1、 13.4 课题学习课题学习 最短路径问题最短路径问题 人教版八年级数学（上册） 1、三角形的三边关系是 ； 2、两点之间， 最短； 3、连接直线外一点与直线上各点的所有线 段中 最短。 两边之和大于第三边两边之和大于第三边 线段线段 垂线段垂线段 问题问题1 1：如图，要在燃气管道：如图，要在燃气管道L L上修建一个泵上修建一个泵 站，分别向站，分别向A A、B B两镇供气，泵站修在管道的两镇供气，泵站修在管道的 什么地方，可使所用的输气管线最短？什么地方，可使所用的输气管线最短？ P 泵站建在点泵站建在点P P可使输气可使输气 管线最短管线最短 管道管道 方法归纳：连接AB，与直线l相交于
2、一点，根据“两点之 间，线段最短”可知，交点P即为所求。 l 探索新知探索新知 A镇镇 B镇镇 探索新知探索新知 问题问题2：如图：如图,牧马人从牧马人从A地出发，到一条笔直的地出发，到一条笔直的 河边河边l饮马，然后到饮马，然后到B地。牧马人到河边什么地地。牧马人到河边什么地 方饮马，可使所走的路径最短？方饮马，可使所走的路径最短？ A B C l 如果将河抽象成一条直线如果将河抽象成一条直线l，A、B两地抽象成两个点，两地抽象成两个点， C为直线上的一个动点。为直线上的一个动点。 B A l 那么上面的问题可转化为：当点那么上面的问题可转化为：当点C在直线在直线l的什么位置的什么位置 时，
3、线段时，线段AC、BC之和最小？之和最小？ 追问追问1对于上述问题，如何将点对于上述问题，如何将点B“移移”到到l 的另一侧的另一侧 B处，满足直线处，满足直线l 上的任意一点上的任意一点C，都保持，都保持CB 与与CB的长度相等？的长度相等？ 思考：思考： 如图，点如图，点A，B 在直线在直线l的同侧，点的同侧，点C 是直线是直线 l上的一个动点，当点上的一个动点，当点C 在在l 的什么位置时，的什么位置时，AC 与与 CB 的和最小？的和最小？ 探索新知探索新知 追问追问2你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合 条件的点条件的点B吗？吗？ B l
4、A B C 思考：思考：利用问题利用问题1 1的方法，连接的方法，连接ABAB，则，则ABAB与直线与直线l的的 交点即为所求。交点即为所求。 探索新知探索新知 方法归纳：（1）作点B关于直线的对称点B； （2）连接AB，与直线相交于点C。 则点C即为所求。 B l A B C 思考：思考：你能用所学的知识证明你能用所学的知识证明AC + +BC最短吗？最短吗？ B l A B C C 探索新知探索新知 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、 AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF 的最小值为（） A7.5 B5 C4 D不能确定 B 应用新知应用新知 模型一：
5、两定点一动点 最短 路径 问题 归纳归纳 两个 转化 两点在一条 直线的同侧 转化转化两点在一条 直线的异侧 两条或三条线段 和的最小值问题 转化转化 一条线段 解题方法轴对称知识+线段公理 已知已知MON=40，P为为MON内一定点，内一定点，OM上有一上有一 点点A，ON上有一点上有一点B，当，当PAB的周长取最小值时，的周长取最小值时， 求求APB的度数的度数. 课堂练习课堂练习模型二：一定点两动点 拓展新知拓展新知 扩展题：在AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB 上分别存在点E、F，使得E、F、M、N，四点组成的四 边形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由 N O A B M M
6、 N F 模型三：两定点两动点 E 如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm， 在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂 蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处， 则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为 _cm（杯壁厚度不计）. 课后练习课后练习 将杯子侧面展开，建立将杯子侧面展开，建立A关于关于EF的对称的对称 点点A，根据两点之间线段最短可知，根据两点之间线段最短可知AB的的 长度即为所求，长度即为所求， 如图：如图： 将杯子侧面展开，作将杯子侧面展开，作A关于关于EF的对称点的对称点A 连接连接AB,则则AB即为最短距离，即为最短距离， 故答案为故答案为20. 指点迷津指点迷津 解析：解析： 原理 两点之间，线段最短。 三种 模型 最最 短短 路路 径径 问问 题题 课堂小结课堂小结 题 型 A、B两点在一 条直线l的异侧 （1）作点B关于直线的对 称点B； （2）连接AB，与直线 相交于点C。 则点C即为所求。 连接AB，与直线相交于点 P。则点P即为所求。 A、B两点在一 条直线l的同侧 模型一：两定点一动点 模型二：一定点两动点 模型三：两定点两动点 作法作法 作法作法 谢谢大家的聆听！
