1、第 1 页（共 21 页） 2020-2021 学年辽宁省丹东市高二（上）期末数学试卷学年辽宁省丹东市高二（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有-项项 是符合题目要求的是符合题目要求的. 1 （5 分）经过点(5,2)P且平行于直线:310lxy 的直线方程为( ) A3110 xy B3130 xy C3110 xy D3130 xy 2 （5 分）5 名同学报名参加 4 个活动小组，每人限报 1 个活动小组，不同的报名方法种数 为( ) A 5 4 B
2、 4 5 C 4 5 A D4！ 3 （5 分）如图 1，从某个角度观看篮球，可以得到一个对称的平面图形如图 2，篮球的外 轮廓为圆O，将篮球表面的粘合线视为坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点 将圆的周长八等分，且1ABBOOCCD，则该双曲线的方程为( ) A 22 1xy B 2 2 1 2 y x C 2 2 1 3 y x D 2 2 1 4 y x 4 （5 分）古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长 半轴长与短半轴长的乘积已知椭圆C的面积为2 3， 1 F， 2 F分别是C的两个焦点，过 1 F 的直线交C于A，B两点，若 2 ABF的周长
3、为 8，则C的离心率为( ) A 1 2 B 2 2 C 3 2 D 2 3 5 （5 分）中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线C的离心率为 5 3 ，则C的渐近线方程为 ( ) 第 2 页（共 21 页） A350 xy B530 xy C340 xy D430 xy 6 （5 分）使得 1 ()nx xx 的展开式中含有常数项的最小正整数n为( ) A2 B4 C5 D6 7 （5 分）圆C与圆 22 (1)1xy相外切，与圆 22 (1)9xy相内切，则圆C的圆心在( ) A一个椭圆上 B双曲线的一支上 C一条抛物线上 D一个圆上 8 （5 分）已知A，B为二面角l 棱l上不同两点，C，
4、D分别在半平面，内， ACl，BDl，2ACBDAB，若直线AB与CD所成角的余弦值为 5 5 ，则二面角 l 的大小为( ) A30 B60 C120 D150 二、选择题：本小题共二、选择题：本小题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分分. 9 （5 分）若 623456 0123456 (2) xaa xa xa xa xa xa x，则( ) A 0 64a B 012345
5、6 1aaaaaaa C 6 0123456 3aaaaaaa D 3 a是 0 a、 1 a、 2 a、 3 a、 4 a、 5 a、 6 a中的最大值 10 （5 分）已知曲线 22 :1 13 xy C mm 一 ，( ) A若1m ，则C表示椭圆 B若3m ，则C表示椭圆 C若13m ，则C表示双曲线 D若1m 且3m ，则C的焦距为 4 11 （5 分）4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同 学参加公益活动的安排方法种数为( ) A 22 42 A B 4 22 C 222132 422432 C C AC C A 第 3 页（共 21 页） D 2
6、2132 42432 C CC C A 12 （5 分） 已知m，n为空间中两条互相垂直的直线， 等腰直角三角形ABC的直角边AC所 在直线与m，n都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，则( ) A直线AB与m所成角的最小值为45 B直线AB与m所成角的最大值为60 C当直线AB与m成60角时，AB与n成60角 D当直线AB与m成90角时，AB与n成45角 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）已知(1n ，2，1)为平面的一个法向量，( 2a ，1)为直线l的方向 向量若/ /l，则 14（5 分） 已知抛物线
7、2 :8C yx的焦点为F，M为C上一点， 点(0,4)N， 若90MNF， 则|MF 15 （5 分） 25 (2)xx的展开式中 3 x的系数为 16（5 分） 有 6 个座位连成一排， 现有 3 人就坐， 则恰有两个空座位相邻的不同坐法有 种 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，2PAAB，PA 平面ABCD， E为PD的中点 （1）证明：/ /PB平面AEC； （2）在60ABC，ECAD这两个条件中任选一个，补充在下面
8、的横线上，并作 答若_，求EC与平面PAD所成的角 18如图，已知台风中心从O地以每小时20 2 mk的速度向东北方向移动，t小时后到达M 地，距离台风台风中心不超过12 5 mk的地区为危险区域设直线型高速公路l与正东方向 夹角为(tan2)，且经过O地正东40 mk处的点P （1）在平面直角坐标xOy系内，写出直线l的方程，写出在t时刻台风危险区域边界轨迹C 第 4 页（共 21 页） 的方程； （2）计算高速公路l处于危险区域内的时间长 19在平行六面体 1111 ABCDABC D中，(2AB ，1，4)，(4,2,0)AD ， 1 ( 1,2,1)AD （1）证明： 1 AD 平面A
9、BCD； （2）对于空间向量 111 (,)axyz， 222 (,)bxy z， 3 (cx， 3 y， 3) z，定义运算： 123132231213312321 ()abcx y zx y zx y zx y zx y zx y z 证明： 1 ()ABADAD的绝对值等于平行六面体 1111 ABCDABC D的体积 20世界上单口径最大、灵敏度最高的射电望远镜“中国天眼” 500m 口径抛物面射电 望远镜，反射面的主体是一个抛物面（抛物线绕其对称轴旋转所形成的曲面称为抛物面） ， 其边缘距离底部的落差约为 156.25 米，是由我国天文学家南仁东先生于 1994 年提出构想， 历时
10、22 年建成，于 2016 年 9 月 25 日落成启用，2020 年 1 月 11 日， “中国天眼”通过国家 验收，投入正式运行，截至 2020 年 11 月， “中国天眼”发现脉冲星数量超过 240 颗它的 一个轴截面是一个开口向上的抛物线C的一部分，放入如图所示的平面直角坐标系内 （1）求C的方程； （2）一束平行于y轴的脉冲信号射到C上的P点，反射信号经过C的焦点F后，再由C上 点Q反射出平行脉冲信号，试确定点P的坐标，使得从入射点P到反射点Q的路程最短 21如图，直三棱柱 111 ABCABC中， 1 ACBCCC，ACBC 第 5 页（共 21 页） （1）求直线 1 AC与 1
11、 CB所成的角； （2）在线段AB是否存在点M，使平面 1 B MC与平面 11 ACC A所成锐二面角的余弦值为 2 3 ？ 若存在，求 AM AB 的值，若不存在，说明理由 22已知椭圆C的焦点坐标为(3,0)，( 3,0)，且经过点(2,1)D （1）求C的方程； （2）设直线l不经过D点且与C相交于M，N两点，若以线段MN为直径的圆经过D点， 证明：l过定点 第 6 页（共 21 页） 2020-2021 学年辽宁省丹东市高二（上）期末数学试卷学年辽宁省丹东市高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题
12、 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有-项项 是符合题目要求的是符合题目要求的. 1 （5 分）经过点(5,2)P且平行于直线:310lxy 的直线方程为( ) A3110 xy B3130 xy C3110 xy D3130 xy 【解答】解：因为所求直线平行于直线:310lxy ， 故设所求直线的方程为30 xyc， 又直线经过点(5,2)P， 所以3520c，解得13c ， 故所求直线方程为3130 xy 故选：D 2 （5 分）5 名同学报名参加 4 个活动小组，每人限报 1 个活动小组，不同的报名方法种数 为( ) A 5 4 B
13、 4 5 C 4 5 A D4！ 【解答】解：根据题意，5 名同学报名参加 4 个活动小组，每人限报 1 个活动小组， 则每人都有 4 种报名方法，则 5 人有 5 4 4 4 4 44 种报名方法， 故选：A 3 （5 分）如图 1，从某个角度观看篮球，可以得到一个对称的平面图形如图 2，篮球的外 轮廓为圆O，将篮球表面的粘合线视为坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点 将圆的周长八等分，且1ABBOOCCD，则该双曲线的方程为( ) 第 7 页（共 21 页） A 22 1xy B 2 2 1 2 y x C 2 2 1 3 y x D 2 2 1 4 y x 【解答】解：以O为原点
14、，AD所在直线为x轴建系， 1ABBOOCCD， 则该双曲线过点( 2，2)且1a ， 将点( 2，2)代入方程 22 22 1 xy ab ，可得2b ， 所以双曲线方程为： 2 2 1 3 y x 故选：C 4 （5 分）古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长 半轴长与短半轴长的乘积已知椭圆C的面积为2 3， 1 F， 2 F分别是C的两个焦点，过 1 F 的直线交C于A，B两点，若 2 ABF的周长为 8，则C的离心率为( ) A 1 2 B 2 2 C 3 2 D 2 3 【解答】解：由题意可知： 2 3 48 ab a ，解得，2a ，3b ， 第 8
15、 页（共 21 页） 又 222 cab，1c， 1 2 c e a 故选：A 5 （5 分）中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线C的离心率为 5 3 ，则C的渐近线方程为 ( ) A350 xy B530 xy C340 xy D430 xy 【解答】解：中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线C的离心率为 5 3 ， 可得 5 3 c a ，所以 2 2 25 1 9 b a ， 所以 4 3 b a ， 所以双曲线的渐近线方程为： 4 3 yx ，即430 xy 故选：D 6 （5 分）使得 1 ()nx xx 的展开式中含有常数项的最小正整数n为( ) A2 B4 C5 D6 【解答】解：
16、 1 ()nx xx 的展开式的通项公式为 5 2 1 r n r rn TCx ， 令 5 0 2 r n ，可得25nr，0r ，1，2，n， 故n的最小正值为 5，此时，2r ， 故选：C 7 （5 分）圆C与圆 22 (1)1xy相外切，与圆 22 (1)9xy相内切，则圆C的圆心在( ) A一个椭圆上 B双曲线的一支上 C一条抛物线上 D一个圆上 【解答】解：动圆C与圆 22 1:( 1)1Cxy相外切，与圆 22 2:( 1)9Cxy相内切， 1 |1CCr， 2 | 3CCr， 12 | 4CCCC， 第 9 页（共 21 页） 点C的轨迹是以 1 C、 2 C为焦点(1)c ，
17、长轴长24a 的椭圆， 故选：A 8 （5 分）已知A，B为二面角l 棱l上不同两点，C，D分别在半平面，内， ACl，BDl，2ACBDAB，若直线AB与CD所成角的余弦值为 5 5 ，则二面角 l 的大小为( ) A30 B60 C120 D150 【解答】解：如图， 在内，过B作/ /BEAC，且BEAC，连接CE， 则四边形ACEB为矩形，可得BEAB，CEAB， 由BDl，BEl，得DBE为二面角l 的平面角， 设22ACBDABa，则ABCEa， 又直线AB与CD所成角的余弦值为 5 5 ， 5 cos 5 CE DCE CD ， 得55CDCEa，则2DEa， DBE为等边三角形
18、，即60DBE 故二面角l 的大小为60 故选：B 二、选择题：本小题共二、选择题：本小题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分分. 9 （5 分）若 623456 0123456 (2) xaa xa xa xa xa xa x，则( ) A 0 64a B 0123456 1aaaaaaa C 6 0123456 3aaaaaaa D 3 a是 0 a、 1 a、 2 a、 3
19、a、 4 a、 5 a、 6 a中的最大值 【解答】解： 623456 0123456 (2) xaa xa xa xa xa xa x， 第 10 页（共 21 页） 令0 x ，有 6 0 264a，故选项A正确； 令1x ，有 6 0126 (21)1aaaa ，故选项B正确； 令1x ，有 66 0123456 (21)3aaaaaaa，故选项C正确， 又 333 360 2 ( 1)aCa，故选项D错误， 故选：ABC 10 （5 分）已知曲线 22 :1 13 xy C mm 一 ，( ) A若1m ，则C表示椭圆 B若3m ，则C表示椭圆 C若13m ，则C表示双曲线 D若1m
20、且3m ，则C的焦距为 4 【解答】解：1m ，则C表示的轨迹不存在，所以A不正确； 若3m ，则C表示焦点坐标的x轴上的椭圆，所以B正确； 若13m ，则C表示焦点坐标在x轴上的双曲线，所以C正确； 若1m 且3m ，则C的焦距为 4，正确，所以D正确； 故选：BCD 11 （5 分）4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同 学参加公益活动的安排方法种数为( ) A 22 42 A B 4 22 C 222132 422432 C C AC C A D 22132 42432 C CC C A 【解答】解：当使用整体排除法时，安排方法有 1 4144 224
21、()22CC C种； 当使用分类法时，安排方法有 22132 42432 C CC C A种， 故选：BD 12 （5 分） 已知m，n为空间中两条互相垂直的直线， 等腰直角三角形ABC的直角边AC所 在直线与m，n都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，则( ) A直线AB与m所成角的最小值为45 B直线AB与m所成角的最大值为60 第 11 页（共 21 页） C当直线AB与m成60角时，AB与n成60角 D当直线AB与m成90角时，AB与n成45角 【解答】解：由题意知，m、n、AC三条直线两两相互垂直，画出图形如图， 不妨设图中所示正方体边长为 1， 故| 1AC ，|2AB ， 斜边
22、AB以直线AC为旋转轴，则A点保持不变， B点的运动轨迹是以C为圆心，1 为半径的圆， 以C坐标原点，以CD为x轴，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系， 则(1D，0，0)，(0A，0，1)， 直线m的方向单位向量(0m ，1，0)，| 1m ， 直线n的方向单位向量(1n ，0，0)，| 1n ， 设B点在运动过程中的坐标中的坐标(cosB，sin，0)， 其中为B C与CD的夹角，0，2 )， AB在运动过程中的向量，(cosAB ，sin，1)，|2AB ， 设AB与m所成夹角为0， 2 ， 则 |( cos , sin ,1) (0,1,0)|2 cos|sin| 0 2| |
23、aAB ， 2 2 ， 4 ， 2 ，A正确，B错误 设AB与n所成夹角为0， 2 ， |( cos ,sin ,1) (1,0,0)|2 cos|cos| 2| | | AB b ABbbAB ， 当AB与m夹角为60时，即 3 ， 2 |sin|2cos2sin 32 ， 22 cossin1， 21 cos|cos| 22 ， 0， 2 ， 3 ，此时AB与n的夹角为60， C正确，D错误 故选：AC 第 12 页（共 21 页） 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）已知(1n ，2，1)为平面的一个法向量，
24、( 2a ，1)为直线l的方向 向量若/ /l，则 3 2 【解答】解：/ /l，2210n a ， 可得 3 2 故答案为： 3 2 14（5 分） 已知抛物线 2 :8C yx的焦点为F，M为C上一点， 点(0,4)N， 若90MNF， 则|MF 10 【解答】解：由题意设 2 ( 8 b M，)b， 由抛物线的方程可得焦点(2,0)F，准线方程为：2x ， 因为90MNF，(0,4)N， 所以可得0NM NF， 即 2 ( 8 b ，4) (2b，4)0， 整理可得：8b ， 所以(8,8)M， 所以| 8210MF ， 故答案为：10 15 （5 分） 25 (2)xx的展开式中 3
25、x的系数为 200 【解答】 解： 式子 2525 (2)()2xxxx的展开式的通项公式为 25 15 ()2 rrr r TCxx ， 对于 25 () r xx ，它的通项公式为 10 2 15 ( 1)r rr r rr TCx ， 其中，05rr剟，05r剟，r、r都是自然数 第 13 页（共 21 页） 令1023rr ，可得 2 3 r r ，或 3 1 r r ， 故 3 x项的系数为 223331 5352 2()2()200CCCC ， 故答案为：200 16 （5 分）有 6 个座位连成一排，现有 3 人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有 72 种 【解答】解：3 人
26、坐 6 个座位，坐法共有 3 6 A 其中空坐各不相邻的坐法为 33 43 C A 三个空坐相连的坐法 13 43 C A 满足条件的坐法共有 33313 64343 72AC AC A 故答案为：72 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，2PAAB，PA 平面ABCD， E为PD的中点 （1）证明：/ /PB平面AEC； （2）在60ABC，ECAD这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作 答若_，求EC与平面PAD所成
27、的角 【解答】解： （1）证明：连接BD，交AC于O，连接OE， 底面ABCD是菱形，O是BD中点， E为PD的中点，/ /OEPB， PB 平面AEC，OE 平面AEC， / /PB平面AEC （2）选： 以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，过O作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐 第 14 页（共 21 页） 标系， 底面ABCD是菱形，2PAAB，60ABC， (3D，0，0)，(0P，1，2)， 3 ( 2 E ， 1 2 ，1)，(0C，1，0)，(0A，1，0)， 3 ( 2 EC ， 3 2 ，1)，(0AP ，0，2)，(3AD ，1，0)， 设平面PAD的法向量(nx，
28、y，) z， 则 20 30 n APz n ADxy ，取1x ，得(1n ，3，0)， 设EC与平面PAD所成的角为， 则 |2 33 sin 222| | EC n ECn ， EC与平面PAD所成的角为 3 选： 以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，过O作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐 标系， 取AD中点F，连接EF，CF， 底面ABCD是菱形，2PAAB，ECAD，PA 平面ABCD，E为PD的中点 / /EFPA，EF平面ABCD，CFAD，2ACCD， (3D，0，0)，(0P，1，2)， 3 ( 2 E ， 1 2 ，1)，(0C，1，0)，(0A，1，0)， 3 (
29、 2 EC ， 3 2 ，1)，(0AP ，0，2)，(3AD ，1，0)， 设平面PAD的法向量(nx，y，) z， 则 20 30 n APz n ADxy ，取1x ，得(1n ，3，0)， 设EC与平面PAD所成的角为， 则 |2 33 sin 222| | EC n ECn ， EC与平面PAD所成的角为 3 第 15 页（共 21 页） 18如图，已知台风中心从O地以每小时20 2 mk的速度向东北方向移动，t小时后到达M 地，距离台风台风中心不超过12 5 mk的地区为危险区域设直线型高速公路l与正东方向 夹角为(tan2)，且经过O地正东40 mk处的点P （1）在平面直角坐标
30、xOy系内，写出直线l的方程，写出在t时刻台风危险区域边界轨迹C 的方程； （2）计算高速公路l处于危险区域内的时间长 【解答】解： （1）因为l与x轴正方向的夹角为180，且tan2， 所以tan(180)tan2 ， 故直线l的斜率为2， 所以直线l的方程为02(40)yx ，即2800 xy， 当台风中心在O地时，台风危险区域是一个以O为圆心，以12 5 mk为半径的圆， 因为台风中心从O地以每小时20 2 mk的速度向东北方向移动， 设台风在t小时后到达M地， 所以20 2OMt，设( , )M a a，则有 222 (20 2)aa，解得20at， 第 16 页（共 21 页） 所以
31、(20 ,20 )Mtt，所以移动后的圆心为(20 ,20 )tt， 故t时 刻 台 风 危 险 区 域 边 界 轨 迹C的 方 程 为 222 (20 )(20 )(12 5)xtyt， 即 22 (20 )(20 )720 xtyt； （2）台风方向满足的方程为yx， 设 1 t时高速公路l恰好处于危险区域内， 2 t时高速公路l恰好离开危险区域， 设 1 t时台风中心为 11 (O x， 1) x， 2 t时台风中心为 22 (O x， 2) x， 1 t时台风中心到高速公路l的距离恰好为半径12 5， 则有 11 22 |280| 12 5 21 xx ，解得 1 20 3 x 或 1
32、 140 3 x （舍) 所以台风中心 1 20 20 (,) 33 O； 2 t时台风中心到高速公路l的距离也恰好为半径12 5， 则有 11 22 |280| 12 5 21 xx ，解得 1 140 3 x 或 1 20 3 x （舍)， 所以台风中心为 2 140 140 (,) 33 O 则 22 1 202020 2 ()() 333 OO ， 22 2 140140140 2 ()() 333 OO ， 故 1221 40 2OOOOOO， 则时间 12 40 2 2 20 220 2 OO t ， 所以高速公路l处于危险区域内的时间为 2 小时 19在平行六面体 1111 AB
33、CDABC D中，(2AB ，1，4)，(4,2,0)AD ， 1 ( 1,2,1)AD （1）证明： 1 AD 平面ABCD； （2）对于空间向量 111 (,)axyz， 222 (,)bxy z， 3 (cx， 3 y， 3) z，定义运算： 123132231213312321 ()abcx y zx y zx y zx y zx y zx y z 证明： 1 ()ABADAD的绝对值等于平行六面体 1111 ABCDABC D的体积 【解答】证明： （1）(2AB ，1，4)，(4,2,0)AD ， 1 ( 1,2,1)AD ， 1 2240ADAB ， 1 440ADAD ， 第
34、17 页（共 21 页） 可得 1 ADAB， 1 ADAD，又ADABA， 1 AD平面ABCD； （2） 1 ()22 12204244( 1) 1( 1)( 1)0ABADAD ( 1)244324848 ； 设AB与AD的夹角为， 823 cos | |21 2 5105 AB AD ABAD ， 2 4 2 sin1 35 cos 则 1 4 2 | | sin|21 2 5648 35 VABADAD 1 ()ABADAD的绝对值等于平行六面体 1111 ABCDABC D的体积 20世界上单口径最大、灵敏度最高的射电望远镜“中国天眼” 500m 口径抛物面射电 望远镜，反射面的主
35、体是一个抛物面（抛物线绕其对称轴旋转所形成的曲面称为抛物面） ， 其边缘距离底部的落差约为 156.25 米，是由我国天文学家南仁东先生于 1994 年提出构想， 历时 22 年建成，于 2016 年 9 月 25 日落成启用，2020 年 1 月 11 日， “中国天眼”通过国家 验收，投入正式运行，截至 2020 年 11 月， “中国天眼”发现脉冲星数量超过 240 颗它的 一个轴截面是一个开口向上的抛物线C的一部分，放入如图所示的平面直角坐标系内 （1）求C的方程； （2）一束平行于y轴的脉冲信号射到C上的P点，反射信号经过C的焦点F后，再由C上 点Q反射出平行脉冲信号，试确定点P的坐
36、标，使得从入射点P到反射点Q的路程最短 【解答】解： （1）设抛物线C的方程为 2 2(0)xpy p， 因为边缘距离底部的落差约为 156.25， 即156.25 2 p ， 第 18 页（共 21 页） 所以312.5p ， 故抛物线C的方程为 2 625xy； （2）由题意可知，求过F点最小的弦长PQ， 根据抛物线的性质，抛物线的通径时最短的弦长，即当PQ与y轴垂直时弦长最短， 由 2 625xy，则焦点为(0,156.25)， 故当156.25y 时， 22 625 156.25156.254x ， 所以 2 156.254312.5x ， 所以312.52625 min PQ， 故从
37、入射点P到反射点Q的路程最短为625m 21如图，直三棱柱 111 ABCABC中， 1 ACBCCC，ACBC （1）求直线 1 AC与 1 CB所成的角； （2）在线段AB是否存在点M，使平面 1 B MC与平面 11 ACC A所成锐二面角的余弦值为 2 3 ？ 若存在，求 AM AB 的值，若不存在，说明理由 【解答】解： （1）由已知ACBC，三棱柱为直三棱柱，故 1 CC 底面ABC， 以C为坐标原点，CA，CB， 1 CC所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 设 1 1ACBCCC，则(0C，0，0)，(1A，0，0)， 1(1 A，0，1)，(0B，1，0)， 1(0
38、 B， 1，1)， 1(0 C，0，1)， 故 11 ( 1,0,1),(0,1,1)ACCB ， 则 11 11 11 11 cos, 2|22 ACCB AC CB ACCB ， 因为异面直线所成角的范围为(0, 2 ， 所以直线 1 AC与 1 CB所成的角为 3 ； 第 19 页（共 21 页） （2）设存在点M满足条件，设(01) AM AB 剟， 则AMAB， 所以(1M，0)， 因为 1 CC 底面ABC，BC 平面ABC， 所以 1 BCCC，又ACBC，且 1 CCACC， 1 CC，AC 平面 11 ACC A， 所以BC 平面 11 ACC A， 则平面 11 ACC A
39、的一个法向量为(0,1,0)CB ， 又 1 (0,1,1),(1, ,0)CBCM ， 设平面 1 B MC的法向量为( , , )nx y z， 则 1 0 0 CBn CM n ，即 0 (1)0 yz xy ， 令1y ，则(,1, 1) 1 n ， 因为平面 1 B MC与平面 11 ACC A所成锐二面角的余弦值为 2 3 ， 所以 2 |12 |cos,| 3| 1()1 1 1 n CB n CB n CB ， 解得 1 3 ， 故存在点M，使得 1 3 AM AB 符合条件 22已知椭圆C的焦点坐标为(3,0)，( 3,0)，且经过点(2,1)D （1）求C的方程； 第 20
40、 页（共 21 页） （2）设直线l不经过D点且与C相交于M，N两点，若以线段MN为直径的圆经过D点， 证明：l过定点 【解答】 （1）解：由题意知，椭圆的焦点在x轴上，可得3c ， 设椭圆C的方程为 22 22 1 3 xy aa ， 椭圆经过点(2,1)D， 22 41 1 3aa ，即 42 8120aa， 解得 2 6a 或 2 2a （舍)， 故椭圆的方程为 22 1 63 xy ； （2）证明：由已知，90MDN，则DMDN，故0DM DN， 若l的斜率不存在，设: l xt，由题设知2t ，且| |6t ， 此时， 2 ( , 3) 2 t M t， 2 ( ,3) 2 t N
41、t ， 2 (2, 31) 2 t DMt， 2 (2,31) 2 t DNt， 则 2 3840DM DNtt，解得2t （舍)或 2 3 t ， 即直线l的方程为 2 3 x ； 若l的斜率存在，设:(21)l yxmmkk， 将yxmk代入 22 1 63 xy ，得 222 (21)4260 xmxmkk， 由题设可知 22 8(63)0mk， 设 1 (M x， 1) y， 2 (N x， 2) y，则 12 2 4 21 m xx k k ， 2 12 2 26 21 m x x k ， 1 (2DMx， 1 1)y ， 2 (2DNx， 2 1)y ， 从而 1212121212 (2)(2)(1)(1)2()4(1)(1)DM DNxxyyx xxxxmxmkk 22 1212 (1)(2)()(1)40 x xmxxmkkk， 即 2 22 22 264 (1)(2)()(1)40 2121 mm mm k kkk kk ， 化简得(21)(231)0mmkk， 210m k，2310m k，即 21 3 m k ， 第 21 页（共 21 页） 代入yxmk，得 21 3 yx k k，即(32)310 xy k， 直线过定点 2 ( 3 ， 1) 3 ，斜率不存在时的直线 2 3 x 也经过该点 故直线l过定点 2 ( 3 ， 1) 3
