2021年广东省佛山市高考数学质检试卷（二模）.docx

1、第 1页（共 22页） 2021 年广东省佛山市高考数学质检试卷（二模）年广东省佛山市高考数学质检试卷（二模） 一一、选择题选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 2 |230Mx xx， |0Nxxx ，则(MN ) A0，1B0，1)C(0,3)D0，3) 2 （5 分）设(0, )，则“ 6 ”是“ 1 sin 2 ”的() A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 3 （5 分）复数 3 13 i i

2、 的虚部为() A1B1CiDi 4 （5 分）科技创新离不开科研经费的支撑，在一定程度上，研发投入被视为衡量“创新力” 的重要指标 “十三五”时期我国科技实力和创新能力大幅提升，2020 年我国全社会研发经 费投入达到了 24426 亿元， 总量稳居世界第二， 其中基础研究经费投入占研发经费投入的比 重是6.16% “十四五”规划纲要草案提出，全社会研发经费投入年均增长要大于7%， 到 2025 年基础研究经费占比要达到8%以上，请估计 2025 年我国基础研究经费为() A1500 亿元左右B1800 亿元左右C2200 亿元左右D2800 亿元左右 5 （5 分）A、B两个物理兴趣小组在

3、实验室研究某粒子运动轨迹共同记录到粒子的 13 个位置的坐标信息如表： x 0.930.820.770.610.550.330.270.100.42 0.58 0.64 0.67 0.76 y 0.260.410.450.450.600.670.680.710.64 0.55 0.55 0.53 0.46 A小组根据表中数据，直接对y，x作线性回归分析，得到： 回归方程为0.59930.005yx，相关指数 2 0.4472R ； B小组先将数据依变换 2 ux， 2 vy进行整理，再对v，u作线性回归分析，得到： 回归方程为0.50060.4922vu ，相关指数 2 0.9375R 根据统

4、计学知识，下列方程中，最有可能是该粒子运动轨迹方程的是() A0.59930.0050 xy B0.50060.49220 xy 第 2页（共 22页） C 22 0.5006 1 0.49220.4922 xy D 22 0.5006 1 0.49220.4922 xy 6 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的离心率等于 2， 1 F， 2 F分别是C的左、 右焦点，A为C的右顶点，P在C的渐近线上，且 12 PFPF，若 1 PAF的面积为3a，则C 的虚轴长等于() A3B2C2 3D4 7 （5 分）在棱长为 1 的正方体 1111 ABCDA B

5、C D中，点P是正方体棱上一点，若满足 1 |PBPCd的点P的个数为 4则d的取值范围为() A( 2，2)B( 2，2 2)C2，13D(13，2 2) 8 （5 分）已知不相等的两个正实数x，y满足 2 24 4(loglog)xyyx，则下列不等式中 不可能成立的是() A1xyB1yxC1xyD1yx 二二、选择题选择题：本题共本题共 4 小题小题，毎小题毎小题 5 分分，共共 20 分分在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合有多项符合 题目要求全部选对的得题目要求全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分分 9 （5

6、分）百年大计，教育为本十四五发展纲要中，教育作为一个专章被提出近日，教 育部发布 2020 年全国教育事业统计主要结果其中关于高中阶段教育（含普通高中、中等 职业学校及其他适龄教育机构）近六年的在校规模与毛入学率情况图表及 2020 年高中阶段 教育在校生结构饼图如下： （ 名 词 解 释 ： 高 中 阶 段 毛 入 学 率在 校 生 规 模适 龄 青 少 年 总 人 数 100%) 根据图中信息，下列论断正确的有() A近六年，高中阶段在校生规模与毛入学率均持续增长 第 3页（共 22页） B近六年，高中阶段在校生规模的平均值超过 4000 万人 C2019 年，未接受高中阶段教育的适龄青少

7、年不足 420 万 D2020 年，普通高中的在校生超过 2470 万人 10 （5 分）将曲线 1: sinCyx上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变，再把得到 的曲线向左平移 6 个单位长度，得到曲线 2: ( )Cyf x，则下列结论正确的是() A( )sin(2) 6 f xx B 13 ()( ) 6 fxf x C( )f x在0，2 上有 4 个零点D( )f x在( 3 ，) 6 上单调递增 11 （5 分）已知函数 2 ( )()f xxaxlnx aR，则下列说法正确的是() A若1a ，则( )f x是 1 (0, ) 2 上的减函数 B若01a，则( )

8、f x有两个零点 C若1a ，则( ) 0f x D若1a ，则曲线( )yf x上存在相异两点M，N处的切线平行 12 （5 分）已知无穷等差数列 n a的公差*dN，且 5，17，23 是 n a中的三项，则下列 结论正确的是() Ad的最大值是 6B 28 2aa C n a一定是奇数D137 一定是数列 n a中的项 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）将一个边长为 2 的正三角形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体 的表面积为 14 （5 分）已知函数( )(22 ) xx f xx ，则不等式2

9、( )30f x 的解集为 15 （5 分）已知抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为F，K为C的准线l与x轴的交点，过 点K且倾斜角为45的直线与C点仅有一个公共点(3, )Pt，则t 16（5 分） 在ABC中， 点M，N是线段BC上的两点，| | | 1MAMBMC ， 1 2 MA MN ， 则MA NA ，|NA 的取值范围是 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （12 分）已知数列 n a， n b满足2n nn ab 第 4页（共 22页） （1）若 n a

10、是等差数列， 2 1b ， 4 7b ，求数列 n b的前n项和 n S； （2）若 n b是各项均为正数的等比数列，判断 n a是否为等比数列，并说明理由 18 （12 分）如图 1，在梯形ABCD中，/ /ABCD，90BAD， 1 2 ADCDAB，E为 AB中点，以DE为折痕把ADE折起，使点A到达点P的位置，如图 2 所示 （1）证明：DEPC； （ 2 ） 若PCPD， 求 平 面PBE与 平 面PCD所 成 二 面 角 的 正 弦 值 19 （10 分）在 22 cos2cos21 2 AB ab ， 3 4 BA BC ， 2 sinsin 2 AB这三个条件任 选一个，补充在

11、下面问题中，并解决该问题 问题： 已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， _，1a ， 3 C ， 求ABC 的面积 20 （12 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的某三个顶点形成边长为 2 的正三角形，O为 C的中心 （1）求椭圆C的方程； （2）P在C上，过C的左焦点F且平行于OP的直线与C交于A，B两点，是否存在常数 ，使得 2 | |AFBFOP？若存在，求出的值；若不存在，说明理由 21 （12 分）某小微企业生产一种如图所示的电路子模块，要求三个不同位置 1、2、3 接入 三种不同类型的电子元件，且备选电子元件为A、B、C型，它们正常工作的概

12、率分别为 0.9、0.8、0.7假设接入三个位置的元件能否正常工作相互独立当且仅当 1 号位元件正常 工作，同时 2 号位与 3 号位元件中至少有一件正常工作时，电路子模块才能正常工作 （1）共可组装出多少种不同的电路子模块？ （2）求电路子模块能正常工作的概率最大值； （3）若以每件 5 元、3 元、2 元的价格分别购进A、B、C型元件各 1000 件，组装成 1000 套电路子模块出售，设每套子模块组装费为 20 元每套子模块的售价为 150 元，但每售出l 第 5页（共 22页） 套不能正常工作子模块，除退还购买款外，还将支付购买款的 3 倍作为赔偿金求生产销售 1000 套电路子模块的

13、最大期望利润 22 （12 分）已知函数( )sin x f xexax （1）求实数a的值，使( )(0)f xf； （2）若0a ，证明：当22xa时，( )6f x 第 6页（共 22页） 2021 年广东省佛山市高考数学质检试卷（二模）年广东省佛山市高考数学质检试卷（二模） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一、选择题选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 2 |230Mx xx， |0Nxxx ，则(MN ) A0，1

14、B0，1)C(0,3)D0，3) 【解答】解： | 13Mxx ， |0Nx x， 0MN ，3) 故选：D 2 （5 分）设(0, )，则“ 6 ”是“ 1 sin 2 ”的() A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 【解答】解：(0, )时，若 6 ，则 1 sin 2 ，充分性成立； 若 1 sin 2 ，则0 6 或 5 6 ，必要性不成立； 所以“ 6 ”是“ 1 sin 2 ”的充分不必要条件 故选：A 3 （5 分）复数 3 13 i i 的虚部为() A1B1CiDi 【解答】解： 22 3( 3)(13 )3334 413(13 )(13 )1(

15、3) iiiiii i iii ， 复数 3 13 i i 的虚部为 1 故选：B 4 （5 分）科技创新离不开科研经费的支撑，在一定程度上，研发投入被视为衡量“创新力” 的重要指标 “十三五”时期我国科技实力和创新能力大幅提升，2020 年我国全社会研发经 费投入达到了 24426 亿元， 总量稳居世界第二， 其中基础研究经费投入占研发经费投入的比 第 7页（共 22页） 重是6.16% “十四五”规划纲要草案提出，全社会研发经费投入年均增长要大于7%， 到 2025 年基础研究经费占比要达到8%以上，请估计 2025 年我国基础研究经费为() A1500 亿元左右B1800 亿元左右C22

16、00 亿元左右D2800 亿元左右 【 解 答 】 解 ： 由 题 意 可 知 ， 2025 年 我 国 全 社 会 研 发 经 费 投 入 不 得 低 于 5 24426(17%)34258.7（亿元） ， 又因为 2025 年基础研究经费占比要达到8%以上， 2025年我国基础研究经费不得低于34258.78%2740.7（亿元） ， 故选：D 5 （5 分）A、B两个物理兴趣小组在实验室研究某粒子运动轨迹共同记录到粒子的 13 个位置的坐标信息如表： x 0.930.820.770.610.550.330.270.100.42 0.58 0.64 0.67 0.76 y 0.260.41

17、0.450.450.600.670.680.710.64 0.55 0.55 0.53 0.46 A小组根据表中数据，直接对y，x作线性回归分析，得到： 回归方程为0.59930.005yx，相关指数 2 0.4472R ； B小组先将数据依变换 2 ux， 2 vy进行整理，再对v，u作线性回归分析，得到： 回归方程为0.50060.4922vu ，相关指数 2 0.9375R 根据统计学知识，下列方程中，最有可能是该粒子运动轨迹方程的是() A0.59930.0050 xy B0.50060.49220 xy C 22 0.5006 1 0.49220.4922 xy D 22 0.500

18、6 1 0.49220.4922 xy 【解答】解：由统计学知识可知， 2 R越大，拟合效果越好， 又A小组的相关指数 2 0.4472R ，B小组的相关指数 2 0.9375R ， B组的拟合效果好，则回归方程为0.50060.4922vu ， 又 2 ux， 2 vy， 22 0.50060.4922yx ， 即 22 0.5006 1 0.49220.4922 xy 故选：C 第 8页（共 22页） 6 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的离心率等于 2， 1 F， 2 F分别是C的左、 右焦点，A为C的右顶点，P在C的渐近线上，且 12 PFPF，若

19、 1 PAF的面积为3a，则C 的虚轴长等于() A3B2C2 3D4 【解答】解：双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的离心率等于 2，2 c e a ， 1 F， 2 F分别是C的左、右焦点， 双曲线一三象限的渐近线的向量为： 22 2 3 bca aa ， A为C的右顶点，P在C的渐近线上，且 12 PFPF， 所以( , )P a b， 1 PAF的面积为3a， 可得 1 ()3 2 acba，解：可得2b ， 所以C的虚轴长等于 4 故选：D 7 （5 分）在棱长为 1 的正方体 1111 ABCDA B C D中，点P是正方体棱上一点，若满足 1 |PBPCd的

20、点P的个数为 4则d的取值范围为() A( 2，2)B( 2，2 2)C2，13D(13，2 2) 【解答】解：点P分别在 1 BB，BC， 1 CC， 11 BC上运动时，m的取值范围是 2，2， 当点P分别在 11 C D，AB上运动时，m的取值范围是 2，13， 当点P分别在棱 11 A B，CD上运动时，m的取值范围是2，2 2， 第 9页（共 22页） 当P分别在棱 11 A D， 1 DD，AD， 1 AA上运动时，m的取值范围是13，2 2， 由结合图形可知，点P在正方体的每一条棱上运动时， 它所在的位置与m的值是一一对应的， 当 1 |PBPCd的点P的个数为 4， 则d的取值

21、范围为2，13， 故选：C 8 （5 分）已知不相等的两个正实数x，y满足 2 24 4(loglog)xyyx，则下列不等式中 不可能成立的是() A1xyB1yxC1xyD1yx 【解答】解：由已知 2 24 4(loglog)xyyx，因为 42 2loglogxx， 所以原式可变形为 2 22 2log4logxxyy， 令 2 2 ( )2logf xxx， 2 ( )4logg xxx， 函数( )f x与( )g x均为(0,)上的增函数，且( )( )f xg y，且f（1）g（1） ， 当1x 时，( )1f x ，( )1g y ，1y ， 当1x 时，( )1f x ，(

22、 )1g y ，1y ， 要比较x与y的大小，只需比较( )g x与( )g y的大小， 22 222 ( )( )( )( )4log2log2logg xg yg xf xxxxxxxx， 设 2 2 ( )2log(0)h xxxx x， 则 2 ( )12 2 h xx xln ， 故( )h x在(0,)上单调递减， 又 h （1） 2 10 2ln ， h （2） 1 30 2ln ， 第 10页（共 22页） 则存在 0 (1,2)x 使得( )0h x， 所以当 0 (0,)xx时，( )0h x， 当 0 (xx，)时，( )0h x， 又因为h（1）0， 0 ()h xh（

23、1）0，h（4）12480 ， 所以当1x 时，( )0h x ，当1x 时，( )h x正负不确定， 故当1x ，1y 时，( )0h x ，所以( )( )g xg yg（1） ，故1xy， 当1x ，1y 时，( )h x正负不定，所以( )g x与( )g y的正负不定， 所以1xy，1xy，1yx均有可能，即选项A，C，D均有可能，选项B不可能 故选：B 二二、选择题选择题：本题共本题共 4 小题小题，毎小题毎小题 5 分分，共共 20 分分在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合有多项符合 题目要求全部选对的得题目要求全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0

24、分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分分 9 （5 分）百年大计，教育为本十四五发展纲要中，教育作为一个专章被提出近日，教 育部发布 2020 年全国教育事业统计主要结果其中关于高中阶段教育（含普通高中、中等 职业学校及其他适龄教育机构）近六年的在校规模与毛入学率情况图表及 2020 年高中阶段 教育在校生结构饼图如下： （ 名 词 解 释 ： 高 中 阶 段 毛 入 学 率在 校 生 规 模适 龄 青 少 年 总 人 数 100%) 根据图中信息，下列论断正确的有() A近六年，高中阶段在校生规模与毛入学率均持续增长 B近六年，高中阶段在校生规模的平均值超过 4000 万人 C2019 年

25、，未接受高中阶段教育的适龄青少年不足 420 万 D2020 年，普通高中的在校生超过 2470 万人 【解答】解：对于A，由条形图可知，2018 年高中在校生人数比 2017 年降低了，故选项A 错误； 第 11页（共 22页） 对于B，近六年高中阶段在校生规模的平均值为 137 4000(383029655128)40004000 66 万人，故选项B正确； 对于C，2019 年未接受高中教育的人数为 3995 3995469 89.5% 万人，超过 420 万人，故选项 C错误； 对于D， 2020 年普通高中的在校生人数为412860.1%2480.9282470万人， 故选项D正 确

26、 故选：BD 10 （5 分）将曲线 1: sinCyx上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变，再把得到 的曲线向左平移 6 个单位长度，得到曲线 2: ( )Cyf x，则下列结论正确的是() A( )sin(2) 6 f xx B 13 ()( ) 6 fxf x C( )f x在0，2 上有 4 个零点D( )f x在( 3 ，) 6 上单调递增 【解答】解：根据题意得，( )sin(2) 3 f xx ，A错误； 13132 ()sin(2)sin(2 )sin(2)( ) 63333 fxxxxf x ，B正确； 由0 x，2 得 13 (2), 333 x ，( )f

27、x在0，2 上有 4 个零点，C正确； 由(,) 3 6 x 得 2 (2)(,) 333 x ，( )f x在(,) 3 6 上没有单调性，D错误 故选：BC 11 （5 分）已知函数 2 ( )()f xxaxlnx aR，则下列说法正确的是() A若1a ，则( )f x是 1 (0, ) 2 上的减函数 B若01a，则( )f x有两个零点 C若1a ，则( ) 0f x D若1a ，则曲线( )yf x上存在相异两点M，N处的切线平行 【解答】解：函数 2 ( )()f xxaxlnx aR， 对于A，当1a ， 2 ( )(0)f xxxlnx x， 1 ( )21fxx x 在(

28、0,)上单调递增，又 1 ( )0 2 f ， 第 12页（共 22页） 故当 1 (0, ) 2 x时，( )0fx，则( )f x是 1 (0, ) 2 上的减函数，故A正确； 对于B，若( )0f x ，则 2 0 xaxlnx，故(0) lnx axx x ， 令( )(0) lnx g xxx x ，则 2 22 11 ( )1 lnxxlnx g x xx ，再令 2 ( )1(0)h xxlnxx，显 然，( )h x在(0,)上单调递增，又h（1）0， 所以，当(0,1)x时，( )0h x ，即( )0g x，则( )g x在(0,1)上单调递减， 当(1,)x时，( )0h

29、 x ，即( )0g x，则( )g x在(1,)上单调递增， 故( )ming xg（1）1，要使( )f x有零点，则1a，故B错误； 对于C， 当1a 时， 2 ( )(0)f xxxlnx x， 1 ( )21fxx x 在(0,)上单调递增， 又f （1）0， 故当(0,1)x时，( )0fx，则( )f x是在(0,1)上单调递减； 当(1,)x时，( )0fx，则( )f x在(1,)上单调递增，故( )f xf（1）0，故C正确； 对于D，由于 1 ( )2(0)fxxax x ， 若曲线( )yf x上存在相异两点 1 (M x， 1 ()f x， 2 (N x， 2 ()f

30、 x处的切线平行， 则 121 ()()(fxfxx， 2 0 x ，且 12) xx， 即 12 12 11 22xaxa xx ，即 12 12 11 22xx xx ， 也就是 1 ( )20fxxa x 有两异根，即 1 2(0)axx x 有两个交点 令 1 ( )2(0)t xxx x ， 则( )t x在(0,)上单调递增， 当0t 时，( )t x ； 当t 时， ( )t x ， 故ya与 1 ( )2(0)t xxx x 只有一个交点，故D错误 综上所述，AC正确， 故选：AC 12 （5 分）已知无穷等差数列 n a的公差*dN，且 5，17，23 是 n a中的三项，则

31、下列 结论正确的是() Ad的最大值是 6B 28 2aa C n a一定是奇数D137 一定是数列 n a中的项 【解答】解：无穷等差数列 n a的公差*dN，且 5，17，23 是 n a中的三项， 第 13页（共 22页） 设 17512 23 176 md nd ， 解得 6 d mn ， d的最大值为 6，故A正确； 1 5a， * dN， 281 250aaad，故B正确； 6 d mn ，当2mn时，3d ，数列可能为 5，8，11，14，17，20，23，故C 错误； 13723196， 137一定是等差数列 n a中的项，故D正确 故选：ABD 三、填空题：本题共三、填空题：

32、本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）将一个边长为 2 的正三角形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体 的表面积为4 3 【解答】解：如图所示，正三角形绕AB旋转一周，所得的几何体为两个同底的圆锥， 圆锥的底面半径为3rOC， 所以几何体的表面积为 11 22223 24 3 22 Sr AC 故答案为：4 3 14 （5 分）已知函数( )(22 ) xx f xx ，则不等式2 ( )30f x 的解集为( 1,1) 【解答】解：因为( )(22 ) xx f xx ， 第 14页（共 22页） 所以()(22 )( ) xx fxxf

33、 x ，即( )f x为偶函数， 当0 x时，( )f x单调递增，且f（1） 3 ( 1) 2 f 则不等式2 ( )30f x 可转化为 3 ( ) 2 f x ， 所以11x 故答案为：( 1,1) 15 （5 分）已知抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为F，K为C的准线l与x轴的交点，过 点K且倾斜角为45的直线与C点仅有一个公共点(3, )Pt，则t 6 【解答】解：抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为F，K为C的准线l与x轴的交点， 可知( 2 p K ，0)，过点K且倾斜角为45的直线： 2 p yx， 直线与C点仅有一个公共点(3, )Pt，可得 2 2 2 p

34、 yx ypx ， 可得 22 20ypyp可得ypt，3 2 p p ，解得6p ， 6t 故答案为：6 16（5 分） 在ABC中， 点M，N是线段BC上的两点，| | | 1MAMBMC ， 1 2 MA MN ， 则MA NA 1 2 ，|NA 的取值范围是 【解答】解：根据题意，画出大致图形如下： 结合题意及图形， 可知MA MNMA NA ()MAMNNA MA MA 2 |MA 第 15页（共 22页） 1， 1 2 MA MN ， 11 1 22 MA NA ， 又 1 | | cos 2 MA NAMANAMA ，| cosNANAMA ，NA ， 1 | 2cos, NA

35、MA NA ， 由题意可知点N在线段BC上， 假设点N与点M重合，此时MA ，0NA ，则cosMA ，1NA ， 假设点N与点B重合， 则 1 | | cos 2 MA MNMA MBMAMBMA ，cosMBMA ，MB ， 即 1 cos 2 BMA， 3 BMA 或 2 3 ， 3 BAM 或 6 ，即cosMA ， 1 2 NA 或 3 2 ， 假设点N与点C重合， 则 1 | | cos 2 MA MNMA MCMAMCMA ，cosMCMA ，MC ， 此时同理，可得cosMA ， 1 2 NA 或 3 2 ， 综合，可得 1 cos 2 MA ，1NA ， 1 2cosMA ，

36、2NA ， 11 1 22cos,MA NA ， 即 1 | 1 2 NA ， 故答案为： 1 2 ； 1 ( 2 ，1 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （12 分）已知数列 n a， n b满足2n nn ab （1）若 n a是等差数列， 2 1b ， 4 7b ，求数列 n b的前n项和 n S； （2）若 n b是各项均为正数的等比数列，判断 n a是否为等比数列，并说明理由 第 16页（共 22页） 【解答】解： （1）由2n nn ab，且 2 1b ， 4 7

37、b ， 得 2 22 2145ab ， 4 44 27169ab ， 又 n a是等差数列，设公差为d，则 42 95 2 422 aa d ， 则 12 523aad，32(1)21 n ann， 2(21)2 nn nn ban， 则数列 n b的前n项和 12nn Sbbb 2 35(21)(222 ) n n 21 (321)2(12 ) 242 212 n n nn nn ； （2）令 1 1 (0) n n bbqq ， 由2n nn ab，得 1 1 22 nnn nn abbq ， 1 11 2n n n abq ， 当2q 时， 1 111 11 11 2(2)2 2 2(2

38、)2 nnn n nnn n abqb abqb ， n a是公比为 2 的等比数列； 当2q 时， 1 11 1 1 2 2 nn n nn n ab q ab q 不是常数，数列 n a不是等比数列 18 （12 分）如图 1，在梯形ABCD中，/ /ABCD，90BAD， 1 2 ADCDAB，E为 AB中点，以DE为折痕把ADE折起，使点A到达点P的位置，如图 2 所示 （1）证明：DEPC； （ 2 ） 若PCPD， 求 平 面PBE与 平 面PCD所 成 二 面 角 的 正 弦 值 【解答】 （1）证明：如图，连结CE，AC，DE，AC与DE交于点O， 第 17页（共 22页） 由

39、题意可知，/ /AECD，90BAD， 1 2 ADCDAB， 所以四边形AECD为正方形，且ACCE， 在空间图形中，则有OPDE，OCDE，且OCOPO ，OC，OP 平面POC， 所以DE 平面POC，又PC 平面POC， 所以DEPC； （2）解：设2PCPD，则2PEPDAEAD， 所以 22 2DEAEAD， 11 1 22 OPOCACDE， 在POC中，则有 222 OPOCPC，则OPOC， 由（1）可知，DEOP，DEOC，故DE，OP，OC两两垂直， 以点O为坐标原点，OE，OC，OP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示， 则(0P，0，1)，(2B，1，0)

40、，(1E，0，0)，(0C，1，0)，( 1D ，0，0)， 所以(2,1, 1),(1,0, 1),(0,1, 1),( 1,0, 1)PBPEPCPD ， 设平面PBE的法向量为( , , )mx y z ， 则有 0 0 m PB n PE ，即 20 0 xyz xz ， 令1x ，则1y ，1z ，故(1, 1,1)m ， 设平面PCD的法向量为( , , )na b c ， 则有 0 0 n PC n PD ，即 0 0 bc ac ， 令1a ，则1b ，1c ，故(1n ，1，1)， 所以 |11 |cos,| |333 m n m n m n ， 故平面PBE与平面PCD所成

41、二面角的余弦值为 1 3 ， 所以平面PBE与平面PCD所成二面角的正弦值为 2 12 2 1( ) 33 第 18页（共 22页） 19 （10 分）在 22 cos2cos21 2 AB ab ， 3 4 BA BC ， 2 sinsin 2 AB这三个条件任 选一个，补充在下面问题中，并解决该问题 问题： 已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， _，1a ， 3 C ， 求ABC 的面积 【解答】解：选： 22 cos2cos21 2 AB ab ， 22 22 12121 2 sin Asin B ab ， 即 22 2222 111 2() 2 sin Asin B ab

42、ab ， 由正弦定理知， sinsin ab AB ， 22 111 2ab ， 1a ，2b， ABC的面积 116 sin12sin 2234 SabC 选： 3 cos 4 BA BCcaB ，且1a ， 3 cos 4 cB ， 由余弦定理知， 222 cos 2 acb B ac ， 222 3 24 acb c ac ，即 22 1 2 cb， 又 222 2coscababC， 22 1cbb ， 1 2 b， 第 19页（共 22页） ABC的面积 1113 sin1sin 22238 SabC 选： 3 sinsin 32 C ， 26 sinsinsin 23 ABC， 由

43、正弦定理知， sinsinsin abc ABC ， 6 3 abc，即 6 1 3 cb， 由余弦定理知， 222 2coscababC， 即 22 1cbb ，解得23b ， sinsin0AB，且A，(0, )B， AB，ab，23b， ABC的面积 113(23) sin1 (23)sin 2234 SabC 20 （12 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的某三个顶点形成边长为 2 的正三角形，O为 C的中心 （1）求椭圆C的方程； （2）P在C上，过C的左焦点F且平行于OP的直线与C交于A，B两点，是否存在常数 ，使得 2 | |AFBFOP？若存在，求出

44、的值；若不存在，说明理由 【解答】解： （1）当三顶点为长轴两顶点和短轴一顶点时， 此时边长分别为2a，a，a，不可能为正三角形， 所以正三角形的三顶点只能是短轴两顶点和长轴一顶点， 依题意可得1b ， 3 23 2 ab， 故椭圆C的方程为 2 2 1 3 x y； （2）椭圆C的左焦点F的坐标为(2，0)， 由题意可知，直线AB的斜率不为 0， 设直线AB的方程为2xmy， 联立方程 22 2 33 xmy xy ，消去x可得， 22 (3)2 210mymy ， 第 20页（共 22页） 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 则 2 12(1)0m， 1212 22

45、 2 21 , 33 m yyy y mm ， 所以 2 222 1212 2 1 | |1|0|1|0| (1)| 3 m AFBFmymymy y m ， 直线OP的方程为xmy， 联立方程 22 33 xmy xy ，消去x可得， 22 (3)30my， 所以 2 222 2 3(1) |(1) 3 P m OPmy m ， 故 2 1 | | 3 AFBFOP， 所以存在常数 1 3 ，使得 2 | |AFBFOP 21 （12 分）某小微企业生产一种如图所示的电路子模块，要求三个不同位置 1、2、3 接入 三种不同类型的电子元件，且备选电子元件为A、B、C型，它们正常工作的概率分别为

46、 0.9、0.8、0.7假设接入三个位置的元件能否正常工作相互独立当且仅当 1 号位元件正常 工作，同时 2 号位与 3 号位元件中至少有一件正常工作时，电路子模块才能正常工作 （1）共可组装出多少种不同的电路子模块？ （2）求电路子模块能正常工作的概率最大值； （3）若以每件 5 元、3 元、2 元的价格分别购进A、B、C型元件各 1000 件，组装成 1000 套电路子模块出售，设每套子模块组装费为 20 元每套子模块的售价为 150 元，但每售出l 套不能正常工作子模块，除退还购买款外，还将支付购买款的 3 倍作为赔偿金求生产销售 1000 套电路子模块的最大期望利润 【解答】解： （1

47、）不同的电路子模块共有 3 3 6A 种； （2）6 种子模块正常工作的概率只有下面三种： 用A，B，C分别表示事件“1 号位接入A，B，C型元件时，子模块能正常工作” ， 则P（A）0.9 1(10.7)(10.8)0.90.940.846， P（B）0.8 1(10.7)(10.9)0.80.970.776， P（C）0.7 1(10.8)(10.9)0.70.980.686， 则P（A）P（B）P（C） ， 第 21页（共 22页） 所以当 1 号位接入A型元件时，子模块正常工作的概率最大为 0.846； （3）子模块正常工作的概率越大，期望利润会越高，应把A型元件接入 1 号位 设 1

48、000 套子模块中能正常工作的套数为X，利润为Y， 则(1000,0.846)XB，且 150450(1000)20 1000(532) 1000600480000YXXX， 所以()10000.846846E X ， ( )600 ()48000027600E YE X， 故生产销售 1000 套电路子模块的最大期望利润为 27600 元 22 （12 分）已知函数( )sin x f xexax （1）求实数a的值，使( )(0)f xf； （2）若0a ，证明：当22xa时，( )6f x 【解答】解： （1）由题意得0 x 是( )f x的最小值点，同时也是极小值点， 故(0)0f ，

49、( )cos x fxexa，代入0 x 得(0)20fa，解得：2a ， 当2a 时，( )sin2 x f xexx，则( )cos211 xx fxexecox ， 当0 x 时，1 x e ，cos1x，故( )0fx， 当0 x 时，( )sin0 x fxex，( )fx单调递增， 结合(0)0f ，知0 x 时，( )0fx， 故( )f x在(,0)递减，在(0,)递增，( )(0)f xf成立， 故2a ； （2）证明：若0a ，则222xa， ( )sin x f xexax，则( )cos x fxexa，( )sin0 x fxex， ( )fx单调递增，则 2222 ( )(22)cos(22)(1)0 aa fxfaeaaea ， ( )f x单调递增，故( )(22)f xfa， 故只需证明 22 (22)sin(22)(22) 6 a faeaaa 即可， 令g（a） 22 sin(22)(22)(0) a eaaaa ， 则g（a） 22 2cos(22)210 a eaa ， 第 22页（共 22页） 故g（a）单调递增，故g（a） 2 (0)sin26ge， 故原命题成立