1、高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 平面向量数量积中的易错问题平面向量数量积中的易错问题 平面向量是由物理学和工程技术抽象出来的知识，连同它的运算法则、性质，都来源于实践，应用于 实践，属于教材新增添的内容 “欲善工其事，必先利其器” ，对于本章内容的学习，我们一定要抓住定义， 理清概念，只有真正理解了向量中的概念，才能熟练的应用否则在做题时就容易出错，下面列举几种平 面向量数量积中的易错问题： 一、夹角大小的判断一、夹角大小的判断 例例 1 1、在边长都为 1 的ABC 中，已知, aAB bBC ，cCA ，求accbba的值 错解：错解：ABC 是边长为 1 的等边三角形， a与b
2、，b与c，c与a的夹角都是60， accbba=60cos60cos60cosaccbba= 2 1 2 1 2 1 = 2 3 错解原因：错解原因：夹角的定义为：在平面内任取一点 O，作向量OAa，OB=b，则 AOB=（0180） ，则叫a与b的夹角通过定义可以看出，在夹角的定义中，要求a和 b必须是共起点的，这是定义中的一个关键，按照这个定义，a和b的夹角是60吗？显然a和b的夹角 是120，同理，b与c，c与a的夹角也都是120所以 accbba=120cos120cos120cosaccbba= 2 1 2 1 2 1 = 2 3 二、如何判定两向量夹角是锐角或钝角二、如何判定两向量
3、夹角是锐角或钝角 例例 2 2、已知2a，b=3，a和b的夹角为45，求当向量ba与ba 的夹角为锐角时，的 取值范围 错解：错解：设向量ba与ba 的夹角为，两向量的夹角为锐角， baba baba )()( cos0，（ba） （ba ）0， 即( 2 a 2 2 ) 1bba0，3113 2 0， 6 8511 或 6 8511 ， 即 , 6 8511 6 8511 , 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 错解原因：错解原因：由于baa b，所以-1 ba ba 1当ba0 时，0 ba ba 1，包括 ba ba =1 的情 况，即夹角有可能为0，此时不为锐角，所以我们应该从上
4、述的的取值范围中再去掉ba与ba 共线同向时的的值就可以了 当ba与ba 共线同向时，设ba=t(ba )，(t0) 1t t ，1t ba与ba 的夹角为锐角时的), 1 () 1 , 6 8511 () 6 8511 ,( 三、实数中的结论不要拿到向量中来应用三、实数中的结论不要拿到向量中来应用 例例 3 3、已知a，b是两个非零向量，证明当b与ba（R）垂直时，ba的模取到最小值 错解：错解：当b与ba垂直时有b （ba）=0，即ba+ 2 b=0， 2 b ba ， 2 ba= 2 2 2 2bbaa= 2 2 22 )(2bba= 2 2 2 ba= 2 2 2 2 )(b b ba
5、 a = 2 4 22 2 b b ba a = 22 aa =0 2 ba的最小值为 0，当 2 b ba ，即b与ba垂直时，ba的模取到最小值 错解原因：错解原因：结论 22 2 )(baba并不正确，只有在a和b共线时才成立，所以不能用这个结论在 向量这一章中，不能把许多实数的结论想当然拿过来用，实数中的好多结论在向量中是不成立的如： 若0ba，则0a或0b；若bcba，且0b，则ca ； 若 2 b ba ，则 b a ； 22 bababa； 22 2 )(baba；若ba ，则cbca 等都是错误的在应用课本上没有的结论时，我们必须慎重，必须给出严格的证明后才可以应用本 题的正确
6、解法应把 2 ba看做是的二次函数： 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 2 ba= 2 2 22 )(2bba= 4 2 2 2 2 2 )( )( b ba a b ba b 在对称轴，即 2 b ba 时，模取最小值此时，恰好0 2 bba 即当b与ba垂直时，ba的模取最小值 通过讲解，你掌握了多少呢？下面我们做几个练习题来巩固一下吧： 练习：练习： 1、已知)2 ,(a，)5 , 3(b，且a与b的夹角是锐角，则的取值范围_ 2、在ABC 中，aAB ，bAC ，cBC ，若)()()(cacabaaa，试判断 ABC 的形状 3、已知ABC 中，a=5,b=8, 60C,求CABC 4、已知)3 , 1 (a，) 1 , 1 (b，bac，是否存在常数，使a和c的夹角是锐角，若存在求出 的取值范围，若不存在说明理由 （答案： 1、 3 10 ；2、直角三角形；3、-20；4、), 0()0 , 2 5 ( ）
