1、模块综合测评(一) (时间：120 分钟满分：150 分) 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的 1若向量 a(1，0，z)与向量 b(2，1，2)的夹角的余弦值为2 3，则 z( ) A0B1C1D2 A由题意可知 cosa，b ab |a|b| 22z 1z2 414 2 3，解得 z0，故 选 A 2已知四面体 ABCD 的所有棱长都是 2，点 E，F 分别是 AD，DC 的中点， 则EF BA () A1B1C 3D 3 B 如图所示，EF 1 2AC ，所以EF BA 1 2AC (AB )1 222cos
2、601， 故选 B 3若 A(2，3)，B(3，2)，C 1 2，m三点共线，则 m 的值为() A1 2 B1 2 C2D2 A由 23 32 m2 1 23 ，解得 m1 2 4若 P(2，1)为圆 C：(x1)2y225 的弦 AB 的中点，则直线 AB 的方程 是() A2xy50B2xy30 Cxy10Dxy30 D圆心 C(1，0)，kPC01 12 1， 则 kAB1，AB 的方程为 y1x2， 即 xy30，故选 D 5 双曲线x 2 m y2 n 1(mn0)的离心率为 2， 有一个焦点与抛物线 y24x 的焦点 重合，则 mn 的值为() A 3 16 B3 8 C16 3
3、 D8 3 A抛物线 y24x 的焦点为(1，0)， 故双曲线的一个焦点是(1，0)， 所以 mn1，且 1 m2，解得 m 1 4，n 3 4， 故 mn 3 16 6阿基米德出生于希腊西西里岛叙拉古，享有“力学之父”的美称， 和高斯、 牛顿并列为世界三大数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆周率、椭 圆的半长轴长、椭圆的半短轴长三者的乘积已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的 面积为 8，直线 l 过椭圆 C 的两个顶点，且椭圆的中心到直线 l 的距离为4 34 17 ， 则椭圆 C 的方程为() Ax 2 16 y2 4 1Bx 2 20 y2 141 Cx 2 64
4、y 21 Dx 2 32 y2 2 1 D依题意，8ab，故 ab8 不妨设直线 l：x a y b1，即 bxayab0， 则椭圆的中心到直线 l 的距离为 ab a2b2 4 34 17 ，解得 a2b234， 联立，解得 a4 2，b 2，故椭圆 C 的方程为x 2 32 y2 2 1故选 D 7如图所示，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，B1C 和 C1D 与底面所成的角分别 为 60和 45，则异面直线 B1C 和 C1D 所成角的余弦值为() A 6 4 B 6 3 C 2 6 D 2 3 AB1B平面 ABCD， BCB1是 B1C 与底面所成角， BCB160 C1C底面
5、ABCD， CDC1是 C1D 与底面所成的角， CDC145 连接 A1D，A1C1(图略)，则 A1DB1C A1DC1或其补角为异面直线 B1C 与 C1D 所成的角 不妨设 BC1，则 CB1DA12， BB1CC1 3CD， C1D 6，A1C12 在等腰A1C1D 中，cosA1DC1 1 2C 1D A1D 6 4 8在棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，M 是 AA1的中点，则点 A1到平 面 MBD 的距离是() A 6a 6 B 3a 6 C 3a 4 D 6a 3 A建立如图所示的空间直角坐标系，则 D(0，0，0)，M a，0，a 2 ， B(a，a，0)
6、，A1(a，0，a)， DM a，0，a 2 ， DB (a，a，0)，DA1 (a，0，a) 设平面 MBD 的法向量为 n(x，y，z)， 则 axa 2z0， axay0， 令 x1，则可得 n(1，1，2) d|DA1 n| |n| |a2a| 6 6 6 a 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分 9已知直线 l1：xmy10，l2：(m2)x3y30，则下列说法正确的是 () A若 l1l2，则 m1 或 m3 B若 l1l2，则 m3 C若 l1l2，则
7、m1 2 D若 l1l2，则 m1 2 BD直线 l1l2，则 3m(m2)0，解得 m3 或 m1，但 m1 时， 两直线方程分别为 xy10，3x3y30 即 xy10，两直线重合，只 有 m3 时两直线平行，A 错，B 正确；l1l2，则 m23m0，m1 2，C 错，D 正确故选 BD 10在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 x2y24x0若直线 yk(x 1)上存在一点 P，使过 P 点所作的圆的两条切线相互垂直，则实数 k 的取值可以 是() A1B2C3D4 AB圆 C 的方程为 x2y24x0，则圆心为 C(2，0)，半径 r2 设两个切点分别为 A， B， 则由题
8、意可得四边形 PACB 为正方形， 故有 PC 2r 2 2， 圆心到直线 yk(x1)的距离小于或等于 PC， 即|2k0k| k21 2 2，解得 k28，可得2 2k2 2， 结合选项，实数 k 的取值可以是 1，2 11将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角 ABDC，则下列结论正确的 是() AACBD BACD 是等边三角形 CAB 与平面 BCD 所成的角为 90 DAB 与 CD 所成的角为 60 ABD如图，取 BD 的中点 O，连接 AO，CO，AC，则 AOBD，COBD， 又 AOCOO，BD平面 AOC，又 AC平面 AOC，ACBD，A 正确； AC 2A
9、OADCD，ACD 是等边三角形，B 正确；易知 AO平面 BCD， ABD 是 AB 与平面 BCD 所成的角，为 45，C 错误；AC AB BD DC ， 不妨设 AB1，则AC2 (AB BD DC )2AB2 BD2 DC2 2AB BD 2BD DC 2AB DC ， 11212 2 2 2 2 2 2 2 2cos AB ， DC ， cos AB ， DC 1 2，AB 与 CD 所成的角为 60，D 正确故选 ABD 12设抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，准线为 l，A 为 C 上一点，以 F 为圆心， |FA|为半径的圆交 l 于 B， D 两点 若ABD90，
10、 且ABF 的面积为 9 3， 则() A|BF|3BABF 是等边三角形 C点 F 到准线的距离为 3D抛物线 C 的方程为 y26x BCD因为|FA|为半径的圆交 l 于 B，D 两点，所以 FAFB，若ABD90， 可得 FAAB，所以可得ABF 为等边三角形，所以 B 正确；过 F 作 FCAB 交 AB 于 C，则 C 为 AB 的中点，C 的横坐标为p 2，B 的横坐标为 p 2，所以 A 的横坐 标为3p 2 ， 代入抛物线可得 y23p2， |yA| 3p， ABF 的面积为 9 3， 即1 2(x AxB)|yA| 1 2 3p 2 p 2 3p9 3，解得 p3， 所以抛
11、物线的方程为 y26x，所以 D 正确； 焦点坐标为 3 2，0，所以焦点到准线的距离为3 223，所以 C 正确； 此时 A 点的横坐标为9 2，所以 BFAFAB 9 2 3 26，所以 A 不正确 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上 13经过两条直线 2xy20 和 3x4y20 的交点，且垂直于直线 3x 2y40 的直线方程为_ 2x3y20由方程组 3x4y20， 2xy20， 得交点 A(2，2)，因为所求直 线垂直于直线 3x2y40，故所求直线的斜率 k2 3，由点斜式得所求直线方 程为 y22 3(x2)，即 2x3y20 14从
12、原点向圆 x2y212y270 作两条切线，则该圆夹在两条切线间的 劣弧长为_ 2(数形结合法)如图， 圆 x2y212y270 可化为 x2(y6)29，圆心坐标为(0，6)，半径为 3 在 RtOBC 中可得OCB 3， ACB2 3 ，所求劣弧长为 2 15已知三棱锥 ABCD 的所有棱长均相等，E 为 DC 的中点，若点 P 为 AC 的中点，则直线 PE 与平面 BCD 所成角的正弦值为_，若点 Q 在棱 AC 所 在直线上运动，则直线 QE 与平面 BCD 所成角正弦值的最大值为_ _ (本题第一空 2 分，第二空 3 分) 6 3 2 2 3 连接 BE，AE，过 A 作 AO底
13、面 BCD，垂足为 O，连接 OD，则 ADO 是直线 PE 与平面 BCD 所成角(图略)， 因三棱锥 ABCD 的所有棱长均相等，设棱长为 2， 则 DOBO2 3BE 2 3 412 3 3 ， AO4 2 3 3 2 2 6 3 ， sinADOAO AD 2 6 3 2 6 3 直线 PE 与平面 BCD 所成角的正弦值为 6 3 当 Q 与 A 重合时，直线 QE 与平面 BCD 所成角正弦值取最大值，此时直线 QE 与平面 BCD 所成角为AEO，AE 41 3， 直线 QE 与平面 BCD 所成角正弦值的最大值为 sinAEOAO AE 2 6 3 3 2 2 3 16已知点
14、F1，F2是椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点，|F 1F2|4， 点 Q(2， 2)在椭圆 C 上，P 是椭圆 C 上的动点，则PQ PF1 的最大值为_ 9 2 由题意可得 c2， 4 a2 2 b21，a 2b2c2，解得 a28，b24， 所以椭圆 C 的方程为x 2 8 y 2 4 1， 可得 F1(2，0)， 设 P(x，y)，由x 2 8 y 2 4 1，可得 x282y2， 则PQ PF1 (2x， 2y)(2x， y)x24y2 2yy2 2y4 y 2 2 2 1 24，当且仅当 y 2 2 2，2时， PQ PF1 取得最大值为9 2 四、解答题：
15、本题共 6 小题，共 70 分解答时应写出文字说明、证明过程或 演算步骤 17(本小题满分 10 分)如图， 已知点 A(2，3)，B(4，1)，ABC 是以 AB 为底边的等腰三角形，点 C 在直线 l：x2y20 上 (1)求 AB 边上的高 CE 所在直线的方程； (2)求ABC 的面积 解(1)由题意可知，E 为 AB 的中点， E(3，2)，且 kCE 1 kAB1， CE 所在直线方程为 y2x3，即 xy10 (2)由 x2y20， xy10， 得 C(4，3)， |AC|BC|2，ACBC， SABC1 2|AC|BC|2 18(本小题满分 12 分)如图所示， 平行四边形 A
16、BCD 的对角线 AC 与 BD 交于 E 点，定点 A，C 的坐标分别是 A(2，3)，C(2，1) (1)求以线段 AC 为直径的圆 E 的方程； (2)若 B 点的坐标为(2，2)，求直线 BC 截圆 E 所得的弦长 解(1)AC 的中点 E(0，2)即为圆心， 半径 r1 2|AC| 1 2 4222 5， 所以圆 E 的方程为 x2(y2)25 (2)直线 BC 的斜率 k12 22 3 4， 其方程为 y13 4(x2)，即 3x4y20 点 E 到直线 BC 的距离为 d|82| 5 2，所以 BC 截圆 E 所得的弦长为 2 5222 19 (本小题满分 12 分)在(DE C
17、F )(DE CF )， |DE | 17 2 ， 0cos EF ， DB 1 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中 问题：如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，以 D 为坐标原点，建立空间直角 坐标系 Dxyz已知点 D1的坐标为(0，0，2)，E 为棱 D1C1上的动点，F 为棱 B1C1 上的动点，_，试问是否存在点 E，F 满足EF A1C 0？若存在，求AE BF 的 值；若不存在，请说明理由 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 解由题意，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2 则 A(2，0，0)，B(2，2，0)，A1(2，0，2)，D(0，0，0)
18、，C(0，2，0)， 设 E(0，a，2)(0a2)，F(b，2，2)(0b2)， 则EF (b，2a，0)，A1C (2，2，2)，AE (2，a，2)，BF (b2， 0，2)， 所以EF A1C 42(ab)，AE BF 82b 选择，因为(DE CF )(DE CF )，所以(DE CF )(DE CF )DE 2CF 2 0，即 DE 2CF 2， 即 0(a0)2(20)2(b0)2(22)2(20)2，所以 ab 因为EF A1C 42(ab)0，所以 ab1， 故存在点 E(0，1，2)，F(1，2，2)，满足EF A1C 0，且AE BF 82b6 选择，|DE | 17 2
19、 ，即 a222 17 2 ，a1 2， 因为EF A1C 42(ab)0，所以 b3 2， 故存在点 E 0，1 2，2，F 3 2，2，2， 满足EF A1C 0，且AE BF 82b5 选择，EF (b，2a，0)，DB (2，2，0)， 因为 0cosEF ， DB 1，所以EF 与DB 不共线， 所以 b2a，即 ab2，则EF A1C 42(ab)0， 故不存在点 E，F 满足EF A1C 0 20(本小题满分 12 分)已知椭圆 C 的左、右焦点坐标分别是( 2，0)，( 2， 0)，离心率是 6 3 ，直线 yt 与椭圆 C 交于不同的两点 M，N，以线段 MN 为直径 作圆
20、P，圆心为 P (1)求椭圆 C 的方程； (2)若圆 P 与 x 轴相切，求圆心 P 的坐标 解(1)因为c a 6 3 ，且 c 2， 所以 a 3，b a2c21， 所以椭圆 C 的方程为x 2 3 y21 (2)由题意知 P(0，t)(1t1) 由 yt， x2 3 y21 得 x 31t2， 所以圆 P 的半径为 31t2 当圆 P 与 x 轴相切时， |t| 31t2，解得 t 3 2 所以点 P 的坐标是 0， 3 2 21(本小题满分 12 分)如图所示，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为直角 梯形，ADBC，ADDC，平面 PAD底面 ABCD，Q 为 AD 的中点
21、，M 为 PC 的中点，PAPD2，BC1 2AD1，CD 3 (1)求证：PQAB； (2)求二面角 PQBM 的余弦值 解(1)证明：在PAD 中，PAPD，Q 为 AD 的中点，所以 PQAD 因为平面 PAD底面 ABCD，且平面 PAD底面 ABCDAD，所以 PQ底面 ABCD 又 AB平面 ABCD，所以 PQAB (2)在直角梯形 ABCD 中，ADBC，BC1 2AD，Q 为 AD 的中点， 所以四边形 BCDQ 为平行四边形 因为 ADDC，所以 ADQB 由(1)， 可知 PQ平面 ABCD， 故以 Q 为坐标原点， 建立空间直角坐标系 Qxyz 如图所示，则 Q(0，0
22、，0)，A(1，0，0)，P(0，0， 3)，C(1，3，0)，B(0，3， 0)，QB (0，3，0) 因为 AQPQ，AQBQ，所以 AQ平面 PQB， 即QA 为平面 PQB 的一个法向量，且QA (1，0，0) 因为 M 是棱 PC 的中点，所以点 M 的坐标为 1 2， 3 2 ， 3 2 ，所以QM 1 2， 3 2 ， 3 2 设平面 MQB 的法向量为 m(x，y，z)， 则 mQB 0， mQM 0， 即 3y0， 1 2x 3 2 y 3 2 z0， 令 z1，得 x 3，y0，所以 m( 3，0，1)， 所以 cosQA ，m QA m |QA |m| 3 2 由题意知，
23、二面角 PQBM 为锐角， 所以二面角 PQBM 的余弦值为 3 2 22 (本小题满分 12 分)已知圆 C： x2y22x2y10 和抛物线 E： y22px(p 0)，圆心 C 到抛物线焦点 F 的距离为 17 (1)求抛物线 E 的方程； (2)不过原点的动直线 l 交抛物线 E 于 A，B 两点，且满足 OAOB 求证：直线 l 过定点； 设点 M 为圆 C 上任意一动点，求当动点 M 到直线 l 的距离最大时直线 l 的 方程 解(1)圆 C：x2y22x2y10， 可得圆心 C(1，1)，半径 r1， 抛物线 E：y22px(p0)的焦点 F p 2，0，准线方程为 xp 2，圆
24、心 C 到抛物 线焦点 F 的距离为 17， 即有 1p 2 2 12 17， 解得 p6，即抛物线方程为 y212x (2)证明：设直线 l 的方程为 xmyt，A(x1，y1)， B(x2，y2)，则 y212x， xmyt， 整理得：y212my12t0， 所以 y1y212m，y1y212t 由于 OAOB，则 x1x2y1y20 即(m21)y1y2mt(y1y2)t20 整理得 t212t0，由于 t0，解得 t12 故直线的方程为 xmy12， 直线经过定点 P(12，0) 当 CPl 且动点 M 经过 PC 的延长线时，动点 M 到动直线 l 的距离取得最 大值 kMPkCP 1 13，则 m 1 13 此时直线 l 的方程为 x 1 13y12， 即 13xy1560
