2021年福建省高考数学诊断性练习试卷（4月份）.docx

1、第 1页（共 27页） 2021 年福建省高考数学诊断性练习试卷（年福建省高考数学诊断性练习试卷（4 月份）月份） 一一、选择题选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分。在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一只有一 项是符合题目要求的。项是符合题目要求的。 1 （5 分）设复数 1 z， 2 z满足 2 0z ，且 122 | 2|zzz，则 1 z可以是() A1i B22iC13i D4i 2 （5 分） 设集合1A ， 2，4， 2 |40BxZ xxm 若1AB ，2， 则(AB ) A1，2，3B1，2，4C0，1，2，3D1，2

2、，3，4 3 （5 分）现用甲、乙两台3D打印设备打印一批对内径有较高精度要求的零件已知这两 台3D打印设备在正常工作状态下打印出的零件内径尺寸Z（单位：)m服从正态分布 (100N， 2 3 )根据要求，正式打印前需要对设备进行调试，调试时，两台设备各试打了 5 个零件，零件内径尺寸（单位：)m如茎叶图所示，根据以上信息，可以判断() A甲、乙两台设备都需要进一步调试 B甲、乙两台设备都不需要进一步调试 C甲需要进一步调试，乙不需要进一步调试 D乙需要进一步调试，甲不需要进一步调试 4 （5 分）甲、乙等 6 位同学去三个社区参加义务劳动，每个社区安排 2 位同学，每位同学 只去一个社区，则

3、甲、乙到同一社区的不同安排方案共有() A6 种B18 种C36 种D72 种 5 （5 分）甲、乙、丙三位同学参加学习脱贫干部黄文秀、戍边英雄陈红军、人民科学家南 仁东、抗疫英雄张定宇等英雄的先进事迹知识竞赛该竞赛共有十道判断题，三位同学的答 题情况如下：考试成绩公布后，三个人都答对了 7 道题，由此可知，110题的正确答案依 次是() 题号选 手 12345678910 第 2页（共 27页） 甲 乙 丙 A、B、 C、D、 6 （5 分）音乐是用声音来表达人的思想感情的一种艺术声音的本质是声波，而声波在空 气中的振动可以用三角函数来刻画， 在音乐中可以用正弦函数来表示单音， 用正弦函数相

4、叠 加表示和弦， 某二和弦可表示为( )sin2sin3f xxx， 则函数( )yf x的图象大致为() A B C D 7 （5 分）已知实数a，b满足 5 a ae ， 3 2 lnb lnbe ，则(ab ) A3B7C 3 eD 7 e 8 （5 分）某地举办“迎建党 100 周年”乒乓球团体赛，比赛采用新斯韦思林杯赛制(5场单 打 3 胜制，即先胜 3 场者获胜，比赛结束） 现有两支球队进行比赛，前 3 场依次分别由甲、 乙、丙和A、B、C出场比赛若经过 3 场比赛未分出胜负，则第 4 场由甲和B进行比赛； 第 3页（共 27页） 若经过 4 场比赛仍未分出胜负，则第 5 场由乙和

5、A进行比赛，假设甲与A或B比赛，甲每 场获胜的概率均为 0.6；乙与A或B比赛，乙每场获胜的概率均为 0.5；丙与C比赛，丙每 场获胜的概率均为 0.5；各场比赛的结果互不影响，那么，恰好经过 4 场比赛分出胜负的概 率为() A0.24B0.25C0.38D0.5 二二、选择题选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分。在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合有多项符合 题目要求。全部选对的得题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分。分。 9 （5 分）已知tan()tantan，其中

6、() 2 k kZ 且() 2 m mZ ，则下列结 论一定正确的是() Asin()0Bcos()1 C 22 sinsin1 22 D 22 sincos1 10 （5 分）函数( )f x的定义域为I若0M使得xI 均有|( )|f xM，且函数(1)f x 是偶函数，则( )f x可以是() A( ) | 2 x f xln x B( )sin()cos(2) 2 f xxx C 11 ( ) 224 x f x D 0, ( ) 1, RQ f x xQ 11 （5 分）已知正方体 1111 ABCDA B C D的棱长为 2，M为 1 AA的中点，平面过点 1 D且与 CM垂直，则

7、() ACMBD B/ /BD平面 C平面 1 / /C BD平面 D平面截正方体所得的截面面积为 9 2 12 （5 分）已知抛物线 2 :4E yx的焦点为F，准线l交x轴于点C，直线m过C且交E于 不同的A，B两点，B在线段AC上，点P为A在l上的射影，下列命题正确的是() A若ABBF，则| |APPC B若P，B，F三点共线，则| 4AF C若| |ABBC，则| 2|AFBF D对于任意直线m，都有| 2|AFBFCF 第 4页（共 27页） 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分）曲线(1) (1)yx

8、lnx在0 x 处的切线方程为 14 （5 分）已知ABC的外心为O，2AOABAC ，| | 1AOAB ，则AO AC 15 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab ，以原点O为圆心、C的焦距为半径的圆 交x轴于A，B两点，P是圆O与C的一个公共点 若|3 |PAPB， 则C的离心率为 16 （5 分）球面几何是几何学的一个重要分支，在航海、航空、卫星定位等方面都有广泛 的应用如图，A，B，C是球面上不在同一大圆（大圆是过球心的平面与球面的交线） 上的三点，经过这三点中任意两点的大圆的劣弧分别为AB， BC， CA，由这三条劣弧组 成的图形称为球面ABC已知地

9、球半径为R，北极为点N，P，Q是地球表面上的两点， 若P，Q在赤道上，且经度分别为东经40和东经80，则球面NPQ的面积为；若 2 6 3 NPNQPQR，则球面NPQ的面积为 四、解答题：共四、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （10 分）在sincos0bAaB，5cos23cos0CC，sinsin2sinBCA， 这三个条件中任选一个， 补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求ABC的面积；若问题中的三角形不存在， 说明理由 问题：是否存在ABC，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 3 cos 5

10、 A ，4a ， _？ 18 （12 分）数列 n a的前n项和为 n S，且 1 12(*) nnn SSa nN （1）若数列1 n a 不是等比数列，求 n a； 第 5页（共 27页） （2）若 1 1a ，在 k a和 1( *) k akN 中插入k个数构成一个新数列 1 : n ba，1， 2 a，3，5， 3 a， 7.9，11， 4 a，插入的所有数依次构成首项为 1，公差为 2 的等差数列，求 n b的前 50 项和 50 T 19 （12 分）如图，四棱锥PABCD的底面ABCD为矩形，E是边AD上的点， 2PAABAEDE，60PBAPBC （1）求证：平面PBE 平面

11、ABCD； （2）求直线PC和平面PBD所成角的正弦值 20 （12 分）抗癌药在消灭癌细胞的同时也会使白细胞的数量减少一般地，病人体内白细 胞浓度低于 4000 个 3 /mm时需要使用升血药物进行“升血”治疗，以刺激骨髓造血，增加血 液中白细胞数量为了解病人的最终用药剂量数(1y剂量25)g和首次用药时的白细胞浓 度x（单位：百个 3 /)mm的关系，某校研究性学习小组从医院甲随机抽取了首次用药时白细 胞浓度均分布在0 4000个 3 /mm的 47 个病例，其首次用药时的白细胞浓度为 i x（单位：百 个 3 /)mm，最终用药剂量数为(1 i y i ，2，47)，得到数据( i x，

12、)(1 i yi ，2，47)， 数据散点图如图所示他们观察发现，这些点大致分布在一条L形折线（由线段 1 L和 2 L组 成）附近，其中 1 L所在直线是由、区的点得到的回归直线，方程为 ybxa，其中 1 2 1 ()() () n ii i n i i xxyy b xx ， a ybx； 2 L所在直线是由、区的点得到的回归直线，方程为 0.0214.64yx 以下是他们在统计中得到的部分数据： 区： 16 1 4721 ii i x y ， 16 2 1 1706 i i x ， 16 1 160 i i x ， 16 1 480 i i y ； 区： 30 17 4713 ii i

13、 x y ， 30 2 17 5134 i i x ， 30 17 266 i i x ， 30 17 252 i i y （1）根据上述数据求 , a b 的值； （结果保留两位小数） 第 6页（共 27页） （2）根据L形折线估计，首次用药时白细胞浓度（单位：个 3 /)mm为多少时最终用药剂量 最少？（结果保留整数） （3）事实上，使用该升血药的大量数据表明，当白细胞浓度在0 40000个 3 /mm时，首次 用药时白细胞浓度越高，最终用药剂量越少请从统计学的角度分析（2）的结论与实际情 况产生差异的原因 （至少写出两点） 参考数据： 2 4721 16 1030 0.745 17061

14、6 10 ， 2 943430 14.524 1.889 684030 14 5 ， 2 943430 14.224.4 1.214 684030 14 2 300.745 1037.45， 241.889 14.551.39， 24.41.214 14.241.64 21 （12 分）已知函数( )(3)2 x f xxex （1）证明：( )f x恰有两个极值点； （2）若 2 ( )3f xax ，求a的取值范围 22 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右顶点分别为A，B，O为坐标原点， 直线:1l x 与C的两个交点和O，B构成一个面积为6的菱形

15、（1）求C的方程； （2）圆E过O，B，交l于点M，N，直线AM，AN分别交C于另一点P，Q，点S， 第 7页（共 27页） T满足 1 3 ASSP ， 1 3 ATTQ ，求O到直线ST和直线PQ的距离之和的最大值 第 8页（共 27页） 2021 年福建省高考数学诊断性练习试卷（年福建省高考数学诊断性练习试卷（4 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一、选择题选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分。在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一只有一 项是符合题目要求的。项是符合题目要求的。 1 （5 分）设复数 1 z，

16、 2 z满足 2 0z ，且 122 | 2|zzz，则 1 z可以是() A1i B22iC13i D4i 【解答】解：设 2 zabi， 若 1 1zi ，则 12 ( 1)()()()zzi abiabba i ， 所以 2222 12 |()()2()zzabbaab， 22 2 2| 2zab，A不满足； 若 1 22zi，则 12 (22 )()2()2()zzi abiabba i， 所以 2222 12 | 2 ()()2 2()zzabbaab， 22 2 2| 2zab，B不满足； 若 1 13zi ，则 12 ( 13 )()(3 )(3 )zzi abiabba i ，

17、 所以 22 12 | 2zzab， 22 2 2| 2zab，C满足； 若 1 4zi，则 12 (4 )()44zzi abibai， 所以 22 12 | 4zzab， 22 2 2| 2zab，D不满足； 故选：C 2 （5 分） 设集合1A ， 2，4， 2 |40BxZ xxm 若1AB ，2， 则(AB ) A1，2，3B1，2，4C0，1，2，3D1，2，3，4 【解答】解：集合1A ，2，4， 2 |40BxZ xxm， 且1AB ，2，所以 1，2 是不等式 2 40 xxm的解集内两个实数根， 4 不是不等式 2 40 xxm的解集内实数根， 且不等式 2 40 xxm的

18、解集关于2x 对称，1 是解集内的整数值，所以 3 也是解集内的 整数值， 所以1B ，2，3， 第 9页（共 27页） 所以1AB ，2，3，4 故选：D 3 （5 分）现用甲、乙两台3D打印设备打印一批对内径有较高精度要求的零件已知这两 台3D打印设备在正常工作状态下打印出的零件内径尺寸Z（单位：)m服从正态分布 (100N， 2 3 )根据要求，正式打印前需要对设备进行调试，调试时，两台设备各试打了 5 个零件，零件内径尺寸（单位：)m如茎叶图所示，根据以上信息，可以判断() A甲、乙两台设备都需要进一步调试 B甲、乙两台设备都不需要进一步调试 C甲需要进一步调试，乙不需要进一步调试 D

19、乙需要进一步调试，甲不需要进一步调试 【解答】解：由题意可得正常状态下服从正态分布(100N， 2 3 )， 则平均值100，标准差3， 根据茎叶图可得 9899100101 102 100 5 甲 ， 41014 2 5 甲 ， 根据3的原则，Z服从正态分布(100N， 2 2 )，(3636)0.9974PZ， 即内径在(94,106)之外的概率为 0.0026，即甲不需要调试， 909799101 105 98.4 5 乙 ， 70.561.960.366.7643.56 24.64 5 乙 ， 根据3原则，Z服从正态分布(98.4N， 2 24.64 )， (66)0.6826PZ，内

20、径在(73.76,123.04)外概率为 0.3174，即乙需要调试， 故选：D 4 （5 分）甲、乙等 6 位同学去三个社区参加义务劳动，每个社区安排 2 位同学，每位同学 只去一个社区，则甲、乙到同一社区的不同安排方案共有() A6 种B18 种C36 种D72 种 第 10页（共 27页） 【解答】解：根据题意，分 2 步进行分析： 在三个社区中任选 1 个，将甲、乙到这个社区，有 3 种情况， 将剩下的 4 为同学平均分为 2 组，安排到剩下的 2 个社区，有 2 24 2 6 2 C A种情况， 则有3618种安排方法， 故选：B 5 （5 分）甲、乙、丙三位同学参加学习脱贫干部黄文

21、秀、戍边英雄陈红军、人民科学家南 仁东、抗疫英雄张定宇等英雄的先进事迹知识竞赛该竞赛共有十道判断题，三位同学的答 题情况如下：考试成绩公布后，三个人都答对了 7 道题，由此可知，110题的正确答案依 次是() 题号选 手 12345678910 甲 乙 丙 A、B、 C、D、 【解答】解：甲与乙 1，2，3，10 题答案相同，1，2，3，10， 乙与丙 2，4，5，7 题答案相同，2，4，5，7， 甲与丙 2，6，8，9 题答案相同，2，6，8，9， 两两都有 4 题答案相同，6 题不同， 因为都对 7 题，所有 4 题相同的都答对了，6 题不同的各对了 3 道， 所有110题答案为：， 故选

22、：A 6 （5 分）音乐是用声音来表达人的思想感情的一种艺术声音的本质是声波，而声波在空 气中的振动可以用三角函数来刻画， 在音乐中可以用正弦函数来表示单音， 用正弦函数相叠 加表示和弦， 某二和弦可表示为( )sin2sin3f xxx， 则函数( )yf x的图象大致为() 第 11页（共 27页） A B C D 【解答】解：根据题意，( )sin2sin3f xxx， 有()sin( 2 )sin( 3 )(sin2sin3 )( )fxxxxxf x ， 则函数( )f x为奇函数，排除D， 在区间(0,) 6 上，( )0f x ，函数图像在x轴上方，排除C， 在区间(0,) 6

23、上，sin2yx与sin3yx都是增函数，函数图像增加最快，排除B， 故选：A 7 （5 分）已知实数a，b满足 5 a ae ， 3 2 lnb lnbe ，则(ab ) A3B7C 3 eD 7 e 【解答】解：实数a，b满足 5 a ae ， 3 2 lnb lnbe ， 5 5 (2) 2 a lnb ae lnbe ， 2alnb， 2 5 alnb lnaa ， 2lnba， 第 12页（共 27页） ()523ln ablnalnbaa， 3 abe 故选：C 8 （5 分）某地举办“迎建党 100 周年”乒乓球团体赛，比赛采用新斯韦思林杯赛制(5场单 打 3 胜制，即先胜 3

24、场者获胜，比赛结束） 现有两支球队进行比赛，前 3 场依次分别由甲、 乙、丙和A、B、C出场比赛若经过 3 场比赛未分出胜负，则第 4 场由甲和B进行比赛； 若经过 4 场比赛仍未分出胜负，则第 5 场由乙和A进行比赛，假设甲与A或B比赛，甲每 场获胜的概率均为 0.6；乙与A或B比赛，乙每场获胜的概率均为 0.5；丙与C比赛，丙每 场获胜的概率均为 0.5；各场比赛的结果互不影响，那么，恰好经过 4 场比赛分出胜负的概 率为() A0.24B0.25C0.38D0.5 【解答】解：记“恰好经过 4 场比赛分出胜负” 、 “恰好经过 4 场比赛甲所在球队获胜” 、 “恰 好经过 4 场比赛A所

25、在球队获胜”的事件分别为D、E、F， 由E，F互斥，且P（D）P（E）( )P F， 若事件E发生，则第四场比赛甲获胜，且前 3 场比赛甲所在球队恰有一场比赛失利， 由于甲对A，B比赛每场获胜的概率均为 0.6， 乙与A或B比赛，乙每场获胜的概率均为 0.5， 丙与C比赛，丙每场获胜的概率均为 0.5，各场比赛的结果互不影响， 甲所在球队恰好经过 4 场比赛获得胜利的概率为： P（E） 1 2 0.6 (0.4 0.5 0.50.60.5 0.5)0.24C， 若事件F发生，则第四场比赛B获胜，且前 3 场比赛A所在球队恰有一场比赛失利， 由于甲对A，B比赛每场获胜的概率均为 0.6， 乙与A

26、或B比赛，乙每场获胜的概率均为 0.5， 丙与C比赛，丙每场获胜的概率均为 0.5，各场比赛的结果互不影响， A所在球队恰好经过 4 场比赛获利胜利的概率为： 1 2 ( )0.4 (0.6 0.5 0.50.40.5 0.5)0.14P FC， 恰好经过 4 场比赛分出胜负的概率为： P（D）P（E）( )0.38P F 故选：C 第 13页（共 27页） 二二、选择题选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分。在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合有多项符合 题目要求。全部选对的得题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0

27、分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分。分。 9 （5 分）已知tan()tantan，其中() 2 k kZ 且() 2 m mZ ，则下列结 论一定正确的是() Asin()0Bcos()1 C 22 sinsin1 22 D 22 sincos1 【解答】解： tantan tan()tantan 1tantan ， 1tantan1 ，即tantan0， ()kkZ或()mmZ， 对于A，sin()sin()0km，故选项A正确； 对于B，cos()cos()1km ，故选项B错误； 对于C， 2222 sinsin1 2222 km sinsin ，故选项C错误； 对于D，由选项A

28、可知，sin()0，所以n， 故 222222 sincossincos ()sincos1n，故选项D正确 故选：AD 10 （5 分）函数( )f x的定义域为I若0M使得xI 均有|( )|f xM，且函数(1)f x 是偶函数，则( )f x可以是() A( ) | 2 x f xln x B( )sin()cos(2) 2 f xxx C 11 ( ) 224 x f x D 0, ( ) 1, RQ f x xQ 【解答】解：当0 x 时，0 2 x x ，则 2 x ln x ，( )f x ，( )f x无界，A错误； (1)sin()cos(22 )coscos2 222 f

29、 xxxxx 为偶函数， 且|(1)|2f x ，B正确； 因为20 x ，222 x ， 所以 111 4224 x ， 所以 1 |( )| 4 f x ，存在符合题意的M， 因为 1 11 (1) 224 x f x ， 第 14页（共 27页） 11 1121 (1) 224224 x xx fx ， 所以 111 1121121 (1)(1)0 224224222 xx xxx fxf x ， 故(1)f x 为奇函数，不符合题意； 0, ( ) 1, RQ f x xQ ，则|( )| 1f x， 因为1x与1x 要么都是有理数，要么都是无理数， 所以(1)(1)f xfx ， 故

30、(1)f x 为偶函数，符合题意 故选：BD 11 （5 分）已知正方体 1111 ABCDA B C D的棱长为 2，M为 1 AA的中点，平面过点 1 D且与 CM垂直，则() ACMBD B/ /BD平面 C平面 1 / /C BD平面 D平面截正方体所得的截面面积为 9 2 【解答】解：以A为原点，AB 、AD 、 1 AA 为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系， 如图所示： 因为正方体 1111 ABCDA B C D的棱长为 2，M为 1 AA的中点， 所以(0M，0，1)，(2B，0，0)，(2C，2，0)，(0D，2，0)， 第 15页（共 27页） 所以( 2BD ，2，0

31、)，( 2CM ，2，1)， 所以4400BD CM ，BDCM ，即BDCM，选项A正确； 因为BDCM ，CM 平面， 所以/ /BD或BD， 若BD，则为平面 1 BDD， 因为 1 (0DD ，0，2)，且 1 20DDCM ，所以BD， 所以/ /BD，选项B正确； 因为 1(2 C，2，2)， 1 (0C B ，2，2)， 所以 1 04220C B CM ， 又 1 C B在平面 1 C BD上，所以平面 1 C BD与平面不平行，选项C错误； 取AB、AD的中点分别为P、Q，连接 1 B P、PQ、 1 QD、 11 B D，过Q作 11 QNB D于点N， 因为/ /PQBD

32、， 11 / /BDB D，所以 11 / /PQB D， 又在Rt 1 BB P、 1 Rt QDD中， 22 11 215B PDQ， 所以四边形 11 PQD B是等腰梯形， 又 1 (0QD ，1，2)， 11 ( 2B D ，2，0)，且 111 0QD CMB D CM ， 所以平面即为平面 11 PQD B，所求截面面积即为等腰梯形 11 PQD B的面积； 又 11 1 2 22 B DPQ D N ，在Rt 1 D NQ中， 13 2 5 22 NQ ， 所以 1 1 22 23 29 222 PQD B S 梯形 ，所以选项D正确 故选：ABD 12 （5 分）已知抛物线

33、2 :4E yx的焦点为F，准线l交x轴于点C，直线m过C且交E于 不同的A，B两点，B在线段AC上，点P为A在l上的射影，下列命题正确的是() A若ABBF，则| |APPC B若P，B，F三点共线，则| 4AF C若| |ABBC，则| 2|AFBF D对于任意直线m，都有| 2|AFBFCF 【解答】解：如图示： 第 16页（共 27页） 由题意E的焦点为(1,0)F，准线:1l x ，( 1,0)C ， 不妨设:1 AB lmyx，联立 2 1 4 myx yx ，则 2 4(1)ymy， 即 2 440ymy，则 12 4yym， 12 4y y ， 设 2 1 ( 4 y A， 1

34、) y， 2 2 ( 4 y B， 2) y，(1,0)F， 对于:0A BF BA ，则 2 2 (1 4 y ， 22 12 2) ( 4 yy y ， 12) 0yy， 整理得： 2 2122 (4)()16yyyy，则 2 22 (4)4myy， 假设| |APPC，则直线的斜率为 1， 即1m 时，解方程 2 22 (4)4yy，得 1 2 22y ， 2 2 22y ， 故 12 4 24yy，故A错误； 对于B：点P为A在l上的射影，则 1 ( 1,)Py， P，B，F三点共线时，有 2 2 2 22 1 1 4 24 y yy y ， 解得： 2 2 3 3 y ， 1 2 3

35、y ，故(3A，2 3)， 故| 4AF ，故B正确； 对于C：作BHl于H，由| |ABBC，得2| |BHAP， 故| 2|AFBF，故C正确； 对于D：由 22 2212 1212 1 | | 22()24 444 yy AFBFBHAPyyy ym， 而| 2CF ，由 2 22 (4)4myy，得 2 16160m，解得： 2 1m ， 第 17页（共 27页） 故 2 442|mCF，故D正确； 故选：BCD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分）曲线(1) (1)yxlnx在0 x 处的切线方程为0

36、xy 【解答】解：由已知( )(1) (1)f xxlnx， 从而( )(1)1fxlnx， (0)0f，(0)1 11fln ， 曲线( )yf x在0 x 处的切线方程为yx， 故答案为：0 xy 14 （5 分） 已知ABC的外心为O，2AOABAC ，| | 1AOAB ， 则AO AC 3 2 【解答】解：因为2AOABAC ，所以O为BC的中点， 又O为ABC的外心，所以BC为圆O的直径，所以| |AOBO ， 又由| | 1AOAB ，所以ABO为等边三角形，所以 3 ABCBAO ， 所以| tan|3ACABCAB ， 因为 2 BAC ，所以 6 OACBACBAO ， 所

37、以 33 |cos13 22 AO ACAOACOAC 故答案为： 3 2 15 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab ，以原点O为圆心、C的焦距为半径的圆 交x轴于A，B两点，P是圆O与C的一个公共点若|3 |PAPB，则C的离心率为 37 2 【解答】 解： 由题意可得， 圆O的方程为 222 4xyc， 与x轴的交点分别为( 2 ,0)c，(2 ,0)c， 则| 4ABc，APB为直角三角形，又|3 |PAPB， | tan3 | PA ABP BP ，即60ABP，连接OP，OBP为等边三角形， 过P作PQAB，可得Q为OB的中点， 第 18页（共 27

38、页） | 2OBc，|OQc，|3PQc，因此P的坐标为( , 3 )cc， 将P点坐标代入双曲线方程，可得 22 22 3 1 cc ab ，即 22 222 3 1 cc aca ， 化简得： 42 510ee ，解得 2 521 2 e ， 又1e ，得 37 2 e 故答案为： 37 2 16 （5 分）球面几何是几何学的一个重要分支，在航海、航空、卫星定位等方面都有广泛 的应用如图，A，B，C是球面上不在同一大圆（大圆是过球心的平面与球面的交线） 上的三点，经过这三点中任意两点的大圆的劣弧分别为AB， BC， CA，由这三条劣弧组 成的图形称为球面ABC已知地球半径为R，北极为点N，

39、P，Q是地球表面上的两点， 若P，Q在赤道上，且经度分别为东经40和东经80，则球面NPQ的面积为 2 2 9 R ； 若 2 6 3 NPNQPQR，则球面NPQ的面积为 【解答】解：PQ在赤道上，且经度分别为40和80， 上半球面面积为 22 1 42 2 RR， 第 19页（共 27页） 球面PNQ面积为 2 2 402 2 3609 R R ， 当 2 6 3 R NPNQPQ时，PNQ为等边三角形， 根据题意构造一个正四面体NPQS，如图所示： 其中心为O，O是高NH的靠近H的四等分点， 则 1 coscos 3 OHOH NOPHOP OPON ， 由余弦定理可得： 22222 2

40、 21 cos 223 ONOPPNRPN NOP ON OPR ， 解得 2 6 3 PNR，正好为题目给的长度， 所以球面PNQ的面积为 22 1 4 4 PNQ SRR ， 故答案为： 2 2 9 R ； 2 R 四、解答题：共四、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （10 分）在sincos0bAaB，5cos23cos0CC，sinsin2sinBCA， 这三个条件中任选一个， 补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求ABC的面积；若问题中的三角形不存在， 说明理由 问题：是否存在ABC，其内角A，B，C

41、的对边分别为a，b，c，且 3 cos 5 A ，4a ， _？ 【解答】解：选择条件： 由正弦定理知， sinsinsin abc ABC ， sincos0bAaB， sinsinsincos0BAAB， 第 20页（共 27页） sin0A ， sin tan1 cos B B B ， (0, )B， 3 4 B ， 32 coscos 524 A ， 4 A ， AB，与ABC相矛盾， 故不存在该三角形 选择条件： 5cos23cos0CC， 2 5(2cos1)3cos0CC，解得 5 cos 5 C 或 5 cos1 2 C （舍)， (0, )C， 2 5 sin 5 C， 3

42、cos 5 A ，且(0, )A， 4 sin 5 A， 由正弦定理知， sinsin ac AC ， 4 4 2 5 5 5 c ，即2 5c ， ABC， 4532 52 5 sinsin()sincoscossin 55555 BACACAC， ABC的面积 112 5 sin42 58 225 SacB 选择条件： 由正弦定理知， sinsinsin abc ABC ， sinsin2sinBCA，且4a ，28bca， 由余弦定理知， 22222 ()2 cos 22 bcabcbca A bcbc ， 364216 52 bc bc ，解得15bc ， 3 cos 5 A ，且(0

43、, )A， 4 sin 5 A， ABC的面积 114 sin156 225 SbcA 18 （12 分）数列 n a的前n项和为 n S，且 1 12(*) nnn SSa nN 第 21页（共 27页） （1）若数列1 n a 不是等比数列，求 n a； （2）若 1 1a ，在 k a和 1( *) k akN 中插入k个数构成一个新数列 1 : n ba，1， 2 a，3，5， 3 a， 7.9，11， 4 a，插入的所有数依次构成首项为 1，公差为 2 的等差数列，求 n b的前 50 项和 50 T 【解答】解： （1） 1 12 nnn SSa ， 即为 11 21 nnnn S

44、Saa ， 即有 1 12(1) nn aa ， 因为数列1 n a 不是等比数列， 若 1 10a ，则 1 1a ， 2 1a ，1 n a ，满足数列1 n a 不是等比数列； 若 1 10a ，即 1 1a ，则数列1 n a 是等比数列，不符题意； 所以1 n a ； （2）若 1 1a ，则数列1 n a 是首项和公比均为 2 的等比数列， 可得12n n a ，即21 n n a ， 由于 n b的前 50 项中，含数列 n a的前 9 项，数列21n 的前 41 项， 所以 9 50 2(12 )1 9(1 81)412694 122 T 19 （12 分）如图，四棱锥PABC

45、D的底面ABCD为矩形，E是边AD上的点， 2PAABAEDE，60PBAPBC （1）求证：平面PBE 平面ABCD； （2）求直线PC和平面PBD所成角的正弦值 【解答】 （1）证明：在BC上取点F，使BFAE，连接AF，交BE于O，连接EF、PF、 OP， 因为ABCD为矩形，ABAE，所以ABFE为正方形，所以AFBE， 因为60PBAPBC ，ABBF，PBPB，所以PABPFB ，所以PAPF， 又为因O为AF中点，所以POAF， 第 22页（共 27页） 又因为OPBEO ，所以AF 平面PBE， 又因为AF 平面ABCD，所以平面PBE 平面ABCD； （2）解：建立如图所示的

46、空间直角坐标系，不妨设1ED ， 则2PAABAE，2 2AF ，2OP ， 于是(2B，0，0)，(0D，3，0)，(2C，3，0)，(1P，1，2)， (1PC ，2，2)，( 2BD ，3，0)，( 1BP ，1，2)， 设平面PBD的法向量为(nx ，y，) z， 230 20 BD nxy BP nxyz ，令3 2x ，(3 2n ，2 2，1)， 所以直线PC和平面PBD所成角的正弦值为 |6 22 42 21| |7 3 3 PC n PCn 20 （12 分）抗癌药在消灭癌细胞的同时也会使白细胞的数量减少一般地，病人体内白细 胞浓度低于 4000 个 3 /mm时需要使用升血

47、药物进行“升血”治疗，以刺激骨髓造血，增加血 液中白细胞数量为了解病人的最终用药剂量数(1y剂量25)g和首次用药时的白细胞浓 度x（单位：百个 3 /)mm的关系，某校研究性学习小组从医院甲随机抽取了首次用药时白细 胞浓度均分布在0 4000个 3 /mm的 47 个病例，其首次用药时的白细胞浓度为 i x（单位：百 个 3 /)mm，最终用药剂量数为(1 i y i ，2，47)，得到数据( i x，)(1 i yi ，2，47)， 数据散点图如图所示他们观察发现，这些点大致分布在一条L形折线（由线段 1 L和 2 L组 成）附近，其中 1 L所在直线是由、区的点得到的回归直线，方程为 y

48、bxa，其中 第 23页（共 27页） 1 2 1 ()() () n ii i n i i xxyy b xx ， a ybx； 2 L所在直线是由、区的点得到的回归直线，方程为 0.0214.64yx 以下是他们在统计中得到的部分数据： 区： 16 1 4721 ii i x y ， 16 2 1 1706 i i x ， 16 1 160 i i x ， 16 1 480 i i y ； 区： 30 17 4713 ii i x y ， 30 2 17 5134 i i x ， 30 17 266 i i x ， 30 17 252 i i y （1）根据上述数据求 , a b 的值；

49、（结果保留两位小数） （2）根据L形折线估计，首次用药时白细胞浓度（单位：个 3 /)mm为多少时最终用药剂量 最少？（结果保留整数） （3）事实上，使用该升血药的大量数据表明，当白细胞浓度在0 40000个 3 /mm时，首次 用药时白细胞浓度越高，最终用药剂量越少请从统计学的角度分析（2）的结论与实际情 况产生差异的原因 （至少写出两点） 参考数据： 2 4721 16 1030 0.745 170616 10 ， 2 943430 14.524 1.889 684030 14 5 ， 2 943430 14.224.4 1.214 684030 14 2 300.745 1037.45，

50、 241.889 14.551.39， 24.41.214 14.241.64 第 24页（共 27页） 【解答】解： （1） 301630 1117 9434 iiiiii iii x yx yx y ， 301630 222 1117 6840 iii iii xxx ， 1630 117 1 ()14.2 30 ii ii xxx ， 1630 117 1 ()24.4 30 ii ii yyy ， 11 2 222 11 ()() 943430 14.224.4 1.214 684030 14 2 () nn iiii ii nn ii ii xxyyx ynxy b xxxnx ，