2020-2021学年山西省阳泉市高三（上）期末数学试卷（文科）.docx

1、第 1 页（共 21 页） 2020-2021 学年山西省阳泉市高三（上）期末数学试卷（文科）学年山西省阳泉市高三（上）期末数学试卷（文科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 2 |2 0Ax xx ， |Bx yx，则(AB ) A | 12xx 剟 B |02xx剟 C |1x x D |0 x x 2 （5 分）设i是虚数单位，若复数 10 () 3 aaR i 是纯虚数，则a的值为( ) A3 B1 C1

2、D3 3 （5 分）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为 60 秒若一 名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待 25 秒才出现绿灯的概率为( ) A 5 12 B 5 8 C 7 12 D 7 8 4 （5 分）如图，AB是单位圆O的直径，且满足ACCDDB，则(AC AD ) A1 B 3 2 C 3 2 D3 5 （5 分） “二万五千里长征”是 1934 年 10 月到 1936 年 10 月中国工农红军进行的一次战 略转移，是人类历史上的伟大奇迹，向世界展示了中国工农红军的坚强意志，在期间发生了 许多可歌可泣的英雄故事在中国共产党建党 100 周年之际，某中学组

3、织了“长征英雄事迹 我来讲”活动，已知该中学共有高中生 2700 名，用分层抽样的方法从该校高中学生中抽取 一个容量为 45 的样本参加活动，其中高三年级抽取了 14 人，高二年级抽取了 15 人，则该 校高一年级学生人数为( ) A720 B960 C1020 D1680 6 （5 分）若双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2. F过 1 F作斜率为 1 的 直线交y轴于点A，与双曲线右支交于点B，若 1 F AAB，则该双曲线的离心率是( ) A3 B2 C5 D12 第 2 页（共 21 页） 7 （5 分）设变量x，y满足约束条件 2 0

4、2 0 1 1 xy xy x y ，则 22 (3)(1)xy的最小值为( ) A2 B3 C4 D10 8 （5 分） 在等差数列 n a中， 3 a， 9 a满足不等式 2 24120 xx的解集为 39 |x axa， 则数列 n a的前 11 项和等于( ) A66 B132 C66 D132 9 （5 分）执行如图的程序框图，如果输入的为 0.001，则输出S的值等于( ) A 7 1 2 2 B 8 1 2 2 C 9 1 2 2 D 10 1 2 2 10（5 分） 已知函数， 若 alog34， blog68， clog912， 则 （ ） Af（a）f（b）f（c） Bf（

5、b）f（a）f（c） Cf（c）f（a）f（b） Df（b）f（c）f（a） 11 （5 分）若一个几何体的三视图如图所示，其顶点都在同一个球面上，则该球的表面积 是（ ） 第 3 页（共 21 页） A B C D 12 （5 分）已知函数，现有命题： f（x）的最大值为 0； f（x）是偶函数； f（x）的周期为 ； f（x）的图象关于直线对称 其中真命题的个数是（ ） A4 B3 C2 D1 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分. 13（5 分） 已知曲线yxlnx在点 0 (x， 0) y处的切线与直线210 xy 垂直， 则 0 x 14

6、（5 分） 已知 1 F， 2 F为椭圆 22 1 95 xy 的两个焦点， 过点 1 F的直线交椭圆于A，B两点， 若| 5AB ，则 2 ABF的面积为 15 （5 分）在北京召开的第 24 届国际数学家大会的会标是根据中国古代数学家赵爽的“弦 图”设计的会标图案如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一 个大正方形若直角三角形中较小锐角为，当小正方形的面积是大正方形面积的一半时， tan 第 4 页（共 21 页） 16（5 分） 已知数列 n a的首项 1 aa， 其前n项和为 n S， 且满足 2* 1 (2,) nn SSn nnN ， 若对任意 * nN， 1n

7、n aa 恒成立，则a的取值范围是 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（一）（一） 必考题（共必考题（共 60 分）分） 17 （12 分）某工厂为生产一种标准长度为40cm的精密器件，研发了一台生产该精密器件 的车床，该精密器件的实际长度为acm， “长度误差”为|40|acm，只要“长度误差”不 超过0.03cm就认为合格 已知这台车床分昼、 夜两个独立批次生产 每天每批次各生产 1000 件已知每件产品的成本为 5 元，每件合格品的利润为 10 元在昼、夜两个批次生产的

8、产 品中分别随机抽取 20 件，检测其长度并绘制了如下茎叶图： （1）分别估计在昼、夜两个批次的产品中随机抽取一件产品为合格品的概率； （2）以上述样本的频率作为概率，求这台车床一天的总利润的平均值 18 （12 分）在ABC中，三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，已知3a ， coscoscos3 3 sincos BAC BCb （）若2 3c ，求sin A； （）若AB边上的中线长为 37 2 ，求AB的长 19 （12 分）如图，在棱长为a的正方体 1111 ABCDABC D中，M，N，P分别为棱 11 AD， 11 C D，BC的中点 （）求证：ACNP； （）求四面体DMN

9、P的体积 第 5 页（共 21 页） 20 （12 分）已知抛物线 2 :3C yx的焦点为F，斜率为 3 2 的直线l与C的交点为A，B， 与x轴的交点为P （）若| 4AFBF，求直线l的方程； （）若3APPB，求 OAB FAB S S 的值 21 （12 分）已知函数( )(1) x f xmeln xlnm （）若( )f x在0 x 处取到极值，求m的值及函数( )f x的单调区间； （）若( ) 1f x ，求m的取值范围 （二）选考题（共（二）选考题（共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一如果多做，则按所做

10、的第一 题计分题计分.）选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）已知曲线 1 C的参数方程为 45cos ( 55sin xt t yt 为参数） ，以坐标原点为极点，x轴 的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为2sin （）把 1 C的参数方程化为极坐标方程，并求曲线 2 C的直角坐标方程； （）求 1 C与 2 C交点的极坐标(0,02 )厔 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知a，b，c为正数，( ) |f xxaxbxc （1）若1abc，求函数( )f x的最小值； （2）若(0)1f且a，b，c不全相等，求证： 333

11、b cc aa babc 第 6 页（共 21 页） 2020-2021 学年山西省阳泉市高三（上）期末数学试卷（文科）学年山西省阳泉市高三（上）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 2 |2 0Ax xx ， |Bx yx，则(AB ) A | 12xx 剟 B |02xx剟 C |1x x D |0 x x 【解答】解：集合 2 |2 0 | 12Ax x

12、xxx剟?， | |0Bx yxx x， |1ABx x 故选：C 2 （5 分）设i是虚数单位，若复数 10 () 3 aaR i 是纯虚数，则a的值为( ) A3 B1 C1 D3 【解答】解： 1010(3)10(3) (3) 3(3)(3)10 ii aaaai iii 是纯虚数， 30a，解得3a 故选：D 3 （5 分）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为 60 秒若一 名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待 25 秒才出现绿灯的概率为( ) A 5 12 B 5 8 C 7 12 D 7 8 【解答】解：行人至少等待 25 秒才出现绿灯，说明行人到的时间为

13、0 35秒之间， 则对应的概率为 357 6012 ， 故选：C 4 （5 分）如图，AB是单位圆O的直径，且满足ACCDDB，则(AC AD ) 第 7 页（共 21 页） A1 B 3 2 C 3 2 D3 【解答】解：如图，AB是单位圆O的直径，且满足ACCDDB，四边形ACDB是正六 边形的一半， ADACAO， 则 23 ()1 1 1 cos60 2 AC ADACACAOACAC AO 故选：B 5 （5 分） “二万五千里长征”是 1934 年 10 月到 1936 年 10 月中国工农红军进行的一次战 略转移，是人类历史上的伟大奇迹，向世界展示了中国工农红军的坚强意志，在期间

14、发生了 许多可歌可泣的英雄故事在中国共产党建党 100 周年之际，某中学组织了“长征英雄事迹 我来讲”活动，已知该中学共有高中生 2700 名，用分层抽样的方法从该校高中学生中抽取 一个容量为 45 的样本参加活动，其中高三年级抽取了 14 人，高二年级抽取了 15 人，则该 校高一年级学生人数为( ) A720 B960 C1020 D1680 【解答】解：设该校高一年级学生人数为x人， 则 45451415 2700 x ，解得960 x 所以该校高一年级学生人数为 960 人 故选：B 6 （5 分）若双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2.

15、 F过 1 F作斜率为 1 的 直线交y轴于点A，与双曲线右支交于点B，若 1 F AAB，则该双曲线的离心率是( ) A3 B2 C5 D12 【解答】解：由题意知， 1( ,0)Fc，(0, )Ac， 因为 1 F AAB，即A为线段 1 FB的中点，所以( ,2 )B cc， 第 8 页（共 21 页） 将其代入双曲线的方程中，有 22 22 4 1 cc ab ，即 22 222 4 1 cc aca ， 又 c e a ，所以 2 2 4 1 1 1 e e ，解得 2 32 2e 或32 2， 因为1e ，所以 2 32 2e ，所以12e 故选：D 7 （5 分）设变量x，y满足

16、约束条件 2 0 2 0 1 1 xy xy x y ，则 22 (3)(1)xy的最小值为( ) A2 B3 C4 D10 【解答】解：由约束条件作出可行域如图， 22 (3)(1)xy的几何意义为可行域内的动点到点(3,1)P距离的平方， 则 22 (3)(1)xy的最小值为 2 |3 12| ()2 2 故选：A 8 （5 分） 在等差数列 n a中， 3 a， 9 a满足不等式 2 24120 xx的解集为 39 |x axa， 则数列 n a的前 11 项和等于( ) A66 B132 C66 D132 【解答】解：在等差数列 n a中， 3 a， 9 a满足不等式 2 24120

17、xx的解集为 39 |x axa， 3 a， 9 a是方程 2 24120 xx的两个根， 第 9 页（共 21 页） 由韦达定理得 39 24aa ， 则数列 n a的前 11 项和等于： 1111139 111111 ()()( 24)132 222 Saaaa 故选：D 9 （5 分）执行如图的程序框图，如果输入的为 0.001，则输出S的值等于( ) A 7 1 2 2 B 8 1 2 2 C 9 1 2 2 D 10 1 2 2 【解答】解：输入的为 0.001，1x ，0S ， 执行如图的程序框图，如果输入的为 0.05，1x ，0S ， 第一次执行循环体后，1S ， 1 2 x

18、，不满足退出循环的条件； 第二次执行循环体后， 1 1 2 S ， 2 1 2 x ，不满足退出循环的条件； 第三次执行循环体后， 2 11 1 22 S ， 3 1 2 x ，不满足退出循环的条件； 第四次执行循环体后， 23 111 1 222 S ， 4 1 2 x ，不满足退出循环的条件； 第五次执行循环体后， 234 1111 1 2222 S ， 5 1 2 x ，不满足退出循环的条件； 第六次执行循环体后， 2345 11111 1 22222 S ， 6 1 2 x ，不满足退出循环的条件； 第 10 页（共 21 页） 第七次执行循环体后， 23456 111111 1 22

19、2222 S ， 7 1 2 x ，不满足退出循环的条件； 第八次执行循环体后， 234567 1111111 1 2222222 S ， 8 1 2 x ，不满足退出循环的条 件； 第九次执行循环体后， 2345678 11111111 1 22222222 S ， 9 1 2 x ，不满足退出循环 的条件； 第十次执行循环体后， 234567899 1111111111 12 2222222222 S ， 10 1 2 x ， 满足退出循环的条件； 则输出 9 1 2 2 S ， 故选：C 10（5 分） 已知函数， 若 alog34， blog68， clog912， 则 （ ） Af（

20、a）f（b）f（c） Bf（b）f（a）f（c） Cf（c）f（a）f（b） Df（b）f（c）f（a） 【解答】解：当 x1 时，f（x）（x1）3为增函数，且 f（x）0， 当 x1 时，f（x）lnx 为增函数，且 f（x）0， 综上 f（x）在 R 上为增函数， alog34log3（3）1+log31， blog68log6（6）1+log61， clog912log9（9）1+log91， log3log6log9， ，log3log6log9， 1+log31+log61+log9，abc1， 当 x1 时，f（x）lnx 为增函数，f（a）f（b）f（c） ， 故选：A 11

21、（5 分）若一个几何体的三视图如图所示，其顶点都在同一个球面上，则该球的表面积 第 11 页（共 21 页） 是（ ） A B C D 【解答】解：由三视图知，该几何体是一个三棱柱 ABCA1B1C1， 且三棱柱的底面是边长为 2 的正ABC，侧棱长是 1， 三棱柱的两个底面的中心连接的线段 MN 的中点 O 与三棱柱的顶点 A 的连线 AO 是外接 球的半径， 如图所示： 因为ABC 是边长为 2 的等边三角形，MN1， 所以 AM，OM， 所以外接球的半径为 R， 所以外接球的表面积为 S4R24 故选：B 12 （5 分）已知函数，现有命题： f（x）的最大值为 0； f（x）是偶函数；

22、 f（x）的周期为 ； 第 12 页（共 21 页） f（x）的图象关于直线对称 其中真命题的个数是（ ） A4 B3 C2 D1 【解答】解：sin2x 对于，因为函数 y， 在 （0，+） 上，单调增加，sin2x1sin2x0， 当 x时等号成立，所以对； 对于，因为 f（x）sin2xf（x）f（x） ，f（x）是偶函数，所以对； 对于，因为 f（x）sin2xf（x+）f（x） ，f（x）的周期为 ，所以 对； 对于，因为 f（x）sin2xf（2x）f（x）f（x）f（x）的图 象关于直线对称，所以对； 故选：A 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小

23、题 5 分分. 13（5分） 已知曲线yxlnx在点 0 (x， 0) y处的切线与直线210 xy 垂直， 则 0 x e 【解答】解：由yxlnx，得1ylnx， 0 0 |1 x x ylnx ， 由曲线yxlnx在点 0 (x， 0) y处的切线与直线210 xy 垂直， 得 0 12lnx ，即 0 xe 故答案为：e 14 （5 分） 已知 1 F， 2 F为椭圆 22 1 95 xy 的两个焦点， 过点 1 F的直线交椭圆于A，B两点， 若| 5AB ，则 2 ABF的面积为 5 【解答】解：由椭圆的方程可得： 2 9a ， 2 5b ，则3a ，5b ，2c ， 所以 1( 2

24、,0) F ， 2(2,0) F，由题意可知直线的斜率存在且不为 0， 设直线的方程为：(2)yxk，与椭圆方程联立可得： 第 13 页（共 21 页） 2222 (59)3636450 xxkkk，设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 则 22 1212 22 363645 , 5959 xxx x kk kk ， 所以 42 222 1212 222 36 36144180 |1()41 (59)59 ABxxx x kk kk kk 2 2 30(1) 5 59 k k ，解得 2 1 3 k，即 3 3 k， 所以直线AB的方程为： 3 (2) 3 yx ， 所以

25、点 2 F到直线AB的距离为 2 3 |(22)| 3 2 3 1() 3 d ， 所以三角形 2 ABF的面积为 11 |255 22 SdAB ， 故答案为：5 15 （5 分）在北京召开的第 24 届国际数学家大会的会标是根据中国古代数学家赵爽的“弦 图”设计的会标图案如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一 个大正方形若直角三角形中较小锐角为，当小正方形的面积是大正方形面积的一半时， tan 23 【解答】解：设大正方形的边长为 1，则面积为 1， 小正方形的面积是大正方形面积的一半时， 小正方形的面积 1 2 S ， 则直角三角形的两个直角边分别为sin，cos，

26、 则小直角三角形的面积 1 sincos 2 S， 则四个小直角三角形面积之和为 11 4sincos2sincossin2 22 ， 则230，即15， 第 14 页（共 21 页） 则 2 3 1 tan45tan3033(33)126 3 3 tantan15tan(4530 )23 1tan45 tan30936333 1 3 ， 故答案为：23 16（5 分） 已知数列 n a的首项 1 aa， 其前n项和为 n S， 且满足 2* 1 (2,) nn SSn nnN ， 若对任意 * nN， 1nn aa 恒成立，则a的取值范围是 (3,5) 【解答】解： 2 1 (2,) nn

27、SSn nnN ， 21 4SS， 1 aa，可得 12 24aa， 2 42aa 2 1 (1) nn SSn ， 可得： 1 21 nn aan ， 变形为： 1 (1)() nn anan ， 1a 时，数列 n an是等比数列， 2 222aa，公比为1的等比数列 2 (22 ) ( 1)n n ana ， 2 (22 ) ( 1)n n ana ， 对任意nN， 1nn aa 恒成立， 21 (22 ) ( 1)(1)(22 ) ( 1) nn nana ， 化为： 1 1 (4) ( 1)0 n a ， * 2 ()nNk k时，可得：1(4)0a，解得3a * 21()nNkk时

28、，可得：1(4)0a，解得5a 35a ，4a 由 12 aa可得：162aa，解得 16 3 a ， 综上可得：35a，4a 第 15 页（共 21 页） 4a 时， 1 4a ， 2 8a ，由 1 4(1)(4 ) nn anan ，可得：4 n an， 1 4(1) n an 对任意nN， 1nn aa 恒成立 综上可得：35a a的取值范围是(3,5) 故答案为：(3,5) 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（一）（一） 必考题（共必考题（共 60 分）分） 17

29、（12 分）某工厂为生产一种标准长度为40cm的精密器件，研发了一台生产该精密器件 的车床，该精密器件的实际长度为acm， “长度误差”为|40|acm，只要“长度误差”不 超过0.03cm就认为合格 已知这台车床分昼、 夜两个独立批次生产 每天每批次各生产 1000 件已知每件产品的成本为 5 元，每件合格品的利润为 10 元在昼、夜两个批次生产的产 品中分别随机抽取 20 件，检测其长度并绘制了如下茎叶图： （1）分别估计在昼、夜两个批次的产品中随机抽取一件产品为合格品的概率； （2）以上述样本的频率作为概率，求这台车床一天的总利润的平均值 【解答】解： （1）因为合格的长度为39.974

30、0.03cmcm， 所以昼批次有 2 件不合格产品，故昼批次生产的产品的合格率为 29 1 2010 ， 所以夜批次有 4 件不合格产品，故夜批次生产的产品的合格率为 44 1 205 ， （2）昼批次的利润： 9 1000900 10 件，即900 10100054000（元)， 夜批次的利润： 4 1000800 5 件，即800 10100053000（元)， 则昼夜总利润为：400030007000元， 故这台车床一天的总利润的平均值为 7000 元 18 （12 分）在ABC中，三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，已知3a ， coscoscos3 3 sincos BAC BC

31、b 第 16 页（共 21 页） （）若2 3c ，求sin A； （）若AB边上的中线长为 37 2 ，求AB的长 【解答】解： （）因为3a ， 由正弦定理可得 coscoscos3 333sin sincossin BACaA BCbbB ， 整理可得：coscoscos3sincosBACAC， 因为coscos()sinsincoscosBACACAC ， 可得sinsin3sincosACAC， 因为sin0A，可得tan3C ， 由于(0, )C，可得 3 C ， 由正弦定理 sinsin ac AC ，可得 32 3 sin3 2 A ，解得 3 sin 4 A （）设AB边上

32、的中线为CD，则2CDCACB， 所 以 2222 4 |()2c o sC DC AC Bbaa bA C B， 可 得 2 3793bb， 整 理 可 得 2 3280bb， 解得4b ，或7（舍去） ， 所以 22 1 2cos91623413 2 ABcababC 19 （12 分）如图，在棱长为a的正方体 1111 ABCDABC D中，M，N，P分别为棱 11 AD， 11 C D，BC的中点 （）求证：ACNP； （）求四面体DMNP的体积 第 17 页（共 21 页） 【解答】 （）证明：在棱长为a的正方体 1111 ABCDABC D中， M，N，P分别为棱 11 AD， 1

33、1 C D，BC的中点 11 / /MNAC，又 11/ / ACAC，/ /MNAC， 22 11 112 222 MNACaaa， 22 2MPaaa， 22222 11 116 442 NPNCPCaaaa， 222 MNNPMP，则MNNP， ACNP； （）解：连接 1 MB， 1 B P，取 11 BC中点Q，连接MQ，CQ， 由 1 / /BQCP， 1 BQCP，可得四边形 1 CPBQ为平行四边形，得到 1 / /CQPB， 1 CQPB， 同理可证/ /MDCQ，MDCQ， 则 1 / /MDPB， 1 MDPB， 则四边形 1 DMB P为平行四边形， 则 111 1 1

34、 3 DMNPNMPBP MNBMNB VVVSBB 23 111111111 () 322222228 aaaaaaaaa 20 （12 分）已知抛物线 2 :3C yx的焦点为F，斜率为 3 2 的直线l与C的交点为A，B， 与x轴的交点为P 第 18 页（共 21 页） （）若| 4AFBF，求直线l的方程； （）若3APPB，求 OAB FAB S S 的值 【解答】解： （）设直线l的方程为 3 () 2 yxt， 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 联立抛物线 2 3yx的方程可得 22 999 (3)0 424 xtxt， 所以 12 9 3 4 2 2 9

35、3 4 t xxt ， 2 12 x xt， 由抛物线的定义可得： 12 43 |24 32 AFBFxxpt， 解得 7 12 t ， 所以直线l的方程为 37 28 yx （）若3APPB，则 12 3yy ， 所以 12 33 ()3() 22 xtxt ， 化简得 12 34xxt ， 由解得1t ， 1 3x ， 2 1 3 x ， 所以点P坐标为(1,0)， 所以 1 1 2 2 1 | |1 2 4 13 | |1 24 OAB FAB AB d SdOP SdFP AB d 第 19 页（共 21 页） 21 （12 分）已知函数( )(1) x f xmeln xlnm （）

36、若( )f x在0 x 处取到极值，求m的值及函数( )f x的单调区间； （）若( ) 1f x ，求m的取值范围 【解答】解： （）函数( )f x的定义域是( 1,) ， 1 ( ) 1 x fxme x ， ( )f x在0 x 处取到极值，(0)10fm ，解得：1m ， 1m 时， 1 ( ) 1 x fxe x ， 2 1 ( )0 (1) x fxe x ， 故( )fx在( 1,) 递增，而(0)0f， 故0 x 时，( )0fx，0 x 时，( )0fx， ( )f x在( 1,0)递减，在(0,)递增， 故0 x 是( )f x的极小值点，符合题意； （）结合（） ，令

37、1 ( )0 1 x fxme x ，得 1 1 x me x ， 即存在 0 ( 1,)x ，使得 0 0 1 1 x me x ，两边取对数得： 00 (1)lnmln xx ， 使得 0 ( 1,)xx 时，( )0fx， 0 (xx，)时，( )0fx， 故( )f x在 0 ( 1,)x递减，在 0 (x，)递增， 故 0 00 ( )()(1)1 x min f xf xmeln xlnm， 两边取对数得： 00 (1)lnmln xx ， 结合故 000 0 1 ()(1)2 (1) 1 f xxln x x ， 令 0 1tx，则 1 ( )2(0)g ttlnt t t ，则

38、 2 22 12(1) ( )10 t g t ttt ， 故( )g t在(0,)递减，而g（1）0， 故(0,1)t时，( )0g t ，即 0 ( 1,0)x 时，( ) 1f x ， 此时 0 0 11 (2 (1) x m eex ，) （二）选考题（共（二）选考题（共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一如果多做，则按所做的第一 题计分题计分.）选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）已知曲线 1 C的参数方程为 45cos ( 55sin xt t yt 为参数） ，以坐标原点为极

39、点，x轴 第 20 页（共 21 页） 的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为2sin （）把 1 C的参数方程化为极坐标方程，并求曲线 2 C的直角坐标方程； （）求 1 C与 2 C交点的极坐标(0,02 )厔 【解答】解： （）曲线 1 C的参数方程为 45cos ( 55sin xt t yt 为参数） ， 可得 2222 (4)(5)25cos25sin25xytt， 即为 22 810160 xyxy， 由 222 xy，cosx，siny， 可得 2 8 cos10 sin160； 曲线 2 C的极坐标方程为2sin， 可得 2 2 sin， 由 222 xy，s

40、iny， 可得 22 20 xyy； （）将2sin代入 2 8 cos10 sin160， 可得cos (cossin )0， 即有cos0，或cossin，即tan1， 因为0，02， 由cos0，可得 2 ，2； 由tan1，可得 4 ，或 5 4 ， 解得2，或2 （舍去） ， 则 1 C与 2 C交点的极坐标为( 2，) 4 ，(2,) 2 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知a，b，c为正数，( ) |f xxaxbxc （1）若1abc，求函数( )f x的最小值； 第 21 页（共 21 页） （2）若(0)1f且a，b，c不全相等，求证： 333 b cc aa

41、 babc 【解答】解： （1）因为1abc， 所以( ) | 2|1|1|f xxaxbxcxx， 法 1：由上可得： 31,1, ( )3, 11, 31,1. xx f xxx xx 所以，当1x 时，函数( )f x的最小值为 2； 法 2:( ) ) | |1|1|1|1|11| 2 |1|2f xxaxbxcxxxxxxx 厖 ， 当且仅当 (1)(1) 0 10 xx x ，即1x 时取得最小值 2； 证明（2） ：因为a，b，c为正数，所以要证 333 b cc aa babc， 即证明 222 1 bca abc 就行了， 法 1： 因为 222222 222 2222() bcabca abcabcbcaabc abcabc ， 当且仅当abc时取等号 又因为(0)1f即1abc且a，b，c不全相等， 所以 222 1 bca abc ， 即 333 b cc aa babc， 法 2：因为 222 ()() 1 bca abc abc ，当且仅当 abc bca 取等号， 又因为(0)1f即1abc且a，b，c不全相等， 所以 222 1 bca abc ， 即 333 b cc aa babc