1、模块综合测评(一) (时间:120 分钟满分:150 分) 一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的 1若向量 a(1,0,z)与向量 b(2,1,2)的夹角的余弦值为2 3,则 z( ) A0B1C1D2 A由题意可知 cosa,b ab |a|b| 22z 1z2 414 2 3,解得 z0,故 选 A 2已知四面体 ABCD 的所有棱长都是 2,点 E,F 分别是 AD,DC 的中点, 则EF BA () A1B1C 3D 3 B 如图所示,EF 1 2AC ,所以EF BA 1 2AC (AB )1 222cos
2、601, 故选 B 3若 A(2,3),B(3,2),C 1 2,m三点共线,则 m 的值为() A1 2 B1 2 C2D2 A由 23 32 m2 1 23 ,解得 m1 2 4若 P(2,1)为圆 C:(x1)2y225 的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程 是() A2xy50B2xy30 Cxy10Dxy30 D圆心 C(1,0),kPC01 12 1, 则 kAB1,AB 的方程为 y1x2, 即 xy30,故选 D 5 双曲线x 2 m y2 n 1(mn0)的离心率为 2, 有一个焦点与抛物线 y24x 的焦点 重合,则 mn 的值为() A 3 16 B3 8 C16 3
3、 D8 3 A抛物线 y24x 的焦点为(1,0), 故双曲线的一个焦点是(1,0), 所以 mn1,且 1 m2,解得 m 1 4,n 3 4, 故 mn 3 16 6阿基米德出生于希腊西西里岛叙拉古,享有“力学之父”的美称, 和高斯、 牛顿并列为世界三大数学家,他利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆周率、椭 圆的半长轴长、椭圆的半短轴长三者的乘积已知椭圆 C:x 2 a2 y2 b21(ab0)的 面积为 8,直线 l 过椭圆 C 的两个顶点,且椭圆的中心到直线 l 的距离为4 34 17 , 则椭圆 C 的方程为() Ax 2 16 y2 4 1Bx 2 20 y2 141 Cx 2 64
4、y 21 Dx 2 32 y2 2 1 D依题意,8ab,故 ab8 不妨设直线 l:x a y b1,即 bxayab0, 则椭圆的中心到直线 l 的距离为 ab a2b2 4 34 17 ,解得 a2b234, 联立,解得 a4 2,b 2,故椭圆 C 的方程为x 2 32 y2 2 1故选 D 7如图所示,在长方体 ABCDA1B1C1D1中,B1C 和 C1D 与底面所成的角分别 为 60和 45,则异面直线 B1C 和 C1D 所成角的余弦值为() A 6 4 B 6 3 C 2 6 D 2 3 AB1B平面 ABCD, BCB1是 B1C 与底面所成角, BCB160 C1C底面
5、ABCD, CDC1是 C1D 与底面所成的角, CDC145 连接 A1D,A1C1(图略),则 A1DB1C A1DC1或其补角为异面直线 B1C 与 C1D 所成的角 不妨设 BC1,则 CB1DA12, BB1CC1 3CD, C1D 6,A1C12 在等腰A1C1D 中,cosA1DC1 1 2C 1D A1D 6 4 8在棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1中,M 是 AA1的中点,则点 A1到平 面 MBD 的距离是() A 6a 6 B 3a 6 C 3a 4 D 6a 3 A建立如图所示的空间直角坐标系,则 D(0,0,0),M a,0,a 2 , B(a,a,0)
6、,A1(a,0,a), DM a,0,a 2 , DB (a,a,0),DA1 (a,0,a) 设平面 MBD 的法向量为 n(x,y,z), 则 axa 2z0, axay0, 令 x1,则可得 n(1,1,2) d|DA1 n| |n| |a2a| 6 6 6 a 二、选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求全部选对的得 5 分,部分选对的得 3 分,有选错的得 0 分 9已知直线 l1:xmy10,l2:(m2)x3y30,则下列说法正确的是 () A若 l1l2,则 m1 或 m3 B若 l1l2,则 m3 C若 l1l2,则
7、m1 2 D若 l1l2,则 m1 2 BD直线 l1l2,则 3m(m2)0,解得 m3 或 m1,但 m1 时, 两直线方程分别为 xy10,3x3y30 即 xy10,两直线重合,只 有 m3 时两直线平行,A 错,B 正确;l1l2,则 m23m0,m1 2,C 错,D 正确故选 BD 10在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x2y24x0若直线 yk(x 1)上存在一点 P,使过 P 点所作的圆的两条切线相互垂直,则实数 k 的取值可以 是() A1B2C3D4 AB圆 C 的方程为 x2y24x0,则圆心为 C(2,0),半径 r2 设两个切点分别为 A, B, 则由题
8、意可得四边形 PACB 为正方形, 故有 PC 2r 2 2, 圆心到直线 yk(x1)的距离小于或等于 PC, 即|2k0k| k21 2 2,解得 k28,可得2 2k2 2, 结合选项,实数 k 的取值可以是 1,2 11将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角 ABDC,则下列结论正确的 是() AACBD BACD 是等边三角形 CAB 与平面 BCD 所成的角为 90 DAB 与 CD 所成的角为 60 ABD如图,取 BD 的中点 O,连接 AO,CO,AC,则 AOBD,COBD, 又 AOCOO,BD平面 AOC,又 AC平面 AOC,ACBD,A 正确; AC 2A
9、OADCD,ACD 是等边三角形,B 正确;易知 AO平面 BCD, ABD 是 AB 与平面 BCD 所成的角,为 45,C 错误;AC AB BD DC , 不妨设 AB1,则AC2 (AB BD DC )2AB2 BD2 DC2 2AB BD 2BD DC 2AB DC , 11212 2 2 2 2 2 2 2 2cos AB , DC , cos AB , DC 1 2,AB 与 CD 所成的角为 60,D 正确故选 ABD 12设抛物线 C:y22px(p0)的焦点为 F,准线为 l,A 为 C 上一点,以 F 为圆心, |FA|为半径的圆交 l 于 B, D 两点 若ABD90,
10、 且ABF 的面积为 9 3, 则() A|BF|3BABF 是等边三角形 C点 F 到准线的距离为 3D抛物线 C 的方程为 y26x BCD因为|FA|为半径的圆交 l 于 B,D 两点,所以 FAFB,若ABD90, 可得 FAAB,所以可得ABF 为等边三角形,所以 B 正确;过 F 作 FCAB 交 AB 于 C,则 C 为 AB 的中点,C 的横坐标为p 2,B 的横坐标为 p 2,所以 A 的横坐 标为3p 2 , 代入抛物线可得 y23p2, |yA| 3p, ABF 的面积为 9 3, 即1 2(x AxB)|yA| 1 2 3p 2 p 2 3p9 3,解得 p3, 所以抛
11、物线的方程为 y26x,所以 D 正确; 焦点坐标为 3 2,0,所以焦点到准线的距离为3 223,所以 C 正确; 此时 A 点的横坐标为9 2,所以 BFAFAB 9 2 3 26,所以 A 不正确 三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分把答案填在题中横线上 13经过两条直线 2xy20 和 3x4y20 的交点,且垂直于直线 3x 2y40 的直线方程为_ 2x3y20由方程组 3x4y20, 2xy20, 得交点 A(2,2),因为所求直 线垂直于直线 3x2y40,故所求直线的斜率 k2 3,由点斜式得所求直线方 程为 y22 3(x2),即 2x3y20 14从
12、原点向圆 x2y212y270 作两条切线,则该圆夹在两条切线间的 劣弧长为_ 2(数形结合法)如图, 圆 x2y212y270 可化为 x2(y6)29,圆心坐标为(0,6),半径为 3 在 RtOBC 中可得OCB 3, ACB2 3 ,所求劣弧长为 2 15已知三棱锥 ABCD 的所有棱长均相等,E 为 DC 的中点,若点 P 为 AC 的中点,则直线 PE 与平面 BCD 所成角的正弦值为_,若点 Q 在棱 AC 所 在直线上运动,则直线 QE 与平面 BCD 所成角正弦值的最大值为_ _ (本题第一空 2 分,第二空 3 分) 6 3 2 2 3 连接 BE,AE,过 A 作 AO底
13、面 BCD,垂足为 O,连接 OD,则 ADO 是直线 PE 与平面 BCD 所成角(图略), 因三棱锥 ABCD 的所有棱长均相等,设棱长为 2, 则 DOBO2 3BE 2 3 412 3 3 , AO4 2 3 3 2 2 6 3 , sinADOAO AD 2 6 3 2 6 3 直线 PE 与平面 BCD 所成角的正弦值为 6 3 当 Q 与 A 重合时,直线 QE 与平面 BCD 所成角正弦值取最大值,此时直线 QE 与平面 BCD 所成角为AEO,AE 41 3, 直线 QE 与平面 BCD 所成角正弦值的最大值为 sinAEOAO AE 2 6 3 3 2 2 3 16已知点
14、F1,F2是椭圆 C:x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点,|F 1F2|4, 点 Q(2, 2)在椭圆 C 上,P 是椭圆 C 上的动点,则PQ PF1 的最大值为_ 9 2 由题意可得 c2, 4 a2 2 b21,a 2b2c2,解得 a28,b24, 所以椭圆 C 的方程为x 2 8 y 2 4 1, 可得 F1(2,0), 设 P(x,y),由x 2 8 y 2 4 1,可得 x282y2, 则PQ PF1 (2x, 2y)(2x, y)x24y2 2yy2 2y4 y 2 2 2 1 24,当且仅当 y 2 2 2,2时, PQ PF1 取得最大值为9 2 四、解答题:
15、本题共 6 小题,共 70 分解答时应写出文字说明、证明过程或 演算步骤 17(本小题满分 10 分)如图, 已知点 A(2,3),B(4,1),ABC 是以 AB 为底边的等腰三角形,点 C 在直线 l:x2y20 上 (1)求 AB 边上的高 CE 所在直线的方程; (2)求ABC 的面积 解(1)由题意可知,E 为 AB 的中点, E(3,2),且 kCE 1 kAB1, CE 所在直线方程为 y2x3,即 xy10 (2)由 x2y20, xy10, 得 C(4,3), |AC|BC|2,ACBC, SABC1 2|AC|BC|2 18(本小题满分 12 分)如图所示, 平行四边形 A
16、BCD 的对角线 AC 与 BD 交于 E 点,定点 A,C 的坐标分别是 A(2,3),C(2,1) (1)求以线段 AC 为直径的圆 E 的方程; (2)若 B 点的坐标为(2,2),求直线 BC 截圆 E 所得的弦长 解(1)AC 的中点 E(0,2)即为圆心, 半径 r1 2|AC| 1 2 4222 5, 所以圆 E 的方程为 x2(y2)25 (2)直线 BC 的斜率 k12 22 3 4, 其方程为 y13 4(x2),即 3x4y20 点 E 到直线 BC 的距离为 d|82| 5 2,所以 BC 截圆 E 所得的弦长为 2 5222 19 (本小题满分 12 分)在(DE C
17、F )(DE CF ), |DE | 17 2 , 0cos EF , DB 1 这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中 问题:如图,在正方体 ABCDA1B1C1D1中,以 D 为坐标原点,建立空间直角 坐标系 Dxyz已知点 D1的坐标为(0,0,2),E 为棱 D1C1上的动点,F 为棱 B1C1 上的动点,_,试问是否存在点 E,F 满足EF A1C 0?若存在,求AE BF 的 值;若不存在,请说明理由 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分 解由题意,正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2 则 A(2,0,0),B(2,2,0),A1(2,0,2),D(0,0,0)
18、,C(0,2,0), 设 E(0,a,2)(0a2),F(b,2,2)(0b2), 则EF (b,2a,0),A1C (2,2,2),AE (2,a,2),BF (b2, 0,2), 所以EF A1C 42(ab),AE BF 82b 选择,因为(DE CF )(DE CF ),所以(DE CF )(DE CF )DE 2CF 2 0,即 DE 2CF 2, 即 0(a0)2(20)2(b0)2(22)2(20)2,所以 ab 因为EF A1C 42(ab)0,所以 ab1, 故存在点 E(0,1,2),F(1,2,2),满足EF A1C 0,且AE BF 82b6 选择,|DE | 17 2
19、 ,即 a222 17 2 ,a1 2, 因为EF A1C 42(ab)0,所以 b3 2, 故存在点 E 0,1 2,2,F 3 2,2,2, 满足EF A1C 0,且AE BF 82b5 选择,EF (b,2a,0),DB (2,2,0), 因为 0cosEF , DB 1,所以EF 与DB 不共线, 所以 b2a,即 ab2,则EF A1C 42(ab)0, 故不存在点 E,F 满足EF A1C 0 20(本小题满分 12 分)已知椭圆 C 的左、右焦点坐标分别是( 2,0),( 2, 0),离心率是 6 3 ,直线 yt 与椭圆 C 交于不同的两点 M,N,以线段 MN 为直径 作圆
20、P,圆心为 P (1)求椭圆 C 的方程; (2)若圆 P 与 x 轴相切,求圆心 P 的坐标 解(1)因为c a 6 3 ,且 c 2, 所以 a 3,b a2c21, 所以椭圆 C 的方程为x 2 3 y21 (2)由题意知 P(0,t)(1t1) 由 yt, x2 3 y21 得 x 31t2, 所以圆 P 的半径为 31t2 当圆 P 与 x 轴相切时, |t| 31t2,解得 t 3 2 所以点 P 的坐标是 0, 3 2 21(本小题满分 12 分)如图所示,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 为直角 梯形,ADBC,ADDC,平面 PAD底面 ABCD,Q 为 AD 的中点
21、,M 为 PC 的中点,PAPD2,BC1 2AD1,CD 3 (1)求证:PQAB; (2)求二面角 PQBM 的余弦值 解(1)证明:在PAD 中,PAPD,Q 为 AD 的中点,所以 PQAD 因为平面 PAD底面 ABCD,且平面 PAD底面 ABCDAD,所以 PQ底面 ABCD 又 AB平面 ABCD,所以 PQAB (2)在直角梯形 ABCD 中,ADBC,BC1 2AD,Q 为 AD 的中点, 所以四边形 BCDQ 为平行四边形 因为 ADDC,所以 ADQB 由(1), 可知 PQ平面 ABCD, 故以 Q 为坐标原点, 建立空间直角坐标系 Qxyz 如图所示,则 Q(0,0
22、,0),A(1,0,0),P(0,0, 3),C(1,3,0),B(0,3, 0),QB (0,3,0) 因为 AQPQ,AQBQ,所以 AQ平面 PQB, 即QA 为平面 PQB 的一个法向量,且QA (1,0,0) 因为 M 是棱 PC 的中点,所以点 M 的坐标为 1 2, 3 2 , 3 2 ,所以QM 1 2, 3 2 , 3 2 设平面 MQB 的法向量为 m(x,y,z), 则 mQB 0, mQM 0, 即 3y0, 1 2x 3 2 y 3 2 z0, 令 z1,得 x 3,y0,所以 m( 3,0,1), 所以 cosQA ,m QA m |QA |m| 3 2 由题意知,
23、二面角 PQBM 为锐角, 所以二面角 PQBM 的余弦值为 3 2 22 (本小题满分 12 分)已知圆 C: x2y22x2y10 和抛物线 E: y22px(p 0),圆心 C 到抛物线焦点 F 的距离为 17 (1)求抛物线 E 的方程; (2)不过原点的动直线 l 交抛物线 E 于 A,B 两点,且满足 OAOB 求证:直线 l 过定点; 设点 M 为圆 C 上任意一动点,求当动点 M 到直线 l 的距离最大时直线 l 的 方程 解(1)圆 C:x2y22x2y10, 可得圆心 C(1,1),半径 r1, 抛物线 E:y22px(p0)的焦点 F p 2,0,准线方程为 xp 2,圆
24、心 C 到抛物 线焦点 F 的距离为 17, 即有 1p 2 2 12 17, 解得 p6,即抛物线方程为 y212x (2)证明:设直线 l 的方程为 xmyt,A(x1,y1), B(x2,y2),则 y212x, xmyt, 整理得:y212my12t0, 所以 y1y212m,y1y212t 由于 OAOB,则 x1x2y1y20 即(m21)y1y2mt(y1y2)t20 整理得 t212t0,由于 t0,解得 t12 故直线的方程为 xmy12, 直线经过定点 P(12,0) 当 CPl 且动点 M 经过 PC 的延长线时,动点 M 到动直线 l 的距离取得最 大值 kMPkCP 1 13,则 m 1 13 此时直线 l 的方程为 x 1 13y12, 即 13xy1560
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