1、1.2.41.2.4二面角二面角第一章第一章2021内容索引课前篇课前篇 自主预习自主预习课堂篇课堂篇 探究学习探究学习核心素养思维脉络1.掌握二面角的概念.(数学抽象)2.理解二面角的平面角的含义.(直观想象、逻辑推理)3.会用向量法解决二面角的计算问题.(数学运算)课前篇课前篇 自主预习自主预习激趣诱思地球绕太阳公转的轨道平面称为“黄道面”,黄道面与地球赤道面的交角(二面角的平面角)为2326.黄道面与天球相交的大圆称为“黄道”.黄道及其附近的南北宽9以内的区域称为黄道带,太阳及大多数行星在天球上的位置常在黄道带内.黄道带内有十二个星座,称为“黄道十二宫”.从春分(节气)点起,每30便是一
2、宫,并冠以星座名,如白羊座、狮子座、双子座等等,这便是星座的由来.知识点拨1.二面角及其度量 微思考两个平面相交时,它们所成角的取值范围是什么?提示(0,90微练习(1)如图,AB是圆的直径,PAAC,PABC,C是圆上一点(不同于A,B),且PA=AC,则二面角P-BC-A的平面角为()A.PACB.CPAC.PCA D.CAB答案 C解析 C是圆上一点(不同于A,B),AB是圆的直径,ACBC,又PABC,ACPA=A,即BC平面PAC,而PC平面PAC,BCPC,又平面ABC平面PBC=BC,PCAC=C,由二面角的定义知PCA为二面角P-BC-A的平面角.故选C.(2)在正方体ABCD
3、-A1B1C1D1中,平面B1C1DA与平面BCDA所形成的平面角大小为.答案 452.用空间向量求二面角的大小(1)如果n1,n2分别是平面1,2的一个法向量,设1与2所成角的大小为,则有=或=-,特别地,sin=sin.(2)设二面角-l-为,平面,的法向量分别为n1,n2,有|cos|=|cos|=成立.名师点析利用公式cos=(n1,n2分别为两平面的法向量)进行求解,注意与二面角大小的关系,是相等还是互补,需结合图形进行判断.如图中就是二面角-l-的平面角的补角;如图中就是二面角-l-的平面角.微判断(1)二面角的大小就是该二面角两个半平面的法向量的夹角.()(2)若二面角两个半平面
4、的法向量的夹角为120,则该二面角的大小等于60或120.()答案(1)(2)微练习(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD所成的角的余弦值为()答案 B 解析 以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,设棱长为1,则(2)如图,正三角形ACB与正三角形ACD所在平面互相垂直,则二面角B-CD-A的余弦值是()答案 D 解析 如图所示,取AC中点E,连接BE,DE,在正三角形ACB与正三角形ACD中,BEAC,DEAC,因为平面ACB平面ACD,平面ACB平面ACD=AC,课堂篇课堂篇 探究学习探究学习探究一探究一二面角的平面角问题二面
5、角的平面角问题例1如图所示,PC平面ABC,AB=BC=CA=PC,求二面角B-PA-C的平面角的正切值.分析由PC平面ABC,知平面ABC平面PAC,从而B在平面PAC上的射影在AC上,由此可用三垂线定理作出二面角的平面角.解 PC平面ABC,平面PAC平面ABC,交线为AC.作BDAC于点D,据面面垂直性质定理,BD平面PAC,作DEPA于点E,连接BE,据三垂线定理,则BEPA,从而BED是二面角B-PA-C的平面角.设PC=a,依题意知ABC是边长为a的正三角形,PC=CA=a,PCA=90,PAC=45,反思感悟1.本题解法使用了三垂线定理来作出二面角的平面角后,再用解三角形的方法来
6、求解.2.二面角的定义求法主要有:(1)由定义作出二面角的平面角;(2)利用三垂线定理(逆定理)作出二面角的平面角;(3)作二面角棱的垂面,则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角.变式训练1 如图,已知二面角-a-等于120,PA,A,PB,B,求APB的大小.解 设平面PAOB=OA,平面PAOB=OB.PA,a,PAa.同理PBa.a平面PAOB.又OA平面PAOB,aOA.同理aOB.AOB是二面角-a-的平面角.在四边形PAOB中,AOB=120,PAO=PBO=90,所以APB=60.探究二探究二利用空间向量求二面角利用空间向量求二面角例2如图,四棱柱ABCD-A1B1
7、C1D1的所有棱长都相等,ACBD=O,A1C1B1D1=O1,四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形.(1)证明:O1O底面ABCD;(2)若CBA=60,求二面角C1-OB1-D的余弦值.(1)证明 因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形,所以CC1AC,DD1BD,又CC1DD1OO1,所以OO1AC,OO1BD,因为ACBD=O,所以O1O底面ABCD.(2)解 因为四棱柱的所有棱长都相等,所以四边形ABCD为菱形,ACBD,又O1O底面ABCD,所以OB,OC,OO1两两垂直.如图,以O为原点,OB,OC,OO1所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.设棱
8、长为2,因为CBA=60,设平面OC1B1的法向量为m=(x,y,z),反思感悟利用向量方法求二面角的大小时,多采用求法向量的方法,即求出两个面的法向量,然后通过法向量的夹角来得到二面角的大小,但利用这种方法求解时,要注意结合图形观察分析,确定二面角是锐二面角还是钝二面角,不能将两个法向量的夹角与二面角的大小完全等同起来.延伸探究如果本例条件不变,求二面角B-A1C-D的余弦值.变式训练2如图所示,在几何体S-ABCD中,AD平面SCD,BC平面SCD,AD=DC=2,BC=1,又SD=2,SDC=120,求平面SAD与平面SAB所成角的余弦值.解 如图,过点D作DC的垂线交SC于E,以D为原
9、点,以DC,DE,DA所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.SDC=120,SDE=30,又SD=2,素养形成素养形成用逆向思维解决二面角问题用逆向思维解决二面角问题案例如图,已知四棱台ABCD-A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形,A1A=6,且A1A底面ABCD,点P,Q分别在棱DD1,BC上.(1)若P是DD1的中点,证明:AB1PQ;【规范答题】(1)证明 由题设知,AA1,AB,AD两两垂直,以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则相关各点的坐标为A(0,0,0),B1(3,0,6),D(0,6,0)
10、,D1(0,3,6),Q(6,m,0),其中m=BQ,0m6.归纳提升此类问题属于结论探索类问题.解决此类问题要注意分析题目的整体结构,在此基础上建立空间直角坐标系,引入参数,将所求问题先转化为一个含参数的方程问题,参数确定后其他问题就迎刃而解.当堂检测当堂检测1.已知平面内有一个以AB为直径的圆,PA,点C在圆周上(异于点A,B),点D,E分别是点A在PC,PB上的射影,则()A.ADE是二面角A-PC-B的平面角B.AED是二面角A-PB-C的平面角C.DAE是二面角B-PA-C的平面角D.ACB是二面角A-PC-B的平面角答案 B答案 C 解析 由于二面角的范围是0,而二面角的两个半平面与的法向量都有两个方向,因此二面角-l-的大小为 ,故选C.3.已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二面角为()A.45 B.135C.45或135D.90答案 C 4.如图所示,点A,B,C分别在空间直角坐标系Oxyz的三条坐标轴上,=(0,0,2),平面ABC的一个法向量为n=(2,1,2),设二面角C-AB-O的大小为,则cos=.5.在底面为直角梯形的四棱锥S-ABCD中,ABC=90,SA平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=,求平面SCD与平面SAB所成角的余弦值.解 以A为原点建立空间直角坐标系如图.本本 课课 结结 束束
