2022年新高考数学模拟试卷(8).docx

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资源描述

1、第 1 页(共 20 页) 2022 年新高考数学模拟试卷(年新高考数学模拟试卷(8) 一选择题(共一选择题(共 8 小题,满分小题,满分 40 分,每小题分,每小题 5 分)分) 1 (5 分)已知集合1M ,2,3,2N ,3,4,则图中阴影部分表示的集合是( ) A2,3 B2,3,4 C4 D1,2,3,4 2 (5 分)已知(5, 1)OA,(3,2)OB ,AB对应的复数为z,则(z ) A5i B32i C23i D23i 3 (5 分)已知等差数列 n a的前n项和为 n S,且 11 9a, 53 44SS,则 n S的最大值为( ) A225 B223 C221 D219

2、4 (5 分)甲、乙、丙三人随机排成一排,乙站在中间的概率是( ) A 1 2 B 1 3 C 1 4 D 1 6 5 (5 分)已知向量a,b满足| 2| 2ba,|2| 2ab,则向量a,b的夹角为( ) A30 B45 C60 D90 6 (5 分) 设( )f x是R上的奇函数且满足(1)(1)f xf x, 当01x剟时,( )5 (1)f xxx, 则( 2020.6)(f ) A 21 25 B 7 10 C 8 5 D 6 5 7 (5 分)已知(0,) 2 ,(,) 2 , 7 2 sin 10 , 2 5 cos 5 ,则2的值为( ) A 3 4 B 3 4 C 5 4

3、D 5 4 8 (5 分)正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素,加上它们的多种变体,一直 是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一如图,该几何体是一个棱长为 2 的正八面体,则此正 八面体的体积与表面积之比为( ) 第 2 页(共 20 页) A 6 18 B 6 3 C 6 12 D 6 9 二多选题(共二多选题(共 4 小题,满分小题,满分 20 分,每小题分,每小题 5 分)分) 9 (5 分)若 2 1 ()nx x 的展开式中含 2 x项,则n的值可能是( ) A6 B9 C12 D14 10 (5 分)若104 a ,1025 b ,则( ) A2ab B1ba C 2 82abl

4、g D6balg 11 (5 分) 已知 1 F、 2 F分别为双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、 右焦点, 且 2 12 2 | b FF a , 点P为双曲线右支一点,I为 12 PFF的内心,若 121 2 IPFIPFIF F SSS成立,则下列结论正 确的有( ) A当 2 PFx轴时, 12 30PFF B离心率 15 2 e C 51 2 D点I的横坐标为定值a 12 (5 分)佩香囊是端午节传统习俗之一香囊内通常填充一些中草药,有清香、驱虫开 窍的功效 因地方习俗的差异, 香囊常用丝布做成各种不同的形状, 形形色色, 玲珑夺目 图 1 的平行四边形ABC

5、D由六个边长为 1 的正三角形构成将它沿虚线折起来,可得图 2 所示 的六面体形状的香囊那么在图 2 这个六面体中( ) AAB与CD是异面直线 BAB与CD是相交直线 C存在内切球,其表面积为 8 27 第 3 页(共 20 页) D存在外接球,其体积为 8 6 27 三填空题(共三填空题(共 4 小题,满分小题,满分 20 分,每小题分,每小题 5 分)分) 13 (5 分)设 2 (5,)XN,若(5,9)X 的概率为 0.45,则(1,)X 的概率为 14 (5 分)已知椭圆 22 2 :1(0) 2 xy Cab b 的上、下顶点分别为 1 B, 2 B, 1 F, 2 F为椭圆 的

6、左、右焦点,且离心率为 2 2 ,则四边形 1122 B FB F的面积为 15 (5 分)已知函数( )4cos2()f xaxxa aR有且仅有 3 个不同的零点 1 x, 2 x, 3 x且 123 xxx,则 132 () sin() 4 xxx 16 (5 分)圆锥底面半径为 10,母线长为 40,从底面圆周上一点,绕侧面一周再回到该点 的最短路线的长度是 四解答题(共四解答题(共 6 小题,满分小题,满分 70 分)分) 17(10 分) 已知ABC中, 内角A,B,C的对边分别为a,b,c,coscossinaCcAbB, 2bc (1)求C; (2)若点D与点B在AC两侧,且满

7、足2AD ,3CD ,求四边形ABCD面积的最大值 18 (12 分)心理学家发现视觉和空间能力与性别有关,某高中数学兴趣小组为了验证这个 结论,从兴趣小组中抽取 50 名同学(男 30 女20),给所有同学几何题和代数题各一题,让 各位同学自由选择一道题进行解答选题情况如表: (单位:人) 几何题 代数题 合计 男同学 22 8 30 女同学 8 12 20 合计 30 20 50 (1)能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关? (2) 以上列联表中女生选做几何题的频率作为概率, 从该校1500名女生中随机选6名女生, 记 6 名女生选做几何题的人数为X,求X的数学期望(

8、)E X和方差()D X 参考公式和数表如下: 2 2 () ()()()() n adbc K ab cdac bd ,nabcd 第 4 页(共 20 页) 2 0 ()P Kk 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0 k 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 19 (12 分)如图,O坐标原点,从直线 1 1 2 yx上的一点 111 1 ( ,1) 2 P xx 作x轴的垂线,垂 足记为 1 Q,过 1 Q作 1 OP的平行线,交直线 1 1 2 yx于点 222 1 (,1

9、) 2 P xx ,再从 2 P作x轴的垂 线,垂足记为 2 Q,依次重复上述过程得到一系列点: 1 P, 1 Q, 2 P, 2 Q, n P, n Q,记 k P点的坐标为 1 (,1) 2 kk xx ,1k ,2,3,n,现已知 1 2x (1)求 2 Q、 3 Q的坐标; (2)试求(1) k xkn剟的通项公式; (3)点 n P、 1n P之间的距离记为 * 1 |() nn PPnN ,是否存在最小的正实数t,使得 12231 111 | nn t PPP PP P 对一切的自然数n恒成立?若存在,求t的值,若不存在,请 说明理由 20 (12 分)已知直线1yx与曲线 22

10、1xay相交于P,Q两点 (1)当实数a为何值时, 2 2 | (1) PQ a ? (2)是否存在实数a,使得(OPOQ O是坐标原点)?若存在,求出a的值;若不存在, 请说明理由 21 (12 分)如图 1,正方形ABCD,边长为a,E,F分别为AD,CD中点,现将正方 形沿对角线AC折起,折起过程中D点位置记为T,如图 2 (1)求证:EFTB; (2)当60TAB时,求半平面ABC与半平面BEF所成二面角的余弦值 第 5 页(共 20 页) 22 (12 分)已知函数 2 ( )(1)f xln xaxx, 2 1 ( )(1)2g xalnxln xaxx x , (1)若函数( )

11、f x在点(1,f(1))处的切线与直线3220 xy平行,求实数a的值; (2)设( )( )( )h xf xg x,且( )h x有两个极值点 1 x, 2 x,其中 1 1 (0, x e ,求 12 ()()h xh x的 最小值(注:其中e为自然对数的底数) 第 6 页(共 20 页) 2022 年新高考数学模拟试卷(年新高考数学模拟试卷(8) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题(共一选择题(共 8 小题,满分小题,满分 40 分,每小题分,每小题 5 分)分) 1 (5 分)已知集合1M ,2,3,2N ,3,4,则图中阴影部分表示的集合是( ) A2,3 B2,3,

12、4 C4 D1,2,3,4 【解答】解:由已知中阴影部分在集合N中,而不在集合M中, 故阴影部分所表示的元素属于N,不属于M(属于M的补集) 即()4 U C MN 故选:C 2 (5 分)已知(5, 1)OA,(3,2)OB ,AB对应的复数为z,则(z ) A5i B32i C23i D23i 【解答】解:(5, 1)OA,(3,2)OB , ()( 2ABOAOB ,3),对应的复数为23zi , 则23zi , 故选:D 3 (5 分)已知等差数列 n a的前n项和为 n S,且 11 9a, 53 44SS,则 n S的最大值为( ) A225 B223 C221 D219 【解答】

13、解:法一:设等差数列 n a的公差d, 11 9a, 53 44SS, 1 109ad, 451 2744aaad, 解得, 1 29a ,2d , 22 (1) 29( 2)30(15)225 2 n n n Snnnn , 当15n 时, n S取得最大值 225 第 7 页(共 20 页) 法二:设等差数列 n a的公差d, 11 9a, 53 44SS, 1 109ad, 451 2744aaad, 解得, 1 29a ,2d , 312 n an, 15n 时,0 n a , 当15n 时, n S取得最大值且 15 15(29312 15) 225 2 S 故选:A 4 (5 分)

14、甲、乙、丙三人随机排成一排,乙站在中间的概率是( ) A 1 2 B 1 3 C 1 4 D 1 6 【解答】解:三个人排成一排的所有情况有: 甲乙丙,甲丙乙,乙甲丙,乙丙甲,丙乙甲,丙甲乙,共 6 种, 其中乙在中间有 2 种, 乙在中间的概率为 21 63 P 故选:B 5 (5 分)已知向量a,b满足| 2| 2ba,|2| 2ab,则向量a,b的夹角为( ) A30 B45 C60 D90 【解答】解:根据题意,设向量a,b的夹角为, 若| 2| 2ba,则| 2b ,| 1a , 若|2| 2ab,则 222 (2)448 8cos4abaa bb , 解可得 1 cos 2 , 又

15、由0180剟,故60, 故选:C 6 (5 分) 设( )f x是R上的奇函数且满足(1)(1)f xf x, 当01x剟时,( )5 (1)f xxx, 则( 2020.6)(f ) A 21 25 B 7 10 C 8 5 D 6 5 【解答】解:根据题意,( )f x满足(1)(1)f xf x,即(2)( )f xf x, 第 8 页(共 20 页) 则( )f x是周期为 2 的周期函数, 又由( )f x为奇函数,则( 2020.6)( 20200.6)( 0.6)(0.6)ffff , 当01x剟时,( )5 (1)f xxx,则 6 (0.6)50.60.4 5 f, 故 6

16、( 2020.6)(0.6) 5 ff , 故选:D 7 (5 分)已知(0,) 2 ,(,) 2 , 7 2 sin 10 , 2 5 cos 5 ,则2的值为( ) A 3 4 B 3 4 C 5 4 D 5 4 【解答】解:由于(0,) 2 , 7 2 sin 10 , 所以 2 2 cos1sin 10 , 且(,) 2 , 2 5 cos 5 , 所以 2 5 sin1cos 5 所以 sin tan7 cos , sin1 tan cos2 , 由于(0,) 2 ,(,) 2 , 所以2( 2 ,) 2 , 4 7 tantan2 3 tan(2 )1 4 1tantan2 17

17、3 , 所以 5 2 4 故选:D 8 (5 分)正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素,加上它们的多种变体,一直 是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一如图,该几何体是一个棱长为 2 的正八面体,则此正 八面体的体积与表面积之比为( ) 第 9 页(共 20 页) A 6 18 B 6 3 C 6 12 D 6 9 【解答】解:由边长为 2, 可得正八面体上半部分的斜高为 2 213 ,高为312, 则其体积为 2228 2 2 33 ,其表面积为 2 3 828 3 4 , 所以此正八面体的体积与表面积之比为 6 9 故选:D 二多选题(共二多选题(共 4 小题,满分小题,满分 20 分,

18、每小题分,每小题 5 分)分) 9 (5 分)若 2 1 ()nx x 的展开式中含 2 x项,则n的值可能是( ) A6 B9 C12 D14 【解答】解: 2 1 ()nx x 的展开式的通项为 5 2 1 2 1 ()() nr rn rrr rnn TCxC x x , 令 5 2 2 nr ,可得54nr, 当0r 时,4n ;当1r 时,9n ; 当2r 时,14n ,故正确答案为B,D 故选:BD 10 (5 分)若104 a ,1025 b ,则( ) A2ab B1ba C 2 82ablg D6balg 【解答】解:由104 a ,1025 b ,得4alg,25blg,

19、则1002ablg, 25 6 4 balglg, 2 4 2 54 2 482ablg lglg lglg, 故选:ACD 11 (5 分) 已知 1 F、 2 F分别为双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、 右焦点, 且 2 12 2 | b FF a , 第 10 页(共 20 页) 点P为双曲线右支一点,I为 12 PFF的内心,若 121 2 IPFIPFIF F SSS成立,则下列结论正 确的有( ) A当 2 PFx轴时, 12 30PFF B离心率 15 2 e C 51 2 D点I的横坐标为定值a 【解答】解:当 2 PFx轴时, 2 212 1 | 2

20、b PFcFF a , 此时 12 1 tan 2 PFF,所以A错误; 2 12 2 | b FF a , 222 222 2 bca c aa , 整理得 2 10(eee 为双曲线的离心率) , 1e , 15 2 e ,所以B正确 设 12 PFF的内切圆半径为r, 由双曲线的定义得 12 | 2PFPFa, 12 | 2FFc, 1 1 1 | 2 IPF SPFr, 2 2 1 | 2 PF SPFr, 1 2 1 2 2 F F Scrcr, 121 2 IPFIPFIF F SSS, 12 11 | 22 PFrPFrcr, 故 12 |151 2215 2 PFPFa cc

21、,所以C正确 设内切圆与 1 PF、 2 PF、 12 F F的切点分别为M、N、T, 可得 11 | | | |PMPNFMFT, 22 | |F NF T 由 121212 | | | 2PFPFFMF NFTF Ta, 1212 | | 2FFFTF Tc, 可得 2 |F Tca,可得T的坐标为( ,0)a, 即的横坐标为a,故D正确; 故选:BCD 第 11 页(共 20 页) 12 (5 分)佩香囊是端午节传统习俗之一香囊内通常填充一些中草药,有清香、驱虫开 窍的功效 因地方习俗的差异, 香囊常用丝布做成各种不同的形状, 形形色色, 玲珑夺目 图 1 的平行四边形ABCD由六个边长

22、为 1 的正三角形构成将它沿虚线折起来,可得图 2 所示 的六面体形状的香囊那么在图 2 这个六面体中( ) AAB与CD是异面直线 BAB与CD是相交直线 C存在内切球,其表面积为 8 27 D存在外接球,其体积为 8 6 27 【解答】解:折叠后A与C重合,B与G重合, 因为AB与CD是相交直线,故选项A错误,选项B正确; ABD是等边三角形,O为ABD的中心,则 3 3 OAOBOD, 连结OH,则有OH 平面ABD, 在AOH中,由勾股定理可得 6 3 OH , 由对称性可得, 6 3 OE , 由于OAOBODOH,所以O不是外接球的球心, 除O点以外的其它点,无法保证到五个顶点(A

23、,B,D,H,)E的距离都相等, 故此六面体无外接球,故选项D错误; 第 12 页(共 20 页) 由对称性,O到六个面的距离相等, 故O为六面体内切球的球心, 在HOM中,ON即为内切球的半径, 11 22 HOM SHOOMONHM , 因为 6 3 OM , 3 2 HM , 所以 2222 336 ()() 263 HDHMOM, 所以 633 362 ON, 故 6 9 ON , 所以 22 68 44() 927 SON, 故选项C正确 故选:BC 三填空题(共三填空题(共 4 小题,满分小题,满分 20 分,每小题分,每小题 5 分)分) 13 (5 分)设 2 (5,)XN,若

24、(5,9)X 的概率为 0.45,则(1,)X 的概率为 0.95 【解答】解: 2 (5,)XN,正态分布曲线的对称轴为5x , (59)0.45PX,(9)0.05P X, 则(1)0.05P X, (1)10.050.95P X 故答案为:0.95 14 (5 分)已知椭圆 22 2 :1(0) 2 xy Cab b 的上、下顶点分别为 1 B, 2 B, 1 F, 2 F为椭圆 第 13 页(共 20 页) 的左、右焦点,且离心率为 2 2 ,则四边形 1122 B FB F的面积为 2 【解答】 解: 椭圆 22 2 :1(0) 2 xy Cab b 的上、 下顶点分别为 1 B,

25、2 B, 1 F, 2 F为椭圆的左、 右焦点, 椭圆 22 2 :1(0) 2 xy Cab b 的离心率为 2 2 , 可知2a , 2 2 c e a ,所以1c ,1b , 11 OB F等腰直角三角形, 所以四边形 1122 B FB F的面积为: 1 1 1 441 12 2 OB F S 故答案为:2 15 (5 分)已知函数( )4cos2()f xaxxa aR有且仅有 3 个不同的零点 1 x, 2 x, 3 x且 123 xxx,则 132 () sin() 4 xxx 2 【解答】 解: 因为函数( )4cos2()f xaxxa aR有且仅有 3 个不同的零点 1 x

26、, 2 x, 3 x且 123 xxx, 所以( )0f x 有且仅有 3 个不同的实数根, 即cos24xaxa有且仅有 3 个不同的实数根, 令( )cos2g xx,( )4h xaxa,则( )g x与( )h x的图象有且仅有 3 个不同的公共点, 因为()0 4 h 且()0 4 g ,所以 4 x 是( )f x的一个零点, 又因为( )g x的图象关于点(,0) 4 对称,直线( )yh x恒过定点(,0) 4 , 所以 123 4 xxx ,且 13 2 xx , 所以 132 () sin()sin()sin 4244222 xxx 故答案为: 2 16 (5 分)圆锥底面

27、半径为 10,母线长为 40,从底面圆周上一点,绕侧面一周再回到该点 的最短路线的长度是 40 2 【解答】解:圆锥的侧面展开图为半径为 40,弧长为20的扇形AOB, 第 14 页(共 20 页) 最短距离为AB的长 扇形的圆心角为 20 402 22 40 2ABOAOB 故答案为:40 2 四解答题(共四解答题(共 6 小题,满分小题,满分 70 分)分) 17(10 分) 已知ABC中, 内角A,B,C的对边分别为a,b,c,coscossinaCcAbB, 2bc (1)求C; (2)若点D与点B在AC两侧,且满足2AD ,3CD ,求四边形ABCD面积的最大值 【解答】解: (1)

28、由coscossinaCcAbB以及正弦定理可知, 2 sincossincossinACCAB, 即 2 sin()sinsinACBB 0B,sin0B , sin1B, 2 B 2bc, sin2sinBC,可得 1 sin 2 C ,可得 6 C (2)设ADC,由余弦定理,可得 2 13 12cosAC, 可得四边形ABCD的面积 ABCACD SSS 11 sincos23sin 2662 ACAC 第 15 页(共 20 页) 2 3 3sin 8 AC 13 33 3 cos3sin 82 13 33 7 sin() 82 13 33 713 312 7 828 , (其中 3

29、 tan) 2 , 故四边形ABCD面积的最大值为13 3 12 7 8 18 (12 分)心理学家发现视觉和空间能力与性别有关,某高中数学兴趣小组为了验证这个 结论,从兴趣小组中抽取 50 名同学(男 30 女20),给所有同学几何题和代数题各一题,让 各位同学自由选择一道题进行解答选题情况如表: (单位:人) 几何题 代数题 合计 男同学 22 8 30 女同学 8 12 20 合计 30 20 50 (1)能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关? (2) 以上列联表中女生选做几何题的频率作为概率, 从该校1500名女生中随机选6名女生, 记 6 名女生选做几何题的人数

30、为X,求X的数学期望()E X和方差()D X 参考公式和数表如下: 2 2 () ()()()() n adbc K ab cdac bd ,nabcd 2 0 ()P Kk 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0 k 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【解答】解: (1)由表数据得 2 K的观测值, 2 2 50(22 128 8) 5.5565.024 30 20 30 20 K , 根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关; (2)女生选做几何题的概率为 2

31、 5 , 记 6 名女生选做几何题的人数为X,则X服从二项分布 2 (6, ) 5 XB, 根据二项分布的期望公式可得数学期望 2 ()62.4 5 E Xnp, 根据二项分布的方差公式可得方差为 22 6(1)1.44 55 第 16 页(共 20 页) 19 (12 分)如图,O坐标原点,从直线 1 1 2 yx上的一点 111 1 ( ,1) 2 P xx 作x轴的垂线,垂 足记为 1 Q,过 1 Q作 1 OP的平行线,交直线 1 1 2 yx于点 222 1 (,1) 2 P xx ,再从 2 P作x轴的垂 线,垂足记为 2 Q,依次重复上述过程得到一系列点: 1 P, 1 Q, 2

32、 P, 2 Q, n P, n Q,记 k P点的坐标为 1 (,1) 2 kk xx ,1k ,2,3,n,现已知 1 2x (1)求 2 Q、 3 Q的坐标; (2)试求(1) k xkn剟的通项公式; (3)点 n P、 1n P之间的距离记为 * 1 |() nn PPnN ,是否存在最小的正实数t,使得 12231 111 | nn t PPP PP P 对一切的自然数n恒成立?若存在,求t的值,若不存在,请 说明理由 【解答】解: (1) 1 2x ,即有 1(2,2) P, 1 1 OP k, 1(2,0) Q, 22 (P x, 2 1 1) 2 x , 121 / /OPPQ

33、, 可得 1 2 2 2 1 1 2 1 2 Q P x k x ,解得 2 6x , 则 2(6,0) Q, 由 2(6,4) P, 33 (P x, 3 1 1) 2 x , 132 / /OPPQ,可得 3 3 1 1 2 1 6 x x ,解得 3 14x , 3(14,0) Q; (2)由( kk P x, 1 1) 2 k x , 11 ( kk Qx ,0), 11 / / kk OPPQ ,可得 1 1 1 2 1 k kk x xx ,化为 1 22 kk xx , 第 17 页(共 20 页) 即为 1 22(2) kk xx , 可得数列2 k x 为首项是 4,公比为

34、2 的等比数列, 则 1 24 2k k x , 可得 1 22 k k x ,1 k n剟; (3) 22 111 11 |()(11) 22 nnnnnn P Pxxxx 21 1 55 |22|5 2 22 nnn nn xx , 12231 11 (1) 11111111515 22 ()(1) 1 |24252555 1 2 n nn nn PPP PP P , 假设存在最小的正实数t,使得 12231 111 | nn t PPP PP P 对一切的自然数n恒成立, 可得 5 5 t,故存在这样的t,且t的最小值为 5 5 20 (12 分)已知直线1yx与曲线 22 1xay相交

35、于P,Q两点 (1)当实数a为何值时, 2 2 | (1) PQ a ? (2)是否存在实数a,使得(OPOQ O是坐标原点)?若存在,求出a的值;若不存在, 请说明理由 【解答】解: (1)联立直线与曲线的方程: 22 1 1 yx xay ,整理可得: 2 (1)20ayy,因 为由两个交点,所以10a , 解得:0y 或 2 1 y a , 代入直线中可得 1 0 x y ,或 1 1 2 1 a x a y a , 所以弦长 222 122 |(1)()2 () 111 a PQ aaa , 由题意可得 2 2 22 2 () (1)1aa ,整理可得: 2 31030aa,解得 1

36、3 a 或3a ; 第 18 页(共 20 页) 所以a的值为 1 3 a 或3a ; (2)要使OPOQ,则0OP OQ 由(1)设( 1,0)P ,则 1 (1 a Q a , 2 ) 1a , (1,0)OP , 1 (1 a OQ a , 2 ) 1a , 所以 12 100 11 a aa ,解得:1a , 所以1a 21 (12 分)如图 1,正方形ABCD,边长为a,E,F分别为AD,CD中点,现将正方 形沿对角线AC折起,折起过程中D点位置记为T,如图 2 (1)求证:EFTB; (2)当60TAB时,求半平面ABC与半平面BEF所成二面角的余弦值 【解答】 (1)证明:取AC

37、中点O,连OT,OB,BT, 因为ABCD为正方形,所以ACOT,ACOB, 又OTOBO,OT 平面OBT, OB 平面OBT, 所以AC 平面OBT,而TB 平面OBT, 所以ACTB 又E,F分别为AD,CD中点,所以/ /EFAC, 所以EFTB (2)因为60TAB,所以TAB为等边三角形,TBa, 又 2 2 OTOBa, 222 TBOBOT,即OTOB 解法 1:如图建立空间直角坐标系Oxyz, 第 19 页(共 20 页) 则 22222 (,0,0), (0,),(0,) 24444 aaaa BaEF, 2222 (0,0),(,) 2244 aa EFaEBa 平面AB

38、C法向量(0,0,1)m , 设平面BEF法向量( , ,1)nx y, 由 0 222 0 244 n EFy a n EBaxay , 0 1 2 y x , 112 5 ( ,0,1),cos, 2| |51 11 4 m n nm n mn , 记半平面ABC与半平面BEF所成二面角为,则为锐角,所以 2 5 cos 5 , 即半平面ABC与半平面BEF所成二面角的余弦值为 2 5 5 解法 2:记半平面ABC与半平面BEF交线为BG,EF交OT于H,连接BH, 因为/ /ACEF,AC 平面BEF,EF 平面BEF, 所以/ /AC平面BEF, 又平面ABC平面BEFBG, 所以/

39、/ACBG 又由()知AC 平面OBT,所以ACBH,ACBO, 所以BGBH,BGBO 所以OBH即为半平面ABC与半平面BEF所成二面角的平面角 RT BOH中, 1 tan 2 HO HBO OB , 所以 2 5 cos 5 HBO 即半平面ABC与半平面BEF所成二面角的余弦值为 2 5 5 第 20 页(共 20 页) 22 (12 分)已知函数 2 ( )(1)f xln xaxx, 2 1 ( )(1)2g xalnxln xaxx x , (1)若函数( )f x在点(1,f(1))处的切线与直线3220 xy平行,求实数a的值; (2)设( )( )( )h xf xg x

40、,且( )h x有两个极值点 1 x, 2 x,其中 1 1 (0, x e ,求 12 ()()h xh x的 最小值(注:其中e为自然对数的底数) 【解答】解: (1) 1 ( )21 1 fxax x , 函数( )f x在点(1,f(1))处的切线与直线3220 xy平行, f (1) 13 21 22 a , 解得1a ; (2) 1 ( )h xxalnx x , 2 22 11 ( )1 axax h x xxx 由题意得方程 2 10 xax 的两根分别为 1 x, 2 x,且 12 xxa , 12 1x x 所以 21 11 11 ,xax xx , 则 121111 111 111 ( )()( )()2()h xh xh xhxlnxx xxx 设 11 ( )2()xxlnxx xx ,则 22 12(1)(1) ( )2(1) xx xlnxlnx xx 当 1 (0, x e 时,( )0 x恒成立,所以( )x在 1 (0, x e 上单调递减, 所以 14 ( )( ) min x ee ,即 12 ()()h xh x的最小值为 4 e

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