1、课后同步练习(十七)圆与圆的位置关系 (建议用时：40 分钟) 一、选择题 1圆 x2y24 与圆 x2y22x4y40 的位置关系为() A相离B相交C相切D内含 B圆 x2y24 的圆心坐标为(0，0)，半径为 2，圆 x2y22x4y40， 即(x1)2(y2)29， 圆心坐标为(1， 2)， 半径为 3， 两圆的圆心距为 1222 5，半径和为 5，半径差的绝对值为 1，1 55，两圆相交 2 圆 x24xy20 与圆(x2)2(y3)2r2有三条公切线， 则半径 r() A5B4C3D2 C两圆的圆心分别为(2，0)，(2，3)，半径分别为 2，r，由于两圆有三条 公切线，所以两圆相
2、外切， 2220322r，即 52r，r3 3若圆 C：x2(y4)218 与圆 D：(x1)2(y1)2r2的公共弦长为 6 2， 则圆 D 的半径为() A5B2 5C2 6D2 7 D两圆方程相减得 2x6y4r2，又由圆 C 的方程为 x2(y4)218，其 圆心为(0，4)，半径 r3 2，两圆的公共弦长为 6 2，则点(0，4)在直线 2x6y 4r2上，则有 20644r2，r228，r2 7 4半径为 5 且与圆 x2y26x8y0 相切于原点的圆的方程为() Ax2y26x8y0 Bx2y26x8y0 Cx2y26x8y0 Dx2y26x8y0 或 x2y26x8y0 B已知
3、圆的圆心为(3，4)，半径为 5，所求圆的半径也为 5，由两圆相切 于原点， 知所求圆的圆心与已知圆的圆心关于原点对称， 即为(3， 4)， 可知选 B 5已知半径为 1 cm 的两圆外切，半径为 2 cm 且和这两圆都相切的圆共有 () A3 个B4 个C2 个D5 个 D要全面分析所有的情况，包括都外切，都内切，一内切一外切这样的 圆共有 5 个，如图，它们是圆 A、圆 B、圆 C、圆 D、圆 E 二、填空题 6已知圆 C 的圆心为(2，1)，若圆 C 与圆 M：x2y23x0 的公共弦所在直 线过点(5，2)，则圆 C 的方程为_ (x2)2(y1)24设圆 C 的半径为 r，则圆 C
4、的方程为(x2)2(y1)2 r2，即 x2y24x2y5r20将圆 C 与圆 M 的方程相减得公共弦所在直线的 方程为 x2y5r20因为该直线过点(5，2)，所以 r24 故圆 C 的方程为(x2)2(y1)24 7 已知点 P 在圆 x2y28x4y110 上， 点 Q 在圆 x2y24x2y10 上，则|PQ|的最小值是_ 3 55两圆的圆心和半径分别为 C1(4，2)，r13， C2(2，1)，r22，|C1C2|3 5，|C1C2|r1r2，两圆外离 |PQ|min|C1C2|r1r23 5323 55 8在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 x2y28x150，若直线
5、y kx2 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 C 有公共点，则 k 的最大值是_ 4 3 圆 C：(x4)2y21，如图，要满足直线 ykx2 上至少存在一点，使 得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 C 有公共点，只需保证圆心 C 到 ykx2 的 距离小于或等于 2， 即|4k2| 1k22，解得 0k 4 3k max4 3 三、解答题 9求圆心在直线 xy40 上，且经过两圆 x2y24x60 和 x2y24y 60 交点的圆的方程 解法一：由 x2y24x60， x2y24y60， 得到两圆公共弦为 yx， 由 yx， x2y24y60， 解得 x11， y11 或
6、 x23， y23. 两圆 x2y24x60 和 x2y24y60 的交点分别为 A(1， 1)， B(3， 3)， 线段 AB 的垂直平分线方程为 y1(x1) 由 y1x1， xy40， 得 x3， y1. 所求圆的圆心为(3，1)， 半径为 3323124 所求圆的方程为(x3)2(y1)216 法二：由法一知两圆交点为 A(1，1)，B(3，3) 设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2， 由 ab40， 1a21b2r2， 3a23b2r2， 得 a3， b1， r216， 所求圆的方程为(x3)2(y1)216 10求与圆(x2)2(y1)24 相切于点 A(4，1)且半径为 1
7、的圆的方程 解设所求圆的圆心为 P(a，b)，则 a42b121 (1)若两圆外切， 则有 a22b12123， 联立，解得 a5，b1，所以，所求圆的方程为(x5)2(y1)21； (2)若两圆内切， 则有 a22b12|21|1， 联立，解得 a3，b1，所以，所求圆的方程为(x3)2(y1)21 综上所述，所求圆的方程为(x5)2(y1)21 或(x3)2(y1)21 1 (多选题)已知圆 C： (x4)2(y3)24 和两点 A(0， a)， B(0， a)(a0) 若 圆 C 上有且只有一点 P，使得APB90，则 a 的值可能为() A3B5C7D9 AC根据题意，圆 C：(x4)
8、2(y3)24，其圆心为(4，3)，半径 r2；两 点 A(0，a)，B(0，a)(a0)，以 AB 为直径的圆的方程为 x2y2a2，则该圆圆心 为 O(0，0)，半径 Ra若点 P 满足APB90，则点 P 在圆 x2y2a2上 又由圆 C 上有且只有一点 P，使得APB90，得圆 C 与圆 x2y2a2相切， 则有|OC|2(04)2(03)225(2a)2或|OC|2(04)2(03)225(2 a)2，解得 a7 或 a3故选 AC 2设两圆 C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4，1)，则两圆心的距离|C1C2| () A4B4 2C8D8 2 C两圆与两坐标轴都相切，且都经过点
9、(4，1)，两圆圆心均在第一象限 且横、纵坐标相等设两圆的圆心分别为(a，a)，(b，b)，则有(4a)2(1a)2 a2，(4b)2(1b)2b2，即 a，b 为方程(4x)2(1x)2x2的两个根， 整理得 x210 x170， ab10，ab17 (ab)2(ab)24ab10041732， |C1C2| ab2ab2 3228 3在直角坐标系 xOy 中，点 A(x1，y1)和点 B(x2，y2)是单位圆 x2y21 上两 点，|AB|1，则AOB_，|y12|y22|的最大值为_ 3 4 3由|AB|1，单位圆的半径为 1，则AOB 为正三角形，故AOB 3，设 A(cos ，sin
10、 )，知 B cos 3 ，sin 3 ，则|y12|y22|4sin sin 3 4 3sin x 6 ， 故|y12|y22|的最大值为 4 3 4与直线 xy20 和圆 x2y212x12y540 都相切的半径最小的圆 的标准方程是_ (x2)2(y2)22 圆的方程化为(x6)2(y6)218，其圆心 C1(6，6) 到直线 xy20 的距离为 d|662| 2 5 2过点 C1且垂直于 xy20 的 直线为 y6x6，即 yx，所以所求的最小圆的圆心 C2在直线 yx 上，如图 所示， 圆心 C2到直线 xy20 的距离为5 23 2 2 2， 则圆 C2的半径长为 2 设 圆心 C
11、2的坐标为(x0，y0)，则|x0y02| 2 2，y0 x0，解得 x02(x00 舍去)，所 以圆心坐标为(2，2)， 所以所求圆的标准方程为(x2)2(y2)22 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 M：(x3)2(y4)24 及其上一点 A (1)求|OA|的最大值； (2)设 A(3，2)，点 T 在 x 轴上若圆 M 上存在两点 P 和 Q，使得TA TPTQ ， 求点 T 的横坐标的取值范围 解(1)圆 M：(x3)2(y4)24 的圆心为 M(3，4)，半径 r2 根据平面几何知识得|OA|的最大值为|OM|r 324227 (2)设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，T(t，0) 因为TA TPTQ ，所以(3t，2)(x1t，y1)(x2t，y2)， 即 x2x13t， y2y12. 因为点 Q 在圆 M 上，所以(x23)2(y24)24 将代入，得(x1t)2(y12)24 于是点 P(x1，y1)既在圆 M 上，又在圆(xt)2(y2)24 上， 从而圆 M：(x3)2(y4)24 与圆(xt)2(y2)24 有公共点 所以 22 t3224222，解得 32 3t32 3，即点 T 的横 坐标的取值范围为32 3，32 3
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