1、本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 第 8 节正弦定理和余弦定理及其应用 知 识 梳 理 1正、余弦定理 在ABC 中,若角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,R 为ABC 外接圆半径, 则 定理正弦定理余弦定理 公式 a sin A b sin B c sin C2R a2b2c22bccos_A; b2c2a22cacos_B; c2a2b22abcos_C 常见变 形 (1)a2Rsin A,b2Rsin_B,c 2Rsin_C; (2)sin
2、 A a 2R,sin B b 2R,sin C c 2R; (3)abc sin_Asin_Bsin_C; (4)asin Bbsin A, bsin Ccsin B, asin Ccsin A cos Ab 2c2a2 2bc ; cos Bc 2a2b2 2ac ; cos Ca 2b2c2 2ab 2.SABC1 2absin C 1 2bcsin A 1 2acsin B abc 4R 1 2(abc)r(r 是三角形内切圆的 半径),并可由此计算 R,r. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全
3、QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 3在ABC 中,已知 a,b 和 A 时,解的情况如下: A 为锐角 A 为钝角 或直角 图形 关系式absin Absin Aabab 解的个数一解两解一解一解无解 1 在利用正弦定理解有关已知三角形的两边和其中一边的对角时, 有时出现一解、 两解或无解的情况,所以要进行分类讨论(此种类型也可利用余弦定理求解) 2 利用正、 余弦定理解三角形时, 要注意三角形内角和定理对角的范围的限制 诊 断 自 测 1判断下列说法的正误 (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比() (2)在ABC 中,若 sin Asin B,则 AB.() (3)在
4、ABC 的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素() (4)当 b2c2a20 时,ABC 为锐角三角形;当 b2c2a20 时,ABC 为直 角三角形;当 b2c2a20 时,A 为锐角,但 B、C 不一定为锐角,ABC 不一定为锐角 三角形 2(2020金华十校期末调研)在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 已知 a2,B120,c3,则 b() A. 7B4C. 19D5 答案C 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 解析因为 a
5、2,c3,B120,由余弦定理可得 b2a2c22accos B49 619,所以 b 19,故选 C. 3(必修 5P10B2 改编)在ABC 中,acos Abcos B,则这个三角形的形状为 _ 答案等腰三角形或直角三角形 解析由正弦定理得 sin Acos Asin Bcos B, 即 sin 2Asin 2B,所以 2A2B 或 2A2B, 即 AB 或 AB 2, 所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形 4在ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边,已知 cos2Acos2Bsin2C sin Bsin C1 4,且ABC 的面积为 3,则 a 的值为_ 答案2 3 解
6、析ABC 中,由 cos2Acos2Bsin2C sin Bsin C1 4, 得 1sin2A(1sin2B)sin2Csin2Bsin2Csin2Asin Bsin C,b2c2a2 bc, 由余弦定理得 cos Ab 2c2a2 2bc 1 2, 又 A(0,),A 3; 由正弦定理 a sin A b sin B c sin C, bc sin Bsin C a2 sin2A,即 bc 1 4 a2 sin2 3 , 化简得 a23bc; 又ABC 的面积为 SABC1 2bcsin A 3, bc4,a212,解得 a2 3. 5(2020宁波 质检)设 a,b,c 分别为ABC 的
7、三边长,若 a3,b5,c7, 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 则 cos C_;ABC 的外接圆半径等于_ 答案1 2 7 3 3 解析由题意得 cos Ca 2b2c2 2ab 3 25272 235 1 2, 则 sin C 1cos 2C 3 2 , 则ABC 的外接圆的半径等于 c 2sin C 7 3 3 . 6(2021杭州质检)在ABC 中,BAC 的平分线与 BC 边交于点 D,sin C2sin B,则BD CD_;若 ADAC1,
8、则 BC_ 答案2 3 2 2 解析由 sin C2sin B 结合正弦定理得 c2b,则由 AD 为BAC 的平分线得BD CD AB AC c b2.由 ADAC1 得 AB2,令 BD2t,则 CDt,由 cos ADBcos ADC0 结合余弦定理得4t 214 22t1 1t 21 21t 0,解得 t 2 2 (舍负),则 BC 3t3 2 2 . 考点一利用正、余弦定理解三角形 【例 1】 (1)(2021杭州四中仿真)在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b, c,已知 B30,ABC 的面积为3 2.且 sin Asin C2sin B,则 b 的值为( ) A42
9、 3B42 3 C. 31D. 31 (2)(2019浙江卷)在ABC 中, ABC90, AB4, BC3, 点 D 在线段 AC 上 若 BDC45,则 BD_,cosABD_ (3)(2021金丽衢十二校二联)在ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 且 b4,C2A,3a2c,则 cos A_;a_ 答案(1)D(2)12 2 5 7 2 10 (3)3 4 16 5 解析(1)由题意得ABC 的面积为 1 2acsin B 1 2acsin 30 3 2,解得 ac6,又由 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资
10、料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 sin Asin C2sin B 结合正弦定理得 ac2b,则由余弦定理得 b2a2c2 2accos B(ac)22ac 3ac4b2126 3,解得 b 31,故选 D. (2)如图,易知 sin C4 5,cos C 3 5. 在BDC 中,由正弦定理可得 BD sin C BC sin BDC, BD BCsin C sin BDC 34 5 2 2 12 2 5 . 由ABCABDCBD90, 可得 cos ABDcos(90CBD)sin CBD sin(CBDC)sin(CBDC) sin Cco
11、s BDCcos Csin BDC 4 5 2 2 3 5 2 2 7 2 10 . (3)因为 3a2c, C2A, 由正弦定理 a sin A c sin C可得 3sin A2sin 2A4sin Acos A, sin A0,0A 2 2 ,所以 A 4,则 C2A0, sin A1,即 A 2. ABC 为直角三角形 【变式迁移】 (1)(一题多解)将本例条件变为“若 2sin Acos Bsin C”,那么 ABC 一定是() A直角三角形B等腰三角形 C等腰直角三角形D等边三角形 答案B 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资
12、料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 解析法一由已知得 2sin Acos Bsin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B, 即 sin(AB)0,因为AB,所以 AB. 法二由正弦定理得 2acos Bc,再由余弦定理得 2aa 2c2b2 2ac ca2b2a b. (2)(一题多解)将本例条件变为“若 a2b2c2ab,且 2cos Asin Bsin C”,试 确定ABC 的形状 解法一利用边的关系来判断: 由正弦定理得sin C sin B c b, 由 2cos Asin Bsin C,有 cos A sin C 2
13、sin B c 2b. 又由余弦定理得 cos Ab 2c2a2 2bc , c 2b b2c2a2 2bc , 即 c2b2c2a2,所以 a2b2,所以 ab. 又a2b2c2ab.2b2c2b2,所以 b2c2, bc,abc.ABC 为等边三角形 法二利用角的关系来判断: ABC180,sin Csin(AB), 又2cos Asin Bsin C, 2cos Asin Bsin Acos Bcos Asin B, sin(AB)0, 又A 与 B 均为ABC 的内角,所以 AB. 又由 a2b2c2ab, 由余弦定理,得 cos Ca 2b2c2 2ab ab 2ab 1 2, 又
14、0C180,所以 C60,ABC 为等边三角形 感悟升华(1)判定三角形形状的途径:化边为角,通过三角变换找出角之间的 关系;化角为边,通过代数变形找出边之间的关系,正(余)弦定理是转化的桥 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 梁 (2)无论使用哪种方法,都不要随意约掉公因式,要移项提取公因式,否则会有漏 掉一种形状的可能注意挖掘隐含条件,重视角的范围对三角函数值的限制 【训练 2】 (2021北仑中学模拟)在ABC 中,a,b,c 是三个内角 A,B,C
15、 对应 的三边,已知 b2c2a2bc. (1)求 A 的大小; (2)若 sin Bsin C3 4,试判断ABC 的形状,并说明理由 解(1)在ABC 中,由余弦定理可得 cos Ab 2c2a2 2bc , 由已知得 b2c2a2bc, cos A1 2,0A,故 A 3 . (2)ABC,A 3,C 2 3 B. 由 sin Bsin C3 4,得 sin Bsin 2 3 B 3 4, 即 sin B sin 2 3 cos Bcos 2 3 sin B 3 4, 3 2 sin Bcos B1 2sin 2B3 4, 3 4 sin 2B1 4(1cos 2B) 3 4, 即 3
16、2 sin2B1 2cos 2B1, sin 2B 6 1. 又0B2 3 , 62B 6 7 6 , 2B 6 2,即 B 3,C 2 3B 3, ABC 是等边三角形 考点三三角形面积问题 【例 3】 在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,c2,AB. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (1)求asin Absin B sin(AB) 的值; (2)若ABC 的面积为 1,且 tan C2,求 ab 的值 解(1)c2, asi
17、n Absin B sin(AB) asin Absin B sin Acos Bcos Asin B a2b2 acos Bbcos A a2b2 aa 2c2b2 2ac bb 2c2a2 2bc c(a 2b2) a2b2 2. (2) tan Csin C cos C2,且 sin 2Ccos2C1,C(0,), sin C2 5 5 ,cos C 5 5 . SABC1 2absin C 1 2ab 2 5 5 1, ab 5. 由余弦定理有 cos C 5 5 a 2b2c2 2ab a 2b24 2 5 , a2b26. (ab)2a2b22ab62 5, ab 51. 感悟升华
18、三角形面积公式的应用原则 (1)对于面积公式 S1 2absin C 1 2acsin B 1 2bcsin A, 一般是已知哪一个角就使用哪 一个公式 (2)与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化 【训练 3】 (2021嘉兴测试)在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c 已知2bc a cos C cos A. (1)求角 A 的大小; 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (2)若 a 14,bc4 2,求ABC
19、 的面积 解(1)根据正弦定理, 得2bc a cos C cos A 2sin Bsin C sin A cos C cos A, 整理得 2sin Bcos Acos Csin Asin CcosA, 即 2sin Bcos Asin(AC), 而 ACB,所以 2sin Bcos Asin B, 又 sin B0,解得 cos A1 2, 又 A(0,),故 A 3. (2)根据余弦定理, 得 a2b2c22bccos A(bc)22bc2bccos A, 又 a 14,bc4 2,A 3, 故( 14)2(4 2)22bc2bc1 2, 解得 bc6, 所以 SABC1 2bcsin
20、A 1 26sin 3 3 3 2 . 考点四与三角形有关的最值(范围)问题 角度 1利用不等式求解 【例 41】 (1)在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 asin A bsin B2csin C,则角 C 的最大值为_;若 c2a2,则ABC 的面积 为_ (2)(2021上海浦东新区模拟)若ABC的内角A, B, C满足sin A 2sin B2sin C, 则 cos C 的最小值是_ 答案(1) 3 3 2 (2) 6 2 4 解析(1)由正弦定理得 a2b22c2,又由余弦定理得 a2b22(a2b22abcos C),即 4abcos Ca2b22ab
21、,cos C1 2,所以 0C 3,即 C 的最大值为 3;又 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 c2a2,则由余弦定理得 cos Ba 2c2b2 2ac a 2c2(2c2a2) 2ac 1 2,故 ABC 的面积为 S1 2acsin B 3 2 . (2) 由 正 弦 定 理 有 a 2 b 2c , 所 以 c a 2b 2 , cos C a2b2c2 2ab 3 4a 21 2b 2 2 2 ab 2ab ,由于 3 4a 21 2b 2
22、2 3 4a 21 2b 2 6 2 ab,故 cos C 6 2 4 ,所以 cos C 的最小值是 6 2 4 . 角度 2利用函数性质求解 【例 42】 (1)在锐角ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若 C 2B,则c b的取值范围是_ (2)(2021浙江名校协作体模拟)在锐角ABC 中,已知内角 A,B,C 的对边分别 是 a,b,c,AB5 6 ,则b a的取值范围是_,若这个三角形中的 A,B 同 时满足 tan A2tan B,则 sin(AB)_ 答案(1)( 2, 3)(2) 3 2 ,2 3 3 1 6 解析(1)由 C2B 得 ACB3B,因为A
23、BC 为锐角三角形,所以 C2B 0, 2 , B 0, 2 , A3B 0, 2 , 解得 B 6, 4 ,则在ABC 中,由正弦定理得c b sin C sin B 2sin Bcos B sin B 2cos B( 2, 3) (2)在ABC 中, 由正弦定理得b a sin B sin A sin 5 6A sin A 1 2cos A 3 2 sin A sin A 1 2tan A 3 2 . 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 因为 0A 2
24、, 05 6A 2, 所以 3A 2,则 tan A( 3,), 则b a 1 2tan A 3 2 3 2 ,2 3 3. 设 tsin(AB), 则 sin(AB)sin Acos Bcos Asin Bt, sin(AB)sin Acos Bcos Asin B1 2, 则 sin Acos B2t1 4 , cos Asin B12t 4 , 则tan A tan B 2t1 12t2,解得 t 1 6,即 sin(AB) 1 6. 感悟升华解决与三角形有关的最值(范围)问题,主要根据题设条件,借助基本 不等式、函数的性质求解,有时还需要数形结合寻找解题思路 【训练 4】(1)(角度
25、1)(2021上海奉贤区二模)在 ABC 中, sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C,则 A 的取值范围为_ (2)(角度 2)(2018北京卷)若ABC 的面积为 3 4 (a2c2b2),且 C 为钝角,则 B _;c a的取值范围是_ (3)在ABC 中,A 3,BC3,点 D 在线段 BC 上,且 BD2DC,则 AD 的最 大值是_ 答案(1) 0, 3(2)60(2,)(3) 31 解析(1)因为 sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C,所以 a2b2c2bc,即 bcb2 c2a2. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期
26、待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 所以 cos Ab 2c2a2 2bc 1 2, 因为 A(0,),所以 A 0, 3 . (2)ABC 的面积 S1 2acsin B 3 4 (a2c2b2) 3 4 2accos B,所以 tan B 3, 因为 0B90,所以 B60.因为 C 为钝角,所以 0A30,所以 0tan A2,故 c a的取值范围为(2,) (3)设ABC 的外接圆的圆心为 O,则由正弦定理得 OAOBOC BC 2sin A 3, 又因为BOC2BAC2 3 ,所以OBC1 2(BOC) 6,则在B
27、OD 中, 由余弦定理得 OD2BO2BD22BOBDcosOBC( 3)2222 32cos 6 1,所以 OD1,则 ADAOOD 31,当且仅当 A,O,D 三点共线时等 号成立,所以 AD 的最大值为 31. 基础巩固题组 一、选择题 1在ABC 中,角 A,B,C 对应的边分别为 a,b,c,若 A2 3 ,a2,b2 3 3 , 则 B() A. 3 B.5 6 C. 6或 5 6 D. 6 答案D 解析A2 3 ,a2,b2 3 3 , 由正弦定理 a sin A b sin B可得 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分
28、享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 sin Bb asin A 2 3 3 2 3 2 1 2. A2 3 ,B 6. 2在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已知 bc,a22b2(1 sin A),则 A() A.3 4 B. 3 C. 4 D. 6 答案C 解析在ABC 中, 由 bc, 得 cos Ab 2c2a2 2bc 2b 2a2 2b2 , 又 a22b2(1sin A), 所以 cos Asin A, 即 tan A1,又知 A(0,),所以 A 4,故选 C. 3(2020全国卷)在ABC 中,cos C2 3,
29、AC4,BC3,则 tan B( ) A. 5B2 5C4 5D8 5 答案C 解析由余弦定理得 AB2AC2BC22ACBCcos C42322432 39, 得 AB3,所以 ABBC.过点 B 作 BDAC,交 AC 于点 D,则 AD1 2AC2, BD 3222 5,所以 tan ABDAD BD 2 5 2 5 5 , 所以 tan ABC 2tan ABD 1tan2ABD4 5.故选 C. 4(2018全国卷)ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若ABC 的面 积为a 2b2c2 4 ,则 C() A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 答案C 解析根据题意及
30、三角形的面积公式知 1 2absin C a2b2c2 4 ,所以 sin C 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 a2b2c2 2ab cos C,所以在ABC 中,C 4. 5在ABC 中,cos2B 2 ac 2c (a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边),则ABC 的 形状为() A等边三角形 B直角三角形 C等腰三角形或直角三角形 D等腰直角三角形 答案B 解析因为 cos2B 2 ac 2c , 所以 2cos2B 21 ac c 1,所以
31、 cos Ba c, 所以a 2c2b2 2ac a c,所以 c 2a2b2. 所以ABC 为直角三角形 6 ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 则“ab”是“cos 2Acos 2B” 的() A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 答案C 解析因为在ABC 中, absin Asin Bsin2Asin2B2sin2A2sin2B1 2sin2A12sin2Bcos 2Acos 2B.所以“ab”是“cos 2Acos 2B”的充要条 件 二、填空题 7(2021温州中学模拟)在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c
32、,S 为ABC 的面积,若 c2acos B,S1 2a 21 4c 2,则ABC 的形状为_,C 的大小为_ 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 答案等腰三角形 4 解析因为 c2acos B,由正弦定理可得 sin C2sin Acos B因为 sin Csin(A B)sin Acos Bcos Asin B,所以 sin Acos Bcos Asin B,所以 sin(AB)0, 因为 ABC,所以 AB,所以ABC 是等腰三角形因为 S1 2a
33、21 4c 2, 所以 1 2absin C 1 4a 21 4a 21 4c 21 4a 21 4b 21 4c 2,即 c2a2b22absin C由余弦 定理可知 c2a2b22abcos C,所以 sin Ccos C因为 0C0, sin B0, 所以 2sin Bcos Bsin B, 即 cos B1 2, 因为 0B, 因此 B 3.又 D 是 BC 中点, 则 S ABC2SABD, 在ABD 中,设外接圆半径为 R,由正弦定理知 AD sin B2R,所以 R 3 3 ,因此点 B 的轨迹是以 O 为圆心, 以 3 3 为半径的圆的优弧 AD(端点 A, D 除外), 设在
34、ABD 中,AD 边上的高为 h,则 SABD1 2ADh 1 2h,当高 h 过圆心 O 时,ABC 面积 最大,最大值为 3 2 . 三、解答题 11 (2020全国卷)ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 已知 cos2 2A cos A5 4. (1)求 A; (2)若 bc 3 3 a,证明:ABC 是直角三角形 (1)解由已知得 sin2Acos A5 4, 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 即 cos2Acos A
35、1 40. 所以 cos A1 2 2 0,cos A1 2. 由于 0A,故 A 3. (2)证明由正弦定理及已知条件可得 sin Bsin C 3 3 sin A. 由(1)知 BC2 3 ,所以 sin Bsin 2 3 B 3 3 sin 3, 即 1 2sin B 3 2 cos B1 2,sin B 3 1 2. 由于 0B2 3 ,故 B 2.从而ABC 是直角三角形 12在ABC 中,D 是 BC 上的点,AD 平分BAC,BD2DC. (1)求sin B sin C; (2)若BAC60,求 B. 解(1)由正弦定理得 AD sin B BD sinBAD, AD sin C
36、 DC sinCAD. 因为 AD 平分BAC,BD2DC,所以 sin B sin C DC BD 1 2. (2)因为 C180(BACB),BAC60,所以 sin Csin(BACB) 3 2 cos B1 2sin B. 由(1)知 2sin Bsin C,所以 tan B 3 3 ,即 B30. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 能力提升题组 13在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a2b2c2bc, 且 sin
37、B 3cos C,则下列结论中正确的是() AA 6 Bc2a CC 2 DABC 是等边三角形 答案D 解析由余弦定理知 cos Ab 2c2a2 2bc 1 2,因为 0A,所以 A 3.由 sin B 3cos C, 得 sin B 3cos 2 3 B 3 2 cos B3 2sin B, 即 sin B 3 0, 又 0B0. 当 cos(AOP)1,即AOP时,阴影区域面积最大, 为 44sin . 故选 B. 法二如图,设圆心为 O,连接 OA,OB,OP,AB,则阴影区域被分成弓形 AmB 和ABP. APB,AOB2. 弓形 AmB 的面积是定值, 要使阴影区域面积最大,则只
38、需ABP 面积最大 ABP 底边 AB 长固定, 只要ABP 的底边 AB 上的高最大即可 由图可知,当 APBP 时,满足条件, 此时 S阴影S扇形AOBSAOPSBOP 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 1 222 221 22 2sin22 2 44sin . 这就是阴影区域面积的最大值故选 B. 15在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 b2c2 3bca2,bc 3a2,则角 C 的大小是_ 答案 6或 2 3 解析由 b
39、2c2 3bca2,得 b2c2a2 3bc, 则 cos Ab 2c2a2 2bc 3bc 2bc 3 2 , 因为 0A,所以 A 6, 由 bc 3a2及正弦定理, 得 sin Bsin C 3sin2A 31 4 3 4 , 即 4sin(CA)sin C 3, 即 4sin(CA)sin C4sin C 6 sin C 3, 整理得3cos 2Csin 2C,则 tan 2C 3,又 02C5 3 , 即 2C 3或 4 3 ,即 C 6或 2 3 . 16在ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 1 2bsin Ccos A sin Acos C,且 a2
40、3,则ABC 面积的最大值为_ 答案3 3 解析因为 1 2bsin Ccos Asin Acos C, 所以 1 2bcos Asin Ccos Asin Acos C, 所以 1 2bcos Asin(AC),所以 1 2bcos Asin B, 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 所以cos A 2 sin B b , 又sin B b sin A a ,a2 3, 所以cos A 2 sin A 2 3 ,得 tan A 3, 又 A(0,),则
41、A 3, 由余弦定理得(2 3)2b2c22bc1 2b 2c2bc2bcbcbc, 即 bc12,当且仅当 bc23时取等号, 从而ABC 面积的最大值为1 212 3 2 3 3. 17 (2019全国卷)ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 已知 asin AC 2 bsin A. (1)求 B; (2)若ABC 为锐角三角形,且 c1,求ABC 面积的取值范围 解(1)由题设及正弦定理得 sin AsinAC 2 sin Bsin A. 因为 sin A0,所以 sinAC 2 sin B. 由 ABC180,可得 sinAC 2 cosB 2, 故 cosB
42、 22sin B 2cos B 2. 因为 cosB 20,所以 sin B 2 1 2,所以 B60. (2)由题设及(1)知ABC 的面积 SABC 3 4 a. 又由(1)知 AC120, 故由正弦定理得 acsin A sin C sin(120C) sin C 3 2tan C 1 2. 由于ABC 为锐角三角形,故 0A90,0C90. 结合 AC120,得 30C90, 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 所以1 2a2,从而 3 8 SAB
43、C 3 2 . 因此ABC 面积的取值范围是 3 8 , 3 2 . 18在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且 a2,2cos2BC 2 sin A4 5. (1)若满足条件的ABC 有且只有一个,求 b 的取值范围; (2)当ABC 的周长取最大值时,求 b 的值 解由 2cos2BC 2 sin A4 5,得 1cos(BC)sin A 4 5,即 sin Acos A 1 5, 又 0A,且 sin2Acos2A1,有 cos A4 5,sin A 3 5. (1)若满足条件的ABC 有且只有一个,则有 absin A 或 ab,当 absin A 时, 有 23 5b, b10 3 ,当 ab 时,0b2. 则 b 的取值范围为(0,2 10 3 . (2)设ABC 的周长为 l,由正弦定理得 labca a sin A(sin Bsin C) 210 3 sin Bsin(AB) 210 3 sin Bsin Acos Bcos Asin B 22(3sin Bcos B) 22 10sin(B), 其中为锐角,且 sin 10 10 , cos 3 10 10 , lmax22 10,当 cos B 10 10 ,sin B3 10 10 时取到 此时 b a sin Asin B 10.