1、1 / 6 A 字形,字形,A形,形,8 字形,蝴蝶形,双垂直字形,蝴蝶形,双垂直,旋转形旋转形 双垂直结论双垂直结论:射影定理:射影定理: 直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项 每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项 ACDCDBAD:CD=CD:BDCD2=ADBD ACDABCAC:AB=AD:ACAC2=ADAB CDBABCBC:AC=BD:BCBC2=BDAB 结论:得 AC2:BC2=AD:BD 结论:面积法得 ABCD=ACBC比例式 证明等积式(比例式)策略 1、直接法:、直接法:找同一三角形两条边 变化:等号同侧两边同一三角形 三点定形法
2、 2、间接法:、间接法: 3 种代换 等线段代换; 等比代换; 等积代换; 创造条件添加平行线创造“A”字型、“8”字型 先证其它三角形相似创造边、角条件 相似判定条件:两边成比夹角等、两角对应三边比 相似终极策略: 遇等积,化比例,同侧三点找相似; 四共线,无等边,射影平行用等比; 四共线,有等边,必有一条可转换; E AB CD E A B CD BC A D E D C B A 2 / 6 两共线,上下比,过端平行条件边。 彼相似,我角等,两边成比边代换。 四条线段,欲证 d c b a ,可先证得(3) 等比代换:) 等比代换: 若 dcba, 是 后证 d c f e ,这里把 f
3、e 叫做中间 f e b a ( fe, 是两条线段)然 比。 ABC=ADE求证:ABAE=ACAD ABC 中,AB=AC,DEF 是等边三角形 求证: BDCN=BMCE 等边三角形 ABC 中,P 为 BC 上任一点,AP 的垂直平分线交 AB、AC 于 M、N 两点。 求证:BPPC=BMCN 有射影,或平行,等比传递我看行有射影,或平行,等比传递我看行 3 / 6 F E D A B C 在 RtABC 中,BAC=90,ADBC 于 D,E 为 AC 的中点,求证:ABAF=ACDF 斜边上面作高线,比例中项一大片斜边上面作高线,比例中项一大片 四共线,看条件,其中一条可转换;四
4、共线,看条件,其中一条可转换; RtABC 中四边形 DEFG 为正方形。 求证:EF2=BEFC ABC 中,AB=AC,AD 是 BC 边上的中线,CFBA, 求证:BP2=PE PF。 AD 是ABC 的角平分线,EF 垂直平分 AD, 交 BC 的延长线于 E,交 AB 于 F. 求证: DE2=BE CE. 1 2 F EDBC A 4 / 6 两共线,上下比,过端平行条件边。两共线,上下比,过端平行条件边。 AD 是ABC 的角平分线. 求证:AB:AC=BD:CD. 在ABC 中,AB=AC, 求证:DF:FE=BD:CE. 在ABC 中,ABAC,D 为 AB 上一点,E 为
5、AC 上一点,AD=AE, 直线 DE 和 BC 的延长线交于点 P, 求证:BP:CP=BD:CE. 在ABC 中,BF 交 AD 于E. (1)若 AE:ED=2:3, BD:DC=3:2,求 AF:FC; (2)若 AF:FC=2:7, BD:DC=4:3,求 AE:ED. F B A C D E 3 2 1 E D A B C P D A B C E E A B C D F 5 / 6 (3)BD:CD=2:3,AE:ED=3:4 求:AF:FC 在ABC 中,D、E 分别为 BC 的三等分点,AC 边上的中线 BM 交 AD 于 P,交 AE 于 Q,若 BM=10cm,试求 BP、
6、PQ、QM 的长. ABC 中,AC=BC,F 为底边 AB 上的一点,(m、n0),取 CF 的中点 D, 连 结 AD 并延长交 BC 于 E. (1)的值. (2)如果 BE=2EC,那么 CF 所在直线与边 AB 有怎样的位置关系?证明你的结论; (3)E 点能否为 BC 中点?如果能,求出相应的的值;如果不能,证明你的结论。 彼相似,我条件,创造边角再相似彼相似,我条件,创造边角再相似 AE2AD AB,且ABEBCE, 试说明EBCDEB 已知 ABD ACE ,求证: ABC ADE D 为ABC 内一点,连接 BD、AD,以 BC 为边在ABC 外作CBE=ABD,BCE=BAD, 求证:DBEABC。 6 / 6 D、E 分别在ABC 的 AC、AB 边上, 且 AEAB=ADAC,BD、CE 交于点 O. 求证:BOECOD. O C D B A E