1、高二数学 第 1 页（共 11 页） 龙岩市 20202021 学年第一学期期末高二教学质量检查 数 学 试 题 （考试时间：120 分钟 满分 150 分） 注意事项： 1考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上 2答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项” 第卷（选择题 共 60 分） 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一个符合题目要求. 请把答案填涂在答题卡上. 1命题“ 2 ,10 xR xx ”的否定是 A 2 ,10 xR xx B 2 ,10 xR xx C 2 ,10 xR xx DxR ， 2
2、10 xx 2已知椭圆 22 2 1 2 xy a 的一个焦点为)0 , 3(F，则这个椭圆的方程是 A1 23 22 yx B1 24 22 yx C1 25 22 yx D1 26 22 yx 3已知向量)2 , 1(ma ，向量), 1 , 3(nb ，满足 a/ b，则nm A 6 19 B 6 19 C 3 19 D 3 19 4下列命题中正确的是 A事件A发生的概率 P A等于事件A发生的频率 n fA B一个质地均匀的骰子掷一次得到 3 点的概率是 1 6 ，说明这个骰子掷 6 次一定会出现一 次 3 点 C掷两枚质地均匀的硬币，事件A为“一枚正面朝上，一枚反面朝上”，事件B为“
3、两枚都 是正面朝上”，则 2P AP B D对于两个事件AB、，若 P ABP AP B, 则事件A与事件B互斥 5“11m ”是“方程 22 1 12 xy mm 表示双曲线”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 高二数学 第 2 页（共 11 页） （第 11 题图） A 1 D 1 B 1 F E C 1 C B A D 6若双曲线C：)0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 与直线xy2无交点，则双曲线C的离心率的 取值范围是 A3, 1 ( B ), 3 C5, 1 ( D), 5 7在等边三角形ABC中，连接三角形的三边中点，将它
4、分成 4 个 小三角形， 并将中间的那个小三角形涂成白色后， 对其余 3 个小 三角形重复上述过程得到如图所示的图形，现向三角形ABC内 随机投入 16000 个小图钉（大小忽略不计），则落在白色部分 内的图钉个数大约有 A7000 个 B8000 个 C9000 个 D9600 个 8. 在空间直角坐标系Oxyz中，已知(), (2,2,0), (1,2, 22,0,0),(2,0, 2),(0,2, 2),ABCDE动点M 在线段DE上，P为AB的中点设PM与AC所成的角为，则cos的最大值为 A 7 32 B 7 6 C 7 13 D 35 1053 二、多项选择题：本大题共 4 小题，
5、每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分请把答案填 涂在答题卡上 9在平行六面体 1111 ABCDABC D中，下列各式中运算结果为 1 AC uuur 的是 A 11111 AABCDC uuu ruuuu ruuuu r B 1 ABBCCC uuu ruuu ruuur C 111 ABC CBC uuu ruuu ruuuu r D 111 AADCBC uuu ruuu ruuuu r 10甲、乙、丙三位同学在一项集训中的 40 次测试分数都在50，100内，将他们的测试分 数分别绘制成频
6、率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙的分数标准差分别为 123 ,s s s， 则它们的大小关系为 A 12 ss B 13 ss C 23 ss D 21 ss 11如图，正方体 1111 ABCDABC D 的棱长为1，线段 11 B D上 有两个动点 ,E F，且 2 2 EF 则下列结论中正确的有 A当E向 1 D运动时，AECF 总成立 B当E向 1 D运动时，二面角A EFB逐渐变小 C二面角EABC的最小值为 45 D三棱锥ABEF的体积为定值 （第 7 题图） A B C 高二数学 第 3 页（共 11 页） （第 13 题图） 12已知抛物线) 2 :2(0C ypx p的
7、焦点为F，准线为l，过点F且斜率为k的直线交抛 物线C于,A B两点，过线段AB的中点M且与x轴平行的直线依次交直线OA，OB， l于点,P Q N则下列结论中正确的有 ANP MQ B ,P Q是线段MN的三等分点 C以FB为直径的圆一定与y轴相切 DAOB的面积等于 22 1Pk k 第卷（非选择题 共 90 分） 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13甲、乙两名同学在一个学期内各次数学测试成绩的茎叶图如右图（单 位： 分） ， 则甲同学得分的中位数与乙同学得分的平均数之差为 分 14 过点 (1,1)P 的直线l与双曲线 2 2 1 2 y x交于 ,M N两
8、点， 且点P 恰好是线段MN的中点，则直线l的方程为 15已知)2, 1 , 1 (AB,), 1, 1 (zBC,) 1, 1(yxBP若BP平面ABC，则CP的 最小值为 16 已知抛物线 2 1 2(0)Cypx p：的焦点F恰好是双曲线)0, 0( 1 2 2 2 2 2 ba b y a x C ：的右 焦点， 且 1 C与 2 C的交点的连线过点F， 设双曲线 2 C的渐近线的斜率为k， 则 2 k的值为 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（本题满分 10 分） 某地实施乡村振兴战略， 对农副产品进行追加投资以提高产品销售量，
9、现对某农产品的追 加投资额与销售量进行统计，得到如下数据： 追加投资额x（万元） 1 2 3 4 5 销售量y（吨） 16 20 23 25 26 数据显示追加投资额x（万元）与对应的销售量y（吨）满足线性相关关系 （1）求销售量y（吨）关于追加投资额x（万元）的线性回归方程 ybxa； （2）若追加投资额为 10 万元，预计该产品的销售量为多少吨？ 参考公式：参考公式：线性回归方程 ybxa中， 1 2 1 n ii i n i i xxyy b xx ， a ybx. 18（本题满分 12 分） 高二数学 第 4 页（共 11 页） （第 21 题图） Q F D1 D C B A A1
10、B1 C1 设命题:p方程 22 1 3 xy a 表示焦点在y轴上的椭圆； 命题:q空间向量(1, 2 , ),( 4,1,1) ma a na满足0m n； （1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围； （2）若命题, p q有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围 19（本题满分 12 分） 一个不透明的袋子中装有 5 个小球，其中有 3 个红球，2 个白球，这些球除颜色外完全相 同. （1）记事件A为“一次摸出 2 个球，摸出的球为一个红球，一个白球”. 求( )P A； （2）记事件B为“第一次摸出一个球，记下颜色后将它放回袋中，再次摸出一个球，两 次摸出的球为不同颜色的球” ，记事
11、件C为“第一次摸出一个球，不放回袋中，再次摸出一个球， 两次摸出的球为不同颜色的球” ，求证： 1 ( )( )( ) 5 P CP BP A. 20（本题满分 12 分） 在平面直角坐标系xOy中，已知两点 )0 , 1 (),0 , 1(NM ，动点Q到点M的距离为 22 ， 线段NQ的垂直平分线交线段MQ于点K，设点K的轨迹为曲线E （1）求曲线E的方程； （2）已知点 )0 , 2(P ,设直线l: 10 xmy 与曲线E交于A,B两点，求证： OPAOPB 21（本题满分 12 分） 如图，在长方体 1111 ABCDABC D 中， 1 1,2ABBCAA ， 点Q为底面ABCD的
12、中心，点F为线段 1 BB的中点 （1）求二面角 11 QD FC 的正弦值； （2）已知点P在侧面 11 BBCC的边界及其内部运动，且 1 QDQP ， 求 11 DC P 面积的最小值 22（本题满分 12 分） 高二数学 第 5 页（共 11 页） 已知椭圆 1 C： 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率为 3 2 ,椭圆 1 C的一个短轴端点恰好是抛 物线 2 C： 2 4xy的焦点F （1）求椭圆 1 C的方程； （2）过点F的直线交抛物线 2 C于M，N两点，连接NO，MO,线段NO,MO的延 长线分别交椭圆 1 C于A，B两点，记OMN 与OAB的面积分别为 OMN
13、 S 、 OAB S ，设 OMNOAB SS ,求的取值范围 龙岩市 20202021 学年第一学期期末高二教学质量检查 数学参考答案 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C D C A A A B 二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 9BCD 10AB 11CD 12AC 12（只提供 A 选项解析， 其余略） . 设准线与x轴交于点 1 F， 作 1 A Al于 1 A， 1 BBl 于 1 B 22 2 202 2 p xty yptyp ypx 2 2 AB AB yypt y
14、 yp 设 1( ,), (,) 2 ABB p AyB xy 1 22 , AB OAOB BB yyp kk pxy 又 2 AB y yp 2 22 A BOB AB ppy yk yyp 1 OAOB kk 1 ,O A B三点共线， Q P B B1 O F1F NM A A1 x y （第 12 题图） 高二数学 第 6 页（共 11 页） / /MNx轴 1 11 | | NQAQAPPM FOAOAOOF 1 | |FOOF | |NQPM |NP| |MQ| 三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 131 14210 xy 155 162+2 2 16
15、设 1 C与 2 C交点为,A B. 则ABx轴 (,0)2 22 pp Fcpc 由 22 22 1 cy ab 得 4 2 2 b y a 2 2 |2 b AFpbac a 4222 4()baab 4224 440ba ba 令 2 22 2 440(2)82 22 b ttttt a 2 2 2 2 22 b k a 四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分） 17（本题满分 10 分） 解：（1） 1 (12345)3 5 x ， 1 162023252622 5 y ， 5 1 (1 3) (1622)(23) (2022)(33) (2322) ii i xxyy (43)
16、(2522)(53)(2622)25 ， 4 分 5 2 22222 1 (1 3)(23)(33)(43)(53)10 i i xx ， 5 1 5 2 1 25 2.5 10 ii i i i xxyy b xx ， 222.5 314.5aybx ， 所以y关于x的线性回归方程为 2.514.5yx 8 分 （2）当10 x时， 2514.539.5y . 高二数学 第 7 页（共 11 页） 答：追加投资额为 10 万元时，预计该产品的销售量为 39.5 吨. 10 分 18（本题满分 12 分） 解： （1） 由题意， 若命题p为真命题， 则03a， 所以a的取值范围为(0,3).
17、4 分 （2）若命题q为真命题， 则 2 (1, 2 , ) ( 4,1,1)42(1)340 m na aaaa aaa 得 14a 7 分 若命题p、q有且仅有一个为真命题，则“p真q假”或“p假q真” 当p真q假时， 03 14 a aa 或 ，此时不等式组无解. 9 分 当p假q真时， 03 14 aa a 或 ， 此时1034aa 或 11 分 综上所述，a的取值范围是 ( 1,03,4). 12 分 19（本题满分 12 分） 解:（1）记这 3 个红球为 123 ,a a a,2 个白球记为 12 ,b b，则从袋中一次摸出 2 个球的 所有基本事件为： 12 ,a a， 13
18、,a a， 11 ,a b， 12 ,a b， 23 ,a a， 21 ,a b， 22 ,a b， 31 ,a b， 32 ,a b， 12 ,b b共 10 个， 其中满足事件A的基本事件有 6 个，所以 63 105 P A . 4 分 （2）从袋中第一次摸出一个球，记下颜色后将它放回袋中，再次摸出一个球 的所有基本事件为 11 ,a a ， 12 ,a a， 13 ,a a， 11 ,a b， 12 ,a b， 21 ,a a ， 22 ,a a ， 23 ,a a， 21 ,a b， 22 ,a b， 31 ,a a ， 32 ,a a ， 33 ,a a， 31 ,a b， 高二数
19、学 第 8 页（共 11 页） 32 ,a b， 11 ,b a ， 12 ,b a ， 13 ,b a， 11 ,b b， 12 ,b b， 21 ,b a ， 22 ,b a ， 23 ,b a， 21 ,b b， 22 ,b b共 25 个，满足事件B的基本事件有 12 个，所 以 12 25 P B . 7 分 从袋中第一次摸出一个球，不放回袋中，再次摸出一个球的所有基本事 件为 12 ,a a， 13 ,a a， 11 ,a b， 12 ,a b， 21 ,a a ， 23 ,a a， 21 ,a b， 22 ,a b， 31 ,a a ， 32 ,a a ， 31 ,a b， 32
20、 ,a b， 11 ,b a ， 12 ,b a ， 13 ,b a， 12 ,b b， 21 ,b a ， 22 ,b a ， 23 ,b a， 21 ,b b共 20 个，满足事件C的基 本事件有 12 个，所以 123 205 P C . 10 分 因此： 3123 52525 P CP B, 又 3 5 P A ，所以 1 5 P CP BP A. 12 分 20（本题满分 12 分） 解：（1）线段NQ的垂直平分线交MQ于点K, | | |KNKQ , MNMQKQKMKNKM222 点K的轨迹是以原点为中心,以M,N为焦点的椭圆. 3 分 设椭圆方程为 22 22 1(0) xy
21、ab ab ,则1, 1,2bca, 所以曲线E的方程为 1 2 2 2 y x 5 分 （2）由 2 2 1 2 10 x y xmy 消去x可得 22 2210mymy . 设 11 ,A x y , 22 ,B xy ,则 12 2 2 2 m yy m , 12 2 1 2 y y m . 8 分 易知PA,PB的斜率存在,则 高二数学 第 9 页（共 11 页） （第 21 题图） Q F D1 D C B A A1 B1 C1 , )1)(1 ( 2 1122 21 2121 2 2 1 1 2 2 1 1 mymy ymyyy my y my y x y x y kk PBPA
22、10 分 又因为 0 2 2 2 2 2 22 2121 m m m m ymyyy 所以 0 PBPA kk ,所以OPAOPB . 12 分 21（本题满分 12 分） 解： （1）如图所示，分别以 1 ,DDDCDA所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系. 由已知可得：) 1 , 1 , 1 (),0 , 2 1 , 2 1 (),2 , 0 , 0(),2 , 1 , 0(),0 , 1 , 0(),0 , 0 , 1 (),0 , 0 , 0( 11 FQDCCAD 所以)0 , 1, 1 (),0 , 1 , 0(),1, 1 , 1 ( 111 CACDFD, 设平面 11
23、FC D的法向量 ),( 1zyxn ， 由 11 111 0 0 nD F nDC ，得 0 000 xyz xyz ， 可取 1 (1,0,1)n3 分 易知QFDAC 1 平面， 所以取平面QFD1的法向量)0 , 1, 1 ( 2CAn 4 分 所以 12 12 12 |1 cos, 2| | n n n n nn ，所以 12 3 sin, 2 n n 故二面角 11 QD FC 的正弦值为 2 3 . 6 分 （2）由已知可设点 P 的坐标为)20 , 10)(, 1 ,( 0000 zxzx ， 则), 2 1 , 2 1 ( 00 zxQP，)2 , 2 1 , 2 1 ( 1
24、 QD,)2, 0 ,( 001 zxPC 由 1 QDQP 得： 100 111 ()20 224 QD QPxz 得： 00 4zx 8 分 000 1 010410 4 xzz CBCBCD 1111 平面,又CBCBPC 111 平面 PCCD 111 即PCD 11 为直角三角形，PCPCCDS CPD1111 2 1 2 1 1 9 分 高二数学 第 10 页（共 11 页） 又 17 64 ) 17 2 (174416)2( 2 00 2 0 22 0 2 0 2 1 0 zzzzzxPC 所以当 0 21 0, 174 z 时， 17 178 min 1 PC 综上可得 11
25、DC P 面积的最小值为 17 174 12 分 22.（本题满分 12 分） 解：（1）因为椭圆 1 C的一个短轴端点恰好是抛物线 2 C： 2 4xy焦点0,1F, 所以1.b 由 222 3 , 2 c abc a 解得2,a 所以椭圆 1 C的方程为 2 2 1 4 x y 4 分 （2）因为过F的直线交 2 C于M，N两点，所以直线的斜率存在， 设直线方程为 1ykx ， 1122 ,M x yN xy ， 联立 2 4 1 xy ykx ， 故 2 44 0 xk x . 2 16160k 恒成立， 12 12 4 4 xxk x x ， 由 1212 11 1 22 OMN SO
26、Fxxxx ，故 22 22 121212 11 444, 44 OMN Sxxxxx xk 所以 2 21 OMN Sk 7 分 不妨设 22 ,N xy在第一象限, 所以设直线ON： 1 yk x)0( 1 k ,则 1 2 2 1 4 yk x x y ，解得 1 22 11 22 , 4141 k A kk ， 设直线OM： 2 yk x , 同理 2 22 22 22 , 4141 k B kk ， 22 12 1212 12 1212 1 44 , 164 xx yyx x k k xxxx 又因为 高二数学 第 11 页（共 11 页） 可得 1 22 11 41 , 4141 k B kk . 又因为点A到直线OB的距离 21 22 2 11 1 2 2 1 2 22 1414 41 2, 161 1 kk kk k d k k 所以 22 11 22 11 1614111 21 2241161 OAB kk Sd OB kk . 所以 2 21 1 1. OMNOAB SSk 综上:的取值范围是1, ) . 12 分
