1、课后同步练习(十七)圆与圆的位置关系 (建议用时:40 分钟) 一、选择题 1圆 x2y24 与圆 x2y22x4y40 的位置关系为() A相离B相交C相切D内含 B圆 x2y24 的圆心坐标为(0,0),半径为 2,圆 x2y22x4y40, 即(x1)2(y2)29, 圆心坐标为(1, 2), 半径为 3, 两圆的圆心距为 1222 5,半径和为 5,半径差的绝对值为 1,1 55,两圆相交 2 圆 x24xy20 与圆(x2)2(y3)2r2有三条公切线, 则半径 r() A5B4C3D2 C两圆的圆心分别为(2,0),(2,3),半径分别为 2,r,由于两圆有三条 公切线,所以两圆相
2、外切, 2220322r,即 52r,r3 3若圆 C:x2(y4)218 与圆 D:(x1)2(y1)2r2的公共弦长为 6 2, 则圆 D 的半径为() A5B2 5C2 6D2 7 D两圆方程相减得 2x6y4r2,又由圆 C 的方程为 x2(y4)218,其 圆心为(0,4),半径 r3 2,两圆的公共弦长为 6 2,则点(0,4)在直线 2x6y 4r2上,则有 20644r2,r228,r2 7 4半径为 5 且与圆 x2y26x8y0 相切于原点的圆的方程为() Ax2y26x8y0 Bx2y26x8y0 Cx2y26x8y0 Dx2y26x8y0 或 x2y26x8y0 B已知
3、圆的圆心为(3,4),半径为 5,所求圆的半径也为 5,由两圆相切 于原点, 知所求圆的圆心与已知圆的圆心关于原点对称, 即为(3, 4), 可知选 B 5已知半径为 1 cm 的两圆外切,半径为 2 cm 且和这两圆都相切的圆共有 () A3 个B4 个C2 个D5 个 D要全面分析所有的情况,包括都外切,都内切,一内切一外切这样的 圆共有 5 个,如图,它们是圆 A、圆 B、圆 C、圆 D、圆 E 二、填空题 6已知圆 C 的圆心为(2,1),若圆 C 与圆 M:x2y23x0 的公共弦所在直 线过点(5,2),则圆 C 的方程为_ (x2)2(y1)24设圆 C 的半径为 r,则圆 C
4、的方程为(x2)2(y1)2 r2,即 x2y24x2y5r20将圆 C 与圆 M 的方程相减得公共弦所在直线的 方程为 x2y5r20因为该直线过点(5,2),所以 r24 故圆 C 的方程为(x2)2(y1)24 7 已知点 P 在圆 x2y28x4y110 上, 点 Q 在圆 x2y24x2y10 上,则|PQ|的最小值是_ 3 55两圆的圆心和半径分别为 C1(4,2),r13, C2(2,1),r22,|C1C2|3 5,|C1C2|r1r2,两圆外离 |PQ|min|C1C2|r1r23 5323 55 8在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x2y28x150,若直线
5、y kx2 上至少存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值是_ 4 3 圆 C:(x4)2y21,如图,要满足直线 ykx2 上至少存在一点,使 得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,只需保证圆心 C 到 ykx2 的 距离小于或等于 2, 即|4k2| 1k22,解得 0k 4 3k max4 3 三、解答题 9求圆心在直线 xy40 上,且经过两圆 x2y24x60 和 x2y24y 60 交点的圆的方程 解法一:由 x2y24x60, x2y24y60, 得到两圆公共弦为 yx, 由 yx, x2y24y60, 解得 x11, y11 或
6、 x23, y23. 两圆 x2y24x60 和 x2y24y60 的交点分别为 A(1, 1), B(3, 3), 线段 AB 的垂直平分线方程为 y1(x1) 由 y1x1, xy40, 得 x3, y1. 所求圆的圆心为(3,1), 半径为 3323124 所求圆的方程为(x3)2(y1)216 法二:由法一知两圆交点为 A(1,1),B(3,3) 设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2, 由 ab40, 1a21b2r2, 3a23b2r2, 得 a3, b1, r216, 所求圆的方程为(x3)2(y1)216 10求与圆(x2)2(y1)24 相切于点 A(4,1)且半径为 1
7、的圆的方程 解设所求圆的圆心为 P(a,b),则 a42b121 (1)若两圆外切, 则有 a22b12123, 联立,解得 a5,b1,所以,所求圆的方程为(x5)2(y1)21; (2)若两圆内切, 则有 a22b12|21|1, 联立,解得 a3,b1,所以,所求圆的方程为(x3)2(y1)21 综上所述,所求圆的方程为(x5)2(y1)21 或(x3)2(y1)21 1 (多选题)已知圆 C: (x4)2(y3)24 和两点 A(0, a), B(0, a)(a0) 若 圆 C 上有且只有一点 P,使得APB90,则 a 的值可能为() A3B5C7D9 AC根据题意,圆 C:(x4)
8、2(y3)24,其圆心为(4,3),半径 r2;两 点 A(0,a),B(0,a)(a0),以 AB 为直径的圆的方程为 x2y2a2,则该圆圆心 为 O(0,0),半径 Ra若点 P 满足APB90,则点 P 在圆 x2y2a2上 又由圆 C 上有且只有一点 P,使得APB90,得圆 C 与圆 x2y2a2相切, 则有|OC|2(04)2(03)225(2a)2或|OC|2(04)2(03)225(2 a)2,解得 a7 或 a3故选 AC 2设两圆 C1,C2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的距离|C1C2| () A4B4 2C8D8 2 C两圆与两坐标轴都相切,且都经过点
9、(4,1),两圆圆心均在第一象限 且横、纵坐标相等设两圆的圆心分别为(a,a),(b,b),则有(4a)2(1a)2 a2,(4b)2(1b)2b2,即 a,b 为方程(4x)2(1x)2x2的两个根, 整理得 x210 x170, ab10,ab17 (ab)2(ab)24ab10041732, |C1C2| ab2ab2 3228 3在直角坐标系 xOy 中,点 A(x1,y1)和点 B(x2,y2)是单位圆 x2y21 上两 点,|AB|1,则AOB_,|y12|y22|的最大值为_ 3 4 3由|AB|1,单位圆的半径为 1,则AOB 为正三角形,故AOB 3,设 A(cos ,sin
10、 ),知 B cos 3 ,sin 3 ,则|y12|y22|4sin sin 3 4 3sin x 6 , 故|y12|y22|的最大值为 4 3 4与直线 xy20 和圆 x2y212x12y540 都相切的半径最小的圆 的标准方程是_ (x2)2(y2)22 圆的方程化为(x6)2(y6)218,其圆心 C1(6,6) 到直线 xy20 的距离为 d|662| 2 5 2过点 C1且垂直于 xy20 的 直线为 y6x6,即 yx,所以所求的最小圆的圆心 C2在直线 yx 上,如图 所示, 圆心 C2到直线 xy20 的距离为5 23 2 2 2, 则圆 C2的半径长为 2 设 圆心 C
11、2的坐标为(x0,y0),则|x0y02| 2 2,y0 x0,解得 x02(x00 舍去),所 以圆心坐标为(2,2), 所以所求圆的标准方程为(x2)2(y2)22 在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 M:(x3)2(y4)24 及其上一点 A (1)求|OA|的最大值; (2)设 A(3,2),点 T 在 x 轴上若圆 M 上存在两点 P 和 Q,使得TA TPTQ , 求点 T 的横坐标的取值范围 解(1)圆 M:(x3)2(y4)24 的圆心为 M(3,4),半径 r2 根据平面几何知识得|OA|的最大值为|OM|r 324227 (2)设 P(x1,y1),Q(x2,y2),T(t,0) 因为TA TPTQ ,所以(3t,2)(x1t,y1)(x2t,y2), 即 x2x13t, y2y12. 因为点 Q 在圆 M 上,所以(x23)2(y24)24 将代入,得(x1t)2(y12)24 于是点 P(x1,y1)既在圆 M 上,又在圆(xt)2(y2)24 上, 从而圆 M:(x3)2(y4)24 与圆(xt)2(y2)24 有公共点 所以 22 t3224222,解得 32 3t32 3,即点 T 的横 坐标的取值范围为32 3,32 3