1、 13.4 课题学习课题学习 最短路径问题最短路径问题 人教版八年级数学(上册) 1、三角形的三边关系是 ; 2、两点之间, 最短; 3、连接直线外一点与直线上各点的所有线 段中 最短。 两边之和大于第三边两边之和大于第三边 线段线段 垂线段垂线段 问题问题1 1:如图,要在燃气管道:如图,要在燃气管道L L上修建一个泵上修建一个泵 站,分别向站,分别向A A、B B两镇供气,泵站修在管道的两镇供气,泵站修在管道的 什么地方,可使所用的输气管线最短?什么地方,可使所用的输气管线最短? P 泵站建在点泵站建在点P P可使输气可使输气 管线最短管线最短 管道管道 方法归纳:连接AB,与直线l相交于
2、一点,根据“两点之 间,线段最短”可知,交点P即为所求。 l 探索新知探索新知 A镇镇 B镇镇 探索新知探索新知 问题问题2:如图:如图,牧马人从牧马人从A地出发,到一条笔直的地出发,到一条笔直的 河边河边l饮马,然后到饮马,然后到B地。牧马人到河边什么地地。牧马人到河边什么地 方饮马,可使所走的路径最短?方饮马,可使所走的路径最短? A B C l 如果将河抽象成一条直线如果将河抽象成一条直线l,A、B两地抽象成两个点,两地抽象成两个点, C为直线上的一个动点。为直线上的一个动点。 B A l 那么上面的问题可转化为:当点那么上面的问题可转化为:当点C在直线在直线l的什么位置的什么位置 时,
3、线段时,线段AC、BC之和最小?之和最小? 追问追问1对于上述问题,如何将点对于上述问题,如何将点B“移移”到到l 的另一侧的另一侧 B处,满足直线处,满足直线l 上的任意一点上的任意一点C,都保持,都保持CB 与与CB的长度相等?的长度相等? 思考:思考: 如图,点如图,点A,B 在直线在直线l的同侧,点的同侧,点C 是直线是直线 l上的一个动点,当点上的一个动点,当点C 在在l 的什么位置时,的什么位置时,AC 与与 CB 的和最小?的和最小? 探索新知探索新知 追问追问2你能利用轴对称的有关知识,找到上问中符合你能利用轴对称的有关知识,找到上问中符合 条件的点条件的点B吗?吗? B l
4、A B C 思考:思考:利用问题利用问题1 1的方法,连接的方法,连接ABAB,则,则ABAB与直线与直线l的的 交点即为所求。交点即为所求。 探索新知探索新知 方法归纳:(1)作点B关于直线的对称点B; (2)连接AB,与直线相交于点C。 则点C即为所求。 B l A B C 思考:思考:你能用所学的知识证明你能用所学的知识证明AC + +BC最短吗?最短吗? B l A B C C 探索新知探索新知 如图,已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、 AB边的中点,AD=5,点F是AD边上的动点,则BF+EF 的最小值为() A7.5 B5 C4 D不能确定 B 应用新知应用新知 模型一:
5、两定点一动点 最短 路径 问题 归纳归纳 两个 转化 两点在一条 直线的同侧 转化转化两点在一条 直线的异侧 两条或三条线段 和的最小值问题 转化转化 一条线段 解题方法轴对称知识+线段公理 已知已知MON=40,P为为MON内一定点,内一定点,OM上有一上有一 点点A,ON上有一点上有一点B,当,当PAB的周长取最小值时,的周长取最小值时, 求求APB的度数的度数. 课堂练习课堂练习模型二:一定点两动点 拓展新知拓展新知 扩展题:在AOB内部有两点M、N,是否在OA、OB 上分别存在点E、F,使得E、F、M、N,四点组成的四 边形的周长最短,找出E、F两点,并说明理由 N O A B M M
6、 N F 模型三:两定点两动点 E 如图,圆柱形玻璃杯高为14cm,底面周长为32cm, 在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜,此时一只蚂 蚁正好在杯外壁,离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处, 则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为 _cm(杯壁厚度不计). 课后练习课后练习 将杯子侧面展开,建立将杯子侧面展开,建立A关于关于EF的对称的对称 点点A,根据两点之间线段最短可知,根据两点之间线段最短可知AB的的 长度即为所求,长度即为所求, 如图:如图: 将杯子侧面展开,作将杯子侧面展开,作A关于关于EF的对称点的对称点A 连接连接AB,则则AB即为最短距离,即为最短距离, 故答案为故答案为20. 指点迷津指点迷津 解析:解析: 原理 两点之间,线段最短。 三种 模型 最最 短短 路路 径径 问问 题题 课堂小结课堂小结 题 型 A、B两点在一 条直线l的异侧 (1)作点B关于直线的对 称点B; (2)连接AB,与直线 相交于点C。 则点C即为所求。 连接AB,与直线相交于点 P。则点P即为所求。 A、B两点在一 条直线l的同侧 模型一:两定点一动点 模型二:一定点两动点 模型三:两定点两动点 作法作法 作法作法 谢谢大家的聆听!