（2022高考数学一轮复习(创新设计)）第8节　正弦定理和余弦定理及其应用.DOCX

1、本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 第 8 节正弦定理和余弦定理及其应用 知 识 梳 理 1正、余弦定理 在ABC 中，若角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，R 为ABC 外接圆半径， 则 定理正弦定理余弦定理 公式 a sin A b sin B c sin C2R a2b2c22bccos_A； b2c2a22cacos_B； c2a2b22abcos_C 常见变 形 (1)a2Rsin A，b2Rsin_B，c 2Rsin_C； (2)sin

2、 A a 2R，sin B b 2R，sin C c 2R； (3)abc sin_Asin_Bsin_C； (4)asin Bbsin A， bsin Ccsin B， asin Ccsin A cos Ab 2c2a2 2bc ； cos Bc 2a2b2 2ac ； cos Ca 2b2c2 2ab 2.SABC1 2absin C 1 2bcsin A 1 2acsin B abc 4R 1 2(abc)r(r 是三角形内切圆的 半径)，并可由此计算 R，r. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全

3、QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 3在ABC 中，已知 a，b 和 A 时，解的情况如下： A 为锐角 A 为钝角 或直角 图形 关系式absin Absin Aabab 解的个数一解两解一解一解无解 1 在利用正弦定理解有关已知三角形的两边和其中一边的对角时， 有时出现一解、 两解或无解的情况，所以要进行分类讨论(此种类型也可利用余弦定理求解) 2 利用正、 余弦定理解三角形时， 要注意三角形内角和定理对角的范围的限制 诊 断 自 测 1判断下列说法的正误 (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比() (2)在ABC 中，若 sin Asin B，则 AB.() (3)在

4、ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素() (4)当 b2c2a20 时，ABC 为锐角三角形；当 b2c2a20 时，ABC 为直 角三角形；当 b2c2a20 时，A 为锐角，但 B、C 不一定为锐角，ABC 不一定为锐角 三角形 2(2020金华十校期末调研)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， 已知 a2，B120，c3，则 b() A. 7B4C. 19D5 答案C 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 解析因为 a

5、2，c3，B120，由余弦定理可得 b2a2c22accos B49 619，所以 b 19，故选 C. 3(必修 5P10B2 改编)在ABC 中，acos Abcos B，则这个三角形的形状为 _ 答案等腰三角形或直角三角形 解析由正弦定理得 sin Acos Asin Bcos B， 即 sin 2Asin 2B，所以 2A2B 或 2A2B， 即 AB 或 AB 2， 所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形 4在ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，已知 cos2Acos2Bsin2C sin Bsin C1 4，且ABC 的面积为 3，则 a 的值为_ 答案2 3 解

6、析ABC 中，由 cos2Acos2Bsin2C sin Bsin C1 4， 得 1sin2A(1sin2B)sin2Csin2Bsin2Csin2Asin Bsin C，b2c2a2 bc， 由余弦定理得 cos Ab 2c2a2 2bc 1 2， 又 A(0，)，A 3； 由正弦定理 a sin A b sin B c sin C， bc sin Bsin C a2 sin2A，即 bc 1 4 a2 sin2 3 ， 化简得 a23bc； 又ABC 的面积为 SABC1 2bcsin A 3， bc4，a212，解得 a2 3. 5(2020宁波 质检)设 a，b，c 分别为ABC 的

7、三边长，若 a3，b5，c7， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 则 cos C_；ABC 的外接圆半径等于_ 答案1 2 7 3 3 解析由题意得 cos Ca 2b2c2 2ab 3 25272 235 1 2， 则 sin C 1cos 2C 3 2 ， 则ABC 的外接圆的半径等于 c 2sin C 7 3 3 . 6(2021杭州质检)在ABC 中，BAC 的平分线与 BC 边交于点 D，sin C2sin B，则BD CD_；若 ADAC1，

8、则 BC_ 答案2 3 2 2 解析由 sin C2sin B 结合正弦定理得 c2b，则由 AD 为BAC 的平分线得BD CD AB AC c b2.由 ADAC1 得 AB2，令 BD2t，则 CDt，由 cos ADBcos ADC0 结合余弦定理得4t 214 22t1 1t 21 21t 0，解得 t 2 2 (舍负)，则 BC 3t3 2 2 . 考点一利用正、余弦定理解三角形 【例 1】 (1)(2021杭州四中仿真)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b， c，已知 B30，ABC 的面积为3 2.且 sin Asin C2sin B，则 b 的值为( ) A42

9、 3B42 3 C. 31D. 31 (2)(2019浙江卷)在ABC 中， ABC90， AB4， BC3， 点 D 在线段 AC 上 若 BDC45，则 BD_，cosABD_ (3)(2021金丽衢十二校二联)在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， 且 b4，C2A，3a2c，则 cos A_；a_ 答案(1)D(2)12 2 5 7 2 10 (3)3 4 16 5 解析(1)由题意得ABC 的面积为 1 2acsin B 1 2acsin 30 3 2，解得 ac6，又由 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资

10、料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 sin Asin C2sin B 结合正弦定理得 ac2b，则由余弦定理得 b2a2c2 2accos B(ac)22ac 3ac4b2126 3，解得 b 31，故选 D. (2)如图，易知 sin C4 5，cos C 3 5. 在BDC 中，由正弦定理可得 BD sin C BC sin BDC， BD BCsin C sin BDC 34 5 2 2 12 2 5 . 由ABCABDCBD90， 可得 cos ABDcos(90CBD)sin CBD sin(CBDC)sin(CBDC) sin Cco

11、s BDCcos Csin BDC 4 5 2 2 3 5 2 2 7 2 10 . (3)因为 3a2c， C2A， 由正弦定理 a sin A c sin C可得 3sin A2sin 2A4sin Acos A， sin A0，0A 2 2 ，所以 A 4，则 C2A0， sin A1，即 A 2. ABC 为直角三角形 【变式迁移】 (1)(一题多解)将本例条件变为“若 2sin Acos Bsin C”，那么 ABC 一定是() A直角三角形B等腰三角形 C等腰直角三角形D等边三角形 答案B 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资

12、料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 解析法一由已知得 2sin Acos Bsin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B， 即 sin(AB)0，因为AB，所以 AB. 法二由正弦定理得 2acos Bc，再由余弦定理得 2aa 2c2b2 2ac ca2b2a b. (2)(一题多解)将本例条件变为“若 a2b2c2ab，且 2cos Asin Bsin C”，试 确定ABC 的形状 解法一利用边的关系来判断： 由正弦定理得sin C sin B c b， 由 2cos Asin Bsin C，有 cos A sin C 2

13、sin B c 2b. 又由余弦定理得 cos Ab 2c2a2 2bc ， c 2b b2c2a2 2bc ， 即 c2b2c2a2，所以 a2b2，所以 ab. 又a2b2c2ab.2b2c2b2，所以 b2c2， bc，abc.ABC 为等边三角形 法二利用角的关系来判断： ABC180，sin Csin(AB)， 又2cos Asin Bsin C， 2cos Asin Bsin Acos Bcos Asin B， sin(AB)0， 又A 与 B 均为ABC 的内角，所以 AB. 又由 a2b2c2ab， 由余弦定理，得 cos Ca 2b2c2 2ab ab 2ab 1 2， 又

14、0C180，所以 C60，ABC 为等边三角形 感悟升华(1)判定三角形形状的途径：化边为角，通过三角变换找出角之间的 关系；化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 梁 (2)无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏 掉一种形状的可能注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制 【训练 2】 (2021北仑中学模拟)在ABC 中，a，b，c 是三个内角 A，B，C

15、 对应 的三边，已知 b2c2a2bc. (1)求 A 的大小； (2)若 sin Bsin C3 4，试判断ABC 的形状，并说明理由 解(1)在ABC 中，由余弦定理可得 cos Ab 2c2a2 2bc ， 由已知得 b2c2a2bc， cos A1 2，0A，故 A 3 . (2)ABC，A 3，C 2 3 B. 由 sin Bsin C3 4，得 sin Bsin 2 3 B 3 4， 即 sin B sin 2 3 cos Bcos 2 3 sin B 3 4， 3 2 sin Bcos B1 2sin 2B3 4， 3 4 sin 2B1 4(1cos 2B) 3 4， 即 3

16、2 sin2B1 2cos 2B1， sin 2B 6 1. 又0B2 3 ， 62B 6 7 6 ， 2B 6 2，即 B 3，C 2 3B 3， ABC 是等边三角形 考点三三角形面积问题 【例 3】 在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，c2，AB. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (1)求asin Absin B sin（AB） 的值； (2)若ABC 的面积为 1，且 tan C2，求 ab 的值 解(1)c2， asi

17、n Absin B sin（AB） asin Absin B sin Acos Bcos Asin B a2b2 acos Bbcos A a2b2 aa 2c2b2 2ac bb 2c2a2 2bc c（a 2b2） a2b2 2. (2) tan Csin C cos C2，且 sin 2Ccos2C1，C(0，)， sin C2 5 5 ，cos C 5 5 . SABC1 2absin C 1 2ab 2 5 5 1， ab 5. 由余弦定理有 cos C 5 5 a 2b2c2 2ab a 2b24 2 5 ， a2b26. (ab)2a2b22ab62 5， ab 51. 感悟升华

18、三角形面积公式的应用原则 (1)对于面积公式 S1 2absin C 1 2acsin B 1 2bcsin A， 一般是已知哪一个角就使用哪 一个公式 (2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化 【训练 3】 (2021嘉兴测试)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c 已知2bc a cos C cos A. (1)求角 A 的大小； 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (2)若 a 14，bc4 2，求ABC

19、 的面积 解(1)根据正弦定理， 得2bc a cos C cos A 2sin Bsin C sin A cos C cos A， 整理得 2sin Bcos Acos Csin Asin CcosA， 即 2sin Bcos Asin(AC)， 而 ACB，所以 2sin Bcos Asin B， 又 sin B0，解得 cos A1 2， 又 A(0，)，故 A 3. (2)根据余弦定理， 得 a2b2c22bccos A(bc)22bc2bccos A， 又 a 14，bc4 2，A 3， 故( 14)2(4 2)22bc2bc1 2， 解得 bc6， 所以 SABC1 2bcsin

20、A 1 26sin 3 3 3 2 . 考点四与三角形有关的最值(范围)问题 角度 1利用不等式求解 【例 41】 (1)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 asin A bsin B2csin C，则角 C 的最大值为_；若 c2a2，则ABC 的面积 为_ (2)(2021上海浦东新区模拟)若ABC的内角A， B， C满足sin A 2sin B2sin C， 则 cos C 的最小值是_ 答案(1) 3 3 2 (2) 6 2 4 解析(1)由正弦定理得 a2b22c2，又由余弦定理得 a2b22(a2b22abcos C)，即 4abcos Ca2b22ab

21、，cos C1 2，所以 0C 3，即 C 的最大值为 3；又 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 c2a2，则由余弦定理得 cos Ba 2c2b2 2ac a 2c2（2c2a2） 2ac 1 2，故 ABC 的面积为 S1 2acsin B 3 2 . (2) 由 正 弦 定 理 有 a 2 b 2c ， 所 以 c a 2b 2 ， cos C a2b2c2 2ab 3 4a 21 2b 2 2 2 ab 2ab ，由于 3 4a 21 2b 2

22、2 3 4a 21 2b 2 6 2 ab，故 cos C 6 2 4 ，所以 cos C 的最小值是 6 2 4 . 角度 2利用函数性质求解 【例 42】 (1)在锐角ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若 C 2B，则c b的取值范围是_ (2)(2021浙江名校协作体模拟)在锐角ABC 中，已知内角 A，B，C 的对边分别 是 a，b，c，AB5 6 ，则b a的取值范围是_，若这个三角形中的 A，B 同 时满足 tan A2tan B，则 sin(AB)_ 答案(1)( 2， 3)(2) 3 2 ，2 3 3 1 6 解析(1)由 C2B 得 ACB3B，因为A

23、BC 为锐角三角形，所以 C2B 0， 2 ， B 0， 2 ， A3B 0， 2 ， 解得 B 6， 4 ，则在ABC 中，由正弦定理得c b sin C sin B 2sin Bcos B sin B 2cos B( 2， 3) (2)在ABC 中， 由正弦定理得b a sin B sin A sin 5 6A sin A 1 2cos A 3 2 sin A sin A 1 2tan A 3 2 . 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 因为 0A 2

24、， 05 6A 2， 所以 3A 2，则 tan A( 3，)， 则b a 1 2tan A 3 2 3 2 ，2 3 3. 设 tsin(AB)， 则 sin（AB）sin Acos Bcos Asin Bt， sin（AB）sin Acos Bcos Asin B1 2， 则 sin Acos B2t1 4 ， cos Asin B12t 4 ， 则tan A tan B 2t1 12t2，解得 t 1 6，即 sin(AB) 1 6. 感悟升华解决与三角形有关的最值(范围)问题，主要根据题设条件，借助基本 不等式、函数的性质求解，有时还需要数形结合寻找解题思路 【训练 4】(1)(角度

25、1)(2021上海奉贤区二模)在 ABC 中， sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C，则 A 的取值范围为_ (2)(角度 2)(2018北京卷)若ABC 的面积为 3 4 (a2c2b2)，且 C 为钝角，则 B _；c a的取值范围是_ (3)在ABC 中，A 3，BC3，点 D 在线段 BC 上，且 BD2DC，则 AD 的最 大值是_ 答案(1) 0， 3(2)60(2，)(3) 31 解析(1)因为 sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C，所以 a2b2c2bc，即 bcb2 c2a2. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期

26、待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 所以 cos Ab 2c2a2 2bc 1 2， 因为 A(0，)，所以 A 0， 3 . (2)ABC 的面积 S1 2acsin B 3 4 (a2c2b2) 3 4 2accos B，所以 tan B 3， 因为 0B90，所以 B60.因为 C 为钝角，所以 0A30，所以 0tan A2，故 c a的取值范围为(2，) (3)设ABC 的外接圆的圆心为 O，则由正弦定理得 OAOBOC BC 2sin A 3， 又因为BOC2BAC2 3 ，所以OBC1 2(BOC) 6，则在B

27、OD 中， 由余弦定理得 OD2BO2BD22BOBDcosOBC( 3)2222 32cos 6 1，所以 OD1，则 ADAOOD 31，当且仅当 A，O，D 三点共线时等 号成立，所以 AD 的最大值为 31. 基础巩固题组 一、选择题 1在ABC 中，角 A，B，C 对应的边分别为 a，b，c，若 A2 3 ，a2，b2 3 3 ， 则 B() A. 3 B.5 6 C. 6或 5 6 D. 6 答案D 解析A2 3 ，a2，b2 3 3 ， 由正弦定理 a sin A b sin B可得 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分

28、享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 sin Bb asin A 2 3 3 2 3 2 1 2. A2 3 ，B 6. 2在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，已知 bc，a22b2(1 sin A)，则 A() A.3 4 B. 3 C. 4 D. 6 答案C 解析在ABC 中， 由 bc， 得 cos Ab 2c2a2 2bc 2b 2a2 2b2 ， 又 a22b2(1sin A)， 所以 cos Asin A， 即 tan A1，又知 A(0，)，所以 A 4，故选 C. 3(2020全国卷)在ABC 中，cos C2 3，

29、AC4，BC3，则 tan B( ) A. 5B2 5C4 5D8 5 答案C 解析由余弦定理得 AB2AC2BC22ACBCcos C42322432 39， 得 AB3，所以 ABBC.过点 B 作 BDAC，交 AC 于点 D，则 AD1 2AC2， BD 3222 5，所以 tan ABDAD BD 2 5 2 5 5 ， 所以 tan ABC 2tan ABD 1tan2ABD4 5.故选 C. 4(2018全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若ABC 的面 积为a 2b2c2 4 ，则 C() A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 答案C 解析根据题意及

30、三角形的面积公式知 1 2absin C a2b2c2 4 ，所以 sin C 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 a2b2c2 2ab cos C，所以在ABC 中，C 4. 5在ABC 中，cos2B 2 ac 2c (a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边)，则ABC 的 形状为() A等边三角形 B直角三角形 C等腰三角形或直角三角形 D等腰直角三角形 答案B 解析因为 cos2B 2 ac 2c ， 所以 2cos2B 21 ac c 1，所以

31、 cos Ba c， 所以a 2c2b2 2ac a c，所以 c 2a2b2. 所以ABC 为直角三角形 6 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 则“ab”是“cos 2Acos 2B” 的() A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 答案C 解析因为在ABC 中， absin Asin Bsin2Asin2B2sin2A2sin2B1 2sin2A12sin2Bcos 2Acos 2B.所以“ab”是“cos 2Acos 2B”的充要条 件 二、填空题 7(2021温州中学模拟)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c

32、，S 为ABC 的面积，若 c2acos B，S1 2a 21 4c 2，则ABC 的形状为_，C 的大小为_ 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 答案等腰三角形 4 解析因为 c2acos B，由正弦定理可得 sin C2sin Acos B因为 sin Csin(A B)sin Acos Bcos Asin B，所以 sin Acos Bcos Asin B，所以 sin(AB)0， 因为 ABC，所以 AB，所以ABC 是等腰三角形因为 S1 2a

33、21 4c 2， 所以 1 2absin C 1 4a 21 4a 21 4c 21 4a 21 4b 21 4c 2，即 c2a2b22absin C由余弦 定理可知 c2a2b22abcos C，所以 sin Ccos C因为 0C0， sin B0， 所以 2sin Bcos Bsin B， 即 cos B1 2， 因为 0B， 因此 B 3.又 D 是 BC 中点， 则 S ABC2SABD， 在ABD 中，设外接圆半径为 R，由正弦定理知 AD sin B2R，所以 R 3 3 ，因此点 B 的轨迹是以 O 为圆心， 以 3 3 为半径的圆的优弧 AD(端点 A， D 除外)， 设在

34、ABD 中，AD 边上的高为 h，则 SABD1 2ADh 1 2h，当高 h 过圆心 O 时，ABC 面积 最大，最大值为 3 2 . 三、解答题 11 (2020全国卷)ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 已知 cos2 2A cos A5 4. (1)求 A； (2)若 bc 3 3 a，证明：ABC 是直角三角形 (1)解由已知得 sin2Acos A5 4， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 即 cos2Acos A

35、1 40. 所以 cos A1 2 2 0，cos A1 2. 由于 0A，故 A 3. (2)证明由正弦定理及已知条件可得 sin Bsin C 3 3 sin A. 由(1)知 BC2 3 ，所以 sin Bsin 2 3 B 3 3 sin 3， 即 1 2sin B 3 2 cos B1 2，sin B 3 1 2. 由于 0B2 3 ，故 B 2.从而ABC 是直角三角形 12在ABC 中，D 是 BC 上的点，AD 平分BAC，BD2DC. (1)求sin B sin C； (2)若BAC60，求 B. 解(1)由正弦定理得 AD sin B BD sinBAD， AD sin C

36、 DC sinCAD. 因为 AD 平分BAC，BD2DC，所以 sin B sin C DC BD 1 2. (2)因为 C180(BACB)，BAC60，所以 sin Csin(BACB) 3 2 cos B1 2sin B. 由(1)知 2sin Bsin C，所以 tan B 3 3 ，即 B30. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 能力提升题组 13在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a2b2c2bc， 且 sin

37、B 3cos C，则下列结论中正确的是() AA 6 Bc2a CC 2 DABC 是等边三角形 答案D 解析由余弦定理知 cos Ab 2c2a2 2bc 1 2，因为 0A，所以 A 3.由 sin B 3cos C， 得 sin B 3cos 2 3 B 3 2 cos B3 2sin B， 即 sin B 3 0， 又 0B0. 当 cos(AOP)1，即AOP时，阴影区域面积最大， 为 44sin . 故选 B. 法二如图，设圆心为 O，连接 OA，OB，OP，AB，则阴影区域被分成弓形 AmB 和ABP. APB，AOB2. 弓形 AmB 的面积是定值， 要使阴影区域面积最大，则只

38、需ABP 面积最大 ABP 底边 AB 长固定， 只要ABP 的底边 AB 上的高最大即可 由图可知，当 APBP 时，满足条件， 此时 S阴影S扇形AOBSAOPSBOP 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 1 222 221 22 2sin22 2 44sin . 这就是阴影区域面积的最大值故选 B. 15在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 b2c2 3bca2，bc 3a2，则角 C 的大小是_ 答案 6或 2 3 解析由 b

39、2c2 3bca2，得 b2c2a2 3bc， 则 cos Ab 2c2a2 2bc 3bc 2bc 3 2 ， 因为 0A，所以 A 6， 由 bc 3a2及正弦定理， 得 sin Bsin C 3sin2A 31 4 3 4 ， 即 4sin(CA)sin C 3， 即 4sin(CA)sin C4sin C 6 sin C 3， 整理得3cos 2Csin 2C，则 tan 2C 3，又 02C5 3 ， 即 2C 3或 4 3 ，即 C 6或 2 3 . 16在ABC 中，三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 1 2bsin Ccos A sin Acos C，且 a2

40、3，则ABC 面积的最大值为_ 答案3 3 解析因为 1 2bsin Ccos Asin Acos C， 所以 1 2bcos Asin Ccos Asin Acos C， 所以 1 2bcos Asin(AC)，所以 1 2bcos Asin B， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 所以cos A 2 sin B b ， 又sin B b sin A a ，a2 3， 所以cos A 2 sin A 2 3 ，得 tan A 3， 又 A(0，)，则

41、A 3， 由余弦定理得(2 3)2b2c22bc1 2b 2c2bc2bcbcbc， 即 bc12，当且仅当 bc23时取等号， 从而ABC 面积的最大值为1 212 3 2 3 3. 17 (2019全国卷)ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 已知 asin AC 2 bsin A. (1)求 B； (2)若ABC 为锐角三角形，且 c1，求ABC 面积的取值范围 解(1)由题设及正弦定理得 sin AsinAC 2 sin Bsin A. 因为 sin A0，所以 sinAC 2 sin B. 由 ABC180，可得 sinAC 2 cosB 2， 故 cosB

42、 22sin B 2cos B 2. 因为 cosB 20，所以 sin B 2 1 2，所以 B60. (2)由题设及(1)知ABC 的面积 SABC 3 4 a. 又由(1)知 AC120， 故由正弦定理得 acsin A sin C sin（120C） sin C 3 2tan C 1 2. 由于ABC 为锐角三角形，故 0A90，0C90. 结合 AC120，得 30C90， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 所以1 2a2，从而 3 8 SAB

43、C 3 2 . 因此ABC 面积的取值范围是 3 8 ， 3 2 . 18在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且 a2，2cos2BC 2 sin A4 5. (1)若满足条件的ABC 有且只有一个，求 b 的取值范围； (2)当ABC 的周长取最大值时，求 b 的值 解由 2cos2BC 2 sin A4 5，得 1cos(BC)sin A 4 5，即 sin Acos A 1 5， 又 0A，且 sin2Acos2A1，有 cos A4 5，sin A 3 5. (1)若满足条件的ABC 有且只有一个，则有 absin A 或 ab，当 absin A 时， 有 23 5b， b10 3 ，当 ab 时，0b2. 则 b 的取值范围为(0，2 10 3 . (2)设ABC 的周长为 l，由正弦定理得 labca a sin A(sin Bsin C) 210 3 sin Bsin(AB) 210 3 sin Bsin Acos Bcos Asin B 22(3sin Bcos B) 22 10sin(B)， 其中为锐角，且 sin 10 10 ， cos 3 10 10 ， lmax22 10，当 cos B 10 10 ，sin B3 10 10 时取到 此时 b a sin Asin B 10.