2022年新高考数学模拟试卷（8）.docx

1、第 1 页（共 20 页） 2022 年新高考数学模拟试卷（年新高考数学模拟试卷（8） 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合1M ，2，3，2N ，3，4，则图中阴影部分表示的集合是( ) A2，3 B2，3，4 C4 D1，2，3，4 2 （5 分）已知(5, 1)OA，(3,2)OB ，AB对应的复数为z，则(z ) A5i B32i C23i D23i 3 （5 分）已知等差数列 n a的前n项和为 n S，且 11 9a， 53 44SS，则 n S的最大值为( ) A225 B223 C221 D219

2、4 （5 分）甲、乙、丙三人随机排成一排，乙站在中间的概率是( ) A 1 2 B 1 3 C 1 4 D 1 6 5 （5 分）已知向量a，b满足| 2| 2ba，|2| 2ab，则向量a，b的夹角为( ) A30 B45 C60 D90 6 （5 分） 设( )f x是R上的奇函数且满足(1)(1)f xf x， 当01x剟时，( )5 (1)f xxx， 则( 2020.6)(f ) A 21 25 B 7 10 C 8 5 D 6 5 7 （5 分）已知(0,) 2 ，(,) 2 ， 7 2 sin 10 ， 2 5 cos 5 ，则2的值为( ) A 3 4 B 3 4 C 5 4

3、D 5 4 8 （5 分）正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直 是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一如图，该几何体是一个棱长为 2 的正八面体，则此正 八面体的体积与表面积之比为( ) 第 2 页（共 20 页） A 6 18 B 6 3 C 6 12 D 6 9 二多选题（共二多选题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 9 （5 分）若 2 1 ()nx x 的展开式中含 2 x项，则n的值可能是( ) A6 B9 C12 D14 10 （5 分）若104 a ，1025 b ，则( ) A2ab B1ba C 2 82abl

4、g D6balg 11 （5 分） 已知 1 F、 2 F分别为双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、 右焦点， 且 2 12 2 | b FF a ， 点P为双曲线右支一点，I为 12 PFF的内心，若 121 2 IPFIPFIF F SSS成立，则下列结论正 确的有( ) A当 2 PFx轴时， 12 30PFF B离心率 15 2 e C 51 2 D点I的横坐标为定值a 12 （5 分）佩香囊是端午节传统习俗之一香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫开 窍的功效 因地方习俗的差异， 香囊常用丝布做成各种不同的形状， 形形色色， 玲珑夺目 图 1 的平行四边形ABC

5、D由六个边长为 1 的正三角形构成将它沿虚线折起来，可得图 2 所示 的六面体形状的香囊那么在图 2 这个六面体中( ) AAB与CD是异面直线 BAB与CD是相交直线 C存在内切球，其表面积为 8 27 第 3 页（共 20 页） D存在外接球，其体积为 8 6 27 三填空题（共三填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）设 2 (5,)XN，若(5,9)X 的概率为 0.45，则(1,)X 的概率为 14 （5 分）已知椭圆 22 2 :1(0) 2 xy Cab b 的上、下顶点分别为 1 B， 2 B， 1 F， 2 F为椭圆 的

6、左、右焦点，且离心率为 2 2 ，则四边形 1122 B FB F的面积为 15 （5 分）已知函数( )4cos2()f xaxxa aR有且仅有 3 个不同的零点 1 x， 2 x， 3 x且 123 xxx，则 132 () sin() 4 xxx 16 （5 分）圆锥底面半径为 10，母线长为 40，从底面圆周上一点，绕侧面一周再回到该点 的最短路线的长度是 四解答题（共四解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分） 17（10 分） 已知ABC中， 内角A，B，C的对边分别为a，b，c，coscossinaCcAbB， 2bc （1）求C； （2）若点D与点B在AC两侧，且满

7、足2AD ，3CD ，求四边形ABCD面积的最大值 18 （12 分）心理学家发现视觉和空间能力与性别有关，某高中数学兴趣小组为了验证这个 结论，从兴趣小组中抽取 50 名同学（男 30 女20)，给所有同学几何题和代数题各一题，让 各位同学自由选择一道题进行解答选题情况如表： （单位：人） 几何题 代数题 合计 男同学 22 8 30 女同学 8 12 20 合计 30 20 50 （1）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？ （2） 以上列联表中女生选做几何题的频率作为概率， 从该校1500名女生中随机选6名女生， 记 6 名女生选做几何题的人数为X，求X的数学期望(

8、)E X和方差()D X 参考公式和数表如下： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cdac bd ，nabcd 第 4 页（共 20 页） 2 0 ()P Kk 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0 k 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 19 （12 分）如图，O坐标原点，从直线 1 1 2 yx上的一点 111 1 ( ,1) 2 P xx 作x轴的垂线，垂 足记为 1 Q，过 1 Q作 1 OP的平行线，交直线 1 1 2 yx于点 222 1 (,1

9、) 2 P xx ，再从 2 P作x轴的垂 线，垂足记为 2 Q，依次重复上述过程得到一系列点： 1 P， 1 Q， 2 P， 2 Q， n P， n Q，记 k P点的坐标为 1 (,1) 2 kk xx ，1k ，2，3，n，现已知 1 2x （1）求 2 Q、 3 Q的坐标； （2）试求(1) k xkn剟的通项公式； （3）点 n P、 1n P之间的距离记为 * 1 |() nn PPnN ，是否存在最小的正实数t，使得 12231 111 | nn t PPP PP P 对一切的自然数n恒成立？若存在，求t的值，若不存在，请 说明理由 20 （12 分）已知直线1yx与曲线 22

10、1xay相交于P，Q两点 （1）当实数a为何值时， 2 2 | (1) PQ a ？ （2）是否存在实数a，使得(OPOQ O是坐标原点）？若存在，求出a的值；若不存在， 请说明理由 21 （12 分）如图 1，正方形ABCD，边长为a，E，F分别为AD，CD中点，现将正方 形沿对角线AC折起，折起过程中D点位置记为T，如图 2 （1）求证：EFTB； （2）当60TAB时，求半平面ABC与半平面BEF所成二面角的余弦值 第 5 页（共 20 页） 22 （12 分）已知函数 2 ( )(1)f xln xaxx， 2 1 ( )(1)2g xalnxln xaxx x ， （1）若函数( )

11、f x在点(1，f（1）)处的切线与直线3220 xy平行，求实数a的值； （2）设( )( )( )h xf xg x，且( )h x有两个极值点 1 x， 2 x，其中 1 1 (0, x e ，求 12 ()()h xh x的 最小值（注：其中e为自然对数的底数） 第 6 页（共 20 页） 2022 年新高考数学模拟试卷（年新高考数学模拟试卷（8） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合1M ，2，3，2N ，3，4，则图中阴影部分表示的集合是( ) A2，3 B2，3，

12、4 C4 D1，2，3，4 【解答】解：由已知中阴影部分在集合N中，而不在集合M中， 故阴影部分所表示的元素属于N，不属于M（属于M的补集） 即()4 U C MN 故选：C 2 （5 分）已知(5, 1)OA，(3,2)OB ，AB对应的复数为z，则(z ) A5i B32i C23i D23i 【解答】解：(5, 1)OA，(3,2)OB ， ()( 2ABOAOB ，3)，对应的复数为23zi ， 则23zi ， 故选：D 3 （5 分）已知等差数列 n a的前n项和为 n S，且 11 9a， 53 44SS，则 n S的最大值为( ) A225 B223 C221 D219 【解答】

13、解：法一：设等差数列 n a的公差d， 11 9a， 53 44SS， 1 109ad， 451 2744aaad， 解得， 1 29a ，2d ， 22 (1) 29( 2)30(15)225 2 n n n Snnnn ， 当15n 时， n S取得最大值 225 第 7 页（共 20 页） 法二：设等差数列 n a的公差d， 11 9a， 53 44SS， 1 109ad， 451 2744aaad， 解得， 1 29a ，2d ， 312 n an， 15n 时，0 n a ， 当15n 时， n S取得最大值且 15 15(29312 15) 225 2 S 故选：A 4 （5 分）

14、甲、乙、丙三人随机排成一排，乙站在中间的概率是( ) A 1 2 B 1 3 C 1 4 D 1 6 【解答】解：三个人排成一排的所有情况有： 甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙乙甲，丙甲乙，共 6 种， 其中乙在中间有 2 种， 乙在中间的概率为 21 63 P 故选：B 5 （5 分）已知向量a，b满足| 2| 2ba，|2| 2ab，则向量a，b的夹角为( ) A30 B45 C60 D90 【解答】解：根据题意，设向量a，b的夹角为， 若| 2| 2ba，则| 2b ，| 1a ， 若|2| 2ab，则 222 (2)448 8cos4abaa bb ， 解可得 1 cos 2 ， 又

15、由0180剟，故60， 故选：C 6 （5 分） 设( )f x是R上的奇函数且满足(1)(1)f xf x， 当01x剟时，( )5 (1)f xxx， 则( 2020.6)(f ) A 21 25 B 7 10 C 8 5 D 6 5 【解答】解：根据题意，( )f x满足(1)(1)f xf x，即(2)( )f xf x， 第 8 页（共 20 页） 则( )f x是周期为 2 的周期函数， 又由( )f x为奇函数，则( 2020.6)( 20200.6)( 0.6)(0.6)ffff ， 当01x剟时，( )5 (1)f xxx，则 6 (0.6)50.60.4 5 f， 故 6

16、( 2020.6)(0.6) 5 ff ， 故选：D 7 （5 分）已知(0,) 2 ，(,) 2 ， 7 2 sin 10 ， 2 5 cos 5 ，则2的值为( ) A 3 4 B 3 4 C 5 4 D 5 4 【解答】解：由于(0,) 2 ， 7 2 sin 10 ， 所以 2 2 cos1sin 10 ， 且(,) 2 ， 2 5 cos 5 ， 所以 2 5 sin1cos 5 所以 sin tan7 cos ， sin1 tan cos2 ， 由于(0,) 2 ，(,) 2 ， 所以2( 2 ,) 2 ， 4 7 tantan2 3 tan(2 )1 4 1tantan2 17

17、3 ， 所以 5 2 4 故选：D 8 （5 分）正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直 是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一如图，该几何体是一个棱长为 2 的正八面体，则此正 八面体的体积与表面积之比为( ) 第 9 页（共 20 页） A 6 18 B 6 3 C 6 12 D 6 9 【解答】解：由边长为 2， 可得正八面体上半部分的斜高为 2 213 ，高为312， 则其体积为 2228 2 2 33 ，其表面积为 2 3 828 3 4 ， 所以此正八面体的体积与表面积之比为 6 9 故选：D 二多选题（共二多选题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，

18、每小题分，每小题 5 分）分） 9 （5 分）若 2 1 ()nx x 的展开式中含 2 x项，则n的值可能是( ) A6 B9 C12 D14 【解答】解： 2 1 ()nx x 的展开式的通项为 5 2 1 2 1 ()() nr rn rrr rnn TCxC x x ， 令 5 2 2 nr ，可得54nr， 当0r 时，4n ；当1r 时，9n ； 当2r 时，14n ，故正确答案为B，D 故选：BD 10 （5 分）若104 a ，1025 b ，则( ) A2ab B1ba C 2 82ablg D6balg 【解答】解：由104 a ，1025 b ，得4alg，25blg，

19、则1002ablg， 25 6 4 balglg， 2 4 2 54 2 482ablg lglg lglg， 故选：ACD 11 （5 分） 已知 1 F、 2 F分别为双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、 右焦点， 且 2 12 2 | b FF a ， 第 10 页（共 20 页） 点P为双曲线右支一点，I为 12 PFF的内心，若 121 2 IPFIPFIF F SSS成立，则下列结论正 确的有( ) A当 2 PFx轴时， 12 30PFF B离心率 15 2 e C 51 2 D点I的横坐标为定值a 【解答】解：当 2 PFx轴时， 2 212 1 | 2

20、b PFcFF a ， 此时 12 1 tan 2 PFF，所以A错误； 2 12 2 | b FF a ， 222 222 2 bca c aa ， 整理得 2 10(eee 为双曲线的离心率） ， 1e ， 15 2 e ，所以B正确 设 12 PFF的内切圆半径为r， 由双曲线的定义得 12 | 2PFPFa， 12 | 2FFc， 1 1 1 | 2 IPF SPFr， 2 2 1 | 2 PF SPFr， 1 2 1 2 2 F F Scrcr， 121 2 IPFIPFIF F SSS， 12 11 | 22 PFrPFrcr， 故 12 |151 2215 2 PFPFa cc

21、，所以C正确 设内切圆与 1 PF、 2 PF、 12 F F的切点分别为M、N、T， 可得 11 | | | |PMPNFMFT， 22 | |F NF T 由 121212 | | | 2PFPFFMF NFTF Ta， 1212 | | 2FFFTF Tc， 可得 2 |F Tca，可得T的坐标为( ,0)a， 即的横坐标为a，故D正确； 故选：BCD 第 11 页（共 20 页） 12 （5 分）佩香囊是端午节传统习俗之一香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫开 窍的功效 因地方习俗的差异， 香囊常用丝布做成各种不同的形状， 形形色色， 玲珑夺目 图 1 的平行四边形ABCD由六个边长

22、为 1 的正三角形构成将它沿虚线折起来，可得图 2 所示 的六面体形状的香囊那么在图 2 这个六面体中( ) AAB与CD是异面直线 BAB与CD是相交直线 C存在内切球，其表面积为 8 27 D存在外接球，其体积为 8 6 27 【解答】解：折叠后A与C重合，B与G重合， 因为AB与CD是相交直线，故选项A错误，选项B正确； ABD是等边三角形，O为ABD的中心，则 3 3 OAOBOD， 连结OH，则有OH 平面ABD， 在AOH中，由勾股定理可得 6 3 OH ， 由对称性可得， 6 3 OE ， 由于OAOBODOH，所以O不是外接球的球心， 除O点以外的其它点，无法保证到五个顶点(A

23、，B，D，H，)E的距离都相等， 故此六面体无外接球，故选项D错误； 第 12 页（共 20 页） 由对称性，O到六个面的距离相等， 故O为六面体内切球的球心， 在HOM中，ON即为内切球的半径， 11 22 HOM SHOOMONHM ， 因为 6 3 OM ， 3 2 HM ， 所以 2222 336 ()() 263 HDHMOM， 所以 633 362 ON， 故 6 9 ON ， 所以 22 68 44() 927 SON， 故选项C正确 故选：BC 三填空题（共三填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）设 2 (5,)XN，若

24、(5,9)X 的概率为 0.45，则(1,)X 的概率为 0.95 【解答】解： 2 (5,)XN，正态分布曲线的对称轴为5x ， (59)0.45PX，(9)0.05P X， 则(1)0.05P X， (1)10.050.95P X 故答案为：0.95 14 （5 分）已知椭圆 22 2 :1(0) 2 xy Cab b 的上、下顶点分别为 1 B， 2 B， 1 F， 2 F为椭圆 第 13 页（共 20 页） 的左、右焦点，且离心率为 2 2 ，则四边形 1122 B FB F的面积为 2 【解答】 解： 椭圆 22 2 :1(0) 2 xy Cab b 的上、 下顶点分别为 1 B，

25、2 B， 1 F， 2 F为椭圆的左、 右焦点， 椭圆 22 2 :1(0) 2 xy Cab b 的离心率为 2 2 ， 可知2a ， 2 2 c e a ，所以1c ，1b ， 11 OB F等腰直角三角形， 所以四边形 1122 B FB F的面积为： 1 1 1 441 12 2 OB F S 故答案为：2 15 （5 分）已知函数( )4cos2()f xaxxa aR有且仅有 3 个不同的零点 1 x， 2 x， 3 x且 123 xxx，则 132 () sin() 4 xxx 2 【解答】 解： 因为函数( )4cos2()f xaxxa aR有且仅有 3 个不同的零点 1 x

26、， 2 x， 3 x且 123 xxx， 所以( )0f x 有且仅有 3 个不同的实数根， 即cos24xaxa有且仅有 3 个不同的实数根， 令( )cos2g xx，( )4h xaxa，则( )g x与( )h x的图象有且仅有 3 个不同的公共点， 因为()0 4 h 且()0 4 g ，所以 4 x 是( )f x的一个零点， 又因为( )g x的图象关于点(,0) 4 对称，直线( )yh x恒过定点(,0) 4 ， 所以 123 4 xxx ，且 13 2 xx ， 所以 132 () sin()sin()sin 4244222 xxx 故答案为： 2 16 （5 分）圆锥底面

27、半径为 10，母线长为 40，从底面圆周上一点，绕侧面一周再回到该点 的最短路线的长度是 40 2 【解答】解：圆锥的侧面展开图为半径为 40，弧长为20的扇形AOB， 第 14 页（共 20 页） 最短距离为AB的长 扇形的圆心角为 20 402 22 40 2ABOAOB 故答案为：40 2 四解答题（共四解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分） 17（10 分） 已知ABC中， 内角A，B，C的对边分别为a，b，c，coscossinaCcAbB， 2bc （1）求C； （2）若点D与点B在AC两侧，且满足2AD ，3CD ，求四边形ABCD面积的最大值 【解答】解： （1）

28、由coscossinaCcAbB以及正弦定理可知， 2 sincossincossinACCAB， 即 2 sin()sinsinACBB 0B，sin0B ， sin1B， 2 B 2bc， sin2sinBC，可得 1 sin 2 C ，可得 6 C （2）设ADC，由余弦定理，可得 2 13 12cosAC， 可得四边形ABCD的面积 ABCACD SSS 11 sincos23sin 2662 ACAC 第 15 页（共 20 页） 2 3 3sin 8 AC 13 33 3 cos3sin 82 13 33 7 sin() 82 13 33 713 312 7 828 ， （其中 3

29、 tan) 2 ， 故四边形ABCD面积的最大值为13 3 12 7 8 18 （12 分）心理学家发现视觉和空间能力与性别有关，某高中数学兴趣小组为了验证这个 结论，从兴趣小组中抽取 50 名同学（男 30 女20)，给所有同学几何题和代数题各一题，让 各位同学自由选择一道题进行解答选题情况如表： （单位：人） 几何题 代数题 合计 男同学 22 8 30 女同学 8 12 20 合计 30 20 50 （1）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？ （2） 以上列联表中女生选做几何题的频率作为概率， 从该校1500名女生中随机选6名女生， 记 6 名女生选做几何题的人数

30、为X，求X的数学期望()E X和方差()D X 参考公式和数表如下： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cdac bd ，nabcd 2 0 ()P Kk 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0 k 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【解答】解： （1）由表数据得 2 K的观测值， 2 2 50(22 128 8) 5.5565.024 30 20 30 20 K ， 根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关； （2）女生选做几何题的概率为 2

31、 5 ， 记 6 名女生选做几何题的人数为X，则X服从二项分布 2 (6, ) 5 XB， 根据二项分布的期望公式可得数学期望 2 ()62.4 5 E Xnp， 根据二项分布的方差公式可得方差为 22 6(1)1.44 55 第 16 页（共 20 页） 19 （12 分）如图，O坐标原点，从直线 1 1 2 yx上的一点 111 1 ( ,1) 2 P xx 作x轴的垂线，垂 足记为 1 Q，过 1 Q作 1 OP的平行线，交直线 1 1 2 yx于点 222 1 (,1) 2 P xx ，再从 2 P作x轴的垂 线，垂足记为 2 Q，依次重复上述过程得到一系列点： 1 P， 1 Q， 2

32、 P， 2 Q， n P， n Q，记 k P点的坐标为 1 (,1) 2 kk xx ，1k ，2，3，n，现已知 1 2x （1）求 2 Q、 3 Q的坐标； （2）试求(1) k xkn剟的通项公式； （3）点 n P、 1n P之间的距离记为 * 1 |() nn PPnN ，是否存在最小的正实数t，使得 12231 111 | nn t PPP PP P 对一切的自然数n恒成立？若存在，求t的值，若不存在，请 说明理由 【解答】解： （1） 1 2x ，即有 1(2,2) P， 1 1 OP k， 1(2,0) Q， 22 (P x， 2 1 1) 2 x ， 121 / /OPPQ

33、， 可得 1 2 2 2 1 1 2 1 2 Q P x k x ，解得 2 6x ， 则 2(6,0) Q， 由 2(6,4) P， 33 (P x， 3 1 1) 2 x ， 132 / /OPPQ，可得 3 3 1 1 2 1 6 x x ，解得 3 14x ， 3(14,0) Q； （2）由( kk P x， 1 1) 2 k x ， 11 ( kk Qx ，0)， 11 / / kk OPPQ ，可得 1 1 1 2 1 k kk x xx ，化为 1 22 kk xx ， 第 17 页（共 20 页） 即为 1 22(2) kk xx ， 可得数列2 k x 为首项是 4，公比为

34、2 的等比数列， 则 1 24 2k k x ， 可得 1 22 k k x ，1 k n剟； （3） 22 111 11 |()(11) 22 nnnnnn P Pxxxx 21 1 55 |22|5 2 22 nnn nn xx ， 12231 11 (1) 11111111515 22 ()(1) 1 |24252555 1 2 n nn nn PPP PP P ， 假设存在最小的正实数t，使得 12231 111 | nn t PPP PP P 对一切的自然数n恒成立， 可得 5 5 t，故存在这样的t，且t的最小值为 5 5 20 （12 分）已知直线1yx与曲线 22 1xay相交

35、于P，Q两点 （1）当实数a为何值时， 2 2 | (1) PQ a ？ （2）是否存在实数a，使得(OPOQ O是坐标原点）？若存在，求出a的值；若不存在， 请说明理由 【解答】解： （1）联立直线与曲线的方程： 22 1 1 yx xay ，整理可得： 2 (1)20ayy，因 为由两个交点，所以10a ， 解得：0y 或 2 1 y a ， 代入直线中可得 1 0 x y ，或 1 1 2 1 a x a y a ， 所以弦长 222 122 |(1)()2 () 111 a PQ aaa ， 由题意可得 2 2 22 2 () (1)1aa ，整理可得： 2 31030aa，解得 1

36、3 a 或3a ； 第 18 页（共 20 页） 所以a的值为 1 3 a 或3a ； （2）要使OPOQ，则0OP OQ 由（1）设( 1,0)P ，则 1 (1 a Q a ， 2 ) 1a ， (1,0)OP ， 1 (1 a OQ a ， 2 ) 1a ， 所以 12 100 11 a aa ，解得：1a ， 所以1a 21 （12 分）如图 1，正方形ABCD，边长为a，E，F分别为AD，CD中点，现将正方 形沿对角线AC折起，折起过程中D点位置记为T，如图 2 （1）求证：EFTB； （2）当60TAB时，求半平面ABC与半平面BEF所成二面角的余弦值 【解答】 （1）证明：取AC

37、中点O，连OT，OB，BT， 因为ABCD为正方形，所以ACOT，ACOB， 又OTOBO，OT 平面OBT， OB 平面OBT， 所以AC 平面OBT，而TB 平面OBT， 所以ACTB 又E，F分别为AD，CD中点，所以/ /EFAC， 所以EFTB （2）因为60TAB，所以TAB为等边三角形，TBa， 又 2 2 OTOBa， 222 TBOBOT，即OTOB 解法 1：如图建立空间直角坐标系Oxyz， 第 19 页（共 20 页） 则 22222 (,0,0), (0,),(0,) 24444 aaaa BaEF， 2222 (0,0),(,) 2244 aa EFaEBa 平面AB

38、C法向量(0,0,1)m ， 设平面BEF法向量( , ,1)nx y， 由 0 222 0 244 n EFy a n EBaxay ， 0 1 2 y x ， 112 5 ( ,0,1),cos, 2| |51 11 4 m n nm n mn ， 记半平面ABC与半平面BEF所成二面角为，则为锐角，所以 2 5 cos 5 ， 即半平面ABC与半平面BEF所成二面角的余弦值为 2 5 5 解法 2：记半平面ABC与半平面BEF交线为BG，EF交OT于H，连接BH， 因为/ /ACEF，AC 平面BEF，EF 平面BEF， 所以/ /AC平面BEF， 又平面ABC平面BEFBG， 所以/

39、/ACBG 又由（）知AC 平面OBT，所以ACBH，ACBO， 所以BGBH，BGBO 所以OBH即为半平面ABC与半平面BEF所成二面角的平面角 RT BOH中， 1 tan 2 HO HBO OB ， 所以 2 5 cos 5 HBO 即半平面ABC与半平面BEF所成二面角的余弦值为 2 5 5 第 20 页（共 20 页） 22 （12 分）已知函数 2 ( )(1)f xln xaxx， 2 1 ( )(1)2g xalnxln xaxx x ， （1）若函数( )f x在点(1，f（1）)处的切线与直线3220 xy平行，求实数a的值； （2）设( )( )( )h xf xg x

40、，且( )h x有两个极值点 1 x， 2 x，其中 1 1 (0, x e ，求 12 ()()h xh x的 最小值（注：其中e为自然对数的底数） 【解答】解： （1） 1 ( )21 1 fxax x ， 函数( )f x在点(1，f（1）)处的切线与直线3220 xy平行， f （1） 13 21 22 a ， 解得1a ； （2） 1 ( )h xxalnx x ， 2 22 11 ( )1 axax h x xxx 由题意得方程 2 10 xax 的两根分别为 1 x， 2 x，且 12 xxa ， 12 1x x 所以 21 11 11 ,xax xx ， 则 121111 111 111 ( )()( )()2()h xh xh xhxlnxx xxx 设 11 ( )2()xxlnxx xx ，则 22 12(1)(1) ( )2(1) xx xlnxlnx xx 当 1 (0, x e 时，( )0 x恒成立，所以( )x在 1 (0, x e 上单调递减， 所以 14 ( )( ) min x ee ，即 12 ()()h xh x的最小值为 4 e