2025年高考数学一轮复习课时作业-空间直线、平面的垂直【含解析】.docx

1、2025年高考数学一轮复习课时作业-空间直线、平面的垂直【原卷版】(时间:45分钟分值:75分)【基础落实练】1.(5分)(多选题)若m,n,l为空间三条不同的直线,为空间三个不同的平面,则下列为真命题的是()A.若ml,nl,则mnB.若m,m,则C.若,则D.若=m,=n,mn,则2.(5分)已知,是两个不同的平面,l,m,n是三条不同的直线,下列条件中,可以得到l的是()A.lm,ln,m,nB.lm,mC.,lD.lm,m3.(5分)如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,BAC=90,BC1AC,则C1在底面ABC上的射影H必在()A.直线AB上B.直线BC上C.直线AC上D.ABC

2、内部4.(5分)如图,AC=2R为圆O的直径,PCA=45,PA垂直于圆O所在的平面,B为圆周上不与点A,C重合的点,ASPC,垂足为S,ANPB,垂足为N,则下列结论不正确的是()A.平面ANS平面PBCB.平面ANS平面PABC.平面PAB平面PBCD.平面ABC平面PAC5.(5分)如图,在四边形ABCD中,ADBC,AD=AB,BCD=45,BAD=90.将ADB沿BD折起,使平面ABD平面BCD,构成三棱锥A􀆼BCD,则在三棱锥A􀆼BCD中,下列结论正确的是()A.平面ABD平面ABCB.平面ADC平面BDCC.平面ABC平面BDCD.平面ADC平

3、面ABC6.(5分)(多选题)如图,梯形ABCD中,ADBC,ABC=90,ADBCAB=234,E,F分别是AB,CD的中点,将四边形ADFE沿直线EF进行翻折,则下列结论可能正确的有()A.DFBCB.BDFCC.平面BDF平面BCFD.平面DCF平面BCF【加练备选】(多选题)如图,PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面,C为圆上异于A,B的任意一点,AEPC,垂足为E,点F是PB上一点,则下列判断中正确的是()A.BC平面PACB.AEEFC.ACPBD.平面AEF平面PBC7.(5分)如图所示是一个正方体的平面展开图,则在该正方体中,棱所在的直线与棱AB所在的直线是异面直线且互相垂直.

4、(注:填上你认为正确的一条棱即可,不必考虑所有可能的情况)8.(5分)在正方体ABCD􀆼A1B1C1D1中,N为底面ABCD对角线的交点,P为棱A1D1上的动点(不包括两个端点),M为线段AP的中点,则下列结论正确的是.(填写所有正确结论的序号)(1)CM与PN是异面直线;(2)若P为棱A1D1的中点,则|CM|PN|;(3)过P,A,C三点的正方体的截面一定不是等腰梯形;(4)平面PAN平面BDD1B1.9.(5分)在正方体ABCD􀆼A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,E,F,G,H分别是棱A1A,B1B,C1C,D1D的中点,请写出一个与A1O垂

5、直的正方体的截面:.10.(10分)如图所示,在直角梯形BCEF中,CBF=BCE=90,A,D分别是BF,CE上的点,ADBC,且DE=2AD=2AF(如图1),将四边形ADEF沿AD折起,连接BE,BF,CE(如图2).(1)判断四边形BCEF是否是平面四边形,并写出判断理由;(2)当EFCF时,求证:平面ADEF平面ABCD.【能力提升练】11.(5分)九章算术中将底面是矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马,将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.在如图所示的阳马P-ABCD中,侧棱PD底面ABCD,且PD=CD=BC,点E,F分别为线段PB,PC的中点.下列说法正确的是()A.四

6、面体E-BCD和四面体F-BCD都是鳖臑B.四面体E-BCD和四面体F-BCD都不是鳖臑C.四面体E-BCD是鳖臑,四面体F-BCD不是鳖臑D.四面体E-BCD不是鳖臑,四面体F-BCD是鳖臑12.(5分)正方形ABCD的边长为2,E,F分别是AB和CD的中点,将正方形沿EF折成直二面角如图所示,M为矩形AEFD内的一点,MOEF于点O,如果MBE=MBC,tanMBO=12,那么线段MO的长为.13.(10分)如图所示,在四棱锥P􀆼ABCD中,底面ABCD是DAB=60且边长为a的菱形,侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD,若G为AD的中点.(1)求证:BG平

7、面PAD;(2)求证:ADPB;(3)若E为BC边的中点,能否在棱PC上找到一点F,使平面DEF平面ABCD?并证明你的结论.2025年高考数学一轮复习课时作业-空间直线、平面的垂直【解析版】(时间:45分钟分值:75分)【基础落实练】1.(5分)(多选题)若m,n,l为空间三条不同的直线,为空间三个不同的平面,则下列为真命题的是()A.若ml,nl,则mnB.若m,m,则C.若,则D.若=m,=n,mn,则【解析】选AB.C中,与可能平行或相交;D中,与可能平行或相交.2.(5分)已知,是两个不同的平面,l,m,n是三条不同的直线,下列条件中,可以得到l的是()A.lm,ln,m,nB.lm

8、,mC.,lD.lm,m【解析】选D.对于A,lm,ln,m,n,则l与相交、平行或l,故A错误;对于B,lm,m,则l与相交、平行或l,故B错误;对于C,l,则l与相交、平行或l,故C错误;对于D,lm,m,则l,故D正确.3.(5分)如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,BAC=90,BC1AC,则C1在底面ABC上的射影H必在()A.直线AB上B.直线BC上C.直线AC上D.ABC内部【解析】选A.由ACAB,ACBC1,得AC平面ABC1.因为AC平面ABC,所以平面ABC1平面ABC,所以C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上.4.(5分)如图,AC=2R为圆O的直径,P

9、CA=45,PA垂直于圆O所在的平面,B为圆周上不与点A,C重合的点,ASPC,垂足为S,ANPB,垂足为N,则下列结论不正确的是()A.平面ANS平面PBCB.平面ANS平面PABC.平面PAB平面PBCD.平面ABC平面PAC【解析】选B.因为PA平面ABC,BC平面ABC,所以PABC.又ABBC,PAAB=A,PA,AB平面PAB,所以BC平面PAB.又AN平面PAB,所以BCAN.又因为ANPB,BCPB=B,PB,BC平面PBC,所以AN平面PBC.又AN平面ANS,AN平面PAB,所以平面ANS平面PBC,平面PAB平面PBC,所以A,C正确,D显然正确.5.(5分)如图,在四边

10、形ABCD中,ADBC,AD=AB,BCD=45,BAD=90.将ADB沿BD折起,使平面ABD平面BCD,构成三棱锥A􀆼BCD,则在三棱锥A􀆼BCD中,下列结论正确的是()A.平面ABD平面ABCB.平面ADC平面BDCC.平面ABC平面BDCD.平面ADC平面ABC【解析】选D.因为在四边形ABCD中,ADBC,AD=AB,BCD=45,BAD=90,所以BDCD,又因为平面ABD平面BCD,且平面ABD平面BCD=BD,所以CD平面ABD,所以CDAB,又因为ADAB,ADCD=D,所以AB平面ADC,即平面ABC平面ADC.6.(5分)(多选题)如图

11、,梯形ABCD中,ADBC,ABC=90,ADBCAB=234,E,F分别是AB,CD的中点,将四边形ADFE沿直线EF进行翻折,则下列结论可能正确的有()A.DFBCB.BDFCC.平面BDF平面BCFD.平面DCF平面BCF【解析】选BC.对于A,因为BCAD,AD与DF相交但不垂直,所以BC与DF不垂直,则A错误;对于B,设点D在平面BCF上的射影为点P,当BPCF时就有BDFC,而ADBCAB=234可使条件满足,所以B正确;对于C,当点D在平面BCF上的射影P落在BF上时,DP平面BDF,从而平面BDF平面BCF,所以C正确;对于D,因为点D在平面BCF上的射影不可能在FC上,所以D

12、错误.【加练备选】(多选题)如图,PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面,C为圆上异于A,B的任意一点,AEPC,垂足为E,点F是PB上一点,则下列判断中正确的是()A.BC平面PACB.AEEFC.ACPBD.平面AEF平面PBC【解析】选ABD.对于A,PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面,而BC底面圆面,则PABC,又由圆的性质可知ACBC,且PAAC=A,PA,AC平面PAC,则BC平面PAC,所以A正确;对于B,由A项可知BCAE,由题意可知AEPC,且BCPC=C,BC,PC平面PCB,所以AE平面PCB.而EF平面PCB,所以AEEF,所以B正确;对于C,由B项可知AE平面PCB,

13、因而AC与平面PCB不垂直,所以ACPB不成立,所以C错误;对于D,由B项可知,AE平面PCB,AE平面AEF,由面面垂直的判定定理可得平面AEF平面PBC,所以D正确.7.(5分)如图所示是一个正方体的平面展开图,则在该正方体中,棱所在的直线与棱AB所在的直线是异面直线且互相垂直.(注:填上你认为正确的一条棱即可,不必考虑所有可能的情况)【解析】如图,结合平面图形还原出正方体,结合正方体性质易知,棱CG,DH,EH,FG所在的直线与棱AB所在的直线是异面直线且互相垂直.答案:CG,DH,EH,FG(任选一个作答)8.(5分)在正方体ABCD􀆼A1B1C1D1中,N为底面AB

14、CD对角线的交点,P为棱A1D1上的动点(不包括两个端点),M为线段AP的中点,则下列结论正确的是.(填写所有正确结论的序号)(1)CM与PN是异面直线;(2)若P为棱A1D1的中点,则|CM|PN|;(3)过P,A,C三点的正方体的截面一定不是等腰梯形;(4)平面PAN平面BDD1B1.【解析】由A,N,C三点共线,M为AP的中点,可得直线CA,PM为相交直线,所以CM,PN为相交直线,故(1)错误;设正方体的棱长为2,则AC=22,AP=5,AM=52,AN=2,CM2=AM2+AC2-2AMACcosPAC=54+8-210cosPAC=374-210cosPAC,PN2=AN2+AP2

15、-2ANAPcosPAC=2+5-210cosPAC=7-210cosPAC,CM2-PN2=374-7=940,即|CM|PN|,故(2)正确;在C1D1上取一点K,连接KP,KC,A1C1,使得PKA1C1,由A1C1AC,可得PKAC,则截面PKCA为过P,A,C的正方体的截面,由正方体的性质可得AP=CK,则过P,A,C三点的正方体的截面是等腰梯形,故(3)错误;由正方形的性质可得ACBD,B1B平面ABCD,AC平面ABCD,可得B1BAC,BDB1B=B,所以AC平面BDD1B1,又AC平面PAN,所以平面PAN平面BDD1B1,故(4)正确.答案:(2)(4)9.(5分)在正方体

16、ABCD􀆼A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,E,F,G,H分别是棱A1A,B1B,C1C,D1D的中点,请写出一个与A1O垂直的正方体的截面:.【解析】如图,连接AC,BD,BG,DG,A1G,OG,A1C1,易知BDAC,BDAA1,又ACAA1=A,故BD平面ACC1A1,因为A1O平面ACC1A1,故BDA1O,设正方体的棱长为2,则A1O=AA12+AO2=4+2=6,OG=OC2+CG2=2+1=3,A1G=A1C12+C1G2=8+1=3,故A1G2=A1O2+OG2,故A1OOG,OGBD=O,故A1O平面GBD.答案:平面GBD(答案不唯一)10.(

17、10分)如图所示,在直角梯形BCEF中,CBF=BCE=90,A,D分别是BF,CE上的点,ADBC,且DE=2AD=2AF(如图1),将四边形ADEF沿AD折起,连接BE,BF,CE(如图2).(1)判断四边形BCEF是否是平面四边形,并写出判断理由;【解析】(1)结论:四边形BCEF不可能是平面四边形.理由如下:若B,C,E,F共面,则由BCAD,BC平面ADEF,可推出BCEF,又BCAD,则ADEF,矛盾.所以四边形BCEF不可能是平面四边形.(2)当EFCF时,求证:平面ADEF平面ABCD.【解析】(2)在平面ADEF中,易得EFFD,又因为EFCF,FDCF=F,所以EF平面CD

18、F,又CD平面DCF,所以EFCD,又因为CDAD,而AD,EF延长后相交,所以CD平面ADEF,又因为CD平面ABCD,所以平面ADEF平面ABCD.【能力提升练】11.(5分)九章算术中将底面是矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马,将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.在如图所示的阳马P-ABCD中,侧棱PD底面ABCD,且PD=CD=BC,点E,F分别为线段PB,PC的中点.下列说法正确的是()A.四面体E-BCD和四面体F-BCD都是鳖臑B.四面体E-BCD和四面体F-BCD都不是鳖臑C.四面体E-BCD是鳖臑,四面体F-BCD不是鳖臑D.四面体E-BCD不是鳖臑,四面体F-B

19、CD是鳖臑【解析】选D.不妨设PD=CD=BC=2,则DE=BE=3,BD=22,所以cosBED=DE2+BE2-BD22DEBE=-130,由于平面AEFD平面BEFC,且交线为EF,MOEF,所以MO平面BEFC,则MOOB,所以tanMBO=MOOB=xOB=12,则OB=2x,则OE=4x2-1,OF=2-4x2-1,BM=5x,EM=5x2-1,BE2+EM2=BM2,BEEM.OC2=2-4x2-12+12,MC2=2-4x2-12+12+x2,由于MBE=MBC,所以cosMBE=cosMBC,即15x=5x2+22-2-4x2-12+12+x225x2,解得x=22,即MO=

20、22.答案:2213.(10分)如图所示,在四棱锥P􀆼ABCD中,底面ABCD是DAB=60且边长为a的菱形,侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD,若G为AD的中点.(1)求证:BG平面PAD;【解析】(1)在菱形ABCD中,DAB=60,G为AD的中点,所以BGAD.又平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,BG平面ABCD,所以BG平面PAD.(2)求证:ADPB;【解析】(2)如图,连接PG,因为PAD为正三角形,G为线段AD的中点,所以PGAD.由(1)知BGAD,又PGBG=G,所以AD平面PGB.因为PB平面PGB,所以ADPB.(3)若E为BC边的中点,能否在棱PC上找到一点F,使平面DEF平面ABCD?并证明你的结论.【解析】(3)能,当F为线段PC的中点时,平面DEF平面ABCD.证明如下:取线段PC的中点F,连接DE,EF,DF.在PBC中,FEPB,在菱形ABCD中,GBDE.而FE平面DEF,DE平面DEF,EFDE=E,PB平面PGB,GB平面PGB,PBGB=B,所以平面DEF平面PGB.因为平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,PG平面PAD,PGAD,所以PG平面ABCD.又PG平面PGB,所以平面PGB平面ABCD,所以平面DEF平面ABCD.