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2020-2021学年辽宁省丹东市高二(上)期末数学试卷.docx

1、第 1 页(共 21 页) 2020-2021 学年辽宁省丹东市高二(上)期末数学试卷学年辽宁省丹东市高二(上)期末数学试卷 一、选择题:本题共一、选择题:本题共 8 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 40 分分.在每小题给出的四个选项中,只有在每小题给出的四个选项中,只有-项项 是符合题目要求的是符合题目要求的. 1 (5 分)经过点(5,2)P且平行于直线:310lxy 的直线方程为( ) A3110 xy B3130 xy C3110 xy D3130 xy 2 (5 分)5 名同学报名参加 4 个活动小组,每人限报 1 个活动小组,不同的报名方法种数 为( ) A 5 4 B

2、 4 5 C 4 5 A D4! 3 (5 分)如图 1,从某个角度观看篮球,可以得到一个对称的平面图形如图 2,篮球的外 轮廓为圆O,将篮球表面的粘合线视为坐标轴和双曲线,若坐标轴和双曲线与圆O的交点 将圆的周长八等分,且1ABBOOCCD,则该双曲线的方程为( ) A 22 1xy B 2 2 1 2 y x C 2 2 1 3 y x D 2 2 1 4 y x 4 (5 分)古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长 半轴长与短半轴长的乘积已知椭圆C的面积为2 3, 1 F, 2 F分别是C的两个焦点,过 1 F 的直线交C于A,B两点,若 2 ABF的周长

3、为 8,则C的离心率为( ) A 1 2 B 2 2 C 3 2 D 2 3 5 (5 分)中心在坐标原点,焦点在x轴上的双曲线C的离心率为 5 3 ,则C的渐近线方程为 ( ) 第 2 页(共 21 页) A350 xy B530 xy C340 xy D430 xy 6 (5 分)使得 1 ()nx xx 的展开式中含有常数项的最小正整数n为( ) A2 B4 C5 D6 7 (5 分)圆C与圆 22 (1)1xy相外切,与圆 22 (1)9xy相内切,则圆C的圆心在( ) A一个椭圆上 B双曲线的一支上 C一条抛物线上 D一个圆上 8 (5 分)已知A,B为二面角l 棱l上不同两点,C,

4、D分别在半平面,内, ACl,BDl,2ACBDAB,若直线AB与CD所成角的余弦值为 5 5 ,则二面角 l 的大小为( ) A30 B60 C120 D150 二、选择题:本小题共二、选择题:本小题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分.在每小题给出的选项中,有多项符合在每小题给出的选项中,有多项符合 题目要求题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分,有选错的得分,有选错的得 0 分,部分选对的得分,部分选对的得 3 分分. 9 (5 分)若 623456 0123456 (2) xaa xa xa xa xa xa x,则( ) A 0 64a B 012345

5、6 1aaaaaaa C 6 0123456 3aaaaaaa D 3 a是 0 a、 1 a、 2 a、 3 a、 4 a、 5 a、 6 a中的最大值 10 (5 分)已知曲线 22 :1 13 xy C mm 一 ,( ) A若1m ,则C表示椭圆 B若3m ,则C表示椭圆 C若13m ,则C表示双曲线 D若1m 且3m ,则C的焦距为 4 11 (5 分)4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同 学参加公益活动的安排方法种数为( ) A 22 42 A B 4 22 C 222132 422432 C C AC C A 第 3 页(共 21 页) D 2

6、2132 42432 C CC C A 12 (5 分) 已知m,n为空间中两条互相垂直的直线, 等腰直角三角形ABC的直角边AC所 在直线与m,n都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,则( ) A直线AB与m所成角的最小值为45 B直线AB与m所成角的最大值为60 C当直线AB与m成60角时,AB与n成60角 D当直线AB与m成90角时,AB与n成45角 三、填空题:本题共三、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分. 13 (5 分)已知(1n ,2,1)为平面的一个法向量,( 2a ,1)为直线l的方向 向量若/ /l,则 14(5 分) 已知抛物线

7、2 :8C yx的焦点为F,M为C上一点, 点(0,4)N, 若90MNF, 则|MF 15 (5 分) 25 (2)xx的展开式中 3 x的系数为 16(5 分) 有 6 个座位连成一排, 现有 3 人就坐, 则恰有两个空座位相邻的不同坐法有 种 四、解答题:本题共四、解答题:本题共 6 小题,共小题,共 70 分分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是菱形,2PAAB,PA 平面ABCD, E为PD的中点 (1)证明:/ /PB平面AEC; (2)在60ABC,ECAD这两个条件中任选一个,补充在下面

8、的横线上,并作 答若_,求EC与平面PAD所成的角 18如图,已知台风中心从O地以每小时20 2 mk的速度向东北方向移动,t小时后到达M 地,距离台风台风中心不超过12 5 mk的地区为危险区域设直线型高速公路l与正东方向 夹角为(tan2),且经过O地正东40 mk处的点P (1)在平面直角坐标xOy系内,写出直线l的方程,写出在t时刻台风危险区域边界轨迹C 第 4 页(共 21 页) 的方程; (2)计算高速公路l处于危险区域内的时间长 19在平行六面体 1111 ABCDABC D中,(2AB ,1,4),(4,2,0)AD , 1 ( 1,2,1)AD (1)证明: 1 AD 平面A

9、BCD; (2)对于空间向量 111 (,)axyz, 222 (,)bxy z, 3 (cx, 3 y, 3) z,定义运算: 123132231213312321 ()abcx y zx y zx y zx y zx y zx y z 证明: 1 ()ABADAD的绝对值等于平行六面体 1111 ABCDABC D的体积 20世界上单口径最大、灵敏度最高的射电望远镜“中国天眼” 500m 口径抛物面射电 望远镜,反射面的主体是一个抛物面(抛物线绕其对称轴旋转所形成的曲面称为抛物面) , 其边缘距离底部的落差约为 156.25 米,是由我国天文学家南仁东先生于 1994 年提出构想, 历时

10、22 年建成,于 2016 年 9 月 25 日落成启用,2020 年 1 月 11 日, “中国天眼”通过国家 验收,投入正式运行,截至 2020 年 11 月, “中国天眼”发现脉冲星数量超过 240 颗它的 一个轴截面是一个开口向上的抛物线C的一部分,放入如图所示的平面直角坐标系内 (1)求C的方程; (2)一束平行于y轴的脉冲信号射到C上的P点,反射信号经过C的焦点F后,再由C上 点Q反射出平行脉冲信号,试确定点P的坐标,使得从入射点P到反射点Q的路程最短 21如图,直三棱柱 111 ABCABC中, 1 ACBCCC,ACBC 第 5 页(共 21 页) (1)求直线 1 AC与 1

11、 CB所成的角; (2)在线段AB是否存在点M,使平面 1 B MC与平面 11 ACC A所成锐二面角的余弦值为 2 3 ? 若存在,求 AM AB 的值,若不存在,说明理由 22已知椭圆C的焦点坐标为(3,0),( 3,0),且经过点(2,1)D (1)求C的方程; (2)设直线l不经过D点且与C相交于M,N两点,若以线段MN为直径的圆经过D点, 证明:l过定点 第 6 页(共 21 页) 2020-2021 学年辽宁省丹东市高二(上)期末数学试卷学年辽宁省丹东市高二(上)期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题:本题共一、选择题:本题共 8 小题,每小题小题,每小题

12、 5 分,共分,共 40 分分.在每小题给出的四个选项中,只有在每小题给出的四个选项中,只有-项项 是符合题目要求的是符合题目要求的. 1 (5 分)经过点(5,2)P且平行于直线:310lxy 的直线方程为( ) A3110 xy B3130 xy C3110 xy D3130 xy 【解答】解:因为所求直线平行于直线:310lxy , 故设所求直线的方程为30 xyc, 又直线经过点(5,2)P, 所以3520c,解得13c , 故所求直线方程为3130 xy 故选:D 2 (5 分)5 名同学报名参加 4 个活动小组,每人限报 1 个活动小组,不同的报名方法种数 为( ) A 5 4 B

13、 4 5 C 4 5 A D4! 【解答】解:根据题意,5 名同学报名参加 4 个活动小组,每人限报 1 个活动小组, 则每人都有 4 种报名方法,则 5 人有 5 4 4 4 4 44 种报名方法, 故选:A 3 (5 分)如图 1,从某个角度观看篮球,可以得到一个对称的平面图形如图 2,篮球的外 轮廓为圆O,将篮球表面的粘合线视为坐标轴和双曲线,若坐标轴和双曲线与圆O的交点 将圆的周长八等分,且1ABBOOCCD,则该双曲线的方程为( ) 第 7 页(共 21 页) A 22 1xy B 2 2 1 2 y x C 2 2 1 3 y x D 2 2 1 4 y x 【解答】解:以O为原点

14、,AD所在直线为x轴建系, 1ABBOOCCD, 则该双曲线过点( 2,2)且1a , 将点( 2,2)代入方程 22 22 1 xy ab ,可得2b , 所以双曲线方程为: 2 2 1 3 y x 故选:C 4 (5 分)古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长 半轴长与短半轴长的乘积已知椭圆C的面积为2 3, 1 F, 2 F分别是C的两个焦点,过 1 F 的直线交C于A,B两点,若 2 ABF的周长为 8,则C的离心率为( ) A 1 2 B 2 2 C 3 2 D 2 3 【解答】解:由题意可知: 2 3 48 ab a ,解得,2a ,3b , 第 8

15、 页(共 21 页) 又 222 cab,1c, 1 2 c e a 故选:A 5 (5 分)中心在坐标原点,焦点在x轴上的双曲线C的离心率为 5 3 ,则C的渐近线方程为 ( ) A350 xy B530 xy C340 xy D430 xy 【解答】解:中心在坐标原点,焦点在x轴上的双曲线C的离心率为 5 3 , 可得 5 3 c a ,所以 2 2 25 1 9 b a , 所以 4 3 b a , 所以双曲线的渐近线方程为: 4 3 yx ,即430 xy 故选:D 6 (5 分)使得 1 ()nx xx 的展开式中含有常数项的最小正整数n为( ) A2 B4 C5 D6 【解答】解:

16、 1 ()nx xx 的展开式的通项公式为 5 2 1 r n r rn TCx , 令 5 0 2 r n ,可得25nr,0r ,1,2,n, 故n的最小正值为 5,此时,2r , 故选:C 7 (5 分)圆C与圆 22 (1)1xy相外切,与圆 22 (1)9xy相内切,则圆C的圆心在( ) A一个椭圆上 B双曲线的一支上 C一条抛物线上 D一个圆上 【解答】解:动圆C与圆 22 1:( 1)1Cxy相外切,与圆 22 2:( 1)9Cxy相内切, 1 |1CCr, 2 | 3CCr, 12 | 4CCCC, 第 9 页(共 21 页) 点C的轨迹是以 1 C、 2 C为焦点(1)c ,

17、长轴长24a 的椭圆, 故选:A 8 (5 分)已知A,B为二面角l 棱l上不同两点,C,D分别在半平面,内, ACl,BDl,2ACBDAB,若直线AB与CD所成角的余弦值为 5 5 ,则二面角 l 的大小为( ) A30 B60 C120 D150 【解答】解:如图, 在内,过B作/ /BEAC,且BEAC,连接CE, 则四边形ACEB为矩形,可得BEAB,CEAB, 由BDl,BEl,得DBE为二面角l 的平面角, 设22ACBDABa,则ABCEa, 又直线AB与CD所成角的余弦值为 5 5 , 5 cos 5 CE DCE CD , 得55CDCEa,则2DEa, DBE为等边三角形

18、,即60DBE 故二面角l 的大小为60 故选:B 二、选择题:本小题共二、选择题:本小题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分.在每小题给出的选项中,有多项符合在每小题给出的选项中,有多项符合 题目要求题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分,有选错的得分,有选错的得 0 分,部分选对的得分,部分选对的得 3 分分. 9 (5 分)若 623456 0123456 (2) xaa xa xa xa xa xa x,则( ) A 0 64a B 0123456 1aaaaaaa C 6 0123456 3aaaaaaa D 3 a是 0 a、 1 a、 2 a、 3

19、a、 4 a、 5 a、 6 a中的最大值 【解答】解: 623456 0123456 (2) xaa xa xa xa xa xa x, 第 10 页(共 21 页) 令0 x ,有 6 0 264a,故选项A正确; 令1x ,有 6 0126 (21)1aaaa ,故选项B正确; 令1x ,有 66 0123456 (21)3aaaaaaa,故选项C正确, 又 333 360 2 ( 1)aCa,故选项D错误, 故选:ABC 10 (5 分)已知曲线 22 :1 13 xy C mm 一 ,( ) A若1m ,则C表示椭圆 B若3m ,则C表示椭圆 C若13m ,则C表示双曲线 D若1m

20、且3m ,则C的焦距为 4 【解答】解:1m ,则C表示的轨迹不存在,所以A不正确; 若3m ,则C表示焦点坐标的x轴上的椭圆,所以B正确; 若13m ,则C表示焦点坐标在x轴上的双曲线,所以C正确; 若1m 且3m ,则C的焦距为 4,正确,所以D正确; 故选:BCD 11 (5 分)4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同 学参加公益活动的安排方法种数为( ) A 22 42 A B 4 22 C 222132 422432 C C AC C A D 22132 42432 C CC C A 【解答】解:当使用整体排除法时,安排方法有 1 4144 224

21、()22CC C种; 当使用分类法时,安排方法有 22132 42432 C CC C A种, 故选:BD 12 (5 分) 已知m,n为空间中两条互相垂直的直线, 等腰直角三角形ABC的直角边AC所 在直线与m,n都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,则( ) A直线AB与m所成角的最小值为45 B直线AB与m所成角的最大值为60 第 11 页(共 21 页) C当直线AB与m成60角时,AB与n成60角 D当直线AB与m成90角时,AB与n成45角 【解答】解:由题意知,m、n、AC三条直线两两相互垂直,画出图形如图, 不妨设图中所示正方体边长为 1, 故| 1AC ,|2AB , 斜边

22、AB以直线AC为旋转轴,则A点保持不变, B点的运动轨迹是以C为圆心,1 为半径的圆, 以C坐标原点,以CD为x轴,CB为y轴,CA为z轴,建立空间直角坐标系, 则(1D,0,0),(0A,0,1), 直线m的方向单位向量(0m ,1,0),| 1m , 直线n的方向单位向量(1n ,0,0),| 1n , 设B点在运动过程中的坐标中的坐标(cosB,sin,0), 其中为B C与CD的夹角,0,2 ), AB在运动过程中的向量,(cosAB ,sin,1),|2AB , 设AB与m所成夹角为0, 2 , 则 |( cos , sin ,1) (0,1,0)|2 cos|sin| 0 2| |

23、aAB , 2 2 , 4 , 2 ,A正确,B错误 设AB与n所成夹角为0, 2 , |( cos ,sin ,1) (1,0,0)|2 cos|cos| 2| | | AB b ABbbAB , 当AB与m夹角为60时,即 3 , 2 |sin|2cos2sin 32 , 22 cossin1, 21 cos|cos| 22 , 0, 2 , 3 ,此时AB与n的夹角为60, C正确,D错误 故选:AC 第 12 页(共 21 页) 三、填空题:本题共三、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分. 13 (5 分)已知(1n ,2,1)为平面的一个法向量,

24、( 2a ,1)为直线l的方向 向量若/ /l,则 3 2 【解答】解:/ /l,2210n a , 可得 3 2 故答案为: 3 2 14(5 分) 已知抛物线 2 :8C yx的焦点为F,M为C上一点, 点(0,4)N, 若90MNF, 则|MF 10 【解答】解:由题意设 2 ( 8 b M,)b, 由抛物线的方程可得焦点(2,0)F,准线方程为:2x , 因为90MNF,(0,4)N, 所以可得0NM NF, 即 2 ( 8 b ,4) (2b,4)0, 整理可得:8b , 所以(8,8)M, 所以| 8210MF , 故答案为:10 15 (5 分) 25 (2)xx的展开式中 3

25、x的系数为 200 【解答】 解: 式子 2525 (2)()2xxxx的展开式的通项公式为 25 15 ()2 rrr r TCxx , 对于 25 () r xx ,它的通项公式为 10 2 15 ( 1)r rr r rr TCx , 其中,05rr剟,05r剟,r、r都是自然数 第 13 页(共 21 页) 令1023rr ,可得 2 3 r r ,或 3 1 r r , 故 3 x项的系数为 223331 5352 2()2()200CCCC , 故答案为:200 16 (5 分)有 6 个座位连成一排,现有 3 人就坐,则恰有两个空座位相邻的不同坐法有 72 种 【解答】解:3 人

26、坐 6 个座位,坐法共有 3 6 A 其中空坐各不相邻的坐法为 33 43 C A 三个空坐相连的坐法 13 43 C A 满足条件的坐法共有 33313 64343 72AC AC A 故答案为:72 四、解答题:本题共四、解答题:本题共 6 小题,共小题,共 70 分分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是菱形,2PAAB,PA 平面ABCD, E为PD的中点 (1)证明:/ /PB平面AEC; (2)在60ABC,ECAD这两个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并作 答若_,求EC与平面PAD所成

27、的角 【解答】解: (1)证明:连接BD,交AC于O,连接OE, 底面ABCD是菱形,O是BD中点, E为PD的中点,/ /OEPB, PB 平面AEC,OE 平面AEC, / /PB平面AEC (2)选: 以O为原点,OB为x轴,OC为y轴,过O作平面ABCD的垂线为z轴,建立空间直角坐 第 14 页(共 21 页) 标系, 底面ABCD是菱形,2PAAB,60ABC, (3D,0,0),(0P,1,2), 3 ( 2 E , 1 2 ,1),(0C,1,0),(0A,1,0), 3 ( 2 EC , 3 2 ,1),(0AP ,0,2),(3AD ,1,0), 设平面PAD的法向量(nx,

28、y,) z, 则 20 30 n APz n ADxy ,取1x ,得(1n ,3,0), 设EC与平面PAD所成的角为, 则 |2 33 sin 222| | EC n ECn , EC与平面PAD所成的角为 3 选: 以O为原点,OB为x轴,OC为y轴,过O作平面ABCD的垂线为z轴,建立空间直角坐 标系, 取AD中点F,连接EF,CF, 底面ABCD是菱形,2PAAB,ECAD,PA 平面ABCD,E为PD的中点 / /EFPA,EF平面ABCD,CFAD,2ACCD, (3D,0,0),(0P,1,2), 3 ( 2 E , 1 2 ,1),(0C,1,0),(0A,1,0), 3 (

29、 2 EC , 3 2 ,1),(0AP ,0,2),(3AD ,1,0), 设平面PAD的法向量(nx,y,) z, 则 20 30 n APz n ADxy ,取1x ,得(1n ,3,0), 设EC与平面PAD所成的角为, 则 |2 33 sin 222| | EC n ECn , EC与平面PAD所成的角为 3 第 15 页(共 21 页) 18如图,已知台风中心从O地以每小时20 2 mk的速度向东北方向移动,t小时后到达M 地,距离台风台风中心不超过12 5 mk的地区为危险区域设直线型高速公路l与正东方向 夹角为(tan2),且经过O地正东40 mk处的点P (1)在平面直角坐标

30、xOy系内,写出直线l的方程,写出在t时刻台风危险区域边界轨迹C 的方程; (2)计算高速公路l处于危险区域内的时间长 【解答】解: (1)因为l与x轴正方向的夹角为180,且tan2, 所以tan(180)tan2 , 故直线l的斜率为2, 所以直线l的方程为02(40)yx ,即2800 xy, 当台风中心在O地时,台风危险区域是一个以O为圆心,以12 5 mk为半径的圆, 因为台风中心从O地以每小时20 2 mk的速度向东北方向移动, 设台风在t小时后到达M地, 所以20 2OMt,设( , )M a a,则有 222 (20 2)aa,解得20at, 第 16 页(共 21 页) 所以

31、(20 ,20 )Mtt,所以移动后的圆心为(20 ,20 )tt, 故t时 刻 台 风 危 险 区 域 边 界 轨 迹C的 方 程 为 222 (20 )(20 )(12 5)xtyt, 即 22 (20 )(20 )720 xtyt; (2)台风方向满足的方程为yx, 设 1 t时高速公路l恰好处于危险区域内, 2 t时高速公路l恰好离开危险区域, 设 1 t时台风中心为 11 (O x, 1) x, 2 t时台风中心为 22 (O x, 2) x, 1 t时台风中心到高速公路l的距离恰好为半径12 5, 则有 11 22 |280| 12 5 21 xx ,解得 1 20 3 x 或 1

32、 140 3 x (舍) 所以台风中心 1 20 20 (,) 33 O; 2 t时台风中心到高速公路l的距离也恰好为半径12 5, 则有 11 22 |280| 12 5 21 xx ,解得 1 140 3 x 或 1 20 3 x (舍), 所以台风中心为 2 140 140 (,) 33 O 则 22 1 202020 2 ()() 333 OO , 22 2 140140140 2 ()() 333 OO , 故 1221 40 2OOOOOO, 则时间 12 40 2 2 20 220 2 OO t , 所以高速公路l处于危险区域内的时间为 2 小时 19在平行六面体 1111 AB

33、CDABC D中,(2AB ,1,4),(4,2,0)AD , 1 ( 1,2,1)AD (1)证明: 1 AD 平面ABCD; (2)对于空间向量 111 (,)axyz, 222 (,)bxy z, 3 (cx, 3 y, 3) z,定义运算: 123132231213312321 ()abcx y zx y zx y zx y zx y zx y z 证明: 1 ()ABADAD的绝对值等于平行六面体 1111 ABCDABC D的体积 【解答】证明: (1)(2AB ,1,4),(4,2,0)AD , 1 ( 1,2,1)AD , 1 2240ADAB , 1 440ADAD , 第

34、17 页(共 21 页) 可得 1 ADAB, 1 ADAD,又ADABA, 1 AD平面ABCD; (2) 1 ()22 12204244( 1) 1( 1)( 1)0ABADAD ( 1)244324848 ; 设AB与AD的夹角为, 823 cos | |21 2 5105 AB AD ABAD , 2 4 2 sin1 35 cos 则 1 4 2 | | sin|21 2 5648 35 VABADAD 1 ()ABADAD的绝对值等于平行六面体 1111 ABCDABC D的体积 20世界上单口径最大、灵敏度最高的射电望远镜“中国天眼” 500m 口径抛物面射电 望远镜,反射面的主

35、体是一个抛物面(抛物线绕其对称轴旋转所形成的曲面称为抛物面) , 其边缘距离底部的落差约为 156.25 米,是由我国天文学家南仁东先生于 1994 年提出构想, 历时 22 年建成,于 2016 年 9 月 25 日落成启用,2020 年 1 月 11 日, “中国天眼”通过国家 验收,投入正式运行,截至 2020 年 11 月, “中国天眼”发现脉冲星数量超过 240 颗它的 一个轴截面是一个开口向上的抛物线C的一部分,放入如图所示的平面直角坐标系内 (1)求C的方程; (2)一束平行于y轴的脉冲信号射到C上的P点,反射信号经过C的焦点F后,再由C上 点Q反射出平行脉冲信号,试确定点P的坐

36、标,使得从入射点P到反射点Q的路程最短 【解答】解: (1)设抛物线C的方程为 2 2(0)xpy p, 因为边缘距离底部的落差约为 156.25, 即156.25 2 p , 第 18 页(共 21 页) 所以312.5p , 故抛物线C的方程为 2 625xy; (2)由题意可知,求过F点最小的弦长PQ, 根据抛物线的性质,抛物线的通径时最短的弦长,即当PQ与y轴垂直时弦长最短, 由 2 625xy,则焦点为(0,156.25), 故当156.25y 时, 22 625 156.25156.254x , 所以 2 156.254312.5x , 所以312.52625 min PQ, 故从

37、入射点P到反射点Q的路程最短为625m 21如图,直三棱柱 111 ABCABC中, 1 ACBCCC,ACBC (1)求直线 1 AC与 1 CB所成的角; (2)在线段AB是否存在点M,使平面 1 B MC与平面 11 ACC A所成锐二面角的余弦值为 2 3 ? 若存在,求 AM AB 的值,若不存在,说明理由 【解答】解: (1)由已知ACBC,三棱柱为直三棱柱,故 1 CC 底面ABC, 以C为坐标原点,CA,CB, 1 CC所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系, 设 1 1ACBCCC,则(0C,0,0),(1A,0,0), 1(1 A,0,1),(0B,1,0), 1(0

38、 B, 1,1), 1(0 C,0,1), 故 11 ( 1,0,1),(0,1,1)ACCB , 则 11 11 11 11 cos, 2|22 ACCB AC CB ACCB , 因为异面直线所成角的范围为(0, 2 , 所以直线 1 AC与 1 CB所成的角为 3 ; 第 19 页(共 21 页) (2)设存在点M满足条件,设(01) AM AB 剟, 则AMAB, 所以(1M,0), 因为 1 CC 底面ABC,BC 平面ABC, 所以 1 BCCC,又ACBC,且 1 CCACC, 1 CC,AC 平面 11 ACC A, 所以BC 平面 11 ACC A, 则平面 11 ACC A

39、的一个法向量为(0,1,0)CB , 又 1 (0,1,1),(1, ,0)CBCM , 设平面 1 B MC的法向量为( , , )nx y z, 则 1 0 0 CBn CM n ,即 0 (1)0 yz xy , 令1y ,则(,1, 1) 1 n , 因为平面 1 B MC与平面 11 ACC A所成锐二面角的余弦值为 2 3 , 所以 2 |12 |cos,| 3| 1()1 1 1 n CB n CB n CB , 解得 1 3 , 故存在点M,使得 1 3 AM AB 符合条件 22已知椭圆C的焦点坐标为(3,0),( 3,0),且经过点(2,1)D (1)求C的方程; 第 20

40、 页(共 21 页) (2)设直线l不经过D点且与C相交于M,N两点,若以线段MN为直径的圆经过D点, 证明:l过定点 【解答】 (1)解:由题意知,椭圆的焦点在x轴上,可得3c , 设椭圆C的方程为 22 22 1 3 xy aa , 椭圆经过点(2,1)D, 22 41 1 3aa ,即 42 8120aa, 解得 2 6a 或 2 2a (舍), 故椭圆的方程为 22 1 63 xy ; (2)证明:由已知,90MDN,则DMDN,故0DM DN, 若l的斜率不存在,设: l xt,由题设知2t ,且| |6t , 此时, 2 ( , 3) 2 t M t, 2 ( ,3) 2 t N

41、t , 2 (2, 31) 2 t DMt, 2 (2,31) 2 t DNt, 则 2 3840DM DNtt,解得2t (舍)或 2 3 t , 即直线l的方程为 2 3 x ; 若l的斜率存在,设:(21)l yxmmkk, 将yxmk代入 22 1 63 xy ,得 222 (21)4260 xmxmkk, 由题设可知 22 8(63)0mk, 设 1 (M x, 1) y, 2 (N x, 2) y,则 12 2 4 21 m xx k k , 2 12 2 26 21 m x x k , 1 (2DMx, 1 1)y , 2 (2DNx, 2 1)y , 从而 1212121212 (2)(2)(1)(1)2()4(1)(1)DM DNxxyyx xxxxmxmkk 22 1212 (1)(2)()(1)40 x xmxxmkkk, 即 2 22 22 264 (1)(2)()(1)40 2121 mm mm k kkk kk , 化简得(21)(231)0mmkk, 210m k,2310m k,即 21 3 m k , 第 21 页(共 21 页) 代入yxmk,得 21 3 yx k k,即(32)310 xy k, 直线过定点 2 ( 3 , 1) 3 ,斜率不存在时的直线 2 3 x 也经过该点 故直线l过定点 2 ( 3 , 1) 3

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