1、 排列与排列数（1）高二年级 数学【复习回顾】联系都是解决计数问题的方法.区别1完成一件事有n类办法,各类办法相互独立.分类计数相加完成一件事共分n个步骤.分步计数相乘区别2任何一类办法中的任何一种方法都可以单独完成这件事.只有各个步骤都完成才能完成这件事.（1）用1,2,3,4可以排成多少个数字不重复的两位数？【尝试与发现】解：分别指定两位数的各个数位上的数字，分两步完成：第一步：确定十位上的数字，共4种方法；第二步：确定个位上的数字，共3种方法.根据分步乘法计数原理，两位数的排法共有 种.4 312（2）班里要在甲、乙、丙、丁4名学生中选出2名，分别在某 话剧表演中扮演A和B两个角色，共有
2、多少种不同的选择 方法？4 312 解：选择角色的方法可以分为两步完成.第一步：确定角色A的扮演者，共4种方法；第二步：确定角色B的扮演者，共有3种方法.根据分步乘法计数原理，不同选择方法共有 种.【尝试与发现】【尝试与发现】（3）小张要在4所大学中选择2所，分别作为自己的第一志 愿和第二志愿，小张共有多少种不同的选择方式？解：分别指定每个志愿的选择，分两步完成.第一步：确定第一志愿，共4种选法；第二步：确定第二志愿，共有3种选法.根据分步乘法计数原理，不同选择方法共有 种.4 312【抽象概括，形成概念】（1）用1,2,3,4可以排成多少个数字不重复的两位数？（2）在甲、乙、丙、丁4名学生中
3、选出2名，分别在某话剧表演中 扮演A和B两个角色，共有多少种不同的选择方法？（3）小张要在4所大学中选择2所，分别作为自己的第一志愿和第 二志愿，小张共有多少种不同的选择方式？4 312 4 312 4 312 思考：这个现象是偶然还是必然？我们能否从中提炼数学本质？【抽象概括，形成概念】研究从4个不同对象中选出2个，并按先后顺序排列，有多少种不同排法？(一般化)【抽象概括，形成概念】1.排列 一般地，从 个不同对象中，任取 （）个对象，按照一定顺序排成一列，称为从 个不同对象中取出 个对象的一个排列.nnmmmn注意：一个排列就是完成这件事的一种方法，不同的排列就是完成这件事的不同方法.特别
4、地，当 时的排列（即取出所有对象的排列）称为全排列.mn【抽象概括，形成概念】排列定义中的2个特征：取出的对象互不相同；取出的对象要按一定的顺序排列.问题（2）.在甲、乙、丙、丁4名学生中选出2名，分别在某话剧表演中扮演A和B两个角色，共有多少种不同的选择方法？（甲、乙）角色A由甲扮演 角色B由乙扮演 （甲、乙）是一个排列.（乙、甲）角色A由乙扮演 角色B由甲扮演 .不同排列可列举出问题（2）的所有排列：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，甲），（乙，丙），（乙，丁），（丙，甲），（丙，乙），（丙，丁），（丁，甲），（丁，乙），（丁，丙）.共12种.联想到点的坐标？如：（1,2）和（2,
5、1）相同排列，需同时满足：组成排列的对象是相同的；排列中对象的顺序也是相同的.2.排列数 从 个不同对象中，任取 （）个对象的所有排列的个数，称为从 个不同对象中取出 个对象的排列数.用符号 表示.nnmmmnAmn：表示从n个不同对象中取出1个的方法数，则 .1An1Ann：表示从n个不同对象中取出2个并按先后顺序排列的方法数.我们可以分两步完成：第一步，先选一个排在第一个位置，有n种选法；第二步，再从剩下的对象中选一个排在第二个位置，有n-1种选法.因此共有 种选法，即 .2An1n n2A1nn n用类似的方法可知：3A12nn nn,4A123nn nnn,一般地，我们有A1111mn
6、n nnmn nnmm个数第m个因数11nmnmA11mnn nnm排列数公式：特征：（1）是从n开始依次递减连续m个正整数的积；（2）其中 ，；（3）排列数符号 既是一个结果，又表示一种运算.,n m NmnAmnAmn例1.判断下列问题是否为排列问题，如果是，请计算出结果.（1）集合 共有多少个不同的子集？（2）由4个数字组成的手机密码锁，如果忘记了密码，最多 要试多少次才能打开密码锁？（3）有4位同学和1位老师站成一排照相，如果老师要站在 正中间，则有多少种不同的方法？（4）某地区足球比赛共有12个队参加，每队都要与其他各 队在主客场分别比赛一次，则共要进行多少场比赛？,a b c（1）
7、集合 共有多少个不同的子集？,a b c解：集合 的子集是从a,b,c中任取0到3个元素构成的.由于取出的对象的个数不确定，不是“排列”问题.,a b c（2）由4个数字组成的手机密码锁，如果忘记了密码，最多 要试多少次才能打开密码锁？解：手机密码是由可重复的4个数字构成，与排列要求取出 的对象互不相同矛盾，所以也不是“排列”问题.（3）有4位同学和1位老师站成一排照相，如果老师要 站在正中间，则有多少种不同的方法？老师解：由于老师的位置已经确定，只需再排4位同学的位置，问题等价于“从4个对象中取出4个按照一定顺序排成 一列”，是“排列”问题，而且是“全排列”.排列数为：.44A4 3 2 1
8、24 （4）某地区足球比赛共有12个队参加，每队都要与其他各 队在主客场分别比赛一次，则共要进行多少场比赛？解：每一场比赛可看成“主场队在前、客场队在后”的一个排列.等价于“从12个不同对象中，任取2个按照先后顺序排成一列”是“排列”问题.排列数为：.212A1211132研究具体计数问题时：（1）先将具体问题转化为等价的数学模型.再辨析是否为 “排列”问题？即判断是否具有：互异性；有序性.（2）学会使用排列数，尤其在之后我们研究一些较复 杂的计数问题时，运用排列数会使列式更为简洁.例2.求证：.11AAAmmmnnnm11AA11121211121111Ammnnmnmnnnmmnnnmnn
9、nmnmmnnnnmnnnnm 当排列数中含有“未知量”时，用“连乘”展开，列式比较复杂.3.阶乘 一般地，在 中，当 时，AmnmnA12 1nnnn 通常将上式的右边，从n到1连续n个正整数的乘积简写成：(读作“n的阶乘”).从而：.Annn！n！0mn当 时，注意到：1112 1nnnnmnmnm！Amn!nmmn可将排列数用阶乘表示为：.!A()!mnnnm为了使得上式对 时也成立，我们规定 .另外，为了方便起见，也规定 .0A1n0!1例2.求证：.11AAAmmmnnnm11!AA()!(1)!1()!1!1()!1(1)!A(1)!mmnnmnnnmmnmnmnmnmnmnnnm
10、nmnnm排列数中含有“未知量”或需将算式“恒等变换”时，阶乘形式：简化列式.排列数公式：（1）连乘形式：；（2）阶乘形式：.A11mnn nnm!A()!mnnnm当进行具体计算，或者 中m较小时，使用“连乘”形式计算比较方便.如：例1（4）：.Amn212A12 11132 阶乘形式：.!A()!mnnnm排列数中含有“未知量”或需将算式“恒等变换”时，使用“阶乘”形式，可以简化列式.如例2.求证：.11AAAmmmnnnm此外，我们还可以利用信息技术来计算排列数.B版教材选择性必修第二册P14.思考：（例2）是否可以通过一个实际问题直观解释？11AAAmmmnnnm请同学们想一想，你能否
11、举出这样的一个实例？假设有n+1个不同对象，甲是其中一个，从这n+1个对象中取出m个排成一列，求有多少种不同的排法？要解决这个问题，可以从两个角度来研究：法1.从这n+1个对象中取出m个排成一列，其排列数为 .1Amn法2.按照取出的对象中是否包含甲，分为两类情况：第一类，取出的m个对象中不包括甲，共有 种排法.第二类，取出的m个对象中包括甲，分两步完成：第一步，先确定甲的位置，有m种方法；第二步，再从剩下的n个对象中取出m-1个排列，共有 种方法.由分步乘法计数原理，则有 种方法.综上，由分类加法计数原理，共有 种方法.所以，.Amn11AAAmmmnnnm-1Amn-1Amnm-1AAmm
12、nnm例3.某信号并用红、黄、蓝三面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以只挂1面旗，也可以挂2面旗或3面旗，旗数或顺序不相同时，表示信号不同，则一共可表示多少种不同的信号？注意到旗的面数不同，挂的顺序不同，则表示不同的信号，所以可以按照所挂的旗数进行分类研究.第一类，挂1面旗，即从3个不同对象中任取1个进行排列，此时可表示 种不同的信号；第二类，挂2面旗，即从3个不同对象中任取2个进行排列，此时可表示 种不同的信号；第三类，挂3面旗，即从3个不同对象中任取3个进行排列，此时可表示 种不同的信号.根据分类加法计数原理，一共可表示不同的信号有：种.13A23A33A123333A+A+A=
13、3+3 2+3 2 1=15 基本计数原理和排列知识相结合,先分类，后分步【课堂小结】1.在研究过程中我们体会了哪些数学思想方法？本节课我们从具体问题中抽象出概念，从3个实例中归纳出共同点，概括出本质，得到排列的定义.并利用分步乘法计数原理推导出排列数的公式.体现了从具体到抽象的探究过程，转化与化归的思想以及类比归纳的数学方法.2.排列与排列数的概念；关注排列的特征：（1）取出的对象互不相同，即互异性；（2）取出的对象按照一定顺序排列,即有序性.这2点是判断是否为排列问题的重要标志.此外排列数 的引入，使得我们在面对计数问题时，不仅简化了列式也简化了我们的思维过程.建议同学们要多尝试使用排列数，这也充分体现了数学的简洁美.Amn【作业】B版教材 14页A组：2，4；15页B组：2.A组2.计算：；.25A36A115A220A2100A4.从5种不同蔬菜品种中选出2种分别种植在不同土质的土 地上进行试验，共有多少种不同的种植方法？B组2.将2封不同的信投入4个邮箱，每个邮箱最多投1封，共有多少种不同的投法？将2封不同的信随意投入4个邮箱，共有多少种不同 投法？谢谢
