1、高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 平面向量数量积中的易错问题平面向量数量积中的易错问题 平面向量是由物理学和工程技术抽象出来的知识,连同它的运算法则、性质,都来源于实践,应用于 实践,属于教材新增添的内容 “欲善工其事,必先利其器” ,对于本章内容的学习,我们一定要抓住定义, 理清概念,只有真正理解了向量中的概念,才能熟练的应用否则在做题时就容易出错,下面列举几种平 面向量数量积中的易错问题: 一、夹角大小的判断一、夹角大小的判断 例例 1 1、在边长都为 1 的ABC 中,已知, aAB bBC ,cCA ,求accbba的值 错解:错解:ABC 是边长为 1 的等边三角形, a与b
2、,b与c,c与a的夹角都是60, accbba=60cos60cos60cosaccbba= 2 1 2 1 2 1 = 2 3 错解原因:错解原因:夹角的定义为:在平面内任取一点 O,作向量OAa,OB=b,则 AOB=(0180) ,则叫a与b的夹角通过定义可以看出,在夹角的定义中,要求a和 b必须是共起点的,这是定义中的一个关键,按照这个定义,a和b的夹角是60吗?显然a和b的夹角 是120,同理,b与c,c与a的夹角也都是120所以 accbba=120cos120cos120cosaccbba= 2 1 2 1 2 1 = 2 3 二、如何判定两向量夹角是锐角或钝角二、如何判定两向量
3、夹角是锐角或钝角 例例 2 2、已知2a,b=3,a和b的夹角为45,求当向量ba与ba 的夹角为锐角时,的 取值范围 错解:错解:设向量ba与ba 的夹角为,两向量的夹角为锐角, baba baba )()( cos0,(ba) (ba )0, 即( 2 a 2 2 ) 1bba0,3113 2 0, 6 8511 或 6 8511 , 即 , 6 8511 6 8511 , 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 错解原因:错解原因:由于baa b,所以-1 ba ba 1当ba0 时,0 ba ba 1,包括 ba ba =1 的情 况,即夹角有可能为0,此时不为锐角,所以我们应该从上
4、述的的取值范围中再去掉ba与ba 共线同向时的的值就可以了 当ba与ba 共线同向时,设ba=t(ba ),(t0) 1t t ,1t ba与ba 的夹角为锐角时的), 1 () 1 , 6 8511 () 6 8511 ,( 三、实数中的结论不要拿到向量中来应用三、实数中的结论不要拿到向量中来应用 例例 3 3、已知a,b是两个非零向量,证明当b与ba(R)垂直时,ba的模取到最小值 错解:错解:当b与ba垂直时有b (ba)=0,即ba+ 2 b=0, 2 b ba , 2 ba= 2 2 2 2bbaa= 2 2 22 )(2bba= 2 2 2 ba= 2 2 2 2 )(b b ba
5、 a = 2 4 22 2 b b ba a = 22 aa =0 2 ba的最小值为 0,当 2 b ba ,即b与ba垂直时,ba的模取到最小值 错解原因:错解原因:结论 22 2 )(baba并不正确,只有在a和b共线时才成立,所以不能用这个结论在 向量这一章中,不能把许多实数的结论想当然拿过来用,实数中的好多结论在向量中是不成立的如: 若0ba,则0a或0b;若bcba,且0b,则ca ; 若 2 b ba ,则 b a ; 22 bababa; 22 2 )(baba;若ba ,则cbca 等都是错误的在应用课本上没有的结论时,我们必须慎重,必须给出严格的证明后才可以应用本 题的正确
6、解法应把 2 ba看做是的二次函数: 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 2 ba= 2 2 22 )(2bba= 4 2 2 2 2 2 )( )( b ba a b ba b 在对称轴,即 2 b ba 时,模取最小值此时,恰好0 2 bba 即当b与ba垂直时,ba的模取最小值 通过讲解,你掌握了多少呢?下面我们做几个练习题来巩固一下吧: 练习:练习: 1、已知)2 ,(a,)5 , 3(b,且a与b的夹角是锐角,则的取值范围_ 2、在ABC 中,aAB ,bAC ,cBC ,若)()()(cacabaaa,试判断 ABC 的形状 3、已知ABC 中,a=5,b=8, 60C,求CABC 4、已知)3 , 1 (a,) 1 , 1 (b,bac,是否存在常数,使a和c的夹角是锐角,若存在求出 的取值范围,若不存在说明理由 (答案: 1、 3 10 ;2、直角三角形;3、-20;4、), 0()0 , 2 5 ( )