2021年北京市西城区高考数学统一测试试卷（一模）.docx

1、第 1页（共 21页） 2021 年北京市西城区高考数学统一测试试卷（一模）年北京市西城区高考数学统一测试试卷（一模） 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项。目要求的一项。 1 （4 分）已知集合 |1Ax x， 1B ，0，1，2，则(AB ) A2B1，2C0，1，2D |1x x 2 （4 分）已知复数z满足2zzi，则z的虚部是() A1B1CiDi 3 （4 分）在 6 2 1 ()x x 的展开式中，常数项为() A15B15C30D30 4

2、（4 分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为() A12B82C16D84 2 5 （4 分）已知函数 2 2 ( )logf xx x ，则不等式( )0f x 的解集是() A(0,1)B(,2)C(2,)D(0,2) 6 （4 分）在ABC中，90C ，4AC ，3BC ，点P是AB的中点，则(CB CP ) A 9 4 B4C 9 2 D6 7 （4 分）在ABC中，60C ，28ab，sin6sinAB，则(c ) A35B31C6D5 8 （4 分）抛物线具有以下光学性质：从焦点出发的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对 称轴该性质在实际生产中应用非常广泛如图，从抛物线

3、2 4yx的焦点F发出的两条光 第 2页（共 21页） 线a，b分别经抛物线上的A，B两点反射，已知两条入射光线与x轴所成锐角均为60， 则两条反射光线 a 和 b 之间的距离为() A 2 3 3 B 8 3 C 4 3 3 D 8 3 3 9 （4 分）在无穷等差数列 n a中，记 1 12345 ( 1)(1 n nn Taaaaaa n ，2，)， 则“存在*mN，使得 2mm TT ”是“ n a为递增数列”的() A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 10 （4 分）若非空实数集X中存在最大元素M和最小元素m，则记()XMm下列 命题中正确的是

4、() A已知 1X ，1，0Y ，b，且()X ( )Y，则2b B已知Xa，2a ， 2 |Yy yx，xX，则存在实数a，使得( )1Y C已知 |( )( )Xx f xg x， 1x ，1，若()2X ，则对任意 1x ，1，都有 ( )( )f xg x D已知Xa，2a ，Yb，3b ，则对任意的实数a，总存在实数b，使得 () 3XY 二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分。分。 11 （5 分）函数( )1f xlnxx的定义域是 12 （5 分）已知双曲线 22 :1 84 xy C，则C的渐近线方程是；过C的左焦点且与x轴 垂直的

5、直线交其渐近线于M，N两点，O为坐标原点，则OMN的面积是 13 （5 分）在等比数列 n a中， 13 10aa， 24 5aa ，则公比q ；若1 n a ，则 n的最大值为 第 3页（共 21页） 14 （5 分）已知函数( )sinf xx，若对任意xR都有( )()(f xf xmc c为常数） ，则常 数m的一个取值为 15 （5 分）长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要 的防洪减灾效益每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原 有蓄水量的基础上联合调度，统一蓄水，用蓄满指数（蓄满指数100) 水库实际蓄水量 水库总蓄水量 来

6、衡量每座水库的水位情况假设某次联合调度要求如下： （）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间0，100； （）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低； （）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变 记x为调度前某水库的蓄满指数，y为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个y关于x的 函数解析式： 2 1 6 20 yxx ；10yx； 50 10 x y ；100sin 200 yx 则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16 （13 分）如图，在正方体 11

7、11 ABCDABC D中，E为 1 DD的中点 （）求证：/ /BD平面ACE； （）求直线AD与平面ACE所成角的正弦值 17 （13 分）已知函数( )sin()(0,0,|) 2 f xAxA ，且( )f x图象的相邻两条对 称轴之间的距离为 2 ，再从条件、条件、条件中选择两个作为一组已知条件 （）确定( )f x的解析式： （）若( )f x图象的对称轴只有一条落在区间0，a上，求a的取值范围 条件：( )f x的最小值为2； 第 4页（共 21页） 条件：( )f x图象的一个对称中心为 5 (12 ，0)； 条件：( )f x的图象经过点 5 ( 6 ，1) 18 （14 分

8、）天文学上用星等表示星体亮度，星等的数值越小、星体越亮视星等是指观测 者用肉眼所看到的星体亮度；绝对星等是假定把恒星成放在距地球 32.6 光年的地方测得的 恒星的亮度，反映恒星的真实发光本领 如表列出了（除太阳外）视星等数值最小的 10 颗最充恒星的相关数据，其中0a，1.3 星名天狼星 老人星 南门二 大角星 织女一 五车二 参宿七 南河三 水委一 参宿四 * 视星等1.470.720.270.040.030.080.120.380.46 a 绝对星 等 1.425.534.40.380.60.16.982.672.785.85 赤纬16.752.760.819.238.8468.25.2

9、57.27.4 （）从表中随机选择一颗恒星，求它的绝对星等的数值小于视星等的数值的概率； （）已知北京的纬度是北纬40，当且仅当一颗恒星的“赤纬”数值大于50时，能在北 京的夜空中看到它，现从这 10 颗恒星中随机选择 4 颗，记其中能在北京的夜空中看到的数 量为X颗，求X的分布列和数学期望； （） 记0a 时 10 颗恒星的视星等的方差为 2 1 s， 记1.3a 时 10 颗恒星的视星等的方差为 2 2 s， 判断 2 1 s与 2 2 s之间的大小关系 （结论不需要证明） 19 （15 分）已知函数( )() x f xe lnxa （）若1a ，求曲线( )yf x在点(1，f（1）)

10、处的切线方程； （）若1a ，求证：函数( )f x存在极小值； （）若对任意的实数1x，)，( )1f x恒成立，求实数a的取值范围 20 （15 分）已知椭圆 22 2 :1(0) 3 xy Ca a 的焦点在x轴上，且经过点 3 (1, ) 2 E，左顶点为D， 右焦点为F （）求椭圆C的离心率和DEF的面积； （）已知直线1ykx与椭圆C交于A，B两点过点B作直线(3)yt t的垂线，垂 足为G判断是否存在常数t，使得直线AG经过y轴上的定点？若存在，求t的值；若不 第 5页（共 21页） 存在，请说明理由 21（15 分） 已知数列 1 :A a， 2 a，(3) N aN的各项均为

11、正整数， 设集合 | ji Tx xaa， 1ij N，记T的元素个数为( )P T （）若数列:1A，2，4，3，求集合T，并写出( )P T的值； （）若A是递增数列，求证： “( )1P TN”的充要条件是“A为等差数列” ； （）若21Nn，数列A由 1 ，2，3，n，2n这1n 个数组成，且这1n 个数在 数列A中每个至少出现一次，求( )P T的取值个数 第 6页（共 21页） 2021 年北京市西城区高考数学统一测试试卷（一模）年北京市西城区高考数学统一测试试卷（一模） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，

12、共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项。目要求的一项。 1 （4 分）已知集合 |1Ax x， 1B ，0，1，2，则(AB ) A2B1，2C0，1，2D |1x x 【解答】解：根据题意，集合 |1Ax x， 1B ，0，1，2， 则1AB ，2， 故选：B 2 （4 分）已知复数z满足2zzi，则z的虚部是() A1B1CiDi 【解答】解：设zabi， 因为2zzi，则有()2abiabii，即22bii，所以1b ， 故复数z的虚部为1 故选：A 3 （4 分）在 6 2 1 ()x x 的展开式中，常数项为() A1

13、5B15C30D30 【解答】解：展开式的通项公式为 66 3 166 2 1 ()( 1) rrrrrr r TC xCx x ， 令630r，解得2r ， 所以展开式的常数项为 22 6( 1) 15C， 故选：A 4 （4 分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为() 第 7页（共 21页） A12B82C16D84 2 【解答】解：由三视图知该四棱锥是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面， 画出四棱锥的直观图，如图所示： 则该四棱锥的表面积为： PABPADPBCPCDABCD SSSSSS 正方形 2 1111 222222 222 2284 2 2222 故选：D 5 （4

14、分）已知函数 2 2 ( )logf xx x ，则不等式( )0f x 的解集是() A(0,1)B(,2)C(2,)D(0,2) 【解答】解：根据题意，函数 2 2 ( )logf xx x ，其定义域为(0,)， 又由 2 y x 和函数 2 logyx 都是区间(0,)上的减函数， 则 2 2 ( )logf xx x 在(0,)上也 是减函数， 又由f（2）1 10 ，则不等式( )0f x 的解集是(0,2)， 故选：D 第 8页（共 21页） 6 （4 分）在ABC中，90C ，4AC ，3BC ，点P是AB的中点，则(CB CP ) A 9 4 B4C 9 2 D6 【解答】解

15、：在ABC中，90C ，则0CB CA ， 因为点P是AB的中点， 所以 1 () 2 CPCBCA ， 所以 22 2 111119 ()| 222222 CB CPCBCBCACBCB CACBCB 故选：C 7 （4 分）在ABC中，60C ，28ab，sin6sinAB，则(c ) A35B31C6D5 【解答】解：在ABC中，sin6sinAB， 利用正弦定理得：6ab， 所以 28 6 ab ab ，解得 6 1 a b ， 利用余弦定理 222 1 2cos3612 1 631 2 cababC ， 故31c 故选：B 8 （4 分）抛物线具有以下光学性质：从焦点出发的光线经抛物

16、线反射后平行于抛物线的对 称轴该性质在实际生产中应用非常广泛如图，从抛物线 2 4yx的焦点F发出的两条光 线a，b分别经抛物线上的A，B两点反射，已知两条入射光线与x轴所成锐角均为60， 则两条反射光线 a 和 b 之间的距离为() 第 9页（共 21页） A 2 3 3 B 8 3 C 4 3 3 D 8 3 3 【解答】解：由 2 4yx，得(1,0)F， 又60OFA， 所以直线AF的方程为03(1)yx ，即33yx ， 联立 2 33 4 yx yx ，得 2 216 () 33 y ， 所以 1 2 3 3 y 或 2 2 3y （舍去） ， 即 2 3 3 A y ， 同理直线

17、BF的方程为03(1)yx，即33yx， 联立 2 33 4 yx yx ，得 2 216 () 33 y ， 所以 3 2 3y 或 4 2 3 3 y （舍去） ，即2 3 B y ， 所以 2 34 3 | |2 3| 33 AB yy， 即两条反射光线的距离为 4 3 3 ， 故选：C 9 （4 分）在无穷等差数列 n a中，记 1 12345 ( 1)(1 n nn Taaaaaa n ，2，)， 则“存在*mN，使得 2mm TT ”是“ n a为递增数列”的() A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 【解答】解：若 n a为递增数列，又 23

18、 212 ( 1)( 1) mm mmmm TTaa ， 当m为奇数时， 212mmmm TTaa ， n a递增数列， 21mm aa ， 2mm TT ， 即mN ，使 2mm TT ， 若mN ，使 2mm TT ， 由 23 212 ( 1)( 1) mm mmmm TTaa ， 第 10页（共 21页） 即 23 12 ( 1)( 1)0 mm mm aa ， 当为m奇数时， 12 0 mm aa ， 21mm aa ， n a递增数列， 当为偶数时， 12 0 mm aa ， 12mm aa ， n a递减数列， 综上所述，mN ，使 2mm TT 是 n a为递增数列必要不充分条

19、件， 故选：B 10 （4 分）若非空实数集X中存在最大元素M和最小元素m，则记()XMm下列 命题中正确的是() A已知 1X ，1，0Y ，b，且()X ( )Y，则2b B已知Xa，2a ， 2 |Yy yx，xX，则存在实数a，使得( )1Y C已知 |( )( )Xx f xg x， 1x ，1，若()2X ，则对任意 1x ，1，都有 ( )( )f xg x D已知Xa，2a ，Yb，3b ，则对任意的实数a，总存在实数b，使得 () 3XY 【解答】解：对于A，因为()2X ，()X ( )Y，所以( )2Y ，于是2b 或2， 未必2b ，所以A错； 对于B，假设存在实数a，

20、使( )1Y ， 若0a， 22 ( )(2)4(1) 4Yaaa ，矛盾， 若2 0a ， 22 ( )(2)4(1) 4Yaaa ，矛盾， 若10a ， 2 ( )(2)1Ya，矛盾， 若21a ， 2 ( )1Ya，矛盾， 若1a ，( )101Y ，矛盾， 所以B错； 对于C，取( ) |f xx，( )1g x ，则()2X ，但对任意 1x ，1，( )( )f xg x不成立， 所以C错； 对于D，对任意的实数a，只须b满足a，2ab，3b ，就有XYY ，从而 ()XY ( )3 3Y ，所以D对 第 11页（共 21页） 故选：D 二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小

21、题，每小题 5 分，共分，共 25 分。分。 11 （5 分）函数( )1f xlnxx的定义域是 |01xx 【解答】解：函数( )1f xlnxx， 0 10 x x ， 解得01x ； 函数( )f x的定义域为 |01xx 故答案为： |01xx 12 （5 分）已知双曲线 22 :1 84 xy C，则C的渐近线方程是 2 2 yx ；过C的左焦 点且与x轴垂直的直线交其渐近线于M，N两点，O为坐标原点， 则OMN的面积是 【解答】解：双曲线 22 :1 84 xy C，可得2 2a ，2b ，则C的渐近线方程双曲线的左 焦点坐标( 2 3，0)， 过C的左焦点且与x轴垂直的直线交其

22、渐近线于M，N两点， 则( 2 3M ，6)，( 2 3N ，6)， 所以OMN的面积： 1 2 32 66 2 2 故答案为： 2 2 yx ；6 2 13 （5 分）在等比数列 n a中， 13 10aa， 24 5aa ，则公比q 1 2 ；若1 n a ， 则n的最大值为 【解答】解：根据题意，等比数列 n a中， 13 10aa， 24 5aa ， 则 24 13 51 102 aa q aa 若 13 10aa，即 11 1 10 4 aa，解可得 1 8a ， 则 1114 1 1 8()( 1)2 2 nnnn n aa q ， 若1 n a ，即 14 ( 1)21 nn ，

23、 必有1n 或 3，即n的最大值为 3， 第 12页（共 21页） 故答案为： 1 2 ，3 14 （5 分）已知函数( )sinf xx，若对任意xR都有( )()(f xf xmc c为常数） ，则常 数m的一个取值为（答案不唯一，只要是(21)k即可） 【解答】解： ( )()sinsin()2sin()cos()2sin()cos()( 2222 mmmm f xf xmxxmxxc c为常数） ， 所以cos()0 2 m ，于是 22 m k ，(21)mk， 所以常数m的一个取值为（答案不唯一，只要是(21)k即可） 故答案为：（答案不唯一，只要是(21)k即可） 15 （5 分

24、）长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要 的防洪减灾效益每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原 有蓄水量的基础上联合调度，统一蓄水，用蓄满指数（蓄满指数100) 水库实际蓄水量 水库总蓄水量 来 衡量每座水库的水位情况假设某次联合调度要求如下： （）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间0，100； （）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低； （）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变 记x为调度前某水库的蓄满指数，y为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个y关于x的 函数解析式： 2 1 6 20 yxx ；10yx； 50 10 x y ；1

25、00sin 200 yx 则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是 【解答】解：由联合调度要求可知，y的定义域为0，100，值域为0，100， y x对任意的0 x，100恒成立且在0，100上单调递增 22 11 6(60)180 2020 yxxx 在0，100上不是单调函数，故选项错误； 10yx在0，100上单调递增，值域为0，100， 又因为10(10) 0 xxxx对任意的0 x，100恒成立， 所以y x对任意的0 x，100恒成立，故选项正确； 50 10 x yx对任意的0 x，100不恒成立，比如 50 50 101050，故选项错误； 第 13页（共 21页） 100s

26、in 200 yx 在0，100上单调递增，值域为0，100， 令( )100sin 200 f xxx ，则( )100cos1cos1 2002002200 fxxx ， 令( )0fx，解得 0 xx， 则当 0 (0,)xx时，( )0fx，则( )f x单调递增， 当 0 (xx，100)时，( )0fx，则( )f x单调递减， 又(0)0f，(100)0f， 所以( ) 0f x 在0，100上恒成立， 故y x对任意的0 x，100恒成立，故选项正确 故答案为： 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。分。解答应写出文字

27、说明，演算步骤或证明过程。 16 （13 分）如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，E为 1 DD的中点 （）求证：/ /BD平面ACE； （）求直线AD与平面ACE所成角的正弦值 【解答】 （）证明：连接BD交AC于点O，连接OE， 在正方形ABCD中，OBOD 因为E为 1 DD的中点， 所以 1 / /.OEBD （3 分） 因为 1 BD 平面ACE，OE 平面ACE， 所以 1/ / BD平面ACE（5 分） （）解：不妨设正方体的棱长为 2，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz 则(0A，0，0)，(2C，2，0)，(0D，2，0)，(0E，2，1)， 所以(0,2,0)

28、AD ，(2,2,0)AC ，(0,2,1)AE （8 分） 设平面ACE的法向量为(nx ，y，) z， 第 14页（共 21页） 所以 0, 0, n AC n AE 所以 220, 20, xy yz 即 , 2 , xy zy （10 分） 令1y ，则1x ，2z ， 于是(1n ，1，2)（11 分） 设直线AD与平面ACE所成角为， 则 |26 sin|cos,| 6| |2 6 AD n AD n ADn （13 分） 所以直线AD与平面ACE所成角的正弦值为 6 6 17 （13 分）已知函数( )sin()(0,0,|) 2 f xAxA ，且( )f x图象的相邻两条对

29、称轴之间的距离为 2 ，再从条件、条件、条件中选择两个作为一组已知条件 （）确定( )f x的解析式： （）若( )f x图象的对称轴只有一条落在区间0，a上，求a的取值范围 条件：( )f x的最小值为2； 条件：( )f x图象的一个对称中心为 5 (12 ，0)； 条件：( )f x的图象经过点 5 ( 6 ，1) 【解答】解： （）由于函数( )f x图象上两相邻对称轴之间的距离为 2 ， 所以( )f x的最小正周期2 2 T ， 2 2 T 此时( )sin(2)f xAx 选条件： 因为( )f x的最小值为A，所以2A 因为( )f x图象的一个对称中心为 5 (, 0 ) 1

30、2 ， 第 15页（共 21页） 所以 5 2() 12 kkZ ， 所以 5 () 6 kkZ ， 因为| 2 ，所以 6 ，此时1k ， 所以( )2sin(2) 6 f xx 选条件： 因为( )f x的最小值为A，所以2A 因为函数( )f x的图象过点 5 (,1) 6 ， 则 5 ()1 6 f ，即 5 2sin()1 3 ， 51 sin() 32 因为| 2 ，所以 7513 636 ， 所以 511 36 ， 6 ， 所以( )2sin(2) 6 f xx 选条件： 因为函数( )f x的一个对称中心为 5 (, 0 ) 12 ， 所以 5 2() 12 kkZ ， 所以

31、5 () 6 kkZ 因为| 2 ，所以 6 ，此时1k 所以( )sin(2) 6 f xAx 因为函数( )f x的图象过点 5 (,1) 6 ， 所以 5 ()1 6 f ，即 5 sin()1 36 A ， 11 sin1 6 A ， 所以2A ， 所以( )2sin(2) 6 f xx （）因为0 x，a，所以2, 2 666 xa ， 因为( )f x图象的对称轴只有一条落在区间0，a上， 第 16页（共 21页） 所以 3 2 262 a ， 得 2 63 a ， 所以a的取值范围为 2 ,) 63 18 （14 分）天文学上用星等表示星体亮度，星等的数值越小、星体越亮视星等是指

32、观测 者用肉眼所看到的星体亮度；绝对星等是假定把恒星成放在距地球 32.6 光年的地方测得的 恒星的亮度，反映恒星的真实发光本领 如表列出了（除太阳外）视星等数值最小的 10 颗最充恒星的相关数据，其中0a，1.3 星名天狼星 老人星 南门二 大角星 织女一 五车二 参宿七 南河三 水委一 参宿四 * 视星等1.470.720.270.040.030.080.120.380.46 a 绝对星 等 1.425.534.40.380.60.16.982.672.785.85 赤纬16.752.760.819.238.8468.25.257.27.4 （）从表中随机选择一颗恒星，求它的绝对星等的数值

33、小于视星等的数值的概率； （）已知北京的纬度是北纬40，当且仅当一颗恒星的“赤纬”数值大于50时，能在北 京的夜空中看到它，现从这 10 颗恒星中随机选择 4 颗，记其中能在北京的夜空中看到的数 量为X颗，求X的分布列和数学期望； （） 记0a 时 10 颗恒星的视星等的方差为 2 1 s， 记1.3a 时 10 颗恒星的视星等的方差为 2 2 s， 判断 2 1 s与 2 2 s之间的大小关系 （结论不需要证明） 【解答】解： （）设一颗星的绝对星等的数值小于视星等的数值为事件A ， 由图表可知，10 颗恒星有 5 颗恒星绝对星等的数值小于视星等的数值， 所以 51 ( ) 102 P A

34、； （） 由图表知， 有 7 颗恒星的 “赤纬” 数值大于50， 有 3 颗恒星的 “赤纬” 数值小于50 ， 所以随机变量X的所有可能取值为：1，2，3，4， 所以 13 73 4 10 71 (1) 21030 CC P X C ， 第 17页（共 21页） 22 73 4 10 3 (2) 10 CC P X C ， 31 73 4 10 1 (3) 2 CC P X C ， 40 73 4 10 1 (4) 6 CC P X C ， 所以随机变量X的分布列为： X1234 P 1 30 3 10 1 2 1 6 所以X的数学期望为 131114 ()1234 3010265 E X ；

35、 （）结论： 22 12 ss 19 （15 分）已知函数( )() x f xe lnxa （）若1a ，求曲线( )yf x在点(1，f（1）)处的切线方程； （）若1a ，求证：函数( )f x存在极小值； （）若对任意的实数1x，)，( )1f x恒成立，求实数a的取值范围 【解答】解： （）当1a 时，( )(1) x f xe lnx， 所以 11 ( )(1)(1) xxx fxe lnxee lnx xx ， 所以f（1）e ， f （1）0， 曲线( )yf x在点(1，f（1）)处的切线方程为ye （）由( )() x f xe lnxa，得 1 ( )() x fxe l

36、nxa x ， 令 1 ( )h xlnxa x ，则 22 111 ( ) x h x xxx ， 当01x时，( )0h x，当1x 时，( )0h x， 所以( )h x在区间(0,1)上是减函数，在区间(1,)上是增函数 所以( )h x的最小值为h（1）1a ， 当1a 时，h（1）10a ，()0 aa h ee， 又( )h x在(1,)单调递增， 第 18页（共 21页） 故存在 0 (1,) a xe，使得 0 ()0h x， 所以在区间 0 (1,)x上( )0h x ，在区间 0 (x，)上( )0h x ， 所以在区间 0 (1,)x上( )0fx，在区间 0 (x，)

37、上( )0fx， 所以在区间 0 (1,)x上( )f x单调递减，在区间 0 (x，)上( )f x单调递增， 故函数( )f x存在极小值 （）对任意的实数1x，)，( )1f x恒成立 等价于( )f x的最小值大于或等于1 当1a时，h（1）10a ，由（）得( ) 0h x ，所以( ) 0fx 所以( )f x在1，)上单调递增， 所以( )f x的最小值为f（1）ae ， 由1ae，得 1 a e ，满足题意， 当1a 时，由（）知，( )f x在 0 (1,)x上单调递减， 所以在 0 (1,)x上( )f xf（1）aee ，不满足题意 综上所述，实数a的取值范围是 1 (,

38、 e 20 （15 分）已知椭圆 22 2 :1(0) 3 xy Ca a 的焦点在x轴上，且经过点 3 (1, ) 2 E，左顶点为D， 右焦点为F （）求椭圆C的离心率和DEF的面积； （）已知直线1ykx与椭圆C交于A，B两点过点B作直线(3)yt t的垂线，垂 足为G判断是否存在常数t，使得直线AG经过y轴上的定点？若存在，求t的值；若不 存在，请说明理由 【解答】解： （）依题意， 2 13 1 4a ，解得2a 因为 222 431cab，即1c ， 所以( 2,0)D ，(1,0)F， 所以离心率 1 2 c e a ， 所以DEF的面积 139 3 224 S （）由已知，直线

39、DE的方程为 1 1 2 yx， 第 19页（共 21页） 当( 2,0)A ， 3 (1, ) 2 B，(1, )Gt时， 直线AG的方程为(2) 3 t yx，交y轴于点 2 (0,) 3 t， 当 3 (1, ) 2 A，( 2,0)B ，( 2, )Gt时， 直线AG的方程为 3 3 2 (1) 23 t yx ，交y轴于点 3 (0,) 3 t ， 若直线AG经过y轴上定点，则 23 33 t t ， 即3t ，直线AG交y轴于点(0,2) 下面证明存在实数3t ，使得直线AG经过y轴上定点(0,2)， 联立 22 1, 1 43 ykx xy 消y整理，得 22 (43)880kx

40、kx， 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 则 12 2 8 43 k xx k ， 12 2 8 43 x x k ， 设点 2 (G x，3)，所以直线AG的方程： 1 2 12 3 3() y yxx xx ， 令0 x ，得 2121211211212 12121212 333(1)3 3 x yxxx yxx kxxxkx x y xxxxxxxx ， 因为 1212 kx xxx， 所以 121212 1212 3()22 2 xxxxxx y xxxx ， 所以直线AG过定点(0,2)， 综上，存在实数3t ，使得直线AG经过y轴上定点(0,2) 21（1

41、5 分） 已知数列 1 :A a， 2 a，(3) N aN的各项均为正整数， 设集合 | ji Tx xaa， 1ij N，记T的元素个数为( )P T （）若数列:1A，2，4，3，求集合T，并写出( )P T的值； （）若A是递增数列，求证： “( )1P TN”的充要条件是“A为等差数列” ； （）若21Nn，数列A由 1 ，2，3，n，2n这1n 个数组成，且这1n 个数在 数列A中每个至少出现一次，求( )P T的取值个数 【解答】 （）解：因为 1 1a ， 2 2a ， 3 4a ， 4 3a ， 所以1T ，2，3，1，( )4P T ； 第 20页（共 21页） （）证明：

42、充分性：若A是等差数列，设公差为d 因为数列A是递增数列，所以0d 则当ji时，() ji aaji d 所以Td，2d，(1) Nd，( )1P TN， 必要性：若( )1P TN 因为A是递增数列，所以 21311N aaaaaa， 所以 21 aa， 31 aa， 1N aaT，且互不相等 所以 21 Taa， 31 aa， 1N aa 又 32421221NNN aaaaaaaaaa ， 所以 32 aa， 42 aa， 2N aa， 1N aaT，且互不相等 所以 3221 aaaa， 4231 aaaa， 211NN aaaa 所以 21321NN aaaaaa ， 所以A为等差数

43、列； （）解：因为数列A由 1，2，3，n，2n这1n 个数组成，任意两个不同的数作差， 差值只可能为1，2，3，(1)n和(21)n，(22)n，n 共2(1)242nnn个不同的值；且对任意的1m ，2，3，1n，n，21n ， m和m这两个数中至少有一个在集合T中， 又因为 1，2，3，n，2n这1n 个数在数列A中共出现21Nn次，所以数列A中 存在() ij aa ij，所以0T 综上，( ) 41P Tn ，且( ) 2P Tn 设数列 0:1 A，1，2，2，3，3，4，4，n，n，2n，此时0T ，1，2，21n ， ( )2P Tn 现对数列 0 A分别作如下变换： 把一个

44、1 移动到 2，3 之间，得到数列：1，2，2，1，3，3，4，4，n，n，2n， 此时0T ，1，2，3，(21)n ，1，( )21P Tn 把一个 1 移动到 3，4 之间，得到数列：1，2，2，3，3，1，4，4，n，n，2n， 此时0T ，1，2，3，(21)n ，1，2，( )22P Tn 把一个 1 移动到1n，n之间，得到数列：1，2，2，3，3，4，4，1n，1n，1，n， 第 21页（共 21页） n，2n， 此时0T ，1，2，3，(21)n ，1，2，2n，( )2232P Tnnn 把一个 1 移动到n，2n之间，得到数列：1，2，2，3，3，4，4，n，n，1，2n

45、， 此时0T ，1，2，3，21n ，1，2，1n，( )2131P Tnnn 再对数列 0 A依次作如下变换： 把一个 1 移为2n的后一项，得到数列 1:1 A，2，2，3，3，4，4，n，n，2n，1， 此时0T ，1，2，3，21n ，1，2，1n，12 n，( )3P Tn； 再把一个 2 移为2n的后一项：得到数列 2:1 A，2，3，3，4，4，n，n，2n，2，1， 此时0T ，1，2，3，21n ，1，2，1n，12n，22 n，( )31P Tn； 依此类推 最后把一个n移为2n的后一项：得到数列:1 n A，2，3，4，n，2n，n，1n， 2，1， 此时0T ， 1， 2， 3，21n ，1，2，1n，12n，22n，n，( )41P Tn 综上所述，( )P T可以取到从2n到41n 的所有2n个整数值，所以( )P T的取值个数为2n