1、第 1页(共 21页) 2021 年北京市西城区高考数学统一测试试卷(一模)年北京市西城区高考数学统一测试试卷(一模) 一、选择题共一、选择题共 10 小题,每小题小题,每小题 4 分,共分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题 目要求的一项。目要求的一项。 1 (4 分)已知集合 |1Ax x, 1B ,0,1,2,则(AB ) A2B1,2C0,1,2D |1x x 2 (4 分)已知复数z满足2zzi,则z的虚部是() A1B1CiDi 3 (4 分)在 6 2 1 ()x x 的展开式中,常数项为() A15B15C30D30 4
2、(4 分)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的表面积为() A12B82C16D84 2 5 (4 分)已知函数 2 2 ( )logf xx x ,则不等式( )0f x 的解集是() A(0,1)B(,2)C(2,)D(0,2) 6 (4 分)在ABC中,90C ,4AC ,3BC ,点P是AB的中点,则(CB CP ) A 9 4 B4C 9 2 D6 7 (4 分)在ABC中,60C ,28ab,sin6sinAB,则(c ) A35B31C6D5 8 (4 分)抛物线具有以下光学性质:从焦点出发的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对 称轴该性质在实际生产中应用非常广泛如图,从抛物线
3、2 4yx的焦点F发出的两条光 第 2页(共 21页) 线a,b分别经抛物线上的A,B两点反射,已知两条入射光线与x轴所成锐角均为60, 则两条反射光线 a 和 b 之间的距离为() A 2 3 3 B 8 3 C 4 3 3 D 8 3 3 9 (4 分)在无穷等差数列 n a中,记 1 12345 ( 1)(1 n nn Taaaaaa n ,2,), 则“存在*mN,使得 2mm TT ”是“ n a为递增数列”的() A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 10 (4 分)若非空实数集X中存在最大元素M和最小元素m,则记()XMm下列 命题中正确的是
4、() A已知 1X ,1,0Y ,b,且()X ( )Y,则2b B已知Xa,2a , 2 |Yy yx,xX,则存在实数a,使得( )1Y C已知 |( )( )Xx f xg x, 1x ,1,若()2X ,则对任意 1x ,1,都有 ( )( )f xg x D已知Xa,2a ,Yb,3b ,则对任意的实数a,总存在实数b,使得 () 3XY 二、填空题共二、填空题共 5 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 25 分。分。 11 (5 分)函数( )1f xlnxx的定义域是 12 (5 分)已知双曲线 22 :1 84 xy C,则C的渐近线方程是;过C的左焦点且与x轴 垂直的
5、直线交其渐近线于M,N两点,O为坐标原点,则OMN的面积是 13 (5 分)在等比数列 n a中, 13 10aa, 24 5aa ,则公比q ;若1 n a ,则 n的最大值为 第 3页(共 21页) 14 (5 分)已知函数( )sinf xx,若对任意xR都有( )()(f xf xmc c为常数) ,则常 数m的一个取值为 15 (5 分)长江流域水库群的修建和联合调度,极大地降低了洪涝灾害风险,发挥了重要 的防洪减灾效益每年洪水来临之际,为保证防洪需要、降低防洪风险,水利部门需要在原 有蓄水量的基础上联合调度,统一蓄水,用蓄满指数(蓄满指数100) 水库实际蓄水量 水库总蓄水量 来
6、衡量每座水库的水位情况假设某次联合调度要求如下: ()调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间0,100; ()调度后每座水库的蓄满指数都不能降低; ()调度前后,各水库之间的蓄满指数排名不变 记x为调度前某水库的蓄满指数,y为调度后该水库的蓄满指数,给出下面四个y关于x的 函数解析式: 2 1 6 20 yxx ;10yx; 50 10 x y ;100sin 200 yx 则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是 三、解答题共三、解答题共 6 小题,共小题,共 85 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 16 (13 分)如图,在正方体 11
7、11 ABCDABC D中,E为 1 DD的中点 ()求证:/ /BD平面ACE; ()求直线AD与平面ACE所成角的正弦值 17 (13 分)已知函数( )sin()(0,0,|) 2 f xAxA ,且( )f x图象的相邻两条对 称轴之间的距离为 2 ,再从条件、条件、条件中选择两个作为一组已知条件 ()确定( )f x的解析式: ()若( )f x图象的对称轴只有一条落在区间0,a上,求a的取值范围 条件:( )f x的最小值为2; 第 4页(共 21页) 条件:( )f x图象的一个对称中心为 5 (12 ,0); 条件:( )f x的图象经过点 5 ( 6 ,1) 18 (14 分
8、)天文学上用星等表示星体亮度,星等的数值越小、星体越亮视星等是指观测 者用肉眼所看到的星体亮度;绝对星等是假定把恒星成放在距地球 32.6 光年的地方测得的 恒星的亮度,反映恒星的真实发光本领 如表列出了(除太阳外)视星等数值最小的 10 颗最充恒星的相关数据,其中0a,1.3 星名天狼星 老人星 南门二 大角星 织女一 五车二 参宿七 南河三 水委一 参宿四 * 视星等1.470.720.270.040.030.080.120.380.46 a 绝对星 等 1.425.534.40.380.60.16.982.672.785.85 赤纬16.752.760.819.238.8468.25.2
9、57.27.4 ()从表中随机选择一颗恒星,求它的绝对星等的数值小于视星等的数值的概率; ()已知北京的纬度是北纬40,当且仅当一颗恒星的“赤纬”数值大于50时,能在北 京的夜空中看到它,现从这 10 颗恒星中随机选择 4 颗,记其中能在北京的夜空中看到的数 量为X颗,求X的分布列和数学期望; () 记0a 时 10 颗恒星的视星等的方差为 2 1 s, 记1.3a 时 10 颗恒星的视星等的方差为 2 2 s, 判断 2 1 s与 2 2 s之间的大小关系 (结论不需要证明) 19 (15 分)已知函数( )() x f xe lnxa ()若1a ,求曲线( )yf x在点(1,f(1))
10、处的切线方程; ()若1a ,求证:函数( )f x存在极小值; ()若对任意的实数1x,),( )1f x恒成立,求实数a的取值范围 20 (15 分)已知椭圆 22 2 :1(0) 3 xy Ca a 的焦点在x轴上,且经过点 3 (1, ) 2 E,左顶点为D, 右焦点为F ()求椭圆C的离心率和DEF的面积; ()已知直线1ykx与椭圆C交于A,B两点过点B作直线(3)yt t的垂线,垂 足为G判断是否存在常数t,使得直线AG经过y轴上的定点?若存在,求t的值;若不 第 5页(共 21页) 存在,请说明理由 21(15 分) 已知数列 1 :A a, 2 a,(3) N aN的各项均为
11、正整数, 设集合 | ji Tx xaa, 1ij N,记T的元素个数为( )P T ()若数列:1A,2,4,3,求集合T,并写出( )P T的值; ()若A是递增数列,求证: “( )1P TN”的充要条件是“A为等差数列” ; ()若21Nn,数列A由 1 ,2,3,n,2n这1n 个数组成,且这1n 个数在 数列A中每个至少出现一次,求( )P T的取值个数 第 6页(共 21页) 2021 年北京市西城区高考数学统一测试试卷(一模)年北京市西城区高考数学统一测试试卷(一模) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题共一、选择题共 10 小题,每小题小题,每小题 4 分,共分,
12、共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题 目要求的一项。目要求的一项。 1 (4 分)已知集合 |1Ax x, 1B ,0,1,2,则(AB ) A2B1,2C0,1,2D |1x x 【解答】解:根据题意,集合 |1Ax x, 1B ,0,1,2, 则1AB ,2, 故选:B 2 (4 分)已知复数z满足2zzi,则z的虚部是() A1B1CiDi 【解答】解:设zabi, 因为2zzi,则有()2abiabii,即22bii,所以1b , 故复数z的虚部为1 故选:A 3 (4 分)在 6 2 1 ()x x 的展开式中,常数项为() A1
13、5B15C30D30 【解答】解:展开式的通项公式为 66 3 166 2 1 ()( 1) rrrrrr r TC xCx x , 令630r,解得2r , 所以展开式的常数项为 22 6( 1) 15C, 故选:A 4 (4 分)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的表面积为() 第 7页(共 21页) A12B82C16D84 2 【解答】解:由三视图知该四棱锥是底面为正方形,且一侧棱垂直于底面, 画出四棱锥的直观图,如图所示: 则该四棱锥的表面积为: PABPADPBCPCDABCD SSSSSS 正方形 2 1111 222222 222 2284 2 2222 故选:D 5 (4
14、分)已知函数 2 2 ( )logf xx x ,则不等式( )0f x 的解集是() A(0,1)B(,2)C(2,)D(0,2) 【解答】解:根据题意,函数 2 2 ( )logf xx x ,其定义域为(0,), 又由 2 y x 和函数 2 logyx 都是区间(0,)上的减函数, 则 2 2 ( )logf xx x 在(0,)上也 是减函数, 又由f(2)1 10 ,则不等式( )0f x 的解集是(0,2), 故选:D 第 8页(共 21页) 6 (4 分)在ABC中,90C ,4AC ,3BC ,点P是AB的中点,则(CB CP ) A 9 4 B4C 9 2 D6 【解答】解
15、:在ABC中,90C ,则0CB CA , 因为点P是AB的中点, 所以 1 () 2 CPCBCA , 所以 22 2 111119 ()| 222222 CB CPCBCBCACBCB CACBCB 故选:C 7 (4 分)在ABC中,60C ,28ab,sin6sinAB,则(c ) A35B31C6D5 【解答】解:在ABC中,sin6sinAB, 利用正弦定理得:6ab, 所以 28 6 ab ab ,解得 6 1 a b , 利用余弦定理 222 1 2cos3612 1 631 2 cababC , 故31c 故选:B 8 (4 分)抛物线具有以下光学性质:从焦点出发的光线经抛物
16、线反射后平行于抛物线的对 称轴该性质在实际生产中应用非常广泛如图,从抛物线 2 4yx的焦点F发出的两条光 线a,b分别经抛物线上的A,B两点反射,已知两条入射光线与x轴所成锐角均为60, 则两条反射光线 a 和 b 之间的距离为() 第 9页(共 21页) A 2 3 3 B 8 3 C 4 3 3 D 8 3 3 【解答】解:由 2 4yx,得(1,0)F, 又60OFA, 所以直线AF的方程为03(1)yx ,即33yx , 联立 2 33 4 yx yx ,得 2 216 () 33 y , 所以 1 2 3 3 y 或 2 2 3y (舍去) , 即 2 3 3 A y , 同理直线
17、BF的方程为03(1)yx,即33yx, 联立 2 33 4 yx yx ,得 2 216 () 33 y , 所以 3 2 3y 或 4 2 3 3 y (舍去) ,即2 3 B y , 所以 2 34 3 | |2 3| 33 AB yy, 即两条反射光线的距离为 4 3 3 , 故选:C 9 (4 分)在无穷等差数列 n a中,记 1 12345 ( 1)(1 n nn Taaaaaa n ,2,), 则“存在*mN,使得 2mm TT ”是“ n a为递增数列”的() A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 【解答】解:若 n a为递增数列,又 23
18、 212 ( 1)( 1) mm mmmm TTaa , 当m为奇数时, 212mmmm TTaa , n a递增数列, 21mm aa , 2mm TT , 即mN ,使 2mm TT , 若mN ,使 2mm TT , 由 23 212 ( 1)( 1) mm mmmm TTaa , 第 10页(共 21页) 即 23 12 ( 1)( 1)0 mm mm aa , 当为m奇数时, 12 0 mm aa , 21mm aa , n a递增数列, 当为偶数时, 12 0 mm aa , 12mm aa , n a递减数列, 综上所述,mN ,使 2mm TT 是 n a为递增数列必要不充分条
19、件, 故选:B 10 (4 分)若非空实数集X中存在最大元素M和最小元素m,则记()XMm下列 命题中正确的是() A已知 1X ,1,0Y ,b,且()X ( )Y,则2b B已知Xa,2a , 2 |Yy yx,xX,则存在实数a,使得( )1Y C已知 |( )( )Xx f xg x, 1x ,1,若()2X ,则对任意 1x ,1,都有 ( )( )f xg x D已知Xa,2a ,Yb,3b ,则对任意的实数a,总存在实数b,使得 () 3XY 【解答】解:对于A,因为()2X ,()X ( )Y,所以( )2Y ,于是2b 或2, 未必2b ,所以A错; 对于B,假设存在实数a,
20、使( )1Y , 若0a, 22 ( )(2)4(1) 4Yaaa ,矛盾, 若2 0a , 22 ( )(2)4(1) 4Yaaa ,矛盾, 若10a , 2 ( )(2)1Ya,矛盾, 若21a , 2 ( )1Ya,矛盾, 若1a ,( )101Y ,矛盾, 所以B错; 对于C,取( ) |f xx,( )1g x ,则()2X ,但对任意 1x ,1,( )( )f xg x不成立, 所以C错; 对于D,对任意的实数a,只须b满足a,2ab,3b ,就有XYY ,从而 ()XY ( )3 3Y ,所以D对 第 11页(共 21页) 故选:D 二、填空题共二、填空题共 5 小题,每小题小
21、题,每小题 5 分,共分,共 25 分。分。 11 (5 分)函数( )1f xlnxx的定义域是 |01xx 【解答】解:函数( )1f xlnxx, 0 10 x x , 解得01x ; 函数( )f x的定义域为 |01xx 故答案为: |01xx 12 (5 分)已知双曲线 22 :1 84 xy C,则C的渐近线方程是 2 2 yx ;过C的左焦 点且与x轴垂直的直线交其渐近线于M,N两点,O为坐标原点, 则OMN的面积是 【解答】解:双曲线 22 :1 84 xy C,可得2 2a ,2b ,则C的渐近线方程双曲线的左 焦点坐标( 2 3,0), 过C的左焦点且与x轴垂直的直线交其
22、渐近线于M,N两点, 则( 2 3M ,6),( 2 3N ,6), 所以OMN的面积: 1 2 32 66 2 2 故答案为: 2 2 yx ;6 2 13 (5 分)在等比数列 n a中, 13 10aa, 24 5aa ,则公比q 1 2 ;若1 n a , 则n的最大值为 【解答】解:根据题意,等比数列 n a中, 13 10aa, 24 5aa , 则 24 13 51 102 aa q aa 若 13 10aa,即 11 1 10 4 aa,解可得 1 8a , 则 1114 1 1 8()( 1)2 2 nnnn n aa q , 若1 n a ,即 14 ( 1)21 nn ,
23、 必有1n 或 3,即n的最大值为 3, 第 12页(共 21页) 故答案为: 1 2 ,3 14 (5 分)已知函数( )sinf xx,若对任意xR都有( )()(f xf xmc c为常数) ,则常 数m的一个取值为(答案不唯一,只要是(21)k即可) 【解答】解: ( )()sinsin()2sin()cos()2sin()cos()( 2222 mmmm f xf xmxxmxxc c为常数) , 所以cos()0 2 m ,于是 22 m k ,(21)mk, 所以常数m的一个取值为(答案不唯一,只要是(21)k即可) 故答案为:(答案不唯一,只要是(21)k即可) 15 (5 分
24、)长江流域水库群的修建和联合调度,极大地降低了洪涝灾害风险,发挥了重要 的防洪减灾效益每年洪水来临之际,为保证防洪需要、降低防洪风险,水利部门需要在原 有蓄水量的基础上联合调度,统一蓄水,用蓄满指数(蓄满指数100) 水库实际蓄水量 水库总蓄水量 来 衡量每座水库的水位情况假设某次联合调度要求如下: ()调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间0,100; ()调度后每座水库的蓄满指数都不能降低; ()调度前后,各水库之间的蓄满指数排名不变 记x为调度前某水库的蓄满指数,y为调度后该水库的蓄满指数,给出下面四个y关于x的 函数解析式: 2 1 6 20 yxx ;10yx; 50 10 x y ;1
25、00sin 200 yx 则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是 【解答】解:由联合调度要求可知,y的定义域为0,100,值域为0,100, y x对任意的0 x,100恒成立且在0,100上单调递增 22 11 6(60)180 2020 yxxx 在0,100上不是单调函数,故选项错误; 10yx在0,100上单调递增,值域为0,100, 又因为10(10) 0 xxxx对任意的0 x,100恒成立, 所以y x对任意的0 x,100恒成立,故选项正确; 50 10 x yx对任意的0 x,100不恒成立,比如 50 50 101050,故选项错误; 第 13页(共 21页) 100s
26、in 200 yx 在0,100上单调递增,值域为0,100, 令( )100sin 200 f xxx ,则( )100cos1cos1 2002002200 fxxx , 令( )0fx,解得 0 xx, 则当 0 (0,)xx时,( )0fx,则( )f x单调递增, 当 0 (xx,100)时,( )0fx,则( )f x单调递减, 又(0)0f,(100)0f, 所以( ) 0f x 在0,100上恒成立, 故y x对任意的0 x,100恒成立,故选项正确 故答案为: 三、解答题共三、解答题共 6 小题,共小题,共 85 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。分。解答应写出文字
27、说明,演算步骤或证明过程。 16 (13 分)如图,在正方体 1111 ABCDABC D中,E为 1 DD的中点 ()求证:/ /BD平面ACE; ()求直线AD与平面ACE所成角的正弦值 【解答】 ()证明:连接BD交AC于点O,连接OE, 在正方形ABCD中,OBOD 因为E为 1 DD的中点, 所以 1 / /.OEBD (3 分) 因为 1 BD 平面ACE,OE 平面ACE, 所以 1/ / BD平面ACE(5 分) ()解:不妨设正方体的棱长为 2,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz 则(0A,0,0),(2C,2,0),(0D,2,0),(0E,2,1), 所以(0,2,0)
28、AD ,(2,2,0)AC ,(0,2,1)AE (8 分) 设平面ACE的法向量为(nx ,y,) z, 第 14页(共 21页) 所以 0, 0, n AC n AE 所以 220, 20, xy yz 即 , 2 , xy zy (10 分) 令1y ,则1x ,2z , 于是(1n ,1,2)(11 分) 设直线AD与平面ACE所成角为, 则 |26 sin|cos,| 6| |2 6 AD n AD n ADn (13 分) 所以直线AD与平面ACE所成角的正弦值为 6 6 17 (13 分)已知函数( )sin()(0,0,|) 2 f xAxA ,且( )f x图象的相邻两条对
29、称轴之间的距离为 2 ,再从条件、条件、条件中选择两个作为一组已知条件 ()确定( )f x的解析式: ()若( )f x图象的对称轴只有一条落在区间0,a上,求a的取值范围 条件:( )f x的最小值为2; 条件:( )f x图象的一个对称中心为 5 (12 ,0); 条件:( )f x的图象经过点 5 ( 6 ,1) 【解答】解: ()由于函数( )f x图象上两相邻对称轴之间的距离为 2 , 所以( )f x的最小正周期2 2 T , 2 2 T 此时( )sin(2)f xAx 选条件: 因为( )f x的最小值为A,所以2A 因为( )f x图象的一个对称中心为 5 (, 0 ) 1
30、2 , 第 15页(共 21页) 所以 5 2() 12 kkZ , 所以 5 () 6 kkZ , 因为| 2 ,所以 6 ,此时1k , 所以( )2sin(2) 6 f xx 选条件: 因为( )f x的最小值为A,所以2A 因为函数( )f x的图象过点 5 (,1) 6 , 则 5 ()1 6 f ,即 5 2sin()1 3 , 51 sin() 32 因为| 2 ,所以 7513 636 , 所以 511 36 , 6 , 所以( )2sin(2) 6 f xx 选条件: 因为函数( )f x的一个对称中心为 5 (, 0 ) 12 , 所以 5 2() 12 kkZ , 所以
31、5 () 6 kkZ 因为| 2 ,所以 6 ,此时1k 所以( )sin(2) 6 f xAx 因为函数( )f x的图象过点 5 (,1) 6 , 所以 5 ()1 6 f ,即 5 sin()1 36 A , 11 sin1 6 A , 所以2A , 所以( )2sin(2) 6 f xx ()因为0 x,a,所以2, 2 666 xa , 因为( )f x图象的对称轴只有一条落在区间0,a上, 第 16页(共 21页) 所以 3 2 262 a , 得 2 63 a , 所以a的取值范围为 2 ,) 63 18 (14 分)天文学上用星等表示星体亮度,星等的数值越小、星体越亮视星等是指
32、观测 者用肉眼所看到的星体亮度;绝对星等是假定把恒星成放在距地球 32.6 光年的地方测得的 恒星的亮度,反映恒星的真实发光本领 如表列出了(除太阳外)视星等数值最小的 10 颗最充恒星的相关数据,其中0a,1.3 星名天狼星 老人星 南门二 大角星 织女一 五车二 参宿七 南河三 水委一 参宿四 * 视星等1.470.720.270.040.030.080.120.380.46 a 绝对星 等 1.425.534.40.380.60.16.982.672.785.85 赤纬16.752.760.819.238.8468.25.257.27.4 ()从表中随机选择一颗恒星,求它的绝对星等的数值
33、小于视星等的数值的概率; ()已知北京的纬度是北纬40,当且仅当一颗恒星的“赤纬”数值大于50时,能在北 京的夜空中看到它,现从这 10 颗恒星中随机选择 4 颗,记其中能在北京的夜空中看到的数 量为X颗,求X的分布列和数学期望; () 记0a 时 10 颗恒星的视星等的方差为 2 1 s, 记1.3a 时 10 颗恒星的视星等的方差为 2 2 s, 判断 2 1 s与 2 2 s之间的大小关系 (结论不需要证明) 【解答】解: ()设一颗星的绝对星等的数值小于视星等的数值为事件A , 由图表可知,10 颗恒星有 5 颗恒星绝对星等的数值小于视星等的数值, 所以 51 ( ) 102 P A
34、; () 由图表知, 有 7 颗恒星的 “赤纬” 数值大于50, 有 3 颗恒星的 “赤纬” 数值小于50 , 所以随机变量X的所有可能取值为:1,2,3,4, 所以 13 73 4 10 71 (1) 21030 CC P X C , 第 17页(共 21页) 22 73 4 10 3 (2) 10 CC P X C , 31 73 4 10 1 (3) 2 CC P X C , 40 73 4 10 1 (4) 6 CC P X C , 所以随机变量X的分布列为: X1234 P 1 30 3 10 1 2 1 6 所以X的数学期望为 131114 ()1234 3010265 E X ;
35、 ()结论: 22 12 ss 19 (15 分)已知函数( )() x f xe lnxa ()若1a ,求曲线( )yf x在点(1,f(1))处的切线方程; ()若1a ,求证:函数( )f x存在极小值; ()若对任意的实数1x,),( )1f x恒成立,求实数a的取值范围 【解答】解: ()当1a 时,( )(1) x f xe lnx, 所以 11 ( )(1)(1) xxx fxe lnxee lnx xx , 所以f(1)e , f (1)0, 曲线( )yf x在点(1,f(1))处的切线方程为ye ()由( )() x f xe lnxa,得 1 ( )() x fxe l
36、nxa x , 令 1 ( )h xlnxa x ,则 22 111 ( ) x h x xxx , 当01x时,( )0h x,当1x 时,( )0h x, 所以( )h x在区间(0,1)上是减函数,在区间(1,)上是增函数 所以( )h x的最小值为h(1)1a , 当1a 时,h(1)10a ,()0 aa h ee, 又( )h x在(1,)单调递增, 第 18页(共 21页) 故存在 0 (1,) a xe,使得 0 ()0h x, 所以在区间 0 (1,)x上( )0h x ,在区间 0 (x,)上( )0h x , 所以在区间 0 (1,)x上( )0fx,在区间 0 (x,)
37、上( )0fx, 所以在区间 0 (1,)x上( )f x单调递减,在区间 0 (x,)上( )f x单调递增, 故函数( )f x存在极小值 ()对任意的实数1x,),( )1f x恒成立 等价于( )f x的最小值大于或等于1 当1a时,h(1)10a ,由()得( ) 0h x ,所以( ) 0fx 所以( )f x在1,)上单调递增, 所以( )f x的最小值为f(1)ae , 由1ae,得 1 a e ,满足题意, 当1a 时,由()知,( )f x在 0 (1,)x上单调递减, 所以在 0 (1,)x上( )f xf(1)aee ,不满足题意 综上所述,实数a的取值范围是 1 (,
38、 e 20 (15 分)已知椭圆 22 2 :1(0) 3 xy Ca a 的焦点在x轴上,且经过点 3 (1, ) 2 E,左顶点为D, 右焦点为F ()求椭圆C的离心率和DEF的面积; ()已知直线1ykx与椭圆C交于A,B两点过点B作直线(3)yt t的垂线,垂 足为G判断是否存在常数t,使得直线AG经过y轴上的定点?若存在,求t的值;若不 存在,请说明理由 【解答】解: ()依题意, 2 13 1 4a ,解得2a 因为 222 431cab,即1c , 所以( 2,0)D ,(1,0)F, 所以离心率 1 2 c e a , 所以DEF的面积 139 3 224 S ()由已知,直线
39、DE的方程为 1 1 2 yx, 第 19页(共 21页) 当( 2,0)A , 3 (1, ) 2 B,(1, )Gt时, 直线AG的方程为(2) 3 t yx,交y轴于点 2 (0,) 3 t, 当 3 (1, ) 2 A,( 2,0)B ,( 2, )Gt时, 直线AG的方程为 3 3 2 (1) 23 t yx ,交y轴于点 3 (0,) 3 t , 若直线AG经过y轴上定点,则 23 33 t t , 即3t ,直线AG交y轴于点(0,2) 下面证明存在实数3t ,使得直线AG经过y轴上定点(0,2), 联立 22 1, 1 43 ykx xy 消y整理,得 22 (43)880kx
40、kx, 设 1 (A x, 1) y, 2 (B x, 2) y, 则 12 2 8 43 k xx k , 12 2 8 43 x x k , 设点 2 (G x,3),所以直线AG的方程: 1 2 12 3 3() y yxx xx , 令0 x ,得 2121211211212 12121212 333(1)3 3 x yxxx yxx kxxxkx x y xxxxxxxx , 因为 1212 kx xxx, 所以 121212 1212 3()22 2 xxxxxx y xxxx , 所以直线AG过定点(0,2), 综上,存在实数3t ,使得直线AG经过y轴上定点(0,2) 21(1
41、5 分) 已知数列 1 :A a, 2 a,(3) N aN的各项均为正整数, 设集合 | ji Tx xaa, 1ij N,记T的元素个数为( )P T ()若数列:1A,2,4,3,求集合T,并写出( )P T的值; ()若A是递增数列,求证: “( )1P TN”的充要条件是“A为等差数列” ; ()若21Nn,数列A由 1 ,2,3,n,2n这1n 个数组成,且这1n 个数在 数列A中每个至少出现一次,求( )P T的取值个数 【解答】 ()解:因为 1 1a , 2 2a , 3 4a , 4 3a , 所以1T ,2,3,1,( )4P T ; 第 20页(共 21页) ()证明:
42、充分性:若A是等差数列,设公差为d 因为数列A是递增数列,所以0d 则当ji时,() ji aaji d 所以Td,2d,(1) Nd,( )1P TN, 必要性:若( )1P TN 因为A是递增数列,所以 21311N aaaaaa, 所以 21 aa, 31 aa, 1N aaT,且互不相等 所以 21 Taa, 31 aa, 1N aa 又 32421221NNN aaaaaaaaaa , 所以 32 aa, 42 aa, 2N aa, 1N aaT,且互不相等 所以 3221 aaaa, 4231 aaaa, 211NN aaaa 所以 21321NN aaaaaa , 所以A为等差数
43、列; ()解:因为数列A由 1,2,3,n,2n这1n 个数组成,任意两个不同的数作差, 差值只可能为1,2,3,(1)n和(21)n,(22)n,n 共2(1)242nnn个不同的值;且对任意的1m ,2,3,1n,n,21n , m和m这两个数中至少有一个在集合T中, 又因为 1,2,3,n,2n这1n 个数在数列A中共出现21Nn次,所以数列A中 存在() ij aa ij,所以0T 综上,( ) 41P Tn ,且( ) 2P Tn 设数列 0:1 A,1,2,2,3,3,4,4,n,n,2n,此时0T ,1,2,21n , ( )2P Tn 现对数列 0 A分别作如下变换: 把一个
44、1 移动到 2,3 之间,得到数列:1,2,2,1,3,3,4,4,n,n,2n, 此时0T ,1,2,3,(21)n ,1,( )21P Tn 把一个 1 移动到 3,4 之间,得到数列:1,2,2,3,3,1,4,4,n,n,2n, 此时0T ,1,2,3,(21)n ,1,2,( )22P Tn 把一个 1 移动到1n,n之间,得到数列:1,2,2,3,3,4,4,1n,1n,1,n, 第 21页(共 21页) n,2n, 此时0T ,1,2,3,(21)n ,1,2,2n,( )2232P Tnnn 把一个 1 移动到n,2n之间,得到数列:1,2,2,3,3,4,4,n,n,1,2n
45、, 此时0T ,1,2,3,21n ,1,2,1n,( )2131P Tnnn 再对数列 0 A依次作如下变换: 把一个 1 移为2n的后一项,得到数列 1:1 A,2,2,3,3,4,4,n,n,2n,1, 此时0T ,1,2,3,21n ,1,2,1n,12 n,( )3P Tn; 再把一个 2 移为2n的后一项:得到数列 2:1 A,2,3,3,4,4,n,n,2n,2,1, 此时0T ,1,2,3,21n ,1,2,1n,12n,22 n,( )31P Tn; 依此类推 最后把一个n移为2n的后一项:得到数列:1 n A,2,3,4,n,2n,n,1n, 2,1, 此时0T , 1, 2, 3,21n ,1,2,1n,12n,22n,n,( )41P Tn 综上所述,( )P T可以取到从2n到41n 的所有2n个整数值,所以( )P T的取值个数为2n