EC,AC=3AD.(1)试用向量a,b表示BD,AE;【解题指南】(1)根据平面向量的线性运算法则,求解即可;【解析】(1)由AB=a,AC=b,BE=2EC,AC=3AD,可得BD=AD-AB=13AC-AB=13b-a;AE=
18、AB+BE=AB+23BC=AB+23(AC-AB)=13AB+23AC=13a+23b.(2)若AE交BD于点O,求AOOE及BOOD的值.【解题指南】(2)由A,O,E三点共线,得到AO=3a+23b,由B,O,D三点共线,得到AO=(1-)a+3b,列出方程3a+23b=(1-)a+3b,得出方程组,即可求解.【解析】(2)因为A,O,E三点共线,所以存在实数,使得AO=AE=(13a+23b)=3a+23b,因为B,O,D三点共线,所以存在实数,使得BO=BD,所以AO-AB=BD,可得AO=AB+BD=a+(-a+13b)=(1-)a+3b,所以3a+23b=(1-)a+3b,因为a,b不共线,则3=1-23=3,解得=37=67,所以AO=37AE,BO=67BD,所以AOOE=34,BOOD=6.
