1、高二数学 第 1 页(共 11 页) 龙岩市 20202021 学年第一学期期末高二教学质量检查 数 学 试 题 (考试时间:120 分钟 满分 150 分) 注意事项: 1考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上 2答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项” 第卷(选择题 共 60 分) 一、单项选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一个符合题目要求. 请把答案填涂在答题卡上. 1命题“ 2 ,10 xR xx ”的否定是 A 2 ,10 xR xx B 2 ,10 xR xx C 2 ,10 xR xx DxR , 2
2、10 xx 2已知椭圆 22 2 1 2 xy a 的一个焦点为)0 , 3(F,则这个椭圆的方程是 A1 23 22 yx B1 24 22 yx C1 25 22 yx D1 26 22 yx 3已知向量)2 , 1(ma ,向量), 1 , 3(nb ,满足 a/ b,则nm A 6 19 B 6 19 C 3 19 D 3 19 4下列命题中正确的是 A事件A发生的概率 P A等于事件A发生的频率 n fA B一个质地均匀的骰子掷一次得到 3 点的概率是 1 6 ,说明这个骰子掷 6 次一定会出现一 次 3 点 C掷两枚质地均匀的硬币,事件A为“一枚正面朝上,一枚反面朝上”,事件B为“
3、两枚都 是正面朝上”,则 2P AP B D对于两个事件AB、,若 P ABP AP B, 则事件A与事件B互斥 5“11m ”是“方程 22 1 12 xy mm 表示双曲线”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 高二数学 第 2 页(共 11 页) (第 11 题图) A 1 D 1 B 1 F E C 1 C B A D 6若双曲线C:)0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 与直线xy2无交点,则双曲线C的离心率的 取值范围是 A3, 1 ( B ), 3 C5, 1 ( D), 5 7在等边三角形ABC中,连接三角形的三边中点,将它
4、分成 4 个 小三角形, 并将中间的那个小三角形涂成白色后, 对其余 3 个小 三角形重复上述过程得到如图所示的图形,现向三角形ABC内 随机投入 16000 个小图钉(大小忽略不计),则落在白色部分 内的图钉个数大约有 A7000 个 B8000 个 C9000 个 D9600 个 8. 在空间直角坐标系Oxyz中,已知(), (2,2,0), (1,2, 22,0,0),(2,0, 2),(0,2, 2),ABCDE动点M 在线段DE上,P为AB的中点设PM与AC所成的角为,则cos的最大值为 A 7 32 B 7 6 C 7 13 D 35 1053 二、多项选择题:本大题共 4 小题,
5、每小题 5 分,共 20 分在每小题给出的选项中,有多项 符合题目要求,全部选对的得 5 分,部分选对的得 3 分,有选错的得 0 分请把答案填 涂在答题卡上 9在平行六面体 1111 ABCDABC D中,下列各式中运算结果为 1 AC uuur 的是 A 11111 AABCDC uuu ruuuu ruuuu r B 1 ABBCCC uuu ruuu ruuur C 111 ABC CBC uuu ruuu ruuuu r D 111 AADCBC uuu ruuu ruuuu r 10甲、乙、丙三位同学在一项集训中的 40 次测试分数都在50,100内,将他们的测试分 数分别绘制成频
6、率分布直方图(如图所示),记甲、乙、丙的分数标准差分别为 123 ,s s s, 则它们的大小关系为 A 12 ss B 13 ss C 23 ss D 21 ss 11如图,正方体 1111 ABCDABC D 的棱长为1,线段 11 B D上 有两个动点 ,E F,且 2 2 EF 则下列结论中正确的有 A当E向 1 D运动时,AECF 总成立 B当E向 1 D运动时,二面角A EFB逐渐变小 C二面角EABC的最小值为 45 D三棱锥ABEF的体积为定值 (第 7 题图) A B C 高二数学 第 3 页(共 11 页) (第 13 题图) 12已知抛物线) 2 :2(0C ypx p的
7、焦点为F,准线为l,过点F且斜率为k的直线交抛 物线C于,A B两点,过线段AB的中点M且与x轴平行的直线依次交直线OA,OB, l于点,P Q N则下列结论中正确的有 ANP MQ B ,P Q是线段MN的三等分点 C以FB为直径的圆一定与y轴相切 DAOB的面积等于 22 1Pk k 第卷(非选择题 共 90 分) 三、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13甲、乙两名同学在一个学期内各次数学测试成绩的茎叶图如右图(单 位: 分) , 则甲同学得分的中位数与乙同学得分的平均数之差为 分 14 过点 (1,1)P 的直线l与双曲线 2 2 1 2 y x交于 ,M N两
8、点, 且点P 恰好是线段MN的中点,则直线l的方程为 15已知)2, 1 , 1 (AB,), 1, 1 (zBC,) 1, 1(yxBP若BP平面ABC,则CP的 最小值为 16 已知抛物线 2 1 2(0)Cypx p:的焦点F恰好是双曲线)0, 0( 1 2 2 2 2 2 ba b y a x C :的右 焦点, 且 1 C与 2 C的交点的连线过点F, 设双曲线 2 C的渐近线的斜率为k, 则 2 k的值为 四、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17(本题满分 10 分) 某地实施乡村振兴战略, 对农副产品进行追加投资以提高产品销售量,
9、现对某农产品的追 加投资额与销售量进行统计,得到如下数据: 追加投资额x(万元) 1 2 3 4 5 销售量y(吨) 16 20 23 25 26 数据显示追加投资额x(万元)与对应的销售量y(吨)满足线性相关关系 (1)求销售量y(吨)关于追加投资额x(万元)的线性回归方程 ybxa; (2)若追加投资额为 10 万元,预计该产品的销售量为多少吨? 参考公式:参考公式:线性回归方程 ybxa中, 1 2 1 n ii i n i i xxyy b xx , a ybx. 18(本题满分 12 分) 高二数学 第 4 页(共 11 页) (第 21 题图) Q F D1 D C B A A1
10、B1 C1 设命题:p方程 22 1 3 xy a 表示焦点在y轴上的椭圆; 命题:q空间向量(1, 2 , ),( 4,1,1) ma a na满足0m n; (1)若命题p为真命题,求实数a的取值范围; (2)若命题, p q有且仅有一个为真命题,求实数a的取值范围 19(本题满分 12 分) 一个不透明的袋子中装有 5 个小球,其中有 3 个红球,2 个白球,这些球除颜色外完全相 同. (1)记事件A为“一次摸出 2 个球,摸出的球为一个红球,一个白球”. 求( )P A; (2)记事件B为“第一次摸出一个球,记下颜色后将它放回袋中,再次摸出一个球,两 次摸出的球为不同颜色的球” ,记事
11、件C为“第一次摸出一个球,不放回袋中,再次摸出一个球, 两次摸出的球为不同颜色的球” ,求证: 1 ( )( )( ) 5 P CP BP A. 20(本题满分 12 分) 在平面直角坐标系xOy中,已知两点 )0 , 1 (),0 , 1(NM ,动点Q到点M的距离为 22 , 线段NQ的垂直平分线交线段MQ于点K,设点K的轨迹为曲线E (1)求曲线E的方程; (2)已知点 )0 , 2(P ,设直线l: 10 xmy 与曲线E交于A,B两点,求证: OPAOPB 21(本题满分 12 分) 如图,在长方体 1111 ABCDABC D 中, 1 1,2ABBCAA , 点Q为底面ABCD的
12、中心,点F为线段 1 BB的中点 (1)求二面角 11 QD FC 的正弦值; (2)已知点P在侧面 11 BBCC的边界及其内部运动,且 1 QDQP , 求 11 DC P 面积的最小值 22(本题满分 12 分) 高二数学 第 5 页(共 11 页) 已知椭圆 1 C: 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率为 3 2 ,椭圆 1 C的一个短轴端点恰好是抛 物线 2 C: 2 4xy的焦点F (1)求椭圆 1 C的方程; (2)过点F的直线交抛物线 2 C于M,N两点,连接NO,MO,线段NO,MO的延 长线分别交椭圆 1 C于A,B两点,记OMN 与OAB的面积分别为 OMN
13、 S 、 OAB S ,设 OMNOAB SS ,求的取值范围 龙岩市 20202021 学年第一学期期末高二教学质量检查 数学参考答案 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C D C A A A B 二、多项选择题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 9BCD 10AB 11CD 12AC 12(只提供 A 选项解析, 其余略) . 设准线与x轴交于点 1 F, 作 1 A Al于 1 A, 1 BBl 于 1 B 22 2 202 2 p xty yptyp ypx 2 2 AB AB yypt y
14、 yp 设 1( ,), (,) 2 ABB p AyB xy 1 22 , AB OAOB BB yyp kk pxy 又 2 AB y yp 2 22 A BOB AB ppy yk yyp 1 OAOB kk 1 ,O A B三点共线, Q P B B1 O F1F NM A A1 x y (第 12 题图) 高二数学 第 6 页(共 11 页) / /MNx轴 1 11 | | NQAQAPPM FOAOAOOF 1 | |FOOF | |NQPM |NP| |MQ| 三、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 131 14210 xy 155 162+2 2 16
15、设 1 C与 2 C交点为,A B. 则ABx轴 (,0)2 22 pp Fcpc 由 22 22 1 cy ab 得 4 2 2 b y a 2 2 |2 b AFpbac a 4222 4()baab 4224 440ba ba 令 2 22 2 440(2)82 22 b ttttt a 2 2 2 2 22 b k a 四、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17(本题满分 10 分) 解:(1) 1 (12345)3 5 x , 1 162023252622 5 y , 5 1 (1 3) (1622)(23) (2022)(33) (2322) ii i xxyy (43)
16、(2522)(53)(2622)25 , 4 分 5 2 22222 1 (1 3)(23)(33)(43)(53)10 i i xx , 5 1 5 2 1 25 2.5 10 ii i i i xxyy b xx , 222.5 314.5aybx , 所以y关于x的线性回归方程为 2.514.5yx 8 分 (2)当10 x时, 2514.539.5y . 高二数学 第 7 页(共 11 页) 答:追加投资额为 10 万元时,预计该产品的销售量为 39.5 吨. 10 分 18(本题满分 12 分) 解: (1) 由题意, 若命题p为真命题, 则03a, 所以a的取值范围为(0,3).
17、4 分 (2)若命题q为真命题, 则 2 (1, 2 , ) ( 4,1,1)42(1)340 m na aaaa aaa 得 14a 7 分 若命题p、q有且仅有一个为真命题,则“p真q假”或“p假q真” 当p真q假时, 03 14 a aa 或 ,此时不等式组无解. 9 分 当p假q真时, 03 14 aa a 或 , 此时1034aa 或 11 分 综上所述,a的取值范围是 ( 1,03,4). 12 分 19(本题满分 12 分) 解:(1)记这 3 个红球为 123 ,a a a,2 个白球记为 12 ,b b,则从袋中一次摸出 2 个球的 所有基本事件为: 12 ,a a, 13
18、,a a, 11 ,a b, 12 ,a b, 23 ,a a, 21 ,a b, 22 ,a b, 31 ,a b, 32 ,a b, 12 ,b b共 10 个, 其中满足事件A的基本事件有 6 个,所以 63 105 P A . 4 分 (2)从袋中第一次摸出一个球,记下颜色后将它放回袋中,再次摸出一个球 的所有基本事件为 11 ,a a , 12 ,a a, 13 ,a a, 11 ,a b, 12 ,a b, 21 ,a a , 22 ,a a , 23 ,a a, 21 ,a b, 22 ,a b, 31 ,a a , 32 ,a a , 33 ,a a, 31 ,a b, 高二数
19、学 第 8 页(共 11 页) 32 ,a b, 11 ,b a , 12 ,b a , 13 ,b a, 11 ,b b, 12 ,b b, 21 ,b a , 22 ,b a , 23 ,b a, 21 ,b b, 22 ,b b共 25 个,满足事件B的基本事件有 12 个,所 以 12 25 P B . 7 分 从袋中第一次摸出一个球,不放回袋中,再次摸出一个球的所有基本事 件为 12 ,a a, 13 ,a a, 11 ,a b, 12 ,a b, 21 ,a a , 23 ,a a, 21 ,a b, 22 ,a b, 31 ,a a , 32 ,a a , 31 ,a b, 32
20、 ,a b, 11 ,b a , 12 ,b a , 13 ,b a, 12 ,b b, 21 ,b a , 22 ,b a , 23 ,b a, 21 ,b b共 20 个,满足事件C的基 本事件有 12 个,所以 123 205 P C . 10 分 因此: 3123 52525 P CP B, 又 3 5 P A ,所以 1 5 P CP BP A. 12 分 20(本题满分 12 分) 解:(1)线段NQ的垂直平分线交MQ于点K, | | |KNKQ , MNMQKQKMKNKM222 点K的轨迹是以原点为中心,以M,N为焦点的椭圆. 3 分 设椭圆方程为 22 22 1(0) xy
21、ab ab ,则1, 1,2bca, 所以曲线E的方程为 1 2 2 2 y x 5 分 (2)由 2 2 1 2 10 x y xmy 消去x可得 22 2210mymy . 设 11 ,A x y , 22 ,B xy ,则 12 2 2 2 m yy m , 12 2 1 2 y y m . 8 分 易知PA,PB的斜率存在,则 高二数学 第 9 页(共 11 页) (第 21 题图) Q F D1 D C B A A1 B1 C1 , )1)(1 ( 2 1122 21 2121 2 2 1 1 2 2 1 1 mymy ymyyy my y my y x y x y kk PBPA
22、10 分 又因为 0 2 2 2 2 2 22 2121 m m m m ymyyy 所以 0 PBPA kk ,所以OPAOPB . 12 分 21(本题满分 12 分) 解: (1)如图所示,分别以 1 ,DDDCDA所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系. 由已知可得:) 1 , 1 , 1 (),0 , 2 1 , 2 1 (),2 , 0 , 0(),2 , 1 , 0(),0 , 1 , 0(),0 , 0 , 1 (),0 , 0 , 0( 11 FQDCCAD 所以)0 , 1, 1 (),0 , 1 , 0(),1, 1 , 1 ( 111 CACDFD, 设平面 11
23、FC D的法向量 ),( 1zyxn , 由 11 111 0 0 nD F nDC ,得 0 000 xyz xyz , 可取 1 (1,0,1)n3 分 易知QFDAC 1 平面, 所以取平面QFD1的法向量)0 , 1, 1 ( 2CAn 4 分 所以 12 12 12 |1 cos, 2| | n n n n nn ,所以 12 3 sin, 2 n n 故二面角 11 QD FC 的正弦值为 2 3 . 6 分 (2)由已知可设点 P 的坐标为)20 , 10)(, 1 ,( 0000 zxzx , 则), 2 1 , 2 1 ( 00 zxQP,)2 , 2 1 , 2 1 ( 1
24、 QD,)2, 0 ,( 001 zxPC 由 1 QDQP 得: 100 111 ()20 224 QD QPxz 得: 00 4zx 8 分 000 1 010410 4 xzz CBCBCD 1111 平面,又CBCBPC 111 平面 PCCD 111 即PCD 11 为直角三角形,PCPCCDS CPD1111 2 1 2 1 1 9 分 高二数学 第 10 页(共 11 页) 又 17 64 ) 17 2 (174416)2( 2 00 2 0 22 0 2 0 2 1 0 zzzzzxPC 所以当 0 21 0, 174 z 时, 17 178 min 1 PC 综上可得 11
25、DC P 面积的最小值为 17 174 12 分 22.(本题满分 12 分) 解:(1)因为椭圆 1 C的一个短轴端点恰好是抛物线 2 C: 2 4xy焦点0,1F, 所以1.b 由 222 3 , 2 c abc a 解得2,a 所以椭圆 1 C的方程为 2 2 1 4 x y 4 分 (2)因为过F的直线交 2 C于M,N两点,所以直线的斜率存在, 设直线方程为 1ykx , 1122 ,M x yN xy , 联立 2 4 1 xy ykx , 故 2 44 0 xk x . 2 16160k 恒成立, 12 12 4 4 xxk x x , 由 1212 11 1 22 OMN SO
26、Fxxxx ,故 22 22 121212 11 444, 44 OMN Sxxxxx xk 所以 2 21 OMN Sk 7 分 不妨设 22 ,N xy在第一象限, 所以设直线ON: 1 yk x)0( 1 k ,则 1 2 2 1 4 yk x x y ,解得 1 22 11 22 , 4141 k A kk , 设直线OM: 2 yk x , 同理 2 22 22 22 , 4141 k B kk , 22 12 1212 12 1212 1 44 , 164 xx yyx x k k xxxx 又因为 高二数学 第 11 页(共 11 页) 可得 1 22 11 41 , 4141 k B kk . 又因为点A到直线OB的距离 21 22 2 11 1 2 2 1 2 22 1414 41 2, 161 1 kk kk k d k k 所以 22 11 22 11 1614111 21 2241161 OAB kk Sd OB kk . 所以 2 21 1 1. OMNOAB SSk 综上:的取值范围是1, ) . 12 分
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