2022年（全国卷）老高考理科数学模拟试卷（18）.docx

1、第 1 页（共 18 页） 2022 年（全国卷）老高考理科数学模拟试卷（年（全国卷）老高考理科数学模拟试卷（18） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）若 32 ai i 为纯虚数，则实数a的值为( ) A 2 3 B 2 3 C 3 2 D 3 2 2 （5 分）已知集合 2 |2 0Ax xx ， |Bx yx，则(AB ) A | 12xx 剟 B |02xx剟 C |1x x D |0 x x 3 （5 分） 已知(1,sin )a，(cos2 ,2sin1)b，( 2 ，) 若 1 5 a b ， 则t a

2、n ()4 的值为( ) A 2 3 B 1 3 C 2 7 D 1 7 4 （5 分）若函数 2 289yxx，定义域为1，a，值域是1，3，则a的取值范围为( ) A1，2 B(1，2 C2，3 D2，3) 5 （5 分）已知ABADAC，且ACa，BDb，则(AB ) A 1 () 2 ab B 1 () 2 ab C 1 () 2 ba D 1 2 ab 6 （5 分）甲、乙、丙三人随机排成一排，乙站在中间的概率是( ) A 1 2 B 1 3 C 1 4 D 1 6 7 （5 分）已知直线m，n，平面，则/ /m的充分条件是( ) An，/ /mn B，m C/ /n，/ /mn D

3、/ /，m 8 （5 分）下列函数中，既以为周期，又在区间(0,) 2 上单调递减的函数是( ) Acos2yx B|sin|yx C tan 1 ( ) x y e Dcos() 24 x y 9 （5 分）在ABC中，7AC ，2BC ，60B ，则sin:sin(AC ) A 2 3 B 3 2 C 3 7 7 D 7 3 10 （5 分）双曲线 22 1 24 xy 的两条渐近线的夹角的大小为( ) Aarctan2 B2arctan2 Carctan2 D2arctan2 第 2 页（共 18 页） 11 （5 分）已知随机变量X的分布列如表： X 0 a 2 P 1 6 p 1 3

4、 则当a在(0,1)内增大时，( ) A()D X减小 B()D X增大 C( )D x先减小后增大 D()D X先增大后减小 12（5 分） 已知函数( )f x是定义在R上的偶函数， 且在(,0)上单调递增， 设 4 (log 5)af， 2 1 (log) 3 bf， 0.5 (0.2 )cf，则a，b，c的大小关系( ) Acba Bbac Cbca Dabc 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分） 100 (132 ) x的展开式中有理项的个数为 14 （5 分）已知抛物线 2 :4C xy的焦点F到抛物线上的点

5、P的距离为 3，则点P的坐标 为 ，POF（其中O为标原点）的面积为 15 （5 分）如图，在圆锥SO中，2SO ，圆锥的侧面积为3，ABC是圆锥底面圆O 的内接正三角形，P为SO上一点，且90APC，则圆锥SO的体积为 ，三棱锥 PABC的外接球的表面积为 16 （5 分）设函数 2 ( )(2) x f xxx e下列命题： ( )0f x 的解集是 |02xx，( )0f x 的解集是 |0 x x 或2x ； (2)f 是极小值，( 2)f是极大值； ( )f x没有最小值，也没有最大值； ( )f x有最大值，没有最小值 其中正确的命题序号为 （写出所有正确命题的序号） 第 3 页（

6、共 18 页） 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）已知数列 n a为公差不为零的等差数列， n S为其前n项和，且满足 1 S， 2 S， 4 S 成等比数列， 5 9a （）求 n a的通项公式； （）若 4 (21) n n b na ， n T为其前n项和，若 44 23 n T ，求n的值 18 （12 分）对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下 寿命( )h 100 200 200 300 300 400 400 500 500 600 个数 20 30 80 40 30 （1）列出频率分布表； （2）画

7、出频率分布立方图； （3）估计元件寿命在100 400h以内的在总体中占的比例； （4）估计电子元件寿命在400h以上的在总体中占的比例 19 （12 分）如图，四棱锥PABCD的底面为正方形，PA底面ABCD，E，F，H分 别为AB，PC，BC的中点 （）求证：DE 平面PAH； （）若2PAAD，求直线PD与平面PAH所成线面角的正弦值 20 （12 分）已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率为 3 2 ，A是椭圆上位于第三象限内的 一点，点P满足5OPAO过点P作一条斜率为k的直线l交椭圆于B，C两点 （）若点P的坐标为(4,1) （）求椭圆的方程； （）求OBC面积

8、； （用含k的代数式表示） （）若满足3BPBC，求直线OA，OB的斜率之积 第 4 页（共 18 页） 21 （12 分）已知函数( )( ,) bx f xa bR alnx ，在点(1，f（1）)处的切线为1y （1）求a，b的值及函数( )f x的单调区间； （2）若 1 x， 2 x是函数 2 1 ( )() 2 g xkxlnxxkR的两个极值点，证明： 12 ()0 2 xx f 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分） 在直角坐标系xOy中， 以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 若 曲线 1:

9、 2sinC，曲线 2 4 : sincos C （）写出曲线 1 C和 2 C的直角坐标方程； （）射线(0) ， 4 tan(0) 32 a ，点P为射线(0) 与曲线 1 C的交点， 求点P的极径 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数( ) |22|2 |f xxaxa （1）若f（1）3，求实数a的取值范围； （2）若不等式( ) |1|2 2 a f xx恒成立，求实数a的取值范围 第 5 页（共 18 页） 2022 年（全国卷）老高考理科数学模拟试卷（年（全国卷）老高考理科数学模拟试卷（18） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 1

10、2 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）若 32 ai i 为纯虚数，则实数a的值为( ) A 2 3 B 2 3 C 3 2 D 3 2 【解答】解： ()(32 )3232 32(32 )(32 )1312 aiaiiaa i iii 为纯虚数， 32 0 13 a ， 32 0 12 a ， 解得 2 3 a 故选：A 2 （5 分）已知集合 2 |2 0Ax xx ， |Bx yx，则(AB ) A | 12xx 剟 B |02xx剟 C |1x x D |0 x x 【解答】解：集合 2 |2 0 | 12Ax xxxx剟?， | |0Bx

11、yxx x， |1ABx x 故选：C 3 （5 分） 已知(1,sin )a，(cos2 ,2sin1)b，( 2 ，) 若 1 5 a b ， 则t a n ()4 的值为( ) A 2 3 B 1 3 C 2 7 D 1 7 【解答】解：(1,sin )a，(cos2 ,2sin1)b，( 2 ，) 若 1 5 a b ， 2 1 cos2sin2sin1sin 5 ； 解得 4 sin 5 ， 3 cos 5 sin4 tan cos3 第 6 页（共 18 页） 4 1 1 3 tan() 4 47 1 3 故选：D 4 （5 分）若函数 2 289yxx，定义域为1，a，值域是1，

12、3，则a的取值范围为( ) A1，2 B(1，2 C2，3 D2，3) 【解答】解：函数 22 2892(2)1yxxx， 定义域为1，a时，值域是1，3， 且1x 时3y ，2x 时取得最小值为1y ； 当3x 时 2 2 (32)13y ， 所以a的取值范围是2，3 故选：C 5 （5 分）已知ABADAC，且ACa，BDb，则(AB ) A 1 () 2 ab B 1 () 2 ab C 1 () 2 ba D 1 2 ab 【解答】解：根据条件： ABADa ADABb ； 1 () 2 ABab 故选：A 6 （5 分）甲、乙、丙三人随机排成一排，乙站在中间的概率是( ) A 1 2

13、 B 1 3 C 1 4 D 1 6 【解答】解：三个人排成一排的所有情况有： 甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙乙甲，丙甲乙，共 6 种， 其中乙在中间有 2 种， 乙在中间的概率为 21 63 P 故选：B 7 （5 分）已知直线m，n，平面，则/ /m的充分条件是( ) 第 7 页（共 18 页） An，/ /mn B，m C/ /n，/ /mn D/ /，m 【解答】解：当n，/ /mn，有可能m，故A错误， 当，m，有可能m，故B错误， 当/ /n，/ /mn，有可能m，故C错误， 故选：D 8 （5 分）下列函数中，既以为周期，又在区间(0,) 2 上单调递减的函数是( ) Aco

14、s2yx B|sin|yx C tan 1 ( ) x y e Dcos() 24 x y 【解答】解：A中函数在(0,) 2 上单调递增，不合题意； B中函数在区间(0,) 2 上单调递增，不合题意； C中函数满足题意； D中函数的最小正周期为4，不合题意 综上所述，选项C满足题意 故选：C 9 （5 分）在ABC中，7AC ，2BC ，60B ，则sin:sin(AC ) A 2 3 B 3 2 C 3 7 7 D 7 3 【解答】解：ABC中，7AC ，2BC ，60B ， 由余弦定理得： 222 |2| |cosACABBCABBCABC， 可得： 2 7 |42|ABAB ， 即 2

15、 |2| 30ABAB ， | 3AB sin:sin:2:3ACBC AB 故选：A 10 （5 分）双曲线 22 1 24 xy 的两条渐近线的夹角的大小为( ) Aarctan2 B2arctan2 Carctan2 D2arctan2 【解答】解：由双曲线 22 1 24 xy ，得2a ，2b 双曲线的渐近线方程为2yx ， 第 8 页（共 18 页） 则一条渐近线与x轴的夹角为arctan2 4 ， 则两条渐近线的夹角的大小为2arctan2 故选：D 11 （5 分）已知随机变量X的分布列如表： X 0 a 2 P 1 6 p 1 3 则当a在(0,1)内增大时，( ) A()D

16、 X减小 B()D X增大 C( )D x先减小后增大 D()D X先增大后减小 【解答】解：由分布列的性质可得： 11 1 63 p，可得 1 2 p ，所以 12 () 23 E Xa， 所以 222 121121121 ()(0)()(2) 236232233 D Xaaaa 22 128144 () 439439 aaa，所以当a在(0,1)内增大时，()D X减小， 故选：A 12（5 分） 已知函数( )f x是定义在R上的偶函数， 且在(,0)上单调递增， 设 4 (log 5)af， 2 1 (log) 3 bf， 0.5 (0.2 )cf，则a，b，c的大小关系( ) Acb

17、a Bbac Cbca Dabc 【解答】解：( )f x是定义在R上的偶函数，在(,0)上单调递增， ( )f x在(0,)上单调递减，且 2 (log 3)bf， 2244 35541loglogloglog， 0.50 00.20.21， 0.5 24 350 20loglog ， 0.5 24 (3)(5)(0 2 )f logf logf，即bac 故选：B 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分） 100 (132 ) x的展开式中有理项的个数为 34 【解答】解： 1 3 1100(2 ) r r r TCx

18、，所以0r ，3，6，99 时为有理项，共 34 个 故答案为：34 第 9 页（共 18 页） 14 （5 分）已知抛物线 2 :4C xy的焦点F到抛物线上的点P的距离为 3，则点P的坐标为 ( 2 2，2) ，POF（其中O为标原点）的面积为 【解答】解：设( , )P m n，由抛物线的定义可知13n，所以2n ， 由抛物线方程可知 2 8m ，解得2 2m ， 所以( 2 2P ，2)， 1 |2 2 OFn 故答案为：( 2 2，2)；2 15 （5 分）如图，在圆锥SO中，2SO ，圆锥的侧面积为3，ABC是圆锥底面圆O 的内接正三角形，P为SO上一点，且90APC，则圆锥SO的

19、体积为 2 3 ，三棱 锥PABC的外接球的表面积为 【解答】解：设底面圆的半径为r，侧面积为3，即 1 32 2 rSA， 而 222 SArOS， 可得1r ， 那么圆锥SO的体积 2 12 33 VrOS； 由底面圆O的内接正三角形， 可得正三角形的边长为3； 90APC， 可知APC是等腰直角三角形，可得 6 2 AP ， 2 2 PO； 由于球心O在OS上，可得 222 2 () 2 RRr， 第 10 页（共 18 页） 可得球 3 2 4 R ， 那么球的表面积 2 9 4 2 SR ； 故答案为 2 3 ， 9 2 16 （5 分）设函数 2 ( )(2) x f xxx e下

20、列命题： ( )0f x 的解集是 |02xx，( )0f x 的解集是 |0 x x 或2x ； (2)f 是极小值，( 2)f是极大值； ( )f x没有最小值，也没有最大值； ( )f x有最大值，没有最小值 其中正确的命题序号为 （写出所有正确命题的序号） 【解答】解：由 22 ( )0(2)02002 x f xxx exxx， 由 22 ( )0(2)0200 x f xxx exxx或2x 故正确； 2 ( )(2) x f xex，由( )0fx得2x ， 由( )0fx得2x 或2x ， 由( )0fx得22x， ( )f x的单调减区间为(,2) ，( 2，)单调增区间为(

21、2，2) ( )f x的极大值为( 2)f，极小值为(2)f ，故正确 2x 时，( )0f x 恒成立，x时，( )f x ， ( )f x无最小值， 而( )f x的单调减区间为(,2) ，( 2，)单调增区间为(2，2)且2x 时， ( )0f x ( )f x有最大值( 2)f， ( )f x没有最小值，也没有最大值不正确，即不正确， ( )f x有最大值( 2)f，但无最小值，故正确 故答案为： 第 11 页（共 18 页） 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）已知数列 n a为公差不为零的等差数列， n

22、S为其前n项和，且满足 1 S， 2 S， 4 S 成等比数列， 5 9a （）求 n a的通项公式； （）若 4 (21) n n b na ， n T为其前n项和，若 44 23 n T ，求n的值 【解答】解： （）设数列 n a的公差为(0)d d ，由题设可得： 2 142 5 9 S SS a ， 即 2 111 1 43 (4)(2) 2 49 d aaad ad ，解之得： 1 1 2 a d ， 12(1)21 n ann ； （）由（）可得： 4411 2() (21)(21)(21)2121 n n b nannnn ， 1111114 2(1)2(1) 33521212

23、121 n n T nnnn ， 又 444 2321 n n T n ，解得：11n 18 （12 分）对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下 寿命( )h 100 200 200 300 300 400 400 500 500 600 个数 20 30 80 40 30 （1）列出频率分布表； （2）画出频率分布立方图； （3）估计元件寿命在100 400h以内的在总体中占的比例； （4）估计电子元件寿命在400h以上的在总体中占的比例 【解答】解： （1）样本频率分布表如下（4 分） 寿命( )h 频数 频率 100 200 20 0.10 200 300 30 0.15 300 400

24、 80 0.40 400 500 40 0.20 500 600 30 0.15 第 12 页（共 18 页） 合计 200 1 （2）频率分布直方图如下 （4 分） （3）估计元件寿命在100 400hh以内的在总体中占的比例为 0.65（3 分） （4）估计元件寿命在400h以上的在总体中占的比例为 0.35（3 分） 19 （12 分）如图，四棱锥PABCD的底面为正方形，PA底面ABCD，E，F，H分 别为AB，PC，BC的中点 （）求证：DE 平面PAH； （）若2PAAD，求直线PD与平面PAH所成线面角的正弦值 【解答】 （）证明：因为PA底面ABCD，DEC底面ABCD， 所以

25、PADE 因为E，H分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点， 所以Rt ABHRt DAE所以BAHADE 所以90BAHAED，所以DEAH 因为PA平面PAH，AH 平面PAH，PAAHA， 所以DE 平面PAH （）解：由（）可知DE 平面PAH， 设AHDEG，如图，连接PG，则DPG即为直线PD与平面PAH所成线面角 第 13 页（共 18 页） 因为2PAAD，所以2 2PD ，5DE 在Rt DAE中，由于AGDE，所以 2 ADDG DE， 所以45DG，所以 4 5 DG 所以在Rt PDG中， 4 10 5 sin 52 2 DG DPG PD ， 即直线PD与平面PAH

26、所成线面角的正弦值为 10 5 20 （12 分）已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率为 3 2 ，A是椭圆上位于第三象限内的 一点，点P满足5OPAO过点P作一条斜率为k的直线l交椭圆于B，C两点 （）若点P的坐标为(4,1) （）求椭圆的方程； （）求OBC面积； （用含k的代数式表示） （）若满足3BPBC，求直线OA，OB的斜率之积 【解答】解： （） （）设( , )A m n， 因为5OPAO，(4,1)P， 所以(4，1)5(,)mn， 第 14 页（共 18 页） 所以45m ，15n ， 解得 4 5 5 m ， 5 5 n ，即A点坐标为 4 5 (

27、5 ， 5 ) 5 ， 代入椭圆的方程圆 22 22 1(0) xy ab ab ，得 22 161 1 55ab ， 因为离心率为 3 2 ，所以 3 2 c e a ， 又因为 222 abc， 由解得2a ，1b ， 所以椭圆的方程为 2 2 1 4 x y （）直线l的方程为1(4)yx k，即41yxkk， 联立 2 2 1 4 41 x y yx kk ，得 222 (14)8 (41)64320 xxkkkkk， 由 222 8 (41)4(14)(6432 )0 kkkkk，得 2 0 3 k， 所以 12 2 8 (41) 14 xx kk k ， 2 12 2 32(21)

28、 14 x x k k ， 所以 2 2 121212 2 832 |()4 14 xxxxx x kk k ， 因为直线l与y轴交点为(0,14 ) k， 所以 22 12 22 1|14 | 8324|14 |322 |14 |(0) 2214143 OBC Sxx kkkkkk kk kk （）设 3 (A x， 3) y， 1 (B x， 1) y， 2 (P x， 2) y， 因为5OPAO， 所以( P x， 3 )5( P yx， 3) y， 解得 3 5 P xx ， 3 5 P yy ， 因为3BPBC， 所以 31 (5xx， 3121 5)3(yyxx， 21) yy，

29、第 15 页（共 18 页） 所以 3121 3121 53() 53() xxxx yyyy ，即 231 231 1 (52 ) 3 1 (52) 3 xyx yyy ， 代入椭圆的方程得 22 3131 11 (5)4(52)40 99 xxyy， 整理得 2222 11331 313 4(4)5(4)4 5()36xyxyx xy y， 因为 1 (B x， 1) y， 3 (A x， 3) y在椭圆上， 所以 22 11 44xy， 22 33 44xy， 所以 1 313 445 44 5()36x xy y ，即 1212 y yx x ， 所以 12 12 1 OAOB y y

30、 x x kk， 所以直线OA，OB的斜率之积为1 21 （12 分）已知函数( )( ,) bx f xa bR alnx ，在点(1，f（1）)处的切线为1y （1）求a，b的值及函数( )f x的单调区间； （2）若 1 x， 2 x是函数 2 1 ( )() 2 g xkxlnxxkR的两个极值点，证明： 12 ()0 2 xx f 【解答】 （1）解：因为( )( ,) bx f xa bR alnx ， 所以 22 1 () ( ) ()() b alnxbx blnxabb x fx alnxalnx ， 由题意可知f（1）1，f（1）0，即1 b a ， 2 0 abb a ，

31、 解得1a ，1b 所以( ) 1 x f x lnx ，则 2 ( ) (1) lnx fx lnx ， 由( )0fx，得1x ，由( )0fx，得1x ，由( )0fx，得1x ； 又( )f x的定义域为(0， 11 )( ee ，)， 所以( )f x的单调减区间是 1 (0, ) e 和 1 ( e ，1)，单调增区间是(1,) （2）证明：由函数 2 1 ( )() 2 g xkxlnxxkR的两个极值点， 则( )g xklnxkx有两个变号零点， 令0klnxkx即(1)klnxx， 当10lnx时，上述等式不成立； 第 16 页（共 18 页） 当10lnx时，上式转化为

32、1 x k lnx ，由（1）知( )f x的单调减区间是 1 (0, ) e 和 1 ( e ，1)， 单调增区间是(1,)，且 1 (0, )x e 时，( )0f x ，则函数( )f x的图象大致如图所示； 不妨设 12 xx，则 12 1 1xx e ， 要证 12 ()0 2 xx f ，即证 12 1 2 xx ，即证 12 2xx，即证 21 2xx 则 12 1 1xx e ， 1 21x ，由（1）知( )f x在(1,)上单调递增， 要证 21 2xx，只需证 21 ()(2)f xfx 又 12 ()()f xf x，故即证 11 ()(2)f xfx， 令( )( )

33、(2)h xf xfx， 1 1x e ， 2 22222 (2)(2)(2) ( )( )(2) (1)(1(2)(1)(1)(1) lnxlnxlnxlnxlnxx h xfxfx lnxlnxlnxlnxlnx ， 又 2 (2)ylnxx在 1 ( e ，1)上为增函数， 22 (2)(2 1 1 )0ylnxxln ， ( )0h x，( )h x的在 1 ( e ，1)上单调递减， ( )h xh（1）0，即 11 ()(2)f xfx， 12 ()0 2 xx f 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）

34、在直角坐标系xOy中， 以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 若 曲线 1: 2sinC，曲线 2 4 : sincos C 第 17 页（共 18 页） （）写出曲线 1 C和 2 C的直角坐标方程； （）射线(0) ， 4 tan(0) 32 a ，点P为射线(0) 与曲线 1 C的交点， 求点P的极径 【解答】解： （）曲线 1: 2sinC，根据 222 cos sin x y xy 转换为 2 2 sin，转换为 直角坐标方程为 22 (1)1xy 曲线 2 4 : sincos C ，根据 222 cos sin x y xy ，转换为直角坐标方程为40 xy （）射线(

35、0) ， 4 tan(0) 32 a ，点P为射线(0) 与曲线 1 C的交点， 所以 4 sin 5 ， 代入 2 2 sin，得到 2 4 20 5 ，解得 8 0 0 5 或舍去， 故极径为 8 5 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数( ) |22|2 |f xxaxa （1）若f（1）3，求实数a的取值范围； （2）若不等式( ) |1|2 2 a f xx恒成立，求实数a的取值范围 【解答】解： （1）由f（1）3可得，|12 | 3aa， 当0a时，不等式化为(12 )3aa ， 解得 2 3 a ， 2 0 3 a ； 当 1 0 2 a时，不等式化为(12

36、 )3aa， 解得2a ， 1 0 2 a； 当 1 2 a时，不等式化为(12 )3aa， 解得 4 3 a ， 14 23 a ， 综上实数a的取值范围是 2 4 (, ) 3 3 ； 第 18 页（共 18 页） (2)( ) |1| |22|1|2 | |1|2 | 222 aaa f xxxaxxaxxa， 又 5 |1|2 |(1)(2 )| |1| 222 aaa xxaxxa， 当1 2 a x 时，等号成立， ( ) |1| 2 a f xx的最小值为 5 |1| 2 a ， 不等式( ) |1|2 2 a f xx恒成立， 5 |1|2 2 a ， 解得 6 5 a或 2 5 a， 实数a的取值范围是 26 (, ,) 55