1、1 / 6 A 字形，字形，A形，形，8 字形，蝴蝶形，双垂直字形，蝴蝶形，双垂直,旋转形旋转形 双垂直结论双垂直结论:射影定理：射影定理： 直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项 每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项 ACDCDBAD:CD=CD:BDCD2=ADBD ACDABCAC:AB=AD:ACAC2=ADAB CDBABCBC:AC=BD:BCBC2=BDAB 结论：得 AC2:BC2=AD:BD 结论：面积法得 ABCD=ACBC比例式 证明等积式(比例式)策略 1、直接法：、直接法：找同一三角形两条边 变化：等号同侧两边同一三角形 三点定形法
2、 2、间接法：、间接法： 3 种代换 等线段代换； 等比代换； 等积代换； 创造条件添加平行线创造“A”字型、“8”字型 先证其它三角形相似创造边、角条件 相似判定条件：两边成比夹角等、两角对应三边比 相似终极策略： 遇等积，化比例，同侧三点找相似； 四共线，无等边，射影平行用等比； 四共线，有等边，必有一条可转换； E AB CD E A B CD BC A D E D C B A 2 / 6 两共线，上下比，过端平行条件边。 彼相似，我角等，两边成比边代换。 四条线段，欲证 d c b a ，可先证得（3） 等比代换：） 等比代换： 若 dcba, 是 后证 d c f e ，这里把 f
3、e 叫做中间 f e b a （ fe, 是两条线段）然 比。 ABC=ADE求证：ABAE=ACAD ABC 中，AB=AC，DEF 是等边三角形 求证： BDCN=BMCE 等边三角形 ABC 中，P 为 BC 上任一点，AP 的垂直平分线交 AB、AC 于 M、N 两点。 求证：BPPC=BMCN 有射影，或平行，等比传递我看行有射影，或平行，等比传递我看行 3 / 6 F E D A B C 在 RtABC 中，BAC=90，ADBC 于 D，E 为 AC 的中点，求证：ABAF=ACDF 斜边上面作高线，比例中项一大片斜边上面作高线，比例中项一大片 四共线，看条件，其中一条可转换；四
4、共线，看条件，其中一条可转换； RtABC 中四边形 DEFG 为正方形。 求证：EF2=BEFC ABC 中，AB=AC，AD 是 BC 边上的中线，CFBA， 求证：BP2=PE PF。 AD 是ABC 的角平分线，EF 垂直平分 AD， 交 BC 的延长线于 E，交 AB 于 F. 求证： DE2=BE CE. 1 2 F EDBC A 4 / 6 两共线，上下比，过端平行条件边。两共线，上下比，过端平行条件边。 AD 是ABC 的角平分线. 求证：AB:AC=BD:CD. 在ABC 中，AB=AC， 求证：DF:FE=BD:CE. 在ABC 中，ABAC，D 为 AB 上一点，E 为
5、AC 上一点，AD=AE， 直线 DE 和 BC 的延长线交于点 P， 求证：BP:CP=BD:CE. 在ABC 中，BF 交 AD 于E. (1)若 AE:ED=2:3， BD:DC=3:2，求 AF:FC； (2)若 AF:FC=2:7， BD:DC=4:3，求 AE:ED. F B A C D E 3 2 1 E D A B C P D A B C E E A B C D F 5 / 6 （3）BD:CD=2:3,AE:ED=3:4 求:AF:FC 在ABC 中，D、E 分别为 BC 的三等分点，AC 边上的中线 BM 交 AD 于 P，交 AE 于 Q，若 BM=10cm，试求 BP、
6、PQ、QM 的长. ABC 中，AC=BC，F 为底边 AB 上的一点，（m、n0），取 CF 的中点 D， 连 结 AD 并延长交 BC 于 E. （1）的值. （2）如果 BE=2EC，那么 CF 所在直线与边 AB 有怎样的位置关系？证明你的结论； （3）E 点能否为 BC 中点？如果能，求出相应的的值；如果不能，证明你的结论。 彼相似，我条件，创造边角再相似彼相似，我条件，创造边角再相似 AE2AD AB，且ABEBCE， 试说明EBCDEB 已知 ABD ACE ，求证： ABC ADE D 为ABC 内一点，连接 BD、AD，以 BC 为边在ABC 外作CBE=ABD，BCE=BAD， 求证：DBEABC。 6 / 6 D、E 分别在ABC 的 AC、AB 边上， 且 AEAB=ADAC，BD、CE 交于点 O. 求证：BOECOD. O C D B A E
