2022年（全国卷）老高考理科数学模拟试卷（18）.docx下载_163文库

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2、n ()4 的值为( ) A 2 3 B 1 3 C 2 7 D 1 7 4 （5 分）若函数 2 289yxx，定义域为1，a，值域是1，3，则a的取值范围为( ) A1，2 B(1，2 C2，3 D2，3) 5 （5 分）已知ABADAC，且ACa，BDb，则(AB ) A 1 () 2 ab B 1 () 2 ab C 1 () 2 ba D 1 2 ab 6 （5 分）甲、乙、丙三人随机排成一排，乙站在中间的概率是( ) A 1 2 B 1 3 C 1 4 D 1 6 7 （5 分）已知直线m，n，平面，则/ /m的充分条件是( ) An，/ /mn B，m C/ /n，/ /mn D

3、/ /，m 8 （5 分）下列函数中，既以为周期，又在区间(0,) 2 上单调递减的函数是( ) Acos2yx B|sin|yx C tan 1 ( ) x y e Dcos() 24 x y 9 （5 分）在ABC中，7AC ，2BC ，60B ，则sin:sin(AC ) A 2 3 B 3 2 C 3 7 7 D 7 3 10 （5 分）双曲线 22 1 24 xy 的两条渐近线的夹角的大小为( ) Aarctan2 B2arctan2 Carctan2 D2arctan2 第 2 页（共 18 页） 11 （5 分）已知随机变量X的分布列如表： X 0 a 2 P 1 6 p 1 3

4、则当a在(0,1)内增大时，( ) A()D X减小 B()D X增大 C( )D x先减小后增大 D()D X先增大后减小 12（5 分）已知函数( )f x是定义在R上的偶函数，且在(,0)上单调递增，设 4 (log 5)af， 2 1 (log) 3 bf， 0.5 (0.2 )cf，则a，b，c的大小关系( ) Acba Bbac Cbca Dabc 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分） 100 (132 ) x的展开式中有理项的个数为 14 （5 分）已知抛物线 2 :4C xy的焦点F到抛物线上的点

5、P的距离为 3，则点P的坐标为，POF（其中O为标原点）的面积为 15 （5 分）如图，在圆锥SO中，2SO ，圆锥的侧面积为3，ABC是圆锥底面圆O 的内接正三角形，P为SO上一点，且90APC，则圆锥SO的体积为，三棱锥 PABC的外接球的表面积为 16 （5 分）设函数 2 ( )(2) x f xxx e下列命题： ( )0f x 的解集是 |02xx，( )0f x 的解集是 |0 x x 或2x ； (2)f 是极小值，( 2)f是极大值； ( )f x没有最小值，也没有最大值； ( )f x有最大值，没有最小值其中正确的命题序号为（写出所有正确命题的序号）第 3 页（

6、共 18 页）三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）已知数列 n a为公差不为零的等差数列， n S为其前n项和，且满足 1 S， 2 S， 4 S 成等比数列， 5 9a （）求 n a的通项公式；（）若 4 (21) n n b na ， n T为其前n项和，若 44 23 n T ，求n的值 18 （12 分）对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下寿命( )h 100 200 200 300 300 400 400 500 500 600 个数 20 30 80 40 30 （1）列出频率分布表；（2）画

7、出频率分布立方图；（3）估计元件寿命在100 400h以内的在总体中占的比例；（4）估计电子元件寿命在400h以上的在总体中占的比例 19 （12 分）如图，四棱锥PABCD的底面为正方形，PA底面ABCD，E，F，H分别为AB，PC，BC的中点（）求证：DE 平面PAH；（）若2PAAD，求直线PD与平面PAH所成线面角的正弦值 20 （12 分）已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率为 3 2 ，A是椭圆上位于第三象限内的一点，点P满足5OPAO过点P作一条斜率为k的直线l交椭圆于B，C两点（）若点P的坐标为(4,1) （）求椭圆的方程；（）求OBC面积

8、；（用含k的代数式表示）（）若满足3BPBC，求直线OA，OB的斜率之积第 4 页（共 18 页） 21 （12 分）已知函数( )( ,) bx f xa bR alnx ，在点(1，f（1）)处的切线为1y （1）求a，b的值及函数( )f x的单调区间；（2）若 1 x， 2 x是函数 2 1 ( )() 2 g xkxlnxxkR的两个极值点，证明： 12 ()0 2 xx f 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系若曲线 1:

9、 2sinC，曲线 2 4 : sincos C （）写出曲线 1 C和 2 C的直角坐标方程；（）射线(0) ， 4 tan(0) 32 a ，点P为射线(0) 与曲线 1 C的交点，求点P的极径五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数( ) |22|2 |f xxaxa （1）若f（1）3，求实数a的取值范围；（2）若不等式( ) |1|2 2 a f xx恒成立，求实数a的取值范围第 5 页（共 18 页） 2022 年（全国卷）老高考理科数学模拟试卷（年（全国卷）老高考理科数学模拟试卷（18）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一选择题（共一选择题（共 1

11、yxx x， |1ABx x 故选：C 3 （5 分）已知(1,sin )a，(cos2 ,2sin1)b，( 2 ，) 若 1 5 a b ，则t a n ()4 的值为( ) A 2 3 B 1 3 C 2 7 D 1 7 【解答】解：(1,sin )a，(cos2 ,2sin1)b，( 2 ，) 若 1 5 a b ， 2 1 cos2sin2sin1sin 5 ；解得 4 sin 5 ， 3 cos 5 sin4 tan cos3 第 6 页（共 18 页） 4 1 1 3 tan() 4 47 1 3 故选：D 4 （5 分）若函数 2 289yxx，定义域为1，a，值域是1，

12、3，则a的取值范围为( ) A1，2 B(1，2 C2，3 D2，3) 【解答】解：函数 22 2892(2)1yxxx，定义域为1，a时，值域是1，3，且1x 时3y ，2x 时取得最小值为1y ；当3x 时 2 2 (32)13y ，所以a的取值范围是2，3 故选：C 5 （5 分）已知ABADAC，且ACa，BDb，则(AB ) A 1 () 2 ab B 1 () 2 ab C 1 () 2 ba D 1 2 ab 【解答】解：根据条件： ABADa ADABb ； 1 () 2 ABab 故选：A 6 （5 分）甲、乙、丙三人随机排成一排，乙站在中间的概率是( ) A 1 2

13、 B 1 3 C 1 4 D 1 6 【解答】解：三个人排成一排的所有情况有：甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙乙甲，丙甲乙，共 6 种，其中乙在中间有 2 种，乙在中间的概率为 21 63 P 故选：B 7 （5 分）已知直线m，n，平面，则/ /m的充分条件是( ) 第 7 页（共 18 页） An，/ /mn B，m C/ /n，/ /mn D/ /，m 【解答】解：当n，/ /mn，有可能m，故A错误，当，m，有可能m，故B错误，当/ /n，/ /mn，有可能m，故C错误，故选：D 8 （5 分）下列函数中，既以为周期，又在区间(0,) 2 上单调递减的函数是( ) Aco

14、s2yx B|sin|yx C tan 1 ( ) x y e Dcos() 24 x y 【解答】解：A中函数在(0,) 2 上单调递增，不合题意； B中函数在区间(0,) 2 上单调递增，不合题意； C中函数满足题意； D中函数的最小正周期为4，不合题意综上所述，选项C满足题意故选：C 9 （5 分）在ABC中，7AC ，2BC ，60B ，则sin:sin(AC ) A 2 3 B 3 2 C 3 7 7 D 7 3 【解答】解：ABC中，7AC ，2BC ，60B ，由余弦定理得： 222 |2| |cosACABBCABBCABC，可得： 2 7 |42|ABAB ，即 2

15、 |2| 30ABAB ， | 3AB sin:sin:2:3ACBC AB 故选：A 10 （5 分）双曲线 22 1 24 xy 的两条渐近线的夹角的大小为( ) Aarctan2 B2arctan2 Carctan2 D2arctan2 【解答】解：由双曲线 22 1 24 xy ，得2a ，2b 双曲线的渐近线方程为2yx ，第 8 页（共 18 页）则一条渐近线与x轴的夹角为arctan2 4 ，则两条渐近线的夹角的大小为2arctan2 故选：D 11 （5 分）已知随机变量X的分布列如表： X 0 a 2 P 1 6 p 1 3 则当a在(0,1)内增大时，( ) A()D

16、 X减小 B()D X增大 C( )D x先减小后增大 D()D X先增大后减小【解答】解：由分布列的性质可得： 11 1 63 p，可得 1 2 p ，所以 12 () 23 E Xa，所以 222 121121121 ()(0)()(2) 236232233 D Xaaaa 22 128144 () 439439 aaa，所以当a在(0,1)内增大时，()D X减小，故选：A 12（5 分）已知函数( )f x是定义在R上的偶函数，且在(,0)上单调递增，设 4 (log 5)af， 2 1 (log) 3 bf， 0.5 (0.2 )cf，则a，b，c的大小关系( ) Acb

17、a Bbac Cbca Dabc 【解答】解：( )f x是定义在R上的偶函数，在(,0)上单调递增， ( )f x在(0,)上单调递减，且 2 (log 3)bf， 2244 35541loglogloglog， 0.50 00.20.21， 0.5 24 350 20loglog ， 0.5 24 (3)(5)(0 2 )f logf logf，即bac 故选：B 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分） 100 (132 ) x的展开式中有理项的个数为 34 【解答】解： 1 3 1100(2 ) r r r TCx

18、，所以0r ，3，6，99 时为有理项，共 34 个故答案为：34 第 9 页（共 18 页） 14 （5 分）已知抛物线 2 :4C xy的焦点F到抛物线上的点P的距离为 3，则点P的坐标为 ( 2 2，2) ，POF（其中O为标原点）的面积为【解答】解：设( , )P m n，由抛物线的定义可知13n，所以2n ，由抛物线方程可知 2 8m ，解得2 2m ，所以( 2 2P ，2)， 1 |2 2 OFn 故答案为：( 2 2，2)；2 15 （5 分）如图，在圆锥SO中，2SO ，圆锥的侧面积为3，ABC是圆锥底面圆O 的内接正三角形，P为SO上一点，且90APC，则圆锥SO的

19、体积为 2 3 ，三棱锥PABC的外接球的表面积为【解答】解：设底面圆的半径为r，侧面积为3，即 1 32 2 rSA，而 222 SArOS，可得1r ，那么圆锥SO的体积 2 12 33 VrOS；由底面圆O的内接正三角形，可得正三角形的边长为3； 90APC，可知APC是等腰直角三角形，可得 6 2 AP ， 2 2 PO；由于球心O在OS上，可得 222 2 () 2 RRr，第 10 页（共 18 页）可得球 3 2 4 R ，那么球的表面积 2 9 4 2 SR ；故答案为 2 3 ， 9 2 16 （5 分）设函数 2 ( )(2) x f xxx e下

20、列命题： ( )0f x 的解集是 |02xx，( )0f x 的解集是 |0 x x 或2x ； (2)f 是极小值，( 2)f是极大值； ( )f x没有最小值，也没有最大值； ( )f x有最大值，没有最小值其中正确的命题序号为（写出所有正确命题的序号）【解答】解：由 22 ( )0(2)02002 x f xxx exxx，由 22 ( )0(2)0200 x f xxx exxx或2x 故正确； 2 ( )(2) x f xex，由( )0fx得2x ，由( )0fx得2x 或2x ，由( )0fx得22x， ( )f x的单调减区间为(,2) ，( 2，)单调增区间为(

21、2，2) ( )f x的极大值为( 2)f，极小值为(2)f ，故正确 2x 时，( )0f x 恒成立，x时，( )f x ， ( )f x无最小值，而( )f x的单调减区间为(,2) ，( 2，)单调增区间为(2，2)且2x 时， ( )0f x ( )f x有最大值( 2)f， ( )f x没有最小值，也没有最大值不正确，即不正确， ( )f x有最大值( 2)f，但无最小值，故正确故答案为：第 11 页（共 18 页）三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）已知数列 n a为公差不为零的等差数列， n

22、S为其前n项和，且满足 1 S， 2 S， 4 S 成等比数列， 5 9a （）求 n a的通项公式；（）若 4 (21) n n b na ， n T为其前n项和，若 44 23 n T ，求n的值【解答】解：（）设数列 n a的公差为(0)d d ，由题设可得： 2 142 5 9 S SS a ，即 2 111 1 43 (4)(2) 2 49 d aaad ad ，解之得： 1 1 2 a d ， 12(1)21 n ann ；（）由（）可得： 4411 2() (21)(21)(21)2121 n n b nannnn ， 1111114 2(1)2(1) 33521212

23、121 n n T nnnn ，又 444 2321 n n T n ，解得：11n 18 （12 分）对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下寿命( )h 100 200 200 300 300 400 400 500 500 600 个数 20 30 80 40 30 （1）列出频率分布表；（2）画出频率分布立方图；（3）估计元件寿命在100 400h以内的在总体中占的比例；（4）估计电子元件寿命在400h以上的在总体中占的比例【解答】解：（1）样本频率分布表如下（4 分）寿命( )h 频数频率 100 200 20 0.10 200 300 30 0.15 300 400

24、 80 0.40 400 500 40 0.20 500 600 30 0.15 第 12 页（共 18 页）合计 200 1 （2）频率分布直方图如下（4 分）（3）估计元件寿命在100 400hh以内的在总体中占的比例为 0.65（3 分）（4）估计元件寿命在400h以上的在总体中占的比例为 0.35（3 分） 19 （12 分）如图，四棱锥PABCD的底面为正方形，PA底面ABCD，E，F，H分别为AB，PC，BC的中点（）求证：DE 平面PAH；（）若2PAAD，求直线PD与平面PAH所成线面角的正弦值【解答】（）证明：因为PA底面ABCD，DEC底面ABCD，所以

25、PADE 因为E，H分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，所以Rt ABHRt DAE所以BAHADE 所以90BAHAED，所以DEAH 因为PA平面PAH，AH 平面PAH，PAAHA，所以DE 平面PAH （）解：由（）可知DE 平面PAH，设AHDEG，如图，连接PG，则DPG即为直线PD与平面PAH所成线面角第 13 页（共 18 页）因为2PAAD，所以2 2PD ，5DE 在Rt DAE中，由于AGDE，所以 2 ADDG DE，所以45DG，所以 4 5 DG 所以在Rt PDG中， 4 10 5 sin 52 2 DG DPG PD ，即直线PD与平面PAH

26、所成线面角的正弦值为 10 5 20 （12 分）已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率为 3 2 ，A是椭圆上位于第三象限内的一点，点P满足5OPAO过点P作一条斜率为k的直线l交椭圆于B，C两点（）若点P的坐标为(4,1) （）求椭圆的方程；（）求OBC面积；（用含k的代数式表示）（）若满足3BPBC，求直线OA，OB的斜率之积【解答】解：（）（）设( , )A m n，因为5OPAO，(4,1)P，所以(4，1)5(,)mn，第 14 页（共 18 页）所以45m ，15n ，解得 4 5 5 m ， 5 5 n ，即A点坐标为 4 5 (

27、5 ， 5 ) 5 ，代入椭圆的方程圆 22 22 1(0) xy ab ab ，得 22 161 1 55ab ，因为离心率为 3 2 ，所以 3 2 c e a ，又因为 222 abc，由解得2a ，1b ，所以椭圆的方程为 2 2 1 4 x y （）直线l的方程为1(4)yx k，即41yxkk，联立 2 2 1 4 41 x y yx kk ，得 222 (14)8 (41)64320 xxkkkkk，由 222 8 (41)4(14)(6432 )0 kkkkk，得 2 0 3 k，所以 12 2 8 (41) 14 xx kk k ， 2 12 2 32(21)

28、 14 x x k k ，所以 2 2 121212 2 832 |()4 14 xxxxx x kk k ，因为直线l与y轴交点为(0,14 ) k，所以 22 12 22 1|14 | 8324|14 |322 |14 |(0) 2214143 OBC Sxx kkkkkk kk kk （）设 3 (A x， 3) y， 1 (B x， 1) y， 2 (P x， 2) y，因为5OPAO，所以( P x， 3 )5( P yx， 3) y，解得 3 5 P xx ， 3 5 P yy ，因为3BPBC，所以 31 (5xx， 3121 5)3(yyxx， 21) yy，

29、第 15 页（共 18 页）所以 3121 3121 53() 53() xxxx yyyy ，即 231 231 1 (52 ) 3 1 (52) 3 xyx yyy ，代入椭圆的方程得 22 3131 11 (5)4(52)40 99 xxyy，整理得 2222 11331 313 4(4)5(4)4 5()36xyxyx xy y，因为 1 (B x， 1) y， 3 (A x， 3) y在椭圆上，所以 22 11 44xy， 22 33 44xy，所以 1 313 445 44 5()36x xy y ，即 1212 y yx x ，所以 12 12 1 OAOB y y

30、 x x kk，所以直线OA，OB的斜率之积为1 21 （12 分）已知函数( )( ,) bx f xa bR alnx ，在点(1，f（1）)处的切线为1y （1）求a，b的值及函数( )f x的单调区间；（2）若 1 x， 2 x是函数 2 1 ( )() 2 g xkxlnxxkR的两个极值点，证明： 12 ()0 2 xx f 【解答】（1）解：因为( )( ,) bx f xa bR alnx ，所以 22 1 () ( ) ()() b alnxbx blnxabb x fx alnxalnx ，由题意可知f（1）1，f（1）0，即1 b a ， 2 0 abb a ，

31、解得1a ，1b 所以( ) 1 x f x lnx ，则 2 ( ) (1) lnx fx lnx ，由( )0fx，得1x ，由( )0fx，得1x ，由( )0fx，得1x ；又( )f x的定义域为(0， 11 )( ee ，)，所以( )f x的单调减区间是 1 (0, ) e 和 1 ( e ，1)，单调增区间是(1,) （2）证明：由函数 2 1 ( )() 2 g xkxlnxxkR的两个极值点，则( )g xklnxkx有两个变号零点，令0klnxkx即(1)klnxx，当10lnx时，上述等式不成立；第 16 页（共 18 页）当10lnx时，上式转化为

32、1 x k lnx ，由（1）知( )f x的单调减区间是 1 (0, ) e 和 1 ( e ，1)，单调增区间是(1,)，且 1 (0, )x e 时，( )0f x ，则函数( )f x的图象大致如图所示；不妨设 12 xx，则 12 1 1xx e ，要证 12 ()0 2 xx f ，即证 12 1 2 xx ，即证 12 2xx，即证 21 2xx 则 12 1 1xx e ， 1 21x ，由（1）知( )f x在(1,)上单调递增，要证 21 2xx，只需证 21 ()(2)f xfx 又 12 ()()f xf x，故即证 11 ()(2)f xfx，令( )( )

33、(2)h xf xfx， 1 1x e ， 2 22222 (2)(2)(2) ( )( )(2) (1)(1(2)(1)(1)(1) lnxlnxlnxlnxlnxx h xfxfx lnxlnxlnxlnxlnx ，又 2 (2)ylnxx在 1 ( e ，1)上为增函数， 22 (2)(2 1 1 )0ylnxxln ， ( )0h x，( )h x的在 1 ( e ，1)上单调递减， ( )h xh（1）0，即 11 ()(2)f xfx， 12 ()0 2 xx f 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）

34、在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系若曲线 1: 2sinC，曲线 2 4 : sincos C 第 17 页（共 18 页）（）写出曲线 1 C和 2 C的直角坐标方程；（）射线(0) ， 4 tan(0) 32 a ，点P为射线(0) 与曲线 1 C的交点，求点P的极径【解答】解：（）曲线 1: 2sinC，根据 222 cos sin x y xy 转换为 2 2 sin，转换为直角坐标方程为 22 (1)1xy 曲线 2 4 : sincos C ，根据 222 cos sin x y xy ，转换为直角坐标方程为40 xy （）射线(

35、0) ， 4 tan(0) 32 a ，点P为射线(0) 与曲线 1 C的交点，所以 4 sin 5 ，代入 2 2 sin，得到 2 4 20 5 ，解得 8 0 0 5 或舍去，故极径为 8 5 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数( ) |22|2 |f xxaxa （1）若f（1）3，求实数a的取值范围；（2）若不等式( ) |1|2 2 a f xx恒成立，求实数a的取值范围【解答】解：（1）由f（1）3可得，|12 | 3aa，当0a时，不等式化为(12 )3aa ，解得 2 3 a ， 2 0 3 a ；当 1 0 2 a时，不等式化为(12

36、 )3aa，解得2a ， 1 0 2 a；当 1 2 a时，不等式化为(12 )3aa，解得 4 3 a ， 14 23 a ，综上实数a的取值范围是 2 4 (, ) 3 3 ；第 18 页（共 18 页） (2)( ) |1| |22|1|2 | |1|2 | 222 aaa f xxxaxxaxxa，又 5 |1|2 |(1)(2 )| |1| 222 aaa xxaxxa，当1 2 a x 时，等号成立， ( ) |1| 2 a f xx的最小值为 5 |1| 2 a ，不等式( ) |1|2 2 a f xx恒成立， 5 |1|2 2 a ，解得 6 5 a或 2 5 a，实数a的取值范围是 26 (, ,) 55

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