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1、第 1页（共 22页） 2021 年广东省佛山市高考数学质检试卷（二模）年广东省佛山市高考数学质检试卷（二模）一一、选择题选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一只有一项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 2 |230Mx xx， |0Nxxx ，则(MN ) A0，1B0，1)C(0,3)D0，3) 2 （5 分）设(0, )，则“ 6 ”是“ 1 sin 2 ”的() A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 3 （5 分）复数 3 13 i i

2、的虚部为() A1B1CiDi 4 （5 分）科技创新离不开科研经费的支撑，在一定程度上，研发投入被视为衡量“创新力” 的重要指标 “十三五”时期我国科技实力和创新能力大幅提升，2020 年我国全社会研发经费投入达到了 24426 亿元，总量稳居世界第二，其中基础研究经费投入占研发经费投入的比重是6.16% “十四五”规划纲要草案提出，全社会研发经费投入年均增长要大于7%，到 2025 年基础研究经费占比要达到8%以上，请估计 2025 年我国基础研究经费为() A1500 亿元左右B1800 亿元左右C2200 亿元左右D2800 亿元左右 5 （5 分）A、B两个物理兴趣小组在

3、实验室研究某粒子运动轨迹共同记录到粒子的 13 个位置的坐标信息如表： x 0.930.820.770.610.550.330.270.100.42 0.58 0.64 0.67 0.76 y 0.260.410.450.450.600.670.680.710.64 0.55 0.55 0.53 0.46 A小组根据表中数据，直接对y，x作线性回归分析，得到：回归方程为0.59930.005yx，相关指数 2 0.4472R ； B小组先将数据依变换 2 ux， 2 vy进行整理，再对v，u作线性回归分析，得到：回归方程为0.50060.4922vu ，相关指数 2 0.9375R 根据统

4、计学知识，下列方程中，最有可能是该粒子运动轨迹方程的是() A0.59930.0050 xy B0.50060.49220 xy 第 2页（共 22页） C 22 0.5006 1 0.49220.4922 xy D 22 0.5006 1 0.49220.4922 xy 6 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的离心率等于 2， 1 F， 2 F分别是C的左、右焦点，A为C的右顶点，P在C的渐近线上，且 12 PFPF，若 1 PAF的面积为3a，则C 的虚轴长等于() A3B2C2 3D4 7 （5 分）在棱长为 1 的正方体 1111 ABCDA B

5、C D中，点P是正方体棱上一点，若满足 1 |PBPCd的点P的个数为 4则d的取值范围为() A( 2，2)B( 2，2 2)C2，13D(13，2 2) 8 （5 分）已知不相等的两个正实数x，y满足 2 24 4(loglog)xyyx，则下列不等式中不可能成立的是() A1xyB1yxC1xyD1yx 二二、选择题选择题：本题共本题共 4 小题小题，毎小题毎小题 5 分分，共共 20 分分在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合有多项符合题目要求全部选对的得题目要求全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分分 9 （5

6、分）百年大计，教育为本十四五发展纲要中，教育作为一个专章被提出近日，教育部发布 2020 年全国教育事业统计主要结果其中关于高中阶段教育（含普通高中、中等职业学校及其他适龄教育机构）近六年的在校规模与毛入学率情况图表及 2020 年高中阶段教育在校生结构饼图如下：（名词解释：高中阶段毛入学率在校生规模适龄青少年总人数 100%) 根据图中信息，下列论断正确的有() A近六年，高中阶段在校生规模与毛入学率均持续增长第 3页（共 22页） B近六年，高中阶段在校生规模的平均值超过 4000 万人 C2019 年，未接受高中阶段教育的适龄青少

7、年不足 420 万 D2020 年，普通高中的在校生超过 2470 万人 10 （5 分）将曲线 1: sinCyx上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 6 个单位长度，得到曲线 2: ( )Cyf x，则下列结论正确的是() A( )sin(2) 6 f xx B 13 ()( ) 6 fxf x C( )f x在0，2 上有 4 个零点D( )f x在( 3 ，) 6 上单调递增 11 （5 分）已知函数 2 ( )()f xxaxlnx aR，则下列说法正确的是() A若1a ，则( )f x是 1 (0, ) 2 上的减函数 B若01a，则( )

8、f x有两个零点 C若1a ，则( ) 0f x D若1a ，则曲线( )yf x上存在相异两点M，N处的切线平行 12 （5 分）已知无穷等差数列 n a的公差*dN，且 5，17，23 是 n a中的三项，则下列结论正确的是() Ad的最大值是 6B 28 2aa C n a一定是奇数D137 一定是数列 n a中的项三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）将一个边长为 2 的正三角形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的表面积为 14 （5 分）已知函数( )(22 ) xx f xx ，则不等式2

9、( )30f x 的解集为 15 （5 分）已知抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为F，K为C的准线l与x轴的交点，过点K且倾斜角为45的直线与C点仅有一个公共点(3, )Pt，则t 16（5 分）在ABC中，点M，N是线段BC上的两点，| | | 1MAMBMC ， 1 2 MA MN ，则MA NA ，|NA 的取值范围是四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （12 分）已知数列 n a， n b满足2n nn ab 第 4页（共 22页）（1）若 n a

10、是等差数列， 2 1b ， 4 7b ，求数列 n b的前n项和 n S；（2）若 n b是各项均为正数的等比数列，判断 n a是否为等比数列，并说明理由 18 （12 分）如图 1，在梯形ABCD中，/ /ABCD，90BAD， 1 2 ADCDAB，E为 AB中点，以DE为折痕把ADE折起，使点A到达点P的位置，如图 2 所示（1）证明：DEPC；（ 2 ）若PCPD，求平面PBE与平面PCD所成二面角的正弦值 19 （10 分）在 22 cos2cos21 2 AB ab ， 3 4 BA BC ， 2 sinsin 2 AB这三个条件任选一个，补充在

11、下面问题中，并解决该问题问题：已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， _，1a ， 3 C ，求ABC 的面积 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的某三个顶点形成边长为 2 的正三角形，O为 C的中心（1）求椭圆C的方程；（2）P在C上，过C的左焦点F且平行于OP的直线与C交于A，B两点，是否存在常数，使得 2 | |AFBFOP？若存在，求出的值；若不存在，说明理由 21 （12 分）某小微企业生产一种如图所示的电路子模块，要求三个不同位置 1、2、3 接入三种不同类型的电子元件，且备选电子元件为A、B、C型，它们正常工作的概

12、率分别为 0.9、0.8、0.7假设接入三个位置的元件能否正常工作相互独立当且仅当 1 号位元件正常工作，同时 2 号位与 3 号位元件中至少有一件正常工作时，电路子模块才能正常工作（1）共可组装出多少种不同的电路子模块？（2）求电路子模块能正常工作的概率最大值；（3）若以每件 5 元、3 元、2 元的价格分别购进A、B、C型元件各 1000 件，组装成 1000 套电路子模块出售，设每套子模块组装费为 20 元每套子模块的售价为 150 元，但每售出l 第 5页（共 22页）套不能正常工作子模块，除退还购买款外，还将支付购买款的 3 倍作为赔偿金求生产销售 1000 套电路子模块的

13、最大期望利润 22 （12 分）已知函数( )sin x f xexax （1）求实数a的值，使( )(0)f xf；（2）若0a ，证明：当22xa时，( )6f x 第 6页（共 22页） 2021 年广东省佛山市高考数学质检试卷（二模）年广东省佛山市高考数学质检试卷（二模）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一一、选择题选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一只有一项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 2 |230Mx xx， |0Nxxx ，则(MN ) A0，1

14、B0，1)C(0,3)D0，3) 【解答】解： | 13Mxx ， |0Nx x， 0MN ，3) 故选：D 2 （5 分）设(0, )，则“ 6 ”是“ 1 sin 2 ”的() A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：(0, )时，若 6 ，则 1 sin 2 ，充分性成立；若 1 sin 2 ，则0 6 或 5 6 ，必要性不成立；所以“ 6 ”是“ 1 sin 2 ”的充分不必要条件故选：A 3 （5 分）复数 3 13 i i 的虚部为() A1B1CiDi 【解答】解： 22 3( 3)(13 )3334 413(13 )(13 )1(

15、3) iiiiii i iii ，复数 3 13 i i 的虚部为 1 故选：B 4 （5 分）科技创新离不开科研经费的支撑，在一定程度上，研发投入被视为衡量“创新力” 的重要指标 “十三五”时期我国科技实力和创新能力大幅提升，2020 年我国全社会研发经费投入达到了 24426 亿元，总量稳居世界第二，其中基础研究经费投入占研发经费投入的比第 7页（共 22页）重是6.16% “十四五”规划纲要草案提出，全社会研发经费投入年均增长要大于7%，到 2025 年基础研究经费占比要达到8%以上，请估计 2025 年我国基础研究经费为() A1500 亿元左右B1800 亿元左右C22

16、00 亿元左右D2800 亿元左右【解答】解：由题意可知， 2025 年我国全社会研发经费投入不得低于 5 24426(17%)34258.7（亿元），又因为 2025 年基础研究经费占比要达到8%以上， 2025年我国基础研究经费不得低于34258.78%2740.7（亿元），故选：D 5 （5 分）A、B两个物理兴趣小组在实验室研究某粒子运动轨迹共同记录到粒子的 13 个位置的坐标信息如表： x 0.930.820.770.610.550.330.270.100.42 0.58 0.64 0.67 0.76 y 0.260.41

17、0.450.450.600.670.680.710.64 0.55 0.55 0.53 0.46 A小组根据表中数据，直接对y，x作线性回归分析，得到：回归方程为0.59930.005yx，相关指数 2 0.4472R ； B小组先将数据依变换 2 ux， 2 vy进行整理，再对v，u作线性回归分析，得到：回归方程为0.50060.4922vu ，相关指数 2 0.9375R 根据统计学知识，下列方程中，最有可能是该粒子运动轨迹方程的是() A0.59930.0050 xy B0.50060.49220 xy C 22 0.5006 1 0.49220.4922 xy D 22 0.500

18、6 1 0.49220.4922 xy 【解答】解：由统计学知识可知， 2 R越大，拟合效果越好，又A小组的相关指数 2 0.4472R ，B小组的相关指数 2 0.9375R ， B组的拟合效果好，则回归方程为0.50060.4922vu ，又 2 ux， 2 vy， 22 0.50060.4922yx ，即 22 0.5006 1 0.49220.4922 xy 故选：C 第 8页（共 22页） 6 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的离心率等于 2， 1 F， 2 F分别是C的左、右焦点，A为C的右顶点，P在C的渐近线上，且 12 PFPF，若

19、 1 PAF的面积为3a，则C 的虚轴长等于() A3B2C2 3D4 【解答】解：双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的离心率等于 2，2 c e a ， 1 F， 2 F分别是C的左、右焦点，双曲线一三象限的渐近线的向量为： 22 2 3 bca aa ， A为C的右顶点，P在C的渐近线上，且 12 PFPF，所以( , )P a b， 1 PAF的面积为3a，可得 1 ()3 2 acba，解：可得2b ，所以C的虚轴长等于 4 故选：D 7 （5 分）在棱长为 1 的正方体 1111 ABCDA B C D中，点P是正方体棱上一点，若满足 1 |PBPCd的

20、点P的个数为 4则d的取值范围为() A( 2，2)B( 2，2 2)C2，13D(13，2 2) 【解答】解：点P分别在 1 BB，BC， 1 CC， 11 BC上运动时，m的取值范围是 2，2，当点P分别在 11 C D，AB上运动时，m的取值范围是 2，13，当点P分别在棱 11 A B，CD上运动时，m的取值范围是2，2 2，第 9页（共 22页）当P分别在棱 11 A D， 1 DD，AD， 1 AA上运动时，m的取值范围是13，2 2，由结合图形可知，点P在正方体的每一条棱上运动时，它所在的位置与m的值是一一对应的，当 1 |PBPCd的点P的个数为 4，则d的取值

21、范围为2，13，故选：C 8 （5 分）已知不相等的两个正实数x，y满足 2 24 4(loglog)xyyx，则下列不等式中不可能成立的是() A1xyB1yxC1xyD1yx 【解答】解：由已知 2 24 4(loglog)xyyx，因为 42 2loglogxx，所以原式可变形为 2 22 2log4logxxyy，令 2 2 ( )2logf xxx， 2 ( )4logg xxx，函数( )f x与( )g x均为(0,)上的增函数，且( )( )f xg y，且f（1）g（1），当1x 时，( )1f x ，( )1g y ，1y ，当1x 时，( )1f x ，(

22、 )1g y ，1y ，要比较x与y的大小，只需比较( )g x与( )g y的大小， 22 222 ( )( )( )( )4log2log2logg xg yg xf xxxxxxxx，设 2 2 ( )2log(0)h xxxx x，则 2 ( )12 2 h xx xln ，故( )h x在(0,)上单调递减，又 h （1） 2 10 2ln ， h （2） 1 30 2ln ，第 10页（共 22页）则存在 0 (1,2)x 使得( )0h x，所以当 0 (0,)xx时，( )0h x，当 0 (xx，)时，( )0h x，又因为h（1）0， 0 ()h xh（

23、1）0，h（4）12480 ，所以当1x 时，( )0h x ，当1x 时，( )h x正负不确定，故当1x ，1y 时，( )0h x ，所以( )( )g xg yg（1），故1xy，当1x ，1y 时，( )h x正负不定，所以( )g x与( )g y的正负不定，所以1xy，1xy，1yx均有可能，即选项A，C，D均有可能，选项B不可能故选：B 二二、选择题选择题：本题共本题共 4 小题小题，毎小题毎小题 5 分分，共共 20 分分在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合有多项符合题目要求全部选对的得题目要求全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0

24、分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分分 9 （5 分）百年大计，教育为本十四五发展纲要中，教育作为一个专章被提出近日，教育部发布 2020 年全国教育事业统计主要结果其中关于高中阶段教育（含普通高中、中等职业学校及其他适龄教育机构）近六年的在校规模与毛入学率情况图表及 2020 年高中阶段教育在校生结构饼图如下：（名词解释：高中阶段毛入学率在校生规模适龄青少年总人数 100%) 根据图中信息，下列论断正确的有() A近六年，高中阶段在校生规模与毛入学率均持续增长 B近六年，高中阶段在校生规模的平均值超过 4000 万人 C2019 年

25、，未接受高中阶段教育的适龄青少年不足 420 万 D2020 年，普通高中的在校生超过 2470 万人【解答】解：对于A，由条形图可知，2018 年高中在校生人数比 2017 年降低了，故选项A 错误；第 11页（共 22页）对于B，近六年高中阶段在校生规模的平均值为 137 4000(383029655128)40004000 66 万人，故选项B正确；对于C，2019 年未接受高中教育的人数为 3995 3995469 89.5% 万人，超过 420 万人，故选项 C错误；对于D， 2020 年普通高中的在校生人数为412860.1%2480.9282470万人，故选项D正确

26、故选：BD 10 （5 分）将曲线 1: sinCyx上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 6 个单位长度，得到曲线 2: ( )Cyf x，则下列结论正确的是() A( )sin(2) 6 f xx B 13 ()( ) 6 fxf x C( )f x在0，2 上有 4 个零点D( )f x在( 3 ，) 6 上单调递增【解答】解：根据题意得，( )sin(2) 3 f xx ，A错误； 13132 ()sin(2)sin(2 )sin(2)( ) 63333 fxxxxf x ，B正确；由0 x，2 得 13 (2), 333 x ，( )f

27、x在0，2 上有 4 个零点，C正确；由(,) 3 6 x 得 2 (2)(,) 333 x ，( )f x在(,) 3 6 上没有单调性，D错误故选：BC 11 （5 分）已知函数 2 ( )()f xxaxlnx aR，则下列说法正确的是() A若1a ，则( )f x是 1 (0, ) 2 上的减函数 B若01a，则( )f x有两个零点 C若1a ，则( ) 0f x D若1a ，则曲线( )yf x上存在相异两点M，N处的切线平行【解答】解：函数 2 ( )()f xxaxlnx aR，对于A，当1a ， 2 ( )(0)f xxxlnx x， 1 ( )21fxx x 在(

28、0,)上单调递增，又 1 ( )0 2 f ，第 12页（共 22页）故当 1 (0, ) 2 x时，( )0fx，则( )f x是 1 (0, ) 2 上的减函数，故A正确；对于B，若( )0f x ，则 2 0 xaxlnx，故(0) lnx axx x ，令( )(0) lnx g xxx x ，则 2 22 11 ( )1 lnxxlnx g x xx ，再令 2 ( )1(0)h xxlnxx，显然，( )h x在(0,)上单调递增，又h（1）0，所以，当(0,1)x时，( )0h x ，即( )0g x，则( )g x在(0,1)上单调递减，当(1,)x时，( )0h

29、 x ，即( )0g x，则( )g x在(1,)上单调递增，故( )ming xg（1）1，要使( )f x有零点，则1a，故B错误；对于C，当1a 时， 2 ( )(0)f xxxlnx x， 1 ( )21fxx x 在(0,)上单调递增，又f （1）0，故当(0,1)x时，( )0fx，则( )f x是在(0,1)上单调递减；当(1,)x时，( )0fx，则( )f x在(1,)上单调递增，故( )f xf（1）0，故C正确；对于D，由于 1 ( )2(0)fxxax x ，若曲线( )yf x上存在相异两点 1 (M x， 1 ()f x， 2 (N x， 2 ()f

30、 x处的切线平行，则 121 ()()(fxfxx， 2 0 x ，且 12) xx，即 12 12 11 22xaxa xx ，即 12 12 11 22xx xx ，也就是 1 ( )20fxxa x 有两异根，即 1 2(0)axx x 有两个交点令 1 ( )2(0)t xxx x ，则( )t x在(0,)上单调递增，当0t 时，( )t x ；当t 时， ( )t x ，故ya与 1 ( )2(0)t xxx x 只有一个交点，故D错误综上所述，AC正确，故选：AC 12 （5 分）已知无穷等差数列 n a的公差*dN，且 5，17，23 是 n a中的三项，则

31、下列结论正确的是() Ad的最大值是 6B 28 2aa C n a一定是奇数D137 一定是数列 n a中的项【解答】解：无穷等差数列 n a的公差*dN，且 5，17，23 是 n a中的三项，第 13页（共 22页）设 17512 23 176 md nd ，解得 6 d mn ， d的最大值为 6，故A正确； 1 5a， * dN， 281 250aaad，故B正确； 6 d mn ，当2mn时，3d ，数列可能为 5，8，11，14，17，20，23，故C 错误； 13723196， 137一定是等差数列 n a中的项，故D正确故选：ABD 三、填空题：本题共三、填空题：

32、本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）将一个边长为 2 的正三角形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的表面积为4 3 【解答】解：如图所示，正三角形绕AB旋转一周，所得的几何体为两个同底的圆锥，圆锥的底面半径为3rOC，所以几何体的表面积为 11 22223 24 3 22 Sr AC 故答案为：4 3 14 （5 分）已知函数( )(22 ) xx f xx ，则不等式2 ( )30f x 的解集为( 1,1) 【解答】解：因为( )(22 ) xx f xx ，第 14页（共 22页）所以()(22 )( ) xx fxxf

33、 x ，即( )f x为偶函数，当0 x时，( )f x单调递增，且f（1） 3 ( 1) 2 f 则不等式2 ( )30f x 可转化为 3 ( ) 2 f x ，所以11x 故答案为：( 1,1) 15 （5 分）已知抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为F，K为C的准线l与x轴的交点，过点K且倾斜角为45的直线与C点仅有一个公共点(3, )Pt，则t 6 【解答】解：抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为F，K为C的准线l与x轴的交点，可知( 2 p K ，0)，过点K且倾斜角为45的直线： 2 p yx，直线与C点仅有一个公共点(3, )Pt，可得 2 2 2 p

35、MA NA ，由题意可知点N在线段BC上，假设点N与点M重合，此时MA ，0NA ，则cosMA ，1NA ，假设点N与点B重合，则 1 | | cos 2 MA MNMA MBMAMBMA ，cosMBMA ，MB ，即 1 cos 2 BMA， 3 BMA 或 2 3 ， 3 BAM 或 6 ，即cosMA ， 1 2 NA 或 3 2 ，假设点N与点C重合，则 1 | | cos 2 MA MNMA MCMAMCMA ，cosMCMA ，MC ，此时同理，可得cosMA ， 1 2 NA 或 3 2 ，综合，可得 1 cos 2 MA ，1NA ， 1 2cosMA ，

36、2NA ， 11 1 22cos,MA NA ，即 1 | 1 2 NA ，故答案为： 1 2 ； 1 ( 2 ，1 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （12 分）已知数列 n a， n b满足2n nn ab （1）若 n a是等差数列， 2 1b ， 4 7b ，求数列 n b的前n项和 n S；（2）若 n b是各项均为正数的等比数列，判断 n a是否为等比数列，并说明理由第 16页（共 22页）【解答】解：（1）由2n nn ab，且 2 1b ， 4 7

37、b ，得 2 22 2145ab ， 4 44 27169ab ，又 n a是等差数列，设公差为d，则 42 95 2 422 aa d ，则 12 523aad，32(1)21 n ann， 2(21)2 nn nn ban，则数列 n b的前n项和 12nn Sbbb 2 35(21)(222 ) n n 21 (321)2(12 ) 242 212 n n nn nn ；（2）令 1 1 (0) n n bbqq ，由2n nn ab，得 1 1 22 nnn nn abbq ， 1 11 2n n n abq ，当2q 时， 1 111 11 11 2(2)2 2 2(2

38、)2 nnn n nnn n abqb abqb ， n a是公比为 2 的等比数列；当2q 时， 1 11 1 1 2 2 nn n nn n ab q ab q 不是常数，数列 n a不是等比数列 18 （12 分）如图 1，在梯形ABCD中，/ /ABCD，90BAD， 1 2 ADCDAB，E为 AB中点，以DE为折痕把ADE折起，使点A到达点P的位置，如图 2 所示（1）证明：DEPC；（ 2 ）若PCPD，求平面PBE与平面PCD所成二面角的正弦值【解答】（1）证明：如图，连结CE，AC，DE，AC与DE交于点O，第 17页（共 22页）由

39、题意可知，/ /AECD，90BAD， 1 2 ADCDAB，所以四边形AECD为正方形，且ACCE，在空间图形中，则有OPDE，OCDE，且OCOPO ，OC，OP 平面POC，所以DE 平面POC，又PC 平面POC，所以DEPC；（2）解：设2PCPD，则2PEPDAEAD，所以 22 2DEAEAD， 11 1 22 OPOCACDE，在POC中，则有 222 OPOCPC，则OPOC，由（1）可知，DEOP，DEOC，故DE，OP，OC两两垂直，以点O为坐标原点，OE，OC，OP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，则(0P，0，1)，(2B，1，0)

40、，(1E，0，0)，(0C，1，0)，( 1D ，0，0)，所以(2,1, 1),(1,0, 1),(0,1, 1),( 1,0, 1)PBPEPCPD ，设平面PBE的法向量为( , , )mx y z ，则有 0 0 m PB n PE ，即 20 0 xyz xz ，令1x ，则1y ，1z ，故(1, 1,1)m ，设平面PCD的法向量为( , , )na b c ，则有 0 0 n PC n PD ，即 0 0 bc ac ，令1a ，则1b ，1c ，故(1n ，1，1)，所以 |11 |cos,| |333 m n m n m n ，故平面PBE与平面PCD所成

41、二面角的余弦值为 1 3 ，所以平面PBE与平面PCD所成二面角的正弦值为 2 12 2 1( ) 33 第 18页（共 22页） 19 （10 分）在 22 cos2cos21 2 AB ab ， 3 4 BA BC ， 2 sinsin 2 AB这三个条件任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题问题：已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， _，1a ， 3 C ，求ABC 的面积【解答】解：选： 22 cos2cos21 2 AB ab ， 22 22 12121 2 sin Asin B ab ，即 22 2222 111 2() 2 sin Asin B ab

42、ab ，由正弦定理知， sinsin ab AB ， 22 111 2ab ， 1a ，2b， ABC的面积 116 sin12sin 2234 SabC 选： 3 cos 4 BA BCcaB ，且1a ， 3 cos 4 cB ，由余弦定理知， 222 cos 2 acb B ac ， 222 3 24 acb c ac ，即 22 1 2 cb，又 222 2coscababC， 22 1cbb ， 1 2 b，第 19页（共 22页） ABC的面积 1113 sin1sin 22238 SabC 选： 3 sinsin 32 C ， 26 sinsinsin 23 ABC，由

43、正弦定理知， sinsinsin abc ABC ， 6 3 abc，即 6 1 3 cb，由余弦定理知， 222 2coscababC，即 22 1cbb ，解得23b ， sinsin0AB，且A，(0, )B， AB，ab，23b， ABC的面积 113(23) sin1 (23)sin 2234 SabC 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的某三个顶点形成边长为 2 的正三角形，O为 C的中心（1）求椭圆C的方程；（2）P在C上，过C的左焦点F且平行于OP的直线与C交于A，B两点，是否存在常数，使得 2 | |AFBFOP？若存在，求出

44、的值；若不存在，说明理由【解答】解：（1）当三顶点为长轴两顶点和短轴一顶点时，此时边长分别为2a，a，a，不可能为正三角形，所以正三角形的三顶点只能是短轴两顶点和长轴一顶点，依题意可得1b ， 3 23 2 ab，故椭圆C的方程为 2 2 1 3 x y；（2）椭圆C的左焦点F的坐标为(2，0)，由题意可知，直线AB的斜率不为 0，设直线AB的方程为2xmy，联立方程 22 2 33 xmy xy ，消去x可得， 22 (3)2 210mymy ，第 20页（共 22页）设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，则 2 12(1)0m， 1212 22

45、 2 21 , 33 m yyy y mm ，所以 2 222 1212 2 1 | |1|0|1|0| (1)| 3 m AFBFmymymy y m ，直线OP的方程为xmy，联立方程 22 33 xmy xy ，消去x可得， 22 (3)30my，所以 2 222 2 3(1) |(1) 3 P m OPmy m ，故 2 1 | | 3 AFBFOP，所以存在常数 1 3 ，使得 2 | |AFBFOP 21 （12 分）某小微企业生产一种如图所示的电路子模块，要求三个不同位置 1、2、3 接入三种不同类型的电子元件，且备选电子元件为A、B、C型，它们正常工作的概率分别为

46、 0.9、0.8、0.7假设接入三个位置的元件能否正常工作相互独立当且仅当 1 号位元件正常工作，同时 2 号位与 3 号位元件中至少有一件正常工作时，电路子模块才能正常工作（1）共可组装出多少种不同的电路子模块？（2）求电路子模块能正常工作的概率最大值；（3）若以每件 5 元、3 元、2 元的价格分别购进A、B、C型元件各 1000 件，组装成 1000 套电路子模块出售，设每套子模块组装费为 20 元每套子模块的售价为 150 元，但每售出l 套不能正常工作子模块，除退还购买款外，还将支付购买款的 3 倍作为赔偿金求生产销售 1000 套电路子模块的最大期望利润【解答】解：（1

47、）不同的电路子模块共有 3 3 6A 种；（2）6 种子模块正常工作的概率只有下面三种：用A，B，C分别表示事件“1 号位接入A，B，C型元件时，子模块能正常工作” ，则P（A）0.9 1(10.7)(10.8)0.90.940.846， P（B）0.8 1(10.7)(10.9)0.80.970.776， P（C）0.7 1(10.8)(10.9)0.70.980.686，则P（A）P（B）P（C），第 21页（共 22页）所以当 1 号位接入A型元件时，子模块正常工作的概率最大为 0.846；（3）子模块正常工作的概率越大，期望利润会越高，应把A型元件接入 1 号位设 1

48、000 套子模块中能正常工作的套数为X，利润为Y，则(1000,0.846)XB，且 150450(1000)20 1000(532) 1000600480000YXXX，所以()10000.846846E X ， ( )600 ()48000027600E YE X，故生产销售 1000 套电路子模块的最大期望利润为 27600 元 22 （12 分）已知函数( )sin x f xexax （1）求实数a的值，使( )(0)f xf；（2）若0a ，证明：当22xa时，( )6f x 【解答】解：（1）由题意得0 x 是( )f x的最小值点，同时也是极小值点，故(0)0f ，

49、( )cos x fxexa，代入0 x 得(0)20fa，解得：2a ，当2a 时，( )sin2 x f xexx，则( )cos211 xx fxexecox ，当0 x 时，1 x e ，cos1x，故( )0fx，当0 x 时，( )sin0 x fxex，( )fx单调递增，结合(0)0f ，知0 x 时，( )0fx，故( )f x在(,0)递减，在(0,)递增，( )(0)f xf成立，故2a ；（2）证明：若0a ，则222xa， ( )sin x f xexax，则( )cos x fxexa，( )sin0 x fxex， ( )fx单调递增，则 2222 ( )(22)cos(22)(1)0 aa fxfaeaaea ， ( )f x单调递增，故( )(22)f xfa，故只需证明 22 (22)sin(22)(22) 6 a faeaaa 即可，令g（a） 22 sin(22)(22)(0) a eaaaa ，则g（a） 22 2cos(22)210 a eaa ，第 22页（共 22页）故g（a）单调递增，故g（a） 2 (0)sin26ge，故原命题成立

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