1、4 4.3 3.1 1一元线性回归模型一元线性回归模型 课标阐释思维脉络 1.能通过收集现实问题中两个有 关联的变量的数据作出散点图, 并利用散点图直观认识变量间的 相关关系. 2.能根据给出的线性回归方程系 数公式建立线性回归方程. 3.能通过相关性检验,了解回归分 析的基本思想与方法. 4.了解非线性回归问题,并能找出 解决问题的一般思路. 激趣诱思知识点拨 “瑞雪兆丰年”是一句流传比较广的农谚,它的意思是适时的冬雪预 示着来年是丰收之年,是来年庄稼获得丰收的预兆.由于冬季天气 冷,雪往往不易融化,盖在土壤上的雪是比较松软的,里面藏了许多 不流动的空气,空气是不传热的,这样就像给庄稼盖了一
2、条棉被,外 面天气再冷,下面的温度也不会降得很低.等到寒潮过去以后,天气 渐渐回暖,雪慢慢融化,这样,不但让庄稼不受冻害,而且雪融化成的 水留在土壤里,给庄稼积蓄了很多水,对春耕播种以及庄稼的生长 都很有利.但是冬天下几场大雪,来年一定会获得丰收吗? 激趣诱思知识点拨 一、相关关系 1.变量之间的常见关系 分类概念 函数关系 两个变量之间的关系可以用函数表示.如圆的面积与半径 之间的关系,就可以用函数S=r2表示 相关关系 如果两个变量中一个变量的取值一定时,另一个变量的取 值带有一定的随机性,那么这两个变量之间的关系,叫做 相关关系 不相关两个变量间没有任何关系 激趣诱思知识点拨 2.散点图
3、 (1)在讨论两个变量x和y之间的关系时,常把它们写成点(x,y)的形式, 以便利用平面直角坐标系来考虑它们之间的关系,此时x和y可以看 成是描述同一个体的两个不同的特征量. (2)将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来,得到表示两个变 量的一组数据的图形,这样的图形叫散点图. 激趣诱思知识点拨 3.线性相关关系 (1)线性相关:如果由变量的成对数据、散点图或直观经验可知,变 量x与变量y之间的关系可以近似地用一次函数来刻画,则称x与y线 性相关. (2)正相关:在线性相关中,如果一个变量增大,另一个变量大体上也 增大,则称这两个变量正相关. (3)负相关:在线性相关中,如果一个变量增大,另
4、一个变量大体上减 少,则称这两个变量负相关. 名师点析 两个随机变量x和y相关关系的判定方法 (1)散点图法:通过散点图,观察它们的分布是否存在一定规律,直观 地判断. (2)表格、关系式法:结合表格或关系式进行判断. (3)经验法:借助积累的经验进行分析判断. 激趣诱思知识点拨 微拓展 (1)散点图具有直观、简洁的特点,它形象地体现了各对数据的密切 程度,我们可以根据散点图判断两个变量有没有相关关系. (2)通过散点图不但可以从点的位置判断测量值的大小、高低、变 动范围与趋势,还可以通过观察剔除异常数值,提高估计相关程度 的准确性. (3)当所画的散点图的横坐标与纵坐标所对应的数据差距很大时
5、,可 在实际作图时,将横坐标与纵坐标取不同的单位长度,使画出的图 像更形象、美观. 激趣诱思知识点拨 微练习 5个学生的数学成绩和物理成绩如下表: 则数学成绩与物理成绩之间() A.是函数关系 B.是相关关系,但相关性很弱 C.具有较好的相关关系,且是正相关 D.具有较好的相关关系,且是负相关 解析:作出散点图(图略),从图上可以看出数学成绩和物理成绩具有 较好的相关关系,且是正相关. 答案:C ABCDE 数学8075706560 物理7066686462 激趣诱思知识点拨 二、回归直线方程 激趣诱思知识点拨 激趣诱思知识点拨 名师点析 求回归直线方程的步骤 第一步:列表; 第四步:写出回归
6、直线方程. 激趣诱思知识点拨 微练习1 已知x,y的取值如下表所示: x234 y645 答案:A 激趣诱思知识点拨 微练习2 设有一个线性回归方程为y=2-1.5x,则变量x每增加一个单位时( ) A.y平均增加1.5个单位 B.y平均增加2个单位 C.y平均减少1.5个单位 D.y平均减少2个单位 解析:由线性回归方程知,x每增加1个单位,y平均减少1.5个单位. 答案:C 激趣诱思知识点拨 三、相关系数 1.相关系数r的计算公式 假设两个随机变量的数据分别为(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn),则变量间相 关系数r的计算公式如下: 激趣诱思知识点拨 2.相关系数r的性质 (1)
7、|r|1,且y与x正相关的充要条件是r0,y与x负相关的充要条件 是r0. (2)|r|越小,说明两个变量之间的线性相关性越弱,也就是得出的回 归直线方程越没有价值,即方程越不能反映真实的情况;|r|越大,说 明两个变量之间的线性相关性越强,也就是得出的回归直线方程越 有价值. (3)|r|=1的充要条件是成对数据构成的点都在回归直线上. 激趣诱思知识点拨 名师点析 (1)相关系数r只能描述两个变量之间的变化方向的密切 程度,不能揭示二者之间的本质联系. (2)判断变量之间的线性相关关系,一般用散点图,但在作图时,由于 存在误差,有时很难判断这些点是否分布在一条直线的附近,从而 很难判断两个变
8、量之间是否具有线性相关关系,此时一般利用线性 相关系数来判断. (3)相关系数r可以定量地反映出变量间的相关程度,明确有无必要 建立两变量间的线性回归方程. 激趣诱思知识点拨 微练习 对于线性相关系数r,下面叙述正确的是() A.|r|(0,+),|r|越大,相关程度越高,反之,相关程度越低 B.r(-,+),r越大,相关程度越高,反之,相关程度越低 C.|r|1,|r|越接近于1,相关程度越高;|r|越接近于0,相关程度越低 D.以上说法都不对 解析:由相关系数性质知,r-1,1,排除A,B;又|r|越接近于1,相关程 度越高,|r|越接近于0,相关程度越低,故选C. 答案:C 激趣诱思知识
9、点拨 四、非线性回归 常见的非线性回归模型转化为线性回归模型 激趣诱思知识点拨 激趣诱思知识点拨 微拓展 解决非线性回归问题的方法及步骤 (1)确定变量:确定变量x,变量y. (2)画散点图:通过观察散点图并与学过的函数(幂函数、指数函数、 对数函数、二次函数)作比较,选取拟合效果好的函数模型. (3)变量置换:通过变量置换把非线性问题转化为线性回归问题. (4)分析拟合效果:通过计算相关系数等来判断拟合效果. (5)写出非线性回归方程. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 相关关系的判断相关关系的判断 例1(1)下列两个变量之间的关系,哪个不是函数关系() A.正方体的棱长和体积 B.
10、圆半径和圆的面积 C.正n边形的边数和内角度数之和 D.人的年龄和身高 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 (2)对变量x,y有观测数据(xi,yi)(i=1,2,10),得散点图;对变量u,v 有观测数据(ui,vi)(i=1,2,10),得散点图.由这两个散点图可以判 断() A.变量x与y正相关,u与v正相关 B.变量x与y正相关,u与v负相关 C.变量x与y负相关,u与v正相关 D.变量x与y负相关,u与v负相关 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 解析:(1)A,B,C都是函数关系,对于A,V=a3;对于B,S=r2;对于 C,g(n)=(n-2).而对于年龄确定的不同的
11、人可以有不同的身高,故选 D. (2)由图像知,变量x与y呈负相关关系;u与v呈正相关关系. 答案:(1)D(2)C 反思感悟 相关关系的判断方法 判断两个变量x和y间是否具有线性相关关系,常用的简便方法就是 绘制散点图,如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近, 那么这两个变量就是线性相关的,注意不要受个别点的位置的影响. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 变式训练1某公司20142019年的年利润x(单位:百万元)与年广告 支出y(单位:百万元)的统计资料如下表所示: 根据统计资料,则() A.利润中位数是16,x与y有正线性相关关系 B.利润中位数是18,x与y有负线性相关关
12、系 C.利润中位数是17,x与y有正线性相关关系 D.利润中位数是17,x与y有负线性相关关系 解析:由表知,利润中位数是 (16+18)=17,且y随x的增大而增大, 故选C. 答案:C 年份201420152016201720182019 利润x12.214.6161820.422.3 支出y0.620.740.810.8911.11 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 求回归直线方程求回归直线方程 例2一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间, 为此进行了10次试验,收集数据如下: (1)y与x是否具有线性相关关系? (2)如果y与x具有线性相关关系,求y关于x的回归
13、直线方程. 分析画散点图确定相关关系求回归直线系数写回归直线方 程 零件数 x/个 102030405060708090100 加工时 间y/分 626875818995102108115122 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 解:(1)画散点图如下: 由上图可知y与x具有线性相关关系. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 (2)列表、计算 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 反思感悟 1.求回归直线方程的一般步骤 (1)收集样本数据,设为(xi,yi)(i=1,2,n)(数据一般由题目给出). (2)作出散点图,确定x,y具有线性相关关系. 探究一探究二探究三探究四素养
14、形成当堂检测 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 利用回归方程对总体进行估计利用回归方程对总体进行估计 例3下表提供了某厂节能降耗技术改进后生产甲产品过程中记录 的产量x(单位:吨)与相应的生产能耗y(单位:吨标准煤)的几组对照 数据: (1)请画出上表数据的散点图; (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出回归直线方程 (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤,试根据 (2)求出的线性回归方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改 前降低多少吨标准煤? x3456 y2.5344.5 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂
15、检测 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 反思感悟 回归分析的三个步骤 (1)判断两个变量是否线性相关:可以利用经验,也可以画散点图; (2)求线性回归直线方程,注意运算的正确性; (3)根据回归直线进行预测估计:估计值不是实际值,两者会有一定 的误差. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 变式训练2某种产品的广告费支出y(单位:百万元)与销售额x(单位: 百万元)之间的关系如下表所示. (1)假定y与x之间存在线性相关关系,求其回归直线方程; (2)若广告费支出不少于60百万元,则实际销售额应不少于多少?(结 果用整数作答) x8121416 y58911 探究一探究二探究三探究
16、四素养形成当堂检测 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 非线性回归分析非线性回归分析 例4下表为收集到的一组数据: (1)作出x与y的散点图,并猜测x与y之间的关系; (2)求y关于x的回归方程; (3)利用所得模型,预测x=40时y的值. 分析画出散点图确定是否线性相关确定函数模型转化为线 性模型求回归方程进行拟合进行预测 x21232527293235 y711212466115325 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 (2)对两边取对数把指数关系变为线性关系,令z=ln y,则变换后的样 本点应分布在直线z=bx+a(a=ln c1
17、,b=c2)的周围,这样就可以利用线 性回归模型来建立y与x之间的非线性回归方程了,数据可以转化为: x21232527293235 z1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 反思感悟 非线性回归问题的处理方法 1.指数函数型y=ebx+a (1)函数y=ebx+a的图像: (2)处理方法:两边取对数得ln y=ln ebx+a,即ln y=bx+a.令z=ln y,把原 始数据(x,y)转化为(x,z),再根据线性回归模型的方法求出a,b. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 2.对数函数型y=bln x+a (
18、1)函数y=bln x+a的图像: (2)处理方法:设x=ln x,原方程可化为y=bx+a,再根据线性回归模型 的方法求出a,b. 3.y=bx2+a型 处理方法:设x=x2,原方程可化为y=bx+a,再根据线性回归模型的方 法求出a,b. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 变式训练3某地区六年来轻工业产品利润总额y与年次x的试验数据 如下表所示: 由经验知,年次x与利润总额y(单位:亿元)近似有如下关系:y=abxe0. 其中a,b均为正数,求y关于x的回归方程. x123456 y11.3511.8512.4413.0713.5914.41 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检
19、测 解:对y=abxe0两边取自然对数,得ln y=ln ae0+xln b,令z=ln y, 则z与x的数据如下表: 由z=ln ae0+xln b及最小二乘法公式,得ln b0.047 7,ln ae0=2.378, x123456 z2.432.472.522.572.612.67 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 规范答题规范答题 典例 已知某地平均每单位面积菜地年使用氮肥量x(单位:kg)与平 均每单位面积蔬菜年产量y(单位:t)之间的关系如下表: (1)求y与x之间的相关系数,并判断它们是否线性相关; (2)若线性相关,求平均每单位面积蔬菜年产量y(t)与平均每单位面 积菜
20、地年使用氮肥量x(kg)之间的线性回归方程,并估计平均每单位 面积菜地年施氮肥150 kg时,平均每单位面积蔬菜的年产量. 年份20022003200420052006200720082009 x/kg7074807885929095 y/t5.16.06.87.89.010.210.012.0 年份2010201120122013201420152016 x/kg92108115123130138145 y/t11.511.011.812.212.512.813.0 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 解:(1)根据题中数据,并用科学计算器进行有关计算,列表如下: 探究一探究二探究三探
21、究四素养形成当堂检测 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 方法点睛 回归分析问题的答题模板 第一步:由已知数据求出相关系数r. 第二步:通过与r的临界值比较大小,判断y与x是否线性相关. 第四步:利用回归方程进行预测. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 1.以下四个散点图中,两个变量的关系适合用线性回归模型刻画的 是() A. B. C.D. 解析:中的点分布在一条直线附近,适合线性回归模型. 答案:B 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 2.(多选)有关线性回归的说法,正确的是() A.相关关系的两个变量不是因果关系 B.散点图能直接反映数据的相关程度 C.回归直线最能代
22、表线性相关的两个变量之间的关系 D.任意一组数据都有回归方程 解析:并不是每一组数据都有回归方程.故D不正确,其余均正确. 答案:ABC 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 C.若该大学某女生身高增加1 cm,则其体重约增加0.85 kg D.若该大学某女生身高为170 cm,则可断定其体重必为58.79 kg 解析:D选项中,若该大学某女生身高为170 cm,则可断定其体重约 为0.85170-85.71=58.79(kg).故D选项不正确. 答案:D 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 4.对具有线性相关关系的变量x和Y,测得一组数据如下表: 若已求得它们的回归直线方程的斜率为6.5,则这条回归直线方程 为. x24568 Y3040605070 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 5.如图有5组数据,去掉点后,剩下的4组数据的线性相关 性更强. 答案:D
