（2021新人教B版）高中数学选择性必修第二册4.3.1　一元线性回归模型ppt课件.pptx

1、4 4.3 3.1 1一元线性回归模型一元线性回归模型 课标阐释思维脉络 1.能通过收集现实问题中两个有 关联的变量的数据作出散点图, 并利用散点图直观认识变量间的 相关关系. 2.能根据给出的线性回归方程系 数公式建立线性回归方程. 3.能通过相关性检验,了解回归分 析的基本思想与方法. 4.了解非线性回归问题,并能找出 解决问题的一般思路. 激趣诱思知识点拨 “瑞雪兆丰年”是一句流传比较广的农谚,它的意思是适时的冬雪预 示着来年是丰收之年,是来年庄稼获得丰收的预兆.由于冬季天气 冷,雪往往不易融化,盖在土壤上的雪是比较松软的,里面藏了许多 不流动的空气,空气是不传热的,这样就像给庄稼盖了一

2、条棉被,外 面天气再冷,下面的温度也不会降得很低.等到寒潮过去以后,天气 渐渐回暖,雪慢慢融化,这样,不但让庄稼不受冻害,而且雪融化成的 水留在土壤里,给庄稼积蓄了很多水,对春耕播种以及庄稼的生长 都很有利.但是冬天下几场大雪,来年一定会获得丰收吗? 激趣诱思知识点拨 一、相关关系 1.变量之间的常见关系 分类概念 函数关系 两个变量之间的关系可以用函数表示.如圆的面积与半径 之间的关系,就可以用函数S=r2表示 相关关系 如果两个变量中一个变量的取值一定时,另一个变量的取 值带有一定的随机性,那么这两个变量之间的关系,叫做 相关关系 不相关两个变量间没有任何关系 激趣诱思知识点拨 2.散点图

3、 (1)在讨论两个变量x和y之间的关系时,常把它们写成点(x,y)的形式, 以便利用平面直角坐标系来考虑它们之间的关系,此时x和y可以看 成是描述同一个体的两个不同的特征量. (2)将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来,得到表示两个变 量的一组数据的图形,这样的图形叫散点图. 激趣诱思知识点拨 3.线性相关关系 (1)线性相关:如果由变量的成对数据、散点图或直观经验可知,变 量x与变量y之间的关系可以近似地用一次函数来刻画,则称x与y线 性相关. (2)正相关:在线性相关中,如果一个变量增大,另一个变量大体上也 增大,则称这两个变量正相关. (3)负相关:在线性相关中,如果一个变量增大,另

4、一个变量大体上减 少,则称这两个变量负相关. 名师点析 两个随机变量x和y相关关系的判定方法 (1)散点图法:通过散点图,观察它们的分布是否存在一定规律,直观 地判断. (2)表格、关系式法:结合表格或关系式进行判断. (3)经验法:借助积累的经验进行分析判断. 激趣诱思知识点拨 微拓展 (1)散点图具有直观、简洁的特点,它形象地体现了各对数据的密切 程度,我们可以根据散点图判断两个变量有没有相关关系. (2)通过散点图不但可以从点的位置判断测量值的大小、高低、变 动范围与趋势,还可以通过观察剔除异常数值,提高估计相关程度 的准确性. (3)当所画的散点图的横坐标与纵坐标所对应的数据差距很大时

5、,可 在实际作图时,将横坐标与纵坐标取不同的单位长度,使画出的图 像更形象、美观. 激趣诱思知识点拨 微练习 5个学生的数学成绩和物理成绩如下表: 则数学成绩与物理成绩之间() A.是函数关系 B.是相关关系,但相关性很弱 C.具有较好的相关关系,且是正相关 D.具有较好的相关关系,且是负相关 解析:作出散点图(图略),从图上可以看出数学成绩和物理成绩具有 较好的相关关系,且是正相关. 答案:C ABCDE 数学8075706560 物理7066686462 激趣诱思知识点拨 二、回归直线方程 激趣诱思知识点拨 激趣诱思知识点拨 名师点析 求回归直线方程的步骤 第一步:列表; 第四步:写出回归

6、直线方程. 激趣诱思知识点拨 微练习1 已知x,y的取值如下表所示: x234 y645 答案:A 激趣诱思知识点拨 微练习2 设有一个线性回归方程为y=2-1.5x,则变量x每增加一个单位时( ) A.y平均增加1.5个单位 B.y平均增加2个单位 C.y平均减少1.5个单位 D.y平均减少2个单位 解析:由线性回归方程知,x每增加1个单位,y平均减少1.5个单位. 答案:C 激趣诱思知识点拨 三、相关系数 1.相关系数r的计算公式 假设两个随机变量的数据分别为(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn),则变量间相 关系数r的计算公式如下: 激趣诱思知识点拨 2.相关系数r的性质 (1)

7、|r|1,且y与x正相关的充要条件是r0,y与x负相关的充要条件 是r0. (2)|r|越小,说明两个变量之间的线性相关性越弱,也就是得出的回 归直线方程越没有价值,即方程越不能反映真实的情况;|r|越大,说 明两个变量之间的线性相关性越强,也就是得出的回归直线方程越 有价值. (3)|r|=1的充要条件是成对数据构成的点都在回归直线上. 激趣诱思知识点拨 名师点析 (1)相关系数r只能描述两个变量之间的变化方向的密切 程度,不能揭示二者之间的本质联系. (2)判断变量之间的线性相关关系,一般用散点图,但在作图时,由于 存在误差,有时很难判断这些点是否分布在一条直线的附近,从而 很难判断两个变

8、量之间是否具有线性相关关系,此时一般利用线性 相关系数来判断. (3)相关系数r可以定量地反映出变量间的相关程度,明确有无必要 建立两变量间的线性回归方程. 激趣诱思知识点拨 微练习 对于线性相关系数r,下面叙述正确的是() A.|r|(0,+),|r|越大,相关程度越高,反之,相关程度越低 B.r(-,+),r越大,相关程度越高,反之,相关程度越低 C.|r|1,|r|越接近于1,相关程度越高;|r|越接近于0,相关程度越低 D.以上说法都不对 解析:由相关系数性质知,r-1,1,排除A,B;又|r|越接近于1,相关程 度越高,|r|越接近于0,相关程度越低,故选C. 答案:C 激趣诱思知识

9、点拨 四、非线性回归 常见的非线性回归模型转化为线性回归模型 激趣诱思知识点拨 激趣诱思知识点拨 微拓展 解决非线性回归问题的方法及步骤 (1)确定变量:确定变量x,变量y. (2)画散点图:通过观察散点图并与学过的函数(幂函数、指数函数、 对数函数、二次函数)作比较,选取拟合效果好的函数模型. (3)变量置换:通过变量置换把非线性问题转化为线性回归问题. (4)分析拟合效果:通过计算相关系数等来判断拟合效果. (5)写出非线性回归方程. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 相关关系的判断相关关系的判断 例1(1)下列两个变量之间的关系,哪个不是函数关系() A.正方体的棱长和体积 B.

10、圆半径和圆的面积 C.正n边形的边数和内角度数之和 D.人的年龄和身高 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 (2)对变量x,y有观测数据(xi,yi)(i=1,2,10),得散点图;对变量u,v 有观测数据(ui,vi)(i=1,2,10),得散点图.由这两个散点图可以判 断() A.变量x与y正相关,u与v正相关 B.变量x与y正相关,u与v负相关 C.变量x与y负相关,u与v正相关 D.变量x与y负相关,u与v负相关 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 解析:(1)A,B,C都是函数关系,对于A,V=a3;对于B,S=r2;对于 C,g(n)=(n-2).而对于年龄确定的不同的

11、人可以有不同的身高,故选 D. (2)由图像知,变量x与y呈负相关关系;u与v呈正相关关系. 答案:(1)D(2)C 反思感悟 相关关系的判断方法 判断两个变量x和y间是否具有线性相关关系,常用的简便方法就是 绘制散点图,如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近, 那么这两个变量就是线性相关的,注意不要受个别点的位置的影响. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 变式训练1某公司20142019年的年利润x(单位:百万元)与年广告 支出y(单位:百万元)的统计资料如下表所示: 根据统计资料,则() A.利润中位数是16,x与y有正线性相关关系 B.利润中位数是18,x与y有负线性相关关

12、系 C.利润中位数是17,x与y有正线性相关关系 D.利润中位数是17,x与y有负线性相关关系 解析:由表知,利润中位数是 (16+18)=17,且y随x的增大而增大, 故选C. 答案:C 年份201420152016201720182019 利润x12.214.6161820.422.3 支出y0.620.740.810.8911.11 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 求回归直线方程求回归直线方程 例2一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间, 为此进行了10次试验,收集数据如下: (1)y与x是否具有线性相关关系? (2)如果y与x具有线性相关关系,求y关于x的回归

13、直线方程. 分析画散点图确定相关关系求回归直线系数写回归直线方 程 零件数 x/个 102030405060708090100 加工时 间y/分 626875818995102108115122 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 解:(1)画散点图如下: 由上图可知y与x具有线性相关关系. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 (2)列表、计算 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 反思感悟 1.求回归直线方程的一般步骤 (1)收集样本数据,设为(xi,yi)(i=1,2,n)(数据一般由题目给出). (2)作出散点图,确定x,y具有线性相关关系. 探究一探究二探究三探究四素养

14、形成当堂检测 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 利用回归方程对总体进行估计利用回归方程对总体进行估计 例3下表提供了某厂节能降耗技术改进后生产甲产品过程中记录 的产量x(单位:吨)与相应的生产能耗y(单位:吨标准煤)的几组对照 数据: (1)请画出上表数据的散点图; (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出回归直线方程 (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤,试根据 (2)求出的线性回归方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改 前降低多少吨标准煤? x3456 y2.5344.5 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂

15、检测 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 反思感悟 回归分析的三个步骤 (1)判断两个变量是否线性相关:可以利用经验,也可以画散点图; (2)求线性回归直线方程,注意运算的正确性; (3)根据回归直线进行预测估计:估计值不是实际值,两者会有一定 的误差. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 变式训练2某种产品的广告费支出y(单位:百万元)与销售额x(单位: 百万元)之间的关系如下表所示. (1)假定y与x之间存在线性相关关系,求其回归直线方程; (2)若广告费支出不少于60百万元,则实际销售额应不少于多少?(结 果用整数作答) x8121416 y58911 探究一探究二探究三探究

16、四素养形成当堂检测 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 非线性回归分析非线性回归分析 例4下表为收集到的一组数据: (1)作出x与y的散点图,并猜测x与y之间的关系; (2)求y关于x的回归方程; (3)利用所得模型,预测x=40时y的值. 分析画出散点图确定是否线性相关确定函数模型转化为线 性模型求回归方程进行拟合进行预测 x21232527293235 y711212466115325 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 (2)对两边取对数把指数关系变为线性关系,令z=ln y,则变换后的样 本点应分布在直线z=bx+a(a=ln c1

17、,b=c2)的周围,这样就可以利用线 性回归模型来建立y与x之间的非线性回归方程了,数据可以转化为: x21232527293235 z1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 反思感悟 非线性回归问题的处理方法 1.指数函数型y=ebx+a (1)函数y=ebx+a的图像: (2)处理方法:两边取对数得ln y=ln ebx+a,即ln y=bx+a.令z=ln y,把原 始数据(x,y)转化为(x,z),再根据线性回归模型的方法求出a,b. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 2.对数函数型y=bln x+a (

18、1)函数y=bln x+a的图像: (2)处理方法:设x=ln x,原方程可化为y=bx+a,再根据线性回归模型 的方法求出a,b. 3.y=bx2+a型 处理方法:设x=x2,原方程可化为y=bx+a,再根据线性回归模型的方 法求出a,b. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 变式训练3某地区六年来轻工业产品利润总额y与年次x的试验数据 如下表所示: 由经验知,年次x与利润总额y(单位:亿元)近似有如下关系:y=abxe0. 其中a,b均为正数,求y关于x的回归方程. x123456 y11.3511.8512.4413.0713.5914.41 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检

19、测 解:对y=abxe0两边取自然对数,得ln y=ln ae0+xln b,令z=ln y, 则z与x的数据如下表: 由z=ln ae0+xln b及最小二乘法公式,得ln b0.047 7,ln ae0=2.378, x123456 z2.432.472.522.572.612.67 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 规范答题规范答题 典例 已知某地平均每单位面积菜地年使用氮肥量x(单位:kg)与平 均每单位面积蔬菜年产量y(单位:t)之间的关系如下表: (1)求y与x之间的相关系数,并判断它们是否线性相关; (2)若线性相关,求平均每单位面积蔬菜年产量y(t)与平均每单位面 积菜

20、地年使用氮肥量x(kg)之间的线性回归方程,并估计平均每单位 面积菜地年施氮肥150 kg时,平均每单位面积蔬菜的年产量. 年份20022003200420052006200720082009 x/kg7074807885929095 y/t5.16.06.87.89.010.210.012.0 年份2010201120122013201420152016 x/kg92108115123130138145 y/t11.511.011.812.212.512.813.0 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 解:(1)根据题中数据,并用科学计算器进行有关计算,列表如下: 探究一探究二探究三探

21、究四素养形成当堂检测 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 方法点睛 回归分析问题的答题模板 第一步:由已知数据求出相关系数r. 第二步:通过与r的临界值比较大小,判断y与x是否线性相关. 第四步:利用回归方程进行预测. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 1.以下四个散点图中,两个变量的关系适合用线性回归模型刻画的 是() A. B. C.D. 解析:中的点分布在一条直线附近,适合线性回归模型. 答案:B 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 2.(多选)有关线性回归的说法,正确的是() A.相关关系的两个变量不是因果关系 B.散点图能直接反映数据的相关程度 C.回归直线最能代

22、表线性相关的两个变量之间的关系 D.任意一组数据都有回归方程 解析:并不是每一组数据都有回归方程.故D不正确,其余均正确. 答案:ABC 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 C.若该大学某女生身高增加1 cm,则其体重约增加0.85 kg D.若该大学某女生身高为170 cm,则可断定其体重必为58.79 kg 解析:D选项中,若该大学某女生身高为170 cm,则可断定其体重约 为0.85170-85.71=58.79(kg).故D选项不正确. 答案:D 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 4.对具有线性相关关系的变量x和Y,测得一组数据如下表: 若已求得它们的回归直线方程的斜率为6.5,则这条回归直线方程 为. x24568 Y3040605070 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 5.如图有5组数据,去掉点后,剩下的4组数据的线性相关 性更强. 答案:D