2020-2021学年山西省阳泉市高三（上）期末数学试卷（文科）.docx下载_163文库

资源描述

2、D3 3 （5 分）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为 60 秒若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待 25 秒才出现绿灯的概率为( ) A 5 12 B 5 8 C 7 12 D 7 8 4 （5 分）如图，AB是单位圆O的直径，且满足ACCDDB，则(AC AD ) A1 B 3 2 C 3 2 D3 5 （5 分） “二万五千里长征”是 1934 年 10 月到 1936 年 10 月中国工农红军进行的一次战略转移，是人类历史上的伟大奇迹，向世界展示了中国工农红军的坚强意志，在期间发生了许多可歌可泣的英雄故事在中国共产党建党 100 周年之际，某中学组

3、织了“长征英雄事迹我来讲”活动，已知该中学共有高中生 2700 名，用分层抽样的方法从该校高中学生中抽取一个容量为 45 的样本参加活动，其中高三年级抽取了 14 人，高二年级抽取了 15 人，则该校高一年级学生人数为( ) A720 B960 C1020 D1680 6 （5 分）若双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2. F过 1 F作斜率为 1 的直线交y轴于点A，与双曲线右支交于点B，若 1 F AAB，则该双曲线的离心率是( ) A3 B2 C5 D12 第 2 页（共 21 页） 7 （5 分）设变量x，y满足约束条件 2 0

4、2 0 1 1 xy xy x y ，则 22 (3)(1)xy的最小值为( ) A2 B3 C4 D10 8 （5 分）在等差数列 n a中， 3 a， 9 a满足不等式 2 24120 xx的解集为 39 |x axa，则数列 n a的前 11 项和等于( ) A66 B132 C66 D132 9 （5 分）执行如图的程序框图，如果输入的为 0.001，则输出S的值等于( ) A 7 1 2 2 B 8 1 2 2 C 9 1 2 2 D 10 1 2 2 10（5 分）已知函数，若 alog34， blog68， clog912，则（） Af（a）f（b）f（c） Bf（

5、b）f（a）f（c） Cf（c）f（a）f（b） Df（b）f（c）f（a） 11 （5 分）若一个几何体的三视图如图所示，其顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是（）第 3 页（共 21 页） A B C D 12 （5 分）已知函数，现有命题： f（x）的最大值为 0； f（x）是偶函数； f（x）的周期为； f（x）的图象关于直线对称其中真命题的个数是（） A4 B3 C2 D1 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分. 13（5 分）已知曲线yxlnx在点 0 (x， 0) y处的切线与直线210 xy 垂直，则 0 x 14

6、（5 分）已知 1 F， 2 F为椭圆 22 1 95 xy 的两个焦点，过点 1 F的直线交椭圆于A，B两点，若| 5AB ，则 2 ABF的面积为 15 （5 分）在北京召开的第 24 届国际数学家大会的会标是根据中国古代数学家赵爽的“弦图”设计的会标图案如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形若直角三角形中较小锐角为，当小正方形的面积是大正方形面积的一半时， tan 第 4 页（共 21 页） 16（5 分）已知数列 n a的首项 1 aa，其前n项和为 n S，且满足 2* 1 (2,) nn SSn nnN ，若对任意 * nN， 1n

7、n aa 恒成立，则a的取值范围是三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（一）（一）必考题（共必考题（共 60 分）分） 17 （12 分）某工厂为生产一种标准长度为40cm的精密器件，研发了一台生产该精密器件的车床，该精密器件的实际长度为acm， “长度误差”为|40|acm，只要“长度误差”不超过0.03cm就认为合格已知这台车床分昼、夜两个独立批次生产每天每批次各生产 1000 件已知每件产品的成本为 5 元，每件合格品的利润为 10 元在昼、夜两个批次生产的

8、产品中分别随机抽取 20 件，检测其长度并绘制了如下茎叶图：（1）分别估计在昼、夜两个批次的产品中随机抽取一件产品为合格品的概率；（2）以上述样本的频率作为概率，求这台车床一天的总利润的平均值 18 （12 分）在ABC中，三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，已知3a ， coscoscos3 3 sincos BAC BCb （）若2 3c ，求sin A；（）若AB边上的中线长为 37 2 ，求AB的长 19 （12 分）如图，在棱长为a的正方体 1111 ABCDABC D中，M，N，P分别为棱 11 AD， 11 C D，BC的中点（）求证：ACNP；（）求四面体DMN

9、P的体积第 5 页（共 21 页） 20 （12 分）已知抛物线 2 :3C yx的焦点为F，斜率为 3 2 的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P （）若| 4AFBF，求直线l的方程；（）若3APPB，求 OAB FAB S S 的值 21 （12 分）已知函数( )(1) x f xmeln xlnm （）若( )f x在0 x 处取到极值，求m的值及函数( )f x的单调区间；（）若( ) 1f x ，求m的取值范围（二）选考题（共（二）选考题（共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一如果多做，则按所做

10、的第一题计分题计分.）选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）已知曲线 1 C的参数方程为 45cos ( 55sin xt t yt 为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为2sin （）把 1 C的参数方程化为极坐标方程，并求曲线 2 C的直角坐标方程；（）求 1 C与 2 C交点的极坐标(0,02 )厔选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知a，b，c为正数，( ) |f xxaxbxc （1）若1abc，求函数( )f x的最小值；（2）若(0)1f且a，b，c不全相等，求证： 333

12、xxx剟?， | |0Bx yxx x， |1ABx x 故选：C 2 （5 分）设i是虚数单位，若复数 10 () 3 aaR i 是纯虚数，则a的值为( ) A3 B1 C1 D3 【解答】解： 1010(3)10(3) (3) 3(3)(3)10 ii aaaai iii 是纯虚数， 30a，解得3a 故选：D 3 （5 分）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为 60 秒若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待 25 秒才出现绿灯的概率为( ) A 5 12 B 5 8 C 7 12 D 7 8 【解答】解：行人至少等待 25 秒才出现绿灯，说明行人到的时间为

13、0 35秒之间，则对应的概率为 357 6012 ，故选：C 4 （5 分）如图，AB是单位圆O的直径，且满足ACCDDB，则(AC AD ) 第 7 页（共 21 页） A1 B 3 2 C 3 2 D3 【解答】解：如图，AB是单位圆O的直径，且满足ACCDDB，四边形ACDB是正六边形的一半， ADACAO，则 23 ()1 1 1 cos60 2 AC ADACACAOACAC AO 故选：B 5 （5 分） “二万五千里长征”是 1934 年 10 月到 1936 年 10 月中国工农红军进行的一次战略转移，是人类历史上的伟大奇迹，向世界展示了中国工农红军的坚强意志，在期间

14、发生了许多可歌可泣的英雄故事在中国共产党建党 100 周年之际，某中学组织了“长征英雄事迹我来讲”活动，已知该中学共有高中生 2700 名，用分层抽样的方法从该校高中学生中抽取一个容量为 45 的样本参加活动，其中高三年级抽取了 14 人，高二年级抽取了 15 人，则该校高一年级学生人数为( ) A720 B960 C1020 D1680 【解答】解：设该校高一年级学生人数为x人，则 45451415 2700 x ，解得960 x 所以该校高一年级学生人数为 960 人故选：B 6 （5 分）若双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2.

15、 F过 1 F作斜率为 1 的直线交y轴于点A，与双曲线右支交于点B，若 1 F AAB，则该双曲线的离心率是( ) A3 B2 C5 D12 【解答】解：由题意知， 1( ,0)Fc，(0, )Ac，因为 1 F AAB，即A为线段 1 FB的中点，所以( ,2 )B cc，第 8 页（共 21 页）将其代入双曲线的方程中，有 22 22 4 1 cc ab ，即 22 222 4 1 cc aca ，又 c e a ，所以 2 2 4 1 1 1 e e ，解得 2 32 2e 或32 2，因为1e ，所以 2 32 2e ，所以12e 故选：D 7 （5 分）设变量x，y满足

16、约束条件 2 0 2 0 1 1 xy xy x y ，则 22 (3)(1)xy的最小值为( ) A2 B3 C4 D10 【解答】解：由约束条件作出可行域如图， 22 (3)(1)xy的几何意义为可行域内的动点到点(3,1)P距离的平方，则 22 (3)(1)xy的最小值为 2 |3 12| ()2 2 故选：A 8 （5 分）在等差数列 n a中， 3 a， 9 a满足不等式 2 24120 xx的解集为 39 |x axa，则数列 n a的前 11 项和等于( ) A66 B132 C66 D132 【解答】解：在等差数列 n a中， 3 a， 9 a满足不等式 2 24120

17、xx的解集为 39 |x axa， 3 a， 9 a是方程 2 24120 xx的两个根，第 9 页（共 21 页）由韦达定理得 39 24aa ，则数列 n a的前 11 项和等于： 1111139 111111 ()()( 24)132 222 Saaaa 故选：D 9 （5 分）执行如图的程序框图，如果输入的为 0.001，则输出S的值等于( ) A 7 1 2 2 B 8 1 2 2 C 9 1 2 2 D 10 1 2 2 【解答】解：输入的为 0.001，1x ，0S ，执行如图的程序框图，如果输入的为 0.05，1x ，0S ，第一次执行循环体后，1S ， 1 2 x

18、，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后， 1 1 2 S ， 2 1 2 x ，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后， 2 11 1 22 S ， 3 1 2 x ，不满足退出循环的条件；第四次执行循环体后， 23 111 1 222 S ， 4 1 2 x ，不满足退出循环的条件；第五次执行循环体后， 234 1111 1 2222 S ， 5 1 2 x ，不满足退出循环的条件；第六次执行循环体后， 2345 11111 1 22222 S ， 6 1 2 x ，不满足退出循环的条件；第 10 页（共 21 页）第七次执行循环体后， 23456 111111 1 22

19、2222 S ， 7 1 2 x ，不满足退出循环的条件；第八次执行循环体后， 234567 1111111 1 2222222 S ， 8 1 2 x ，不满足退出循环的条件；第九次执行循环体后， 2345678 11111111 1 22222222 S ， 9 1 2 x ，不满足退出循环的条件；第十次执行循环体后， 234567899 1111111111 12 2222222222 S ， 10 1 2 x ，满足退出循环的条件；则输出 9 1 2 2 S ，故选：C 10（5 分）已知函数，若 alog34， blog68， clog912，则（） Af（

20、a）f（b）f（c） Bf（b）f（a）f（c） Cf（c）f（a）f（b） Df（b）f（c）f（a）【解答】解：当 x1 时，f（x）（x1）3为增函数，且 f（x）0，当 x1 时，f（x）lnx 为增函数，且 f（x）0，综上 f（x）在 R 上为增函数， alog34log3（3）1+log31， blog68log6（6）1+log61， clog912log9（9）1+log91， log3log6log9，，log3log6log9， 1+log31+log61+log9，abc1，当 x1 时，f（x）lnx 为增函数，f（a）f（b）f（c），故选：A 11

21、（5 分）若一个几何体的三视图如图所示，其顶点都在同一个球面上，则该球的表面积第 11 页（共 21 页）是（） A B C D 【解答】解：由三视图知，该几何体是一个三棱柱 ABCA1B1C1，且三棱柱的底面是边长为 2 的正ABC，侧棱长是 1，三棱柱的两个底面的中心连接的线段 MN 的中点 O 与三棱柱的顶点 A 的连线 AO 是外接球的半径，如图所示：因为ABC 是边长为 2 的等边三角形，MN1，所以 AM，OM，所以外接球的半径为 R，所以外接球的表面积为 S4R24 故选：B 12 （5 分）已知函数，现有命题： f（x）的最大值为 0； f（x）是偶函数；

22、 f（x）的周期为；第 12 页（共 21 页） f（x）的图象关于直线对称其中真命题的个数是（） A4 B3 C2 D1 【解答】解：sin2x 对于，因为函数 y，在（0，+）上，单调增加，sin2x1sin2x0，当 x时等号成立，所以对；对于，因为 f（x）sin2xf（x）f（x），f（x）是偶函数，所以对；对于，因为 f（x）sin2xf（x+）f（x），f（x）的周期为，所以对；对于，因为 f（x）sin2xf（2x）f（x）f（x）f（x）的图象关于直线对称，所以对；故选：A 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小

23、题 5 分分. 13（5分）已知曲线yxlnx在点 0 (x， 0) y处的切线与直线210 xy 垂直，则 0 x e 【解答】解：由yxlnx，得1ylnx， 0 0 |1 x x ylnx ，由曲线yxlnx在点 0 (x， 0) y处的切线与直线210 xy 垂直，得 0 12lnx ，即 0 xe 故答案为：e 14 （5 分）已知 1 F， 2 F为椭圆 22 1 95 xy 的两个焦点，过点 1 F的直线交椭圆于A，B两点，若| 5AB ，则 2 ABF的面积为 5 【解答】解：由椭圆的方程可得： 2 9a ， 2 5b ，则3a ，5b ，2c ，所以 1( 2

24、,0) F ， 2(2,0) F，由题意可知直线的斜率存在且不为 0，设直线的方程为：(2)yxk，与椭圆方程联立可得：第 13 页（共 21 页） 2222 (59)3636450 xxkkk，设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，则 22 1212 22 363645 , 5959 xxx x kk kk ，所以 42 222 1212 222 36 36144180 |1()41 (59)59 ABxxx x kk kk kk 2 2 30(1) 5 59 k k ，解得 2 1 3 k，即 3 3 k，所以直线AB的方程为： 3 (2) 3 yx ，所以

25、点 2 F到直线AB的距离为 2 3 |(22)| 3 2 3 1() 3 d ，所以三角形 2 ABF的面积为 11 |255 22 SdAB ，故答案为：5 15 （5 分）在北京召开的第 24 届国际数学家大会的会标是根据中国古代数学家赵爽的“弦图”设计的会标图案如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形若直角三角形中较小锐角为，当小正方形的面积是大正方形面积的一半时， tan 23 【解答】解：设大正方形的边长为 1，则面积为 1，小正方形的面积是大正方形面积的一半时，小正方形的面积 1 2 S ，则直角三角形的两个直角边分别为sin，cos，

26、则小直角三角形的面积 1 sincos 2 S，则四个小直角三角形面积之和为 11 4sincos2sincossin2 22 ，则230，即15，第 14 页（共 21 页）则 2 3 1 tan45tan3033(33)126 3 3 tantan15tan(4530 )23 1tan45 tan30936333 1 3 ，故答案为：23 16（5 分）已知数列 n a的首项 1 aa，其前n项和为 n S，且满足 2* 1 (2,) nn SSn nnN ，若对任意 * nN， 1nn aa 恒成立，则a的取值范围是 (3,5) 【解答】解： 2 1 (2,) nn

27、SSn nnN ， 21 4SS， 1 aa，可得 12 24aa， 2 42aa 2 1 (1) nn SSn ，可得： 1 21 nn aan ，变形为： 1 (1)() nn anan ， 1a 时，数列 n an是等比数列， 2 222aa，公比为1的等比数列 2 (22 ) ( 1)n n ana ， 2 (22 ) ( 1)n n ana ，对任意nN， 1nn aa 恒成立， 21 (22 ) ( 1)(1)(22 ) ( 1) nn nana ，化为： 1 1 (4) ( 1)0 n a ， * 2 ()nNk k时，可得：1(4)0a，解得3a * 21()nNkk时

28、，可得：1(4)0a，解得5a 35a ，4a 由 12 aa可得：162aa，解得 16 3 a ，综上可得：35a，4a 第 15 页（共 21 页） 4a 时， 1 4a ， 2 8a ，由 1 4(1)(4 ) nn anan ，可得：4 n an， 1 4(1) n an 对任意nN， 1nn aa 恒成立综上可得：35a a的取值范围是(3,5) 故答案为：(3,5) 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（一）（一）必考题（共必考题（共 60 分）分） 17

29、（12 分）某工厂为生产一种标准长度为40cm的精密器件，研发了一台生产该精密器件的车床，该精密器件的实际长度为acm， “长度误差”为|40|acm，只要“长度误差”不超过0.03cm就认为合格已知这台车床分昼、夜两个独立批次生产每天每批次各生产 1000 件已知每件产品的成本为 5 元，每件合格品的利润为 10 元在昼、夜两个批次生产的产品中分别随机抽取 20 件，检测其长度并绘制了如下茎叶图：（1）分别估计在昼、夜两个批次的产品中随机抽取一件产品为合格品的概率；（2）以上述样本的频率作为概率，求这台车床一天的总利润的平均值【解答】解：（1）因为合格的长度为39.974

30、0.03cmcm，所以昼批次有 2 件不合格产品，故昼批次生产的产品的合格率为 29 1 2010 ，所以夜批次有 4 件不合格产品，故夜批次生产的产品的合格率为 44 1 205 ，（2）昼批次的利润： 9 1000900 10 件，即900 10100054000（元)，夜批次的利润： 4 1000800 5 件，即800 10100053000（元)，则昼夜总利润为：400030007000元，故这台车床一天的总利润的平均值为 7000 元 18 （12 分）在ABC中，三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，已知3a ， coscoscos3 3 sincos BAC BC

31、b 第 16 页（共 21 页）（）若2 3c ，求sin A；（）若AB边上的中线长为 37 2 ，求AB的长【解答】解：（）因为3a ，由正弦定理可得 coscoscos3 333sin sincossin BACaA BCbbB ，整理可得：coscoscos3sincosBACAC，因为coscos()sinsincoscosBACACAC ，可得sinsin3sincosACAC，因为sin0A，可得tan3C ，由于(0, )C，可得 3 C ，由正弦定理 sinsin ac AC ，可得 32 3 sin3 2 A ，解得 3 sin 4 A （）设AB边上

32、的中线为CD，则2CDCACB，所以 2222 4 |()2c o sC DC AC Bbaa bA C B，可得 2 3793bb，整理可得 2 3280bb，解得4b ，或7（舍去），所以 22 1 2cos91623413 2 ABcababC 19 （12 分）如图，在棱长为a的正方体 1111 ABCDABC D中，M，N，P分别为棱 11 AD， 11 C D，BC的中点（）求证：ACNP；（）求四面体DMNP的体积第 17 页（共 21 页）【解答】（）证明：在棱长为a的正方体 1111 ABCDABC D中， M，N，P分别为棱 11 AD， 1

33、1 C D，BC的中点 11 / /MNAC，又 11/ / ACAC，/ /MNAC， 22 11 112 222 MNACaaa， 22 2MPaaa， 22222 11 116 442 NPNCPCaaaa， 222 MNNPMP，则MNNP， ACNP；（）解：连接 1 MB， 1 B P，取 11 BC中点Q，连接MQ，CQ，由 1 / /BQCP， 1 BQCP，可得四边形 1 CPBQ为平行四边形，得到 1 / /CQPB， 1 CQPB，同理可证/ /MDCQ，MDCQ，则 1 / /MDPB， 1 MDPB，则四边形 1 DMB P为平行四边形，则 111 1 1

34、 3 DMNPNMPBP MNBMNB VVVSBB 23 111111111 () 322222228 aaaaaaaaa 20 （12 分）已知抛物线 2 :3C yx的焦点为F，斜率为 3 2 的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P 第 18 页（共 21 页）（）若| 4AFBF，求直线l的方程；（）若3APPB，求 OAB FAB S S 的值【解答】解：（）设直线l的方程为 3 () 2 yxt， 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，联立抛物线 2 3yx的方程可得 22 999 (3)0 424 xtxt，所以 12 9 3 4 2 2 9

35、3 4 t xxt ， 2 12 x xt，由抛物线的定义可得： 12 43 |24 32 AFBFxxpt，解得 7 12 t ，所以直线l的方程为 37 28 yx （）若3APPB，则 12 3yy ，所以 12 33 ()3() 22 xtxt ，化简得 12 34xxt ，由解得1t ， 1 3x ， 2 1 3 x ，所以点P坐标为(1,0)，所以 1 1 2 2 1 | |1 2 4 13 | |1 24 OAB FAB AB d SdOP SdFP AB d 第 19 页（共 21 页） 21 （12 分）已知函数( )(1) x f xmeln xlnm （）

36、若( )f x在0 x 处取到极值，求m的值及函数( )f x的单调区间；（）若( ) 1f x ，求m的取值范围【解答】解：（）函数( )f x的定义域是( 1,) ， 1 ( ) 1 x fxme x ， ( )f x在0 x 处取到极值，(0)10fm ，解得：1m ， 1m 时， 1 ( ) 1 x fxe x ， 2 1 ( )0 (1) x fxe x ，故( )fx在( 1,) 递增，而(0)0f，故0 x 时，( )0fx，0 x 时，( )0fx， ( )f x在( 1,0)递减，在(0,)递增，故0 x 是( )f x的极小值点，符合题意；（）结合（），令

37、1 ( )0 1 x fxme x ，得 1 1 x me x ，即存在 0 ( 1,)x ，使得 0 0 1 1 x me x ，两边取对数得： 00 (1)lnmln xx ，使得 0 ( 1,)xx 时，( )0fx， 0 (xx，)时，( )0fx，故( )f x在 0 ( 1,)x递减，在 0 (x，)递增，故 0 00 ( )()(1)1 x min f xf xmeln xlnm，两边取对数得： 00 (1)lnmln xx ，结合故 000 0 1 ()(1)2 (1) 1 f xxln x x ，令 0 1tx，则 1 ( )2(0)g ttlnt t t ，则

38、 2 22 12(1) ( )10 t g t ttt ，故( )g t在(0,)递减，而g（1）0，故(0,1)t时，( )0g t ，即 0 ( 1,0)x 时，( ) 1f x ，此时 0 0 11 (2 (1) x m eex ，) （二）选考题（共（二）选考题（共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一如果多做，则按所做的第一题计分题计分.）选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）已知曲线 1 C的参数方程为 45cos ( 55sin xt t yt 为参数），以坐标原点为极

39、点，x轴第 20 页（共 21 页）的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为2sin （）把 1 C的参数方程化为极坐标方程，并求曲线 2 C的直角坐标方程；（）求 1 C与 2 C交点的极坐标(0,02 )厔【解答】解：（）曲线 1 C的参数方程为 45cos ( 55sin xt t yt 为参数），可得 2222 (4)(5)25cos25sin25xytt，即为 22 810160 xyxy，由 222 xy，cosx，siny，可得 2 8 cos10 sin160；曲线 2 C的极坐标方程为2sin，可得 2 2 sin，由 222 xy，s

40、iny，可得 22 20 xyy；（）将2sin代入 2 8 cos10 sin160，可得cos (cossin )0，即有cos0，或cossin，即tan1，因为0，02，由cos0，可得 2 ，2；由tan1，可得 4 ，或 5 4 ，解得2，或2 （舍去），则 1 C与 2 C交点的极坐标为( 2，) 4 ，(2,) 2 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知a，b，c为正数，( ) |f xxaxbxc （1）若1abc，求函数( )f x的最小值；第 21 页（共 21 页）（2）若(0)1f且a，b，c不全相等，求证： 333 b cc aa

41、 babc 【解答】解：（1）因为1abc，所以( ) | 2|1|1|f xxaxbxcxx，法 1：由上可得： 31,1, ( )3, 11, 31,1. xx f xxx xx 所以，当1x 时，函数( )f x的最小值为 2；法 2:( ) ) | |1|1|1|1|11| 2 |1|2f xxaxbxcxxxxxxx 厖，当且仅当 (1)(1) 0 10 xx x ，即1x 时取得最小值 2；证明（2）：因为a，b，c为正数，所以要证 333 b cc aa babc，即证明 222 1 bca abc 就行了，法 1：因为 222222 222 2222() bcabca abcabcbcaabc abcabc ，当且仅当abc时取等号又因为(0)1f即1abc且a，b，c不全相等，所以 222 1 bca abc ，即 333 b cc aa babc，法 2：因为 222 ()() 1 bca abc abc ，当且仅当 abc bca 取等号，又因为(0)1f即1abc且a，b，c不全相等，所以 222 1 bca abc ，即 333 b cc aa babc

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